一元函数积分学
【知识要点】
1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。
6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质
8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
11、. 理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
1不定积分
定义 函数f (x ) 的全体原函数称为函数f (x ) 的不定积分，记作
⎰f (x ) dx ，并称⎰
微积分
号，函数f (x ) 为被积函数，f (x ) dx 为被积表达式，x 为积分变量。因此
⎰f (x ) dx =F (x ) +C ，
其中F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。 基本积分公式（要求熟练记忆） （1）0dx =C （2）x dx =（3）
⎰
⎰
a
1a +1
x +C (a ≠-1) . a +1
1
⎰x dx =ln x +C .
1x x
a +C (a >0, a ≠1) （4）⎰a dx =
ln a
x x
（5）e dx =e +C
⎰
（6）sin xdx =-cos x +C （7）cos xdx =sin x +C
⎰
⎰
1
⎰cos 2x dx =tan x +C .
1
=-cot x +C . （9）⎰sin 2x
（8）（10）
⎰
1-x
2
=arcsin x +C .
（11）
1
⎰1+x 2dx =arctan x +C .
正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如x dx = α1α+1 d = +c α≠ α+1
341
sin x d sin x =sin x +c .
4
⎰
a
1a +1
x +C 理解为下面的结构式： a +1
⎰
(-1).
⎰
式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如：
正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。
2直接积分法
直接积分法是指用代数或三角恒等变形，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。
3换元积分法
换元积分法就是对不定积分
令x =ϕ(u ) ，或令u =ϕ(x ) ，⎰f (x ) dx 作适当的变量代换：
把被积表达式变换成对新变量u 的函数，而对u 积分时是可利用基本积分公式的类型。这就
是换元积分法。
换元积分法的依据就是基本积分公式中的x 可以换成任意连续可导函数时，公式依然成立。例如：如：
1
⎰1+u 2(x ) (x ) =arctan u (x ) +C .
当用任意连续可导函数来替换u (x ) 时，公式仍然成立，如u =sin(x ) ，u =ln x ，
u =sin x ，u =ln(sinx ) ，等等，公式均成立：
1
sin x )]+C . ⎰1+[ln(sinx )]2d [ln(sinx )]=arctan[ln(
换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。
1、 第一类换元积分法
第一类换元积分法又称凑微分法，这种积分方法是：求积分
⎰f [ϕ(x ) ]ϕ(x ) dx 时，若
'
ϕ(x ) 是x 的可导函数，用一个新的变量u 来代换ϕ(x ) ，并用du 代换ϕ' (x ) dx ，此时积分
⎰f [ϕ(x )]ϕ' (x ) dx 变成了⎰f (u ) du ，而它用可以直接用公式积分得到F (u ) +C ，最后将u
换成ϕ(x ) 即可。 2、第二类换元积分法
第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，所给的积分
⎰f (x ) dx 不能直接套公
式计算，而是要将积分变量x 用一个函数ϕ(t ) 代替（要求x =ϕ(t ) 严格单调、可导），且
ϕ' (t ) ≠0，并将dx 用ϕ' (t ) dt 代替，使积分变成⎰f [ϕ(t )]ϕ' (t ) dt ，这个积分可以套公式积
出为F (t ) +C ，最后将t 用ϕ-1(x ) 作反还原。
4分部积分法
分部积分法也是一种重要的方法，它是由函数之积的微分公式推导出来的。 分部积分公式
设u (x ), v (x ) 均可导，则d (uv ) =vdu +udv ， 两边对x 积分得 uv =v d u +u d v 。 移项得分部积分公式如下：
⎰⎰
⎰udv =uv -⎰vdu 或 ⎰vdu =uv -⎰udv 。
说明：在用分部积分法进行积分时，应努力使积分中右端的积分比左端的积分容易，因此应用分部积分法时，恰当选择u 和dv （或v 和du ）是解题的关键。如果选取不当，得到的积分会比原积分更不易求出。对u 和dv 的选择，应当考虑两点： （1）v 要容易求得。
（2）要使vdu 较所给积分udv 容易计算。
⎰⎰
5 定积分
