人大(王燕)时间序列课后习题答案)

第二章P34 1、（1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。（2）样本自相关系数：

n -k

ˆk = ρ

γ(k ) γ(0)

∑(x

≅

t =1

t n

-)(x t +k -)

∑(x

t =1

∑n

x t =

120

(1+2+ +20) =10. 5

t =1

γ(0) =

[1**********]7

∑(x

t =119

-) =35

γ(1) =

∑(x

t =118

-)(x t +1-) =29.75

γ(2) =

∑(x

t =117

-)(x t +2-) =25.9167

γ(3) =

∑(x

t =1

-)(x t +3-) =21.75

γ(4)=17.25 γ(5)=12.4167 γ(6)=7.25 ρ1=0.85（0.85） ρ2=0.7405（0.702） ρ3=0.6214（0.556） ρ4=0.4929（0.415） ρ5=0.3548（0.280） ρ6=0.2071（0.153）注：括号内的结果为近似公式所计算。（3）样本自相关图： Autocorrelation . |*******| . |***** | . |**** | . |*** | . |**. | . |* . | . | . | . *| . | . *| . |

Partial Correlation . |*******| . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . |

AC PAC

Prob 1 0.850 0.850 16.732 0.000 2 0.702 -0.0728.761 0.000

6 3 0.556 -0.0736.762 0.000

6 4 0.415 -0.0741.500 0.000 7

5 0.280 -0.0743.800 0.000

6 0.153 -0.0744.533 0.000 8

7 0.034 -0.0744.572 0.000

8 -0.07-0.0744.771 0.000

9 -0.17-0.0745.921 0.000

.**| . | .**| . | ***| . |

0 5

. *| . | 10 -0.25-0.0748.713 0.000

. *| . | 11 -0.31-0.0653.693 0.000 9 7

. *| . | 12 -0.37-0.0661.220 0.000

0 0

该图的自相关系数衰减为0的速度缓慢，可认为非平稳。

ˆk 2⎫⎛ρ

⎪4、LB =n (n +2) ∑ n -k ⎪

k =1⎝⎭

LB(6)=1.6747 LB(12)=4.9895 χ02. 05(6)=12.59 χ02. 05(12)=21.0

显然，LB 统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。

第三章P100

1、解：E (x t ) =0. 7*E (x t -1) +E (εt )

(1-0. 7) E (x t ) =0 E (x t ) =0 (1-0. 7B ）x t =εt

-122

x t =(1-0. 7B ) εt =(1+0. 7B +0. 7B + ) εt

Var (x t ) =

11-0. 49

σε=1. 9608σε

ρ2=φ1ρ0=0. 49 φ22=0

2、解：对于AR （2）模型：

⎧ρ1=φ1ρ0+φ2ρ-1=φ1+φ2ρ1=0. 5

⎨

ρ=φρ+φρ=φρ+φ=0. 31120112⎩2

⎧φ1=7/15解得：⎨

φ=1/15⎩2

3、解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E (x t ) =0 原模型可变为：x t =0. 8x t -1-0. 15x t -2+εt

Var (x t ) =

1-φ2

(1+φ2)(1-φ1-φ2)(1+φ1-φ2)

(1+0. 15)

(1-0. 15)(1-0. 8+0. 15)(1+0. 8+0. 15)

σ=1.9823σ

⎧ρ1=φ1/(1-φ2) =0. 6957⎧φ11=ρ1=0. 6957⎪⎪ρ=φρ+φρ=0. 4066 ⎨2⎨φ22=φ2=-0. 15 1120

⎪ρ=φρ+φρ=0. 2209⎪φ33=01221⎩3⎩

4、解：原模型可变形为： (1-B -cB ) x t =εt

由其平稳域判别条件知：当|φ2|

1⎧

⎪

=⎨1/(1-c ) ⎪ρ

⎩k -1+c ρk -2

k =0k =1 k ≥2

ρk

5、证明：已知原模型可变形为： (1-B -cB

+cB ) x t =εt

其特征方程为：λ3-λ2-c λ+c =(λ-1)(λ2+λ-c ) =0 不论c 取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。

6、解：（1）错，γ

=Var (x t ) =σε/(1-θ1) 。

（2）错，E [(x t -μ)(x t -1-μ)]=γ1=ρ1γ=θ1σε/(1-θ1) 。

ˆT (l ) = （3）错，x θ1x T 。

（4）错，e T (l ) =εT +l +G 1εT +l -1+G 2εT +l -2+ +G l -1εT +1 =

εT +l +θ1εT +l -1+θ1εT +l -2+ +θ1εT +1

1[1-θ1]1-θ1

22l

2l -1

ˆT (l )]=lim Var [e T (l )]=lim （5）错，lim Var [x T +l -x

l →∞

σε=

11-θ1

σε。

7、解：ρ1=

-θ11+θ

⇒θ1=

-1+

-4ρ12ρ1

=-1

MA(1)模型的表达式为：x t =εt +εt -1。

8、解：E (x t ) =φ0/(1-φ1) =10/(1-0. 5) =20

原模型可变为：(1-0. 5B )(x t -20) =(1-0. 8B x t -20=

+CB ) εt

(1-0. 8B +CB )

