空间向量基本定理
教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题． 教学重点：点在已知平面内的充要条件．
教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 教学过程： 一、复习引入
1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．
2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、新课讲授
1. 定义：如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a 平行于平面α，记作a //α．
向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．
2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．
3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明． 结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD ，AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量．
4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？
5. 得出共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、
b
共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ．
证明：必要性：由已知，两个向量a 、b 不共线． ∵ 向量p 与向量a 、b 共面
∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ． 充分性：如图，∵ x a ，y b 分别与a 、b 共线， ∴ x a ，y b 都在a 、b 确定的平面内．
又∵ x a+y b 是以｜x a ｜、｜y b ｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a 、b 确定的平面内，
∴ p = x a+y b 在a 、b 确定的平面内，即向量p 与向量a 、b 共面． 说明：当p 、a 、b 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p 、a 、b 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．
6. 共面向量定理的推论是：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对
x ，y ，使得MP =xMA +yMB ，①
或对于空间任意一定点O ，有
．②O P =O M +x M +A y M
分析：⑴推论中的x 、y 是唯一的一对有序实数； ⑵由
得O P =O M +x M +A y M
：
O P =O +M (x -O ) A +(O M -，y O ∴B O M
OP =(1-x -y ) OM +xOA +yOB
③
公式①②③都是P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件． 小结：向量方法证明四点共面 三、巩固练习 课后题及书上练习题
空间向量运算
教学要求：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.
教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入
1. 复习平面向量数量积定义：
2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授
1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a , b ＞．
说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞≤π． 当＜a 、b ＞＝０时，
a 与b 同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；
当＜a 、b ＞＝π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ．
2
⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a , b ＞＝＜b , a ＞．
⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的． ②＜a , b ＞≠(a , b )
2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos＜a , b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；
⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
几何意义：已知向量AB ＝a
和轴l ，e 是l 上和l
同方向的单位向量．作点
A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影
B ′，则A ' B ' 叫做向量AB 在轴
l 上或
在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：e ．说A ' B ' ＝｜AB ｜cos ＜a , e ＞＝a ·
明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．
3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：
⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a , e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０
⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜
a ｜·｜b ｜.
特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a
⑷cos ＜a , b ＞＝
a ⋅b
a ⋅b
; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.
4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：
⑴(λa ) ·b ＝λ(a ·b ) ＝a ·(λb ) (数乘结合律) ； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律) ；
⑶a ·(b ＋c ) ＝a ·b ＋a ·c (分配律) 说明：⑴(a ·b ) c ≠a （b ·с）；
⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b ) 2＝a 2＋２a ·b ＋b 2 5. 教学例题：课本P 98例2、例3（略） 三、巩固练习
课后题
空间向量的标准正交分解与坐标表示
教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
掌握空间向量的坐标运算的规律；
会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．
教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算． 教学难点：理解空间向量基本定理． 教学过程： 一、新课引入
1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算， 2. 复习：平面向量基本定理. 二、讲授新课
1.
类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不
共线的两个向量λ1a 1和λ2a 2，使a =λ1a 1+λ2a 2. 如果a 1⊥a 2时，这种分解就是平面向量的正交分解.
如果取a 1, a 2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量
则存在一对实数i , j ，
x 、y ，使得a =xi +y j ，即得到平面向量的坐标表示a =(x , y ) .
推广到空间向量，结论会如何呢？
(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个
向量λ1a 1、λ2a 2、λ3a 3，使a =λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3. 如果a 1, a 2, a 3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么
对空间任一向量p ，存在有序实数组{x , y , z }，使得p =xa +yb +zc .
把{a , b , c }叫做空间的一个基底（base ），a , b , c 都叫做基向量.
2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i , j , k ｝表示．
单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．
选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i , j , k ｝，以点O 为原点，分别以i , j , k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，
3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a 1, a 2, a 3) ，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ．
空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？
向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB ＝OB －OA ＝(x 2, y 2, z 2) －(x 1, y 1, z 1) ＝
(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) ．
4. 向量的直角坐标运算：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 ⑴a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； ⑵a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； ⑶λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R ) ； ⑷a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
证明方法：与平面向量一样，将a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k 和b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k 代入即可．
5. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 ⑴a //b ⇔a ＝λb ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3，(λ∈R ) ⇔⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0．
6. 练习：已知a ＝(2,-3,5) ，b ＝(-3,1, -4) ，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b ．解：略．
三、巩固练习 课后题 .
a 1a 2a 3
==b 1b 2b 3
；
空间向量的夹角
教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题． 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 教学过程： 一、复习引入
1. 向量的直角坐标运算法则：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 ⑴a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； ⑵a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； ⑶λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R ) ； ⑷a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k 和b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k 代入即可）
2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） 二、新课讲授
⒈ 向量的模：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，求这两个向量的模. ｜a
，｜b
｜＝向量的长度公式．
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2. 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos＜a , b ＞ ∴
a 1b +1
a 2+b
2
cos ＜a , b ＞
由此可以得出：cos ＜a , b
这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：
当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反
向；
当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．
3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
d A 、B =d A 、B 表示A 与B 两点间的距离．
3. 练习：已知A (3,3,1)、B (1，0，5) ，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点P (x , y , z ) 的坐标x 、y 、z 满足的条件．（答案： (2,3,3)
；
2
4x +6y -8z +7=0）
说明：⑴中点坐标公式：
(
x 1+x 2y 1+y 2z 1+z 2
, , ) ； 222
1
OM =(OA +OB )
2
＝
⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．
中，
4. 出示例5：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=A 1B 1，求BE 1与DF 1
4
所成的角的余弦值．
分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P 104、例6
5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．
三. 巩固练习 作业：课后题.