定积分
⎰
b
a
f (x ) dx 的几何意义是：它是介于x 轴、曲线y =f (x ) 、直线x =a 、x =b 之间
各部分面积的代数和；在x 上方的面积取正号，在x 下方的面积取负号。 对于定积分的定义，我们还应明确以下几点：
（1）定积分的值是一个常数，它知与被积函数f (x ) 及积分区间[a , b ]有关，而与积分变量的字母无关，则应有
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (t ) dt 。
a
b
（2）在定积分的定义中，我们假定a ⎰
a
b
f (x ) dx =-⎰f (x ) dx
a
b
⎰
a
a
f (x ) dx =0
6定积分的计算
1、变上限积分
定义 积分上限x 为变量时的定积分函数，记为Φ(x ) ，于是有Φ(x ) =
⎰
x a
x a
f (t ) dt 称为变上限积分。变上限积分一般是上限x 的
⎰
f (t ) dt ，且有下列定理。
定理（对积分上限的导数） 如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则函数
Φ(x ) =⎰f (t ) dt (a ≤x ≤b )
a
x
对积分上限x 的导数等于f (x ) ，即Φ'(x ) =设a (x ), b (x ) 是x 的可导函数，记φ(x ) 则此定理可以推广为
[⎰
⎰
x
a
f (t ) dt =f (x ) 。
b (x ) a (x )
]
'
=f (t ) dt ，
(x ) ' ' '
φ' (x ) =[⎰b a (x ) f (t ) dt ]=f [b (x )]b (x ) -f [a (x )]a (x ) 。
2、牛顿—莱布尼茨公式
定理（牛顿—莱布尼茨公式） 如果F (x ) 是连续函数f (x ) 在区间[a , b ]上的任意一个原函数，则有
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a ) 。
7 定积分的应用
定积分的应用主要有：平面图形面积的计算以及旋转体体积的计算。
计算平面图形的面积
如果某平面图形是由两条连续曲线
y 1=g (x ), y 2=f (x ) 及两条直线x 1=a 和x 2=b 所
围成的（其中y 1是下面的曲线，y 2是上面的曲线），则其面积可由下式求出：
S =⎰[f (x ) -g (x )]dx .
a
b
如果平面图形是由两条连续曲线
x 1=ϕ(y ), x 2=ψ(y ) 及两条直线y 1=c 和y 2=d 所围
成的（其中x 1是左边的曲线，x 2是右边的曲线），则其面积可由下式求出：
x
S =⎰[ψ(y ) -ϕ(y )]dy .
c
d
计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线y =f (x )(f (x ) ≥0) 和直线
x =a , x =b (a
成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V 可由下式求出：
V x =⎰πf (x ) dx =π⎰f 2(x ) dx .
a
a
b
2
b
同理，若立体是由连续曲线x =ϕ(y ) (ϕ(y ) ≥0) 和直线
y =c , y =d (c
所成的旋转体，如图所示，则该旋转体的体积V y 可由下式求出：
) V y =⎰πϕ2(y ) dy =π⎰ϕ2(y ) dy .
c
c
d d
图5.16
【历年试题选编】
选择题
1、（0806）(cosx +1) dx =（ ）
⎰
A . sin x +x +C B . -sin x +x +C C . c o s x +x +C D . -cos xx +x +C 答案：A 。
分析： 利用不定积分性质和公式即得。 2、（0907）若
⎰
f (x ) e x dx =e x +C ，则f (x ) =（ ）
2
22
A . 2x B . x 2 C . e x D . 1
答案：A . 利用不定积分性质即得。
1
⎰4
=（ ） 3、（1005）4、（0807）
⎰x dx =（ ）
-15
1
5
A . -2 B . -1 C . 0 D .1 答案：C .
分析：因为x 为奇函数。
d 11
5、（0906）=（ ）
dx ⎰0+x 2A .
dx +x 2
B .
1+x 2
C .
π
D . 0 4
答案：D .
分析：因为定积分的值是一个常数。 6、（1007）已知F (x ) =
⎰
x
+t 2dt ，则F ' (x ) =（ ）
A . 2x +x 2 B . +x 2+1 C +x 2 D . +x 2-1
答案：C .
填空题
7、（0817）
3
d x 3
(t +t ) dt =_______. ⎰0dx
答案：x +x 。
8、（0918）e dx =_________。
⎰
x 3
π
9、（1018）
2
e sin x cos xdx =_________
10、（1017）
答案：-e
-x
1
⎰e x =__________。
+C 。
计算题
11、（0823）计算sin 5xdx 。
⎰
dx . 12、（0923）计算⎰
13、（1023）计算xe dx .
