一、齐次线性方程组解的存在性
第二节 齐次线性方程组
齐次线性方程组解的存在性 齐次线性方程组解的结构
Am×n x = o 必有零解 x1 = x2 =
有无非零解？
xn = 0
方程组用向量形式表示 x1α1 + x2α 2 + + xnα n = o 显然，有非零解
⇔ α1 , α 2 ,
α n 线性相关
αn )
⇔ R ( A) = R (α1 , α 2 ,
定理（P89） 齐次线性方程组
二、齐次线性方程组解的结构
性质1（P90）若 ξ1 , ξ 2 是
Am×n x = o 有非零解 ⇔ R ( A)
只有零解 ⇔ R( A) = n 推论：当 A 为方阵时
Ax = o 的两个解，
则 ξ1 + ξ 2 也是它的解. 性质2（P90）若 ξ 是
Ax = o 的一个解，
An×n x = o 有非零解 ⇔ A = 0
只有零解 ⇔ A ≠ 0 例1
⎛ 1 0 1⎞ ⎜ ⎟ 已知 A = ⎜ 2 1 3 ⎟，且 Ax = o有非零解，则 t = 4 ⎜1 3 t ⎟ ⎝ ⎠
则 kξ ( k ∈ R ) 也是它的解. 由性质1和性质2可知： 齐次线性方程组 Ax = o 解的线性组合仍是它的解. 即 若
ξ1 , ξ 2 , , ξ n 都是 Ax = o 的解，
则 k1ξ1 + k2ξ 2 +
+ knξ n 也是它的解.
由此可知，若齐次线性方程组有非零解必有 无穷多非零解；如何表示出所有非零解呢？ 若将齐次线性方程组的每个解看成向量（解向量）， 则所有解就是一个 n 维向量组； 若找出其最大线性无关组，即可用其线性组 若找出其最大线性无关组 即可用其线性组 合来表示齐次线性方程组所有的解； 此最大线性无关组在线性方程组的理论中称 为基础解系。
定义（P91）设 ξ1 , ξ 2 ,
, ξ s 是齐次线性方程组
Ax = o 的解，且满足：
(1) ξ1 , ξ 2 ,
, ξ s 线性无关； ,ξs
(2) ( ) Ax = o 的任 的任一解 解 x 都可由 ξ1 , ξ 2 , 线性表示；即 x = k1ξ1 + k 2ξ 2 + 则称 ξ1 , ξ 2 ,
+ k nξ n
, ξ s 为 Ax = o 的一个基础解系；
+ knξ n 为 Ax = o 的通解公式.
x = k1ξ1 + k 2ξ 2 +
1
定理（P91）若n元齐次线性方程组 Ax = o 的系数矩阵的秩 R ( A) = r
例1 求齐次线性方程组
注 ( (1) )基础解系不唯一，但所含向量个数确定 任意 n − r 个线性无关的解向量都是其基础解系； (2) 若 R ( A) = n, 方程组只有零解，没有基础解系.