(1-0. 5B )

εt

显然，当1-0. 8B 2+CB 3能够整除1－0.5B 时，模型为MA(2)模型，由此得B ＝2是1-0. 8B 2+CB 3＝0的根，故C ＝0.275。

9、解：：E (x t ) =0 Var (x t ) =(1+ ρ1=

-θ1+θ1θ21+θ

θ1+θ2) σε=1. 65σε

=-0. 981. 65

=-0. 5939

2222

+θ

ρ2=

-θ21+θ1+θ2

0. 41. 65

=0. 2424 ρk =0，k ≥3

10、解：（1）x t =εt +C (εt -1+εt -2+ ) x t -1=εt -1+C (εt -2+εt -3+ )

⎛x t -1-εt -1⎫

+εt -1⎪=x t -1+εt +(C -1) εt -1 x t =εt +C

C ⎝⎭

即 (1-B ) x t =[1-(C -1) B ]εt

显然模型的AR 部分的特征根是1，模型非平稳。

（2） y t =x t -x t -1=εt +(C -1) εt -1为MA(1)模型，平稳。 ρ1=

11、解：（1）|φ2|=1. 2>1，模型非平稳； λ1=1.3738 λ2=-0.8736

-θ11+θ

C -1C

-2C +2

（2）|φ2|=0. 3

（3）|θ2|=0. 3

（4）|θ2|=0. 41，模型不可逆。 λ1=0.2569 λ2=-1.5569 （5）|φ1|=0. 7

（6）|φ2|=0. 51，模型非平稳。 λ1=0.4124 λ2=-1.2124 |θ1|=1. 1>1，模型不可逆；λ1=1.1

12、解：(1-0. 6B ) x t =(1-0. 3B ) εt

x t =(1-0. 3B )(1+0. 6B +0. 6B + ) εt

223

=(1+0. 3B +0. 3*0. 6B +0. 3*0. 6B + ) εt

∞

=εt +∑0. 3*0. 6

j =1

j -1

εt -j

j -1

G 0=1，G j =0. 3*0. 6

13、解：E [Φ(B ) x t ]=E [3+Θ(B ) εt ]⇒(1-0. 5) E (x t ) =3

E (x t ) =12

14、证明：ρ0=γ(0) /γ(0) =1； ρ1=

γ(1) γ(0)

(φ1-θ1)(1-θ1φ1) 1+θ

-2θ1φ1

0. 25(1-0. 5*0. 25) 1+0. 25-2*0. 5*0. 25

=0. 27

ρk =φ1ρk -1=0. 5ρk -1 k ≥2

15、解：（1）错；（2）对；（3）对；（4）错。

16、解：（1）x t -10=0. 3*(x t -1-10) +εt ， x T =9. 6

ˆT (1) =E (x t +1) =E [10+0. 3*(x T -10) +εT +1]=9. 88 x

ˆT (2) =E (x t +2) =E [10+0. 3*(x T +1-10) +εT +2]=9. 964 x

ˆT (3) =E (x t +3) =E [10+0. 3*(x T +2-10) +εT +3]=9. 9892 x

已知AR(1)模型的Green 函数为：G j =φ1，j =1，2， e T (3) =G 0εt +3+G 1εt +2+G 2εt +1=εt +3+φ1εt +2+φ12εt +1 Var [e T (3)]=(1+0. 32+0. 092) *9=9. 8829

x t +3的95％的置信区间：[9.9892-1.96*9. 8829，9.9892＋1.96*9. 8829] 即[3.8275,16.1509]

ˆT (1) =10. 5-9. 88=0. 62 （2）εT +1=x T +1-x

ˆT +1(1) =E (x t +2) =0. 3*0. 62+9. 964=10. 15 x

ˆT +1(2) =E (x t +3) =0. 09*0. 62+9. 9892=10. 045 x

Var [e T +2(2)]=(1+0. 3) *9=9. 81

x t +3的95％的置信区间：[10.045-1.96×9. 81，10.045＋1.96*9. 81] 即[3.9061,16.1839]

习题4 p133 1、

ˆT +1=x ˆT +2=x

面的系数均为 2、由

1414

(x T +x T -1+x T -2+x T -3) ˆT +1+x T +x T -1+x T -2) =(x

。

516

x T +

516

x T -1+

516

x T -2+

116

x T -3所以，ˆT +2中x T 与x T -1前在x

t =αx t +(1-α) x t -1⎧x ⎨

t +1=αx t +1+(1-α) x t ⎩x

t =5. 2α5+⎧x ⎨

=5α. 5+⎩5. 26

5-(α1 t -α(1x

代入数据得

)

解得

t =5. 1x ⎧

⎨

α=0. 4舍(去α>的1情况) ⎩

3、（1）

ˆ21= x

ˆ22= x

+x 19

+1x +x 17) =113+11+10+10+12）=11.2 86

+1x +x ) =11.2+13+11+10+10）=11.04 91817

ˆ2+(x x 1

+x 20

t =0.4x t +0.6x t -1且初始值x 0=x 1进行迭代计算即可。另外，x ˆ22=x ˆ21=x 20 该题详见Excel 。11.79277 （2）利用x

（3）在移动平均法下:

ˆ=X 21

15X 20+

ˆX 22

∑5

X i

i =16

1ˆ11=X +X +2120

555

X i

∑

i =15

a =

⨯

625

在指数平滑法中:

ˆ22=ˆx x

= x

=0. 4x

6x +0.