⎰
x 2
x
14、（0827）（1）求曲线y =e 及直线x =1, x =0, y =0所围成的图形D 所示的面积S ；
（2）求平面图形D 绕
轴转一周所形成旋转体的体积V 。 15、（0927）（1）求在区间[0, π]上的曲线y =sin x 与x 轴所围成图形的面积S ； （2）求（1）中的平面图形绕
轴旋转一周所得旋转体的体积V 。
一元函数积分学
【知识要点】
1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。
6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质
8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
11、. 理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
1不定积分
定义 函数f (x ) 的全体原函数称为函数f (x ) 的不定积分，记作
⎰f (x ) dx ，并称⎰
微积分
号，函数f (x ) 为被积函数，f (x ) dx 为被积表达式，x 为积分变量。因此
⎰f (x ) dx =F (x ) +C ，
其中F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。 基本积分公式（要求熟练记忆） （1）0dx =C （2）x dx =（3）
⎰
⎰
a
1a +1
x +C (a ≠-1) . a +1
1
⎰x dx =ln x +C .
1x x
a +C (a >0, a ≠1) （4）⎰a dx =
ln a
x x
（5）e dx =e +C
⎰
（6）sin xdx =-cos x +C （7）cos xdx =sin x +C
⎰
⎰
1
⎰cos 2x dx =tan x +C .
1
=-cot x +C . （9）⎰sin 2x
（8）（10）
⎰
1-x
2
=arcsin x +C .
（11）
1
⎰1+x 2dx =arctan x +C .
正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如x dx = α1α+1 d = +c α≠ α+1
341
sin x d sin x =sin x +c .
4
⎰
a
1a +1
x +C 理解为下面的结构式： a +1
⎰
(-1).
⎰
式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如：
正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。
2直接积分法
直接积分法是指用代数或三角恒等变形，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。
3换元积分法
换元积分法就是对不定积分
令x =ϕ(u ) ，或令u =ϕ(x ) ，⎰f (x ) dx 作适当的变量代换：
把被积表达式变换成对新变量u 的函数，而对u 积分时是可利用基本积分公式的类型。这就
是换元积分法。
换元积分法的依据就是基本积分公式中的x 可以换成任意连续可导函数时，公式依然成立。例如：如：
1
⎰1+u 2(x ) (x ) =arctan u (x ) +C .
当用任意连续可导函数来替换u (x ) 时，公式仍然成立，如u =sin(x ) ，u =ln x ，
u =sin x ，u =ln(sinx ) ，等等，公式均成立：
1
sin x )]+C . ⎰1+[ln(sinx )]2d [ln(sinx )]=arctan[ln(
换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。
1、 第一类换元积分法
第一类换元积分法又称凑微分法，这种积分方法是：求积分
⎰f [ϕ(x ) ]ϕ(x ) dx 时，若
'
ϕ(x ) 是x 的可导函数，用一个新的变量u 来代换ϕ(x ) ，并用du 代换ϕ' (x ) dx ，此时积分
⎰f [ϕ(x )]ϕ' (x ) dx 变成了⎰f (u ) du ，而它用可以直接用公式积分得到F (u ) +C ，最后将u
换成ϕ(x ) 即可。 2、第二类换元积分法
第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，所给的积分
⎰f (x ) dx 不能直接套公
式计算，而是要将积分变量x 用一个函数ϕ(t ) 代替（要求x =ϕ(t ) 严格单调、可导），且
ϕ' (t ) ≠0，并将dx 用ϕ' (t ) dt 代替，使积分变成⎰f [ϕ(t )]ϕ' (t ) dt ，这个积分可以套公式积
出为F (t ) +C ，最后将t 用ϕ-1(x ) 作反还原。
4分部积分法
分部积分法也是一种重要的方法，它是由函数之积的微分公式推导出来的。 分部积分公式
设u (x ), v (x ) 均可导，则d (uv ) =vdu +udv ， 两边对x 积分得 uv =v d u +u d v 。 移项得分部积分公式如下：
⎰⎰
⎰udv =uv -⎰vdu 或 ⎰vdu =uv -⎰udv 。
说明：在用分部积分法进行积分时，应努力使积分中右端的积分比左端的积分容易，因此应用分部积分法时，恰当选择u 和dv （或v 和du ）是解题的关键。如果选取不当，得到的积分会比原积分更不易求出。对u 和dv 的选择，应当考虑两点： （1）v 要容易求得。
（2）要使vdu 较所给积分udv 容易计算。
⎰⎰
5 定积分