⎧ x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 0 ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 ⎪ x − x − 4 x − 3x = 0 3 4 ⎩ 1 2
的基础解系和通解. 注意书写格式
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解；
⎛1 2 2 1 ⎞ ⎛1 2 2 1 ⎞ ⎟ r2 − 2r1 ⎜ ⎟ 解 A= ⎜ 2 1 − 2 − 2 ⎟ r − r ⎜ 0 − 3 − 6 − 4⎟ ⎜ ⎜ 1 − 1 − 4 − 3⎟ 3 1 ⎜ 0 − 3 − 6 − 4⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 5⎞ ⎛ ⎜1 0 − 2 − ⎟ r ⎛ 1 2 2 1⎞ 3− r 2 3⎟ ⎜ 4⎟ r1 − 2r2 ⎜ ⎜0 1 2 4 ⎟ ⎜0 1 2 ⎟ 1 3⎟ − r ⎜ ⎜ 2 3⎟ 3 ⎝ 0 0 0 0⎠ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 行最简形矩阵 ⎠ ∵ R
( A) = 2
5⎞ ⎛ ⎜1 0 − 2 − ⎟ 3⎟ ⎜ ⎜0 1 2 4 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 行最简形矩阵
故基础解系为：
⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ 4 ⎜ − 2⎟ ∴ ξ1 = ⎜ ⎟,ξ2 = ⎜ − ⎟. ⎜ 3⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠
同解方程组为：
5 ⎧ ⎪ x1 = 2x3 + 3 x4 ⎪ ⎪x = −2x − 4 x 3 4 ⎨2 3 ⎪ x = x 3 ⎪ 3 ⎪ ⎩x4 = x4
左边未知量补齐 右边未知量对齐
通解为：
⎛ 5⎞ ⎛2⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎜ − 2⎟ x = k1⎜ ⎟ + k2 ⎜ − ⎟. ⎜ 3⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
(k1 , k 2 ∈ R)
例2（练习） 求齐次线性方程组
⎧ x1 + 2 x2 − 3 x3 − x4 = 0 ⎪2 x + 3 x + x + 3 x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ − − + − x x x x4 = 0 2 4 5 2 3 ⎪ 1 ⎪ ⎩2 x1 + 3 x2 + 2 x3 − 3 x4 = 0
的基础解系和通解.
2 − 3 − 1⎤ ⎡1 r4 − r2 ⎢2 3 1 3⎥ ⎥ r2 − 2r1 解 A=⎢ ⎢− 1 − 2 4 − 5⎥ r3 + r1 ⎢ ⎥ 3 2 − 3⎦ ⎣2
⎡1 2 − 3 − 1⎤ ⎢0 − 1 7 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 − 6⎥ ⎢ ⎥ 1 − 6⎦ ⎣0 0
r4 − r3 ⎡1
⎢
r1 + 3r3 ⎢0
⎢ ⎣0
r2 − 7 r3 ⎢0 − 1 0
2
0 0
0 − 19⎤ r1 + 2r2 47 ⎥ ⎥ r2 × (−1) 1 −6 ⎥ ⎥ 0 0 ⎦
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 75 ⎤ 0 − 47 ⎥ ⎥ 1 −6 ⎥ ⎥ 0 0 ⎦
∵ R( A) = 3
2
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
⎧x1 = −75x4 0 0 75 ⎤ ⎪ ⎥ 1 0 − 47⎥ 同解方程 ⎪x2 = 47x4 ⎨ 0 1 − 6 ⎥ 组为： ⎪x3 = 6x4 ⎥ 0 0 0 ⎦ ⎪ ⎩ x4 = x 4
⎛ − 75⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 47 ⎟ ∴ ξ1 = ⎜ 6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝
例3 设A = ⎜ ⎜
⎛ 1 − 2 2 3⎞ ⎟ ⎟，求一个 4 × 2的矩阵B， ⎝ 2 − 5 9 8⎠
⇒ B的列向量是 Ax = O的解向量
使AB = O，且R( B ) = 2.
解
故基础解系为： 通解为：
⎛ − 75⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 47 ⎟ x = k1⎜ . 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠
⎛1 − 2 A= ⎜ ⎜2 − 5 ⎝ ⎛1 0 →⎜ ⎜0 1 ⎝
2 3⎞ ⎛1 − 2 2 3 ⎞ ⎟ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 9 8⎟ ⎠ ⎝0 1 − 5 − 2⎠ − 8 −1⎞ ⎟ − 5 − 2⎟ ⎠
(k1 ∈ R )
⎧ x1 = 8 x3 + x4 ⎪ ⎪ x = 5 x 3 + 2 x4 于是 ⎨ 2 ⎪ x 3 = x3 ⎪x = x4 ⎩ 4
因 R ( A) = 2
所以基础解系为
小结
齐次线性方程组 Ax = 0
R( A) = n ⇔ Ax = 0只有零解 ;
R( A)
且基础解系含有 n − r 个解向量.