空间向量基本定理
教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题． 教学重点：点在已知平面内的充要条件．
教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 教学过程： 一、复习引入
1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．
2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、新课讲授
1. 定义：如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a 平行于平面α，记作a //α．
向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．
2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．
3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明． 结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD ，AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量．
4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？
5. 得出共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、
b
共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ．
证明：必要性：由已知，两个向量a 、b 不共线． ∵ 向量p 与向量a 、b 共面
∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ． 充分性：如图，∵ x a ，y b 分别与a 、b 共线， ∴ x a ，y b 都在a 、b 确定的平面内．
又∵ x a+y b 是以｜x a ｜、｜y b ｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a 、b 确定的平面内，
∴ p = x a+y b 在a 、b 确定的平面内，即向量p 与向量a 、b 共面． 说明：当p 、a 、b 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p 、a 、b 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．
6. 共面向量定理的推论是：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对
x ，y ，使得MP =xMA +yMB ，①
或对于空间任意一定点O ，有
．②O P =O M +x M +A y M
分析：⑴推论中的x 、y 是唯一的一对有序实数； ⑵由
得O P =O M +x M +A y M
：
O P =O +M (x -O ) A +(O M -，y O ∴B O M
OP =(1-x -y ) OM +xOA +yOB
③
公式①②③都是P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件． 小结：向量方法证明四点共面 三、巩固练习 课后题及书上练习题
空间向量运算
教学要求：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.
教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入
1. 复习平面向量数量积定义：
2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授
1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a , b ＞．
说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞≤π． 当＜a 、b ＞＝０时，
a 与b 同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；
当＜a 、b ＞＝π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ．
2
⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a , b ＞＝＜b , a ＞．
⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的． ②＜a , b ＞≠(a , b )
2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos＜a , b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；
⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
几何意义：已知向量AB ＝a
和轴l ，e 是l 上和l
同方向的单位向量．作点
A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影
B ′，则A ' B ' 叫做向量AB 在轴
l 上或
在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：e ．说A ' B ' ＝｜AB ｜cos ＜a , e ＞＝a ·
明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．
3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：
⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a , e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０
⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜
a ｜·｜b ｜.
特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a
⑷cos ＜a , b ＞＝
a ⋅b
a ⋅b
; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.
4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：
⑴(λa ) ·b ＝λ(a ·b ) ＝a ·(λb ) (数乘结合律) ； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律) ；
⑶a ·(b ＋c ) ＝a ·b ＋a ·c (分配律) 说明：⑴(a ·b ) c ≠a （b ·с）；
⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b ) 2＝a 2＋２a ·b ＋b 2 5. 教学例题：课本P 98例2、例3（略） 三、巩固练习
课后题
空间向量的标准正交分解与坐标表示
教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
掌握空间向量的坐标运算的规律；
会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．
教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算． 教学难点：理解空间向量基本定理． 教学过程： 一、新课引入
1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算， 2. 复习：平面向量基本定理. 二、讲授新课
1.
类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不
共线的两个向量λ1a 1和λ2a 2，使a =λ1a 1+λ2a 2. 如果a 1⊥a 2时，这种分解就是平面向量的正交分解.
如果取a 1, a 2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量
则存在一对实数i , j ，
x 、y ，使得a =xi +y j ，即得到平面向量的坐标表示a =(x , y ) .
推广到空间向量，结论会如何呢？
(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个
向量λ1a 1、λ2a 2、λ3a 3，使a =λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3. 如果a 1, a 2, a 3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么
对空间任一向量p ，存在有序实数组{x , y , z }，使得p =xa +yb +zc .
把{a , b , c }叫做空间的一个基底（base ），a , b , c 都叫做基向量.
2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i , j , k ｝表示．
单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．
选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i , j , k ｝，以点O 为原点，分别以i , j , k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，
3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a 1, a 2, a 3) ，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ．
空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？
向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB ＝OB －OA ＝(x 2, y 2, z 2) －(x 1, y 1, z 1) ＝
(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) ．
4. 向量的直角坐标运算：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 ⑴a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； ⑵a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； ⑶λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R ) ； ⑷a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
证明方法：与平面向量一样，将a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k 和b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k 代入即可．
5. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 ⑴a //b ⇔a ＝λb ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3，(λ∈R ) ⇔⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0．
6. 练习：已知a ＝(2,-3,5) ，b ＝(-3,1, -4) ，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b ．解：略．
三、巩固练习 课后题 .
a 1a 2a 3
==b 1b 2b 3
；
空间向量的夹角
教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题． 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 教学过程： 一、复习引入
1. 向量的直角坐标运算法则：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 ⑴a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； ⑵a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； ⑶λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R ) ； ⑷a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k 和b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k 代入即可）
2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） 二、新课讲授
⒈ 向量的模：设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，求这两个向量的模. ｜a
，｜b
｜＝向量的长度公式．
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2. 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos＜a , b ＞ ∴
a 1b +1
a 2+b
2
cos ＜a , b ＞
由此可以得出：cos ＜a , b
这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：
当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反
向；
当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．
3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
d A 、B =d A 、B 表示A 与B 两点间的距离．
3. 练习：已知A (3,3,1)、B (1，0，5) ，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点P (x , y , z ) 的坐标x 、y 、z 满足的条件．（答案： (2,3,3)
；
2
4x +6y -8z +7=0）
说明：⑴中点坐标公式：
(
x 1+x 2y 1+y 2z 1+z 2
, , ) ； 222
1
OM =(OA +OB )
2
＝
⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．
中，
4. 出示例5：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=A 1B 1，求BE 1与DF 1
4
所成的角的余弦值．
分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P 104、例6
5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．
三. 巩固练习 作业：课后题.