平面向量的分解与向量的坐标运算

平面向量的分解与向量的坐标运算

1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝ ( ) 11211112A.＋b B.＋b C.a ＋b 42332433

解析：如图所示，由△DEF∽△BEA知

AF＝AC＋CF＝a＋3CD

1＝a＋b－a) 3

21＝a. 33

答案：B

2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝ ( )

2152A.b B.c－b 3333

2112C.b－c

D.bc 33332

解析：如图所示，

2可知AD＝ABAC－AB) 3

221＝c＋b－c)＝＋c. 333答案：A 3．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a、b表示)．

13111解析：由AN＝3NC得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－(a＋b)＝－＋b. 24244

11答案：－a 44

4.在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且AG＝2GD，则点C的坐标是

( )

A．(－4,2) B．(－4，－2)

C．(4，－2)

D．(4,2)

8＋x－4＋y4＋x－2＋y解析：设C(x，y)，则D()，再由AG＝2GD得(0，－4)＝2()，∴4＋x＝0，－2＋y2222

＝－4，即C(－4，－2)．

答案：B

15．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2 CB，则实数a等于 2

( )

A．2 B．1

45C. D. 53

解析：设C(x，y)，

则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)，

∵AC＝2 CB，

x－7＝21－xx＝3∴，解得.∴C(3,3)． y－1＝24－yy＝3

1又∵C在直线y＝ax上， 2

1∴3＝a·3，∴a＝2. 2

答案：A

6．已知集合M＝{a|a＝(2t＋1，－2－2t)，t∈R}，N＝{b|b＝(3t－2,6t＋1)，t∈R}，则M∩N＝________.

解析：设m∈(M∩N)，则m＝(2t1＋1，－2－2t1)，

又m＝(3t2－2,6t2＋1)，

2t1＋1＝3t2－2，t1＝－2，∴解得－2－2t1＝6t2＋1， 3t2＝0. 故m＝(－2,1)，

即M∩N＝{(－2,1)}．

答案：{(－2,1)}

7.(2009·北京高考)已知向量a，那么( )

A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向

解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)．

依题意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)，

∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1，

又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．

答案：D

8．已知平面向量a＝(x,2)，b＝(－2，y)，且2a＋3b＝(－4，－8)，则向量a与向量b的关系是

( )

A．平行且方向相同 B．平行且方向相反

C．垂直 D．既不平行也不垂直

解析：由2a＋3b＝(－4，－8)得

2x－6＝－4x＝1，∴， 4＋3y＝－8y＝－4

∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，∴b＝－2a.

∴向量a与b平行且方向相反．

答案：B

9．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．

解：(1)∵a＝xb＋yc，

∴(3,2)＝x(－1,2)＋y(4,1)＝(－x＋4y,2x＋y)．

－x＋4y＝3，∴2x＋y＝2， x9解得8y＝95

(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，

且a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，

2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，

16∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－. 13

10.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C(x，y)满足OC＝αOA＋βOB，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则x，y满足的关系式为 ( )

A．3x＋2y－11＝0

B．(x－1)2＋(y－1)2＝5

C．2x－y＝0

D．x＋2y－5＝0

解析：由题意可得：(x，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)

x＝3α－β，∴y＝α＋3β， ＋y，α＝3x10 ∴3y－xβ10

∴3x＋y3y－x＝1，∴x＋2y＝5. 1010

答案：D

11．△ABC的三个内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，

则角C＝__________.

解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，

∴a2＋b2－c2＝ab.

a2＋b2－c21∴cosC∴C＝60°. 2ab2

答案：60°

AB，试问： 12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋t·(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？

(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，请说明 理由．

解：(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，

∴OA＝(1,2)，AB＝(3,3)． OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)，

则P(1＋3t,2＋3t)，

2若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－ 3

1若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－ 3

1＋3t

2所以t

(2)∵OA＝(1,2)， PB＝PO＋OB＝(3－3t,3－3t)．

若OABP是平行四边形，则OA＝PB，

3－3t＝1即，而此方程组无解， 3－3t＝2

故四边形OABP不可能是平行四边形．

平面向量的分解与向量的坐标运算

1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝ ( ) 11211112A.＋b B.＋b C.a ＋b 42332433