3
一、齐次线性方程组解的存在性
第二节 齐次线性方程组
齐次线性方程组解的存在性 齐次线性方程组解的结构
Am×n x = o 必有零解 x1 = x2 =
有无非零解？
xn = 0
方程组用向量形式表示 x1α1 + x2α 2 + + xnα n = o 显然，有非零解
⇔ α1 , α 2 ,
α n 线性相关
αn )
⇔ R ( A) = R (α1 , α 2 ,
定理（P89） 齐次线性方程组
二、齐次线性方程组解的结构
性质1（P90）若 ξ1 , ξ 2 是
Am×n x = o 有非零解 ⇔ R ( A)
只有零解 ⇔ R( A) = n 推论：当 A 为方阵时
Ax = o 的两个解，
则 ξ1 + ξ 2 也是它的解. 性质2（P90）若 ξ 是
Ax = o 的一个解，
An×n x = o 有非零解 ⇔ A = 0
只有零解 ⇔ A ≠ 0 例1
⎛ 1 0 1⎞ ⎜ ⎟ 已知 A = ⎜ 2 1 3 ⎟，且 Ax = o有非零解，则 t = 4 ⎜1 3 t ⎟ ⎝ ⎠
则 kξ ( k ∈ R ) 也是它的解. 由性质1和性质2可知： 齐次线性方程组 Ax = o 解的线性组合仍是它的解. 即 若
ξ1 , ξ 2 , , ξ n 都是 Ax = o 的解，
则 k1ξ1 + k2ξ 2 +
+ knξ n 也是它的解.
由此可知，若齐次线性方程组有非零解必有 无穷多非零解；如何表示出所有非零解呢？ 若将齐次线性方程组的每个解看成向量（解向量）， 则所有解就是一个 n 维向量组； 若找出其最大线性无关组，即可用其线性组 若找出其最大线性无关组 即可用其线性组 合来表示齐次线性方程组所有的解； 此最大线性无关组在线性方程组的理论中称 为基础解系。
定义（P91）设 ξ1 , ξ 2 ,
, ξ s 是齐次线性方程组
Ax = o 的解，且满足：
(1) ξ1 , ξ 2 ,
, ξ s 线性无关； ,ξs
(2) ( ) Ax = o 的任 的任一解 解 x 都可由 ξ1 , ξ 2 , 线性表示；即 x = k1ξ1 + k 2ξ 2 + 则称 ξ1 , ξ 2 ,
+ k nξ n
, ξ s 为 Ax = o 的一个基础解系；
+ knξ n 为 Ax = o 的通解公式.
x = k1ξ1 + k 2ξ 2 +
1
定理（P91）若n元齐次线性方程组 Ax = o 的系数矩阵的秩 R ( A) = r
例1 求齐次线性方程组
注 ( (1) )基础解系不唯一，但所含向量个数确定 任意 n − r 个线性无关的解向量都是其基础解系； (2) 若 R ( A) = n, 方程组只有零解，没有基础解系.