定积分
⎰
b
a
f (x ) dx 的几何意义是：它是介于x 轴、曲线y =f (x ) 、直线x =a 、x =b 之间
各部分面积的代数和；在x 上方的面积取正号，在x 下方的面积取负号。 对于定积分的定义，我们还应明确以下几点：
（1）定积分的值是一个常数，它知与被积函数f (x ) 及积分区间[a , b ]有关，而与积分变量的字母无关，则应有
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (t ) dt 。
a
b
（2）在定积分的定义中，我们假定a ⎰
a
b
f (x ) dx =-⎰f (x ) dx
a
b
⎰
a
a
f (x ) dx =0
6定积分的计算
1、变上限积分
定义 积分上限x 为变量时的定积分函数，记为Φ(x ) ，于是有Φ(x ) =
⎰
x a
x a
f (t ) dt 称为变上限积分。变上限积分一般是上限x 的
⎰
f (t ) dt ，且有下列定理。
定理（对积分上限的导数） 如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则函数
Φ(x ) =⎰f (t ) dt (a ≤x ≤b )
a
x
对积分上限x 的导数等于f (x ) ，即Φ'(x ) =设a (x ), b (x ) 是x 的可导函数，记φ(x ) 则此定理可以推广为
[⎰
⎰
x
a
f (t ) dt =f (x ) 。
b (x ) a (x )
]
'
=f (t ) dt ，
(x ) ' ' '
φ' (x ) =[⎰b a (x ) f (t ) dt ]=f [b (x )]b (x ) -f [a (x )]a (x ) 。
2、牛顿—莱布尼茨公式
定理（牛顿—莱布尼茨公式） 如果F (x ) 是连续函数f (x ) 在区间[a , b ]上的任意一个原函数，则有
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a ) 。
7 定积分的应用
定积分的应用主要有：平面图形面积的计算以及旋转体体积的计算。
计算平面图形的面积
如果某平面图形是由两条连续曲线
y 1=g (x ), y 2=f (x ) 及两条直线x 1=a 和x 2=b 所
围成的（其中y 1是下面的曲线，y 2是上面的曲线），则其面积可由下式求出：
S =⎰[f (x ) -g (x )]dx .
a
b
如果平面图形是由两条连续曲线
x 1=ϕ(y ), x 2=ψ(y ) 及两条直线y 1=c 和y 2=d 所围
成的（其中x 1是左边的曲线，x 2是右边的曲线），则其面积可由下式求出：
x
S =⎰[ψ(y ) -ϕ(y )]dy .
c
d
计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线y =f (x )(f (x ) ≥0) 和直线
x =a , x =b (a
成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V 可由下式求出：
V x =⎰πf (x ) dx =π⎰f 2(x ) dx .
a
a
b
2
b
同理，若立体是由连续曲线x =ϕ(y ) (ϕ(y ) ≥0) 和直线
y =c , y =d (c
所成的旋转体，如图所示，则该旋转体的体积V y 可由下式求出：
) V y =⎰πϕ2(y ) dy =π⎰ϕ2(y ) dy .
c
c
d d
图5.16
【历年试题选编】
选择题
1、（0806）(cosx +1) dx =（ ）
⎰
A . sin x +x +C B . -sin x +x +C C . c o s x +x +C D . -cos xx +x +C 答案：A 。
分析： 利用不定积分性质和公式即得。 2、（0907）若
⎰
f (x ) e x dx =e x +C ，则f (x ) =（ ）
2
22
A . 2x B . x 2 C . e x D . 1
答案：A . 利用不定积分性质即得。
1
⎰4
=（ ） 3、（1005）4、（0807）
⎰x dx =（ ）
-15
1
5
A . -2 B . -1 C . 0 D .1 答案：C .
分析：因为x 为奇函数。
d 11
5、（0906）=（ ）
dx ⎰0+x 2A .
dx +x 2
B .
1+x 2
C .
π
D . 0 4
答案：D .
分析：因为定积分的值是一个常数。 6、（1007）已知F (x ) =
⎰
x
+t 2dt ，则F ' (x ) =（ ）
A . 2x +x 2 B . +x 2+1 C +x 2 D . +x 2-1
答案：C .
填空题
7、（0817）
3
d x 3
(t +t ) dt =_______. ⎰0dx
答案：x +x 。
8、（0918）e dx =_________。
⎰
x 3
π
9、（1018）
2
e sin x cos xdx =_________
10、（1017）
答案：-e
-x
1
⎰e x =__________。
+C 。
计算题
11、（0823）计算sin 5xdx 。
⎰
dx . 12、（0923）计算⎰
13、（1023）计算xe dx .
⎰
x 2
x
14、（0827）（1）求曲线y =e 及直线x =1, x =0, y =0所围成的图形D 所示的面积S ；
（2）求平面图形D 绕
轴转一周所形成旋转体的体积V 。 15、（0927）（1）求在区间[0, π]上的曲线y =sin x 与x 轴所围成图形的面积S ； （2）求（1）中的平面图形绕
轴旋转一周所得旋转体的体积V 。