解析：如图所示，由△DEF∽△BEA知

AF＝AC＋CF＝a＋3CD

1＝a＋b－a) 3

21＝a. 33

答案：B

2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝ ( )

2152A.b B.c－b 3333

2112C.b－c

D.bc 33332

解析：如图所示，

2可知AD＝ABAC－AB) 3

221＝c＋b－c)＝＋c. 333答案：A 3．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a、b表示)．

13111解析：由AN＝3NC得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－(a＋b)＝－＋b. 24244

11答案：－a 44

4.在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且AG＝2GD，则点C的坐标是

( )

A．(－4,2) B．(－4，－2)

C．(4，－2)

D．(4,2)

8＋x－4＋y4＋x－2＋y解析：设C(x，y)，则D()，再由AG＝2GD得(0，－4)＝2()，∴4＋x＝0，－2＋y2222

＝－4，即C(－4，－2)．

答案：B

15．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2 CB，则实数a等于 2

( )

A．2 B．1

45C. D. 53

解析：设C(x，y)，

则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)，

∵AC＝2 CB，

x－7＝21－xx＝3∴，解得.∴C(3,3)． y－1＝24－yy＝3

1又∵C在直线y＝ax上， 2

1∴3＝a·3，∴a＝2. 2

答案：A

6．已知集合M＝{a|a＝(2t＋1，－2－2t)，t∈R}，N＝{b|b＝(3t－2,6t＋1)，t∈R}，则M∩N＝________.

解析：设m∈(M∩N)，则m＝(2t1＋1，－2－2t1)，

又m＝(3t2－2,6t2＋1)，

2t1＋1＝3t2－2，t1＝－2，∴解得－2－2t1＝6t2＋1， 3t2＝0. 故m＝(－2,1)，

即M∩N＝{(－2,1)}．

答案：{(－2,1)}

7.(2009·北京高考)已知向量a，那么( )

A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向

解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)．

依题意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)，

∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1，

又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．

答案：D

8．已知平面向量a＝(x,2)，b＝(－2，y)，且2a＋3b＝(－4，－8)，则向量a与向量b的关系是

( )

A．平行且方向相同 B．平行且方向相反

C．垂直 D．既不平行也不垂直

解析：由2a＋3b＝(－4，－8)得

2x－6＝－4x＝1，∴， 4＋3y＝－8y＝－4

∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，∴b＝－2a.

∴向量a与b平行且方向相反．

答案：B

9．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．

解：(1)∵a＝xb＋yc，

∴(3,2)＝x(－1,2)＋y(4,1)＝(－x＋4y,2x＋y)．

－x＋4y＝3，∴2x＋y＝2， x9解得8y＝95

(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，

且a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，

2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，

16∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－. 13

10.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C(x，y)满足OC＝αOA＋βOB，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则x，y满足的关系式为 ( )

A．3x＋2y－11＝0

B．(x－1)2＋(y－1)2＝5

C．2x－y＝0

D．x＋2y－5＝0

解析：由题意可得：(x，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)

x＝3α－β，∴y＝α＋3β， ＋y，α＝3x10 ∴3y－xβ10

∴3x＋y3y－x＝1，∴x＋2y＝5. 1010

答案：D

11．△ABC的三个内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，

则角C＝__________.

解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，

∴a2＋b2－c2＝ab.

a2＋b2－c21∴cosC∴C＝60°. 2ab2

答案：60°

AB，试问： 12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋t·(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？

(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，请说明 理由．

解：(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，

∴OA＝(1,2)，AB＝(3,3)． OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)，

则P(1＋3t,2＋3t)，

2若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－ 3

1若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－ 3

1＋3t

2所以t

(2)∵OA＝(1,2)， PB＝PO＋OB＝(3－3t,3－3t)．

若OABP是平行四边形，则OA＝PB，

3－3t＝1即，而此方程组无解， 3－3t＝2

故四边形OABP不可能是平行四边形．