⎧ x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 0 ⎪ ⎨ 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 ⎪ x − x − 4 x − 3x = 0 3 4 ⎩ 1 2
的基础解系和通解. 注意书写格式
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解；
⎛1 2 2 1 ⎞ ⎛1 2 2 1 ⎞ ⎟ r2 − 2r1 ⎜ ⎟ 解 A= ⎜ 2 1 − 2 − 2 ⎟ r − r ⎜ 0 − 3 − 6 − 4⎟ ⎜ ⎜ 1 − 1 − 4 − 3⎟ 3 1 ⎜ 0 − 3 − 6 − 4⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 5⎞ ⎛ ⎜1 0 − 2 − ⎟ r ⎛ 1 2 2 1⎞ 3− r 2 3⎟ ⎜ 4⎟ r1 − 2r2 ⎜ ⎜0 1 2 4 ⎟ ⎜0 1 2 ⎟ 1 3⎟ − r ⎜ ⎜ 2 3⎟ 3 ⎝ 0 0 0 0⎠ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 行最简形矩阵 ⎠ ∵ R
( A) = 2
5⎞ ⎛ ⎜1 0 − 2 − ⎟ 3⎟ ⎜ ⎜0 1 2 4 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 行最简形矩阵
故基础解系为：
⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ 4 ⎜ − 2⎟ ∴ ξ1 = ⎜ ⎟,ξ2 = ⎜ − ⎟. ⎜ 3⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠
同解方程组为：
5 ⎧ ⎪ x1 = 2x3 + 3 x4 ⎪ ⎪x = −2x − 4 x 3 4 ⎨2 3 ⎪ x = x 3 ⎪ 3 ⎪ ⎩x4 = x4
左边未知量补齐 右边未知量对齐
通解为：
⎛ 5⎞ ⎛2⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎜ − 2⎟ x = k1⎜ ⎟ + k2 ⎜ − ⎟. ⎜ 3⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
(k1 , k 2 ∈ R)
例2（练习） 求齐次线性方程组
⎧ x1 + 2 x2 − 3 x3 − x4 = 0 ⎪2 x + 3 x + x + 3 x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ − − + − x x x x4 = 0 2 4 5 2 3 ⎪ 1 ⎪ ⎩2 x1 + 3 x2 + 2 x3 − 3 x4 = 0
的基础解系和通解.
2 − 3 − 1⎤ ⎡1 r4 − r2 ⎢2 3 1 3⎥ ⎥ r2 − 2r1 解 A=⎢ ⎢− 1 − 2 4 − 5⎥ r3 + r1 ⎢ ⎥ 3 2 − 3⎦ ⎣2
⎡1 2 − 3 − 1⎤ ⎢0 − 1 7 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 − 6⎥ ⎢ ⎥ 1 − 6⎦ ⎣0 0
r4 − r3 ⎡1
⎢
r1 + 3r3 ⎢0
⎢ ⎣0
r2 − 7 r3 ⎢0 − 1 0
2
0 0
0 − 19⎤ r1 + 2r2 47 ⎥ ⎥ r2 × (−1) 1 −6 ⎥ ⎥ 0 0 ⎦
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 75 ⎤ 0 − 47 ⎥ ⎥ 1 −6 ⎥ ⎥ 0 0 ⎦
∵ R( A) = 3
2
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
⎧x1 = −75x4 0 0 75 ⎤ ⎪ ⎥ 1 0 − 47⎥ 同解方程 ⎪x2 = 47x4 ⎨ 0 1 − 6 ⎥ 组为： ⎪x3 = 6x4 ⎥ 0 0 0 ⎦ ⎪ ⎩ x4 = x 4
⎛ − 75⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 47 ⎟ ∴ ξ1 = ⎜ 6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝
例3 设A = ⎜ ⎜
⎛ 1 − 2 2 3⎞ ⎟ ⎟，求一个 4 × 2的矩阵B， ⎝ 2 − 5 9 8⎠
⇒ B的列向量是 Ax = O的解向量
使AB = O，且R( B ) = 2.
解
故基础解系为： 通解为：
⎛ − 75⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 47 ⎟ x = k1⎜ . 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠
⎛1 − 2 A= ⎜ ⎜2 − 5 ⎝ ⎛1 0 →⎜ ⎜0 1 ⎝
2 3⎞ ⎛1 − 2 2 3 ⎞ ⎟ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 9 8⎟ ⎠ ⎝0 1 − 5 − 2⎠ − 8 −1⎞ ⎟ − 5 − 2⎟ ⎠
(k1 ∈ R )
⎧ x1 = 8 x3 + x4 ⎪ ⎪ x = 5 x 3 + 2 x4 于是 ⎨ 2 ⎪ x 3 = x3 ⎪x = x4 ⎩ 4
因 R ( A) = 2
所以基础解系为
小结
齐次线性方程组 Ax = 0
R( A) = n ⇔ Ax = 0只有零解 ;
R( A)
且基础解系含有 n − r 个解向量.
3