∴b =0.4

∴b -a =0.4-

5、由

625

=0.16

t =αx t +(1-α)(x t -1+r t -1) ⎧x

⎨

r =γ(x -x ) +(1-γ) r t t -1t -1⎩t

代入数据得

解得

t =0. 4x t +0⨯. 6(+205⎧x ⎨

4. 1=0. x 2-(+20) ⨯0. 8t ⎩

t =20. 5⎧x

⎨ x =13. 75⎩t

6、

方法一：趋势拟合法

income

ts.plot(income)

由时序图可以看出，该序列呈现二次曲线的形状。于是，我们对该序列进行二次曲线拟合： t

lines(z$fitted.values, col=2) 方法二：移动平滑法拟合选取N=5

income.fil

7、（1）

milk

ts.plot(milk)

从该序列的时序图中，我们看到长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列, 因此我们可以采用乘积模型和加法模型。

在这里以加法模型为例。

ts.plot(z)

z.s

z.1

lines(z.s$trend,col=3)

z.2

summary(r2)

summary(r3) ##发现3次拟合效果最佳，故选用三次拟合 ts.plot(z.2)

lines(r3$fitt,col=4)

pt2

ts.plot(ts(z),xlim=c(1,123),ylim=c(550,950))

lines(pt1,p1,col=2)

##包含季节效应的 SARIMA 模型 z

ts.plot(diff(z))

##观察上图，发现ACF 图12阶处明显，24阶处即变到置信区间内。

##而PACF 图12阶，24阶，36阶处有一个逐渐递减过程，可认为##拖尾，故可以考虑对季节效应部分采用MA(1)模型 ##同时，ACF 图在第一阶处显著后即立刻变动到置信区间内，具有##截尾性质，PACF 图在第5、6阶时变动到置信区间外，可以考虑##使用MA （1）模型，故综合可采用乘积模型SARIMA (0,1,1) (0,1,1)12 ##即ri1、ma1模型乘以季节因素

result

4.8

adf.test(z) ##单位根检验。比较科学的定量的方法

##其原假设：具有单位根，即不平稳。此题中接受备则假设：平稳。

指数平滑预测

ffe

for(i in 1:length(z)) y

简单移动平均

z.1

lines(z.1,col=3)

meand

z.2

}##一直重复：预测，原始数列取代一个，预测数列拿来一个 return(y) }

ts.plot(z,xlim=c(0,205))

lines(y,col=3)

##SARIMA

par(mfrow=c(2,1)) ds

pacf(ds,40)

##可以看出有一些不明显的周期性，故采用sarima 拟合

result

##在季节部分很少出现2以上的数字（指seasonal result

的order 部分）

中

result

时序图显示该序列有显著的变化趋势，为典型的非平稳序列。（2）对原序列进行差分运算：

对原序列进行1阶差分运算，运算后序列时序图如图2所示：

时序图显示差分后序列在均值附近比较平稳的波动。为了进一步确定平稳性，考察差分后序列的自相关图，如图三所示：

自相关图显示差分后序列不存在自相关，所以可以认为1阶差分后序列平稳，从图中我们还可以判断差分后序列可以视为白噪声序列。

（3）对白噪声平稳差分序列拟合AR 模型原序列的自相关图和偏自相关图如图4：

图中显示序列自相关系数拖尾，偏自相关系数1阶截尾，实际上我们用ARIMA （1，0，0）模型拟合原序列。在最小二乘估计原理下，拟合结果为：残差白噪声检验：

x t =0.888x t -1+31.489+εt

（4）对残差序列进行检验：

参数显著性检验：

图中显示：延迟6阶和12阶的P 值均大于0.05，可以认为该残差序列即为白噪声序列，系数显著性检验显示两参数均显著。这说明ARIMA （1，0，0）模型对该序列建模成功。（5）模型的预测：

∧

估计下一盘的收盘价为：2、（1）绘制时序图：

x t (1)=0.888⨯289+31.489=288.121

时序图显示该序列具有长期递增趋势和以年为周期的季节效应。（2）差分平稳化

对原序列作1阶差分，希望提取原序列的趋势效应，差分后序列时序图：

3、模型定阶

考察差分后序列相关图和偏自相关图的性质，进一步确认平稳性判断，并估计拟合模型的阶数。

自相关图和偏自相关图显示延迟12阶自相关系数和偏自相关系数大于2倍标准差范围，说明差分后序列中仍有非常显著的季节效应。延迟1阶的自相关系数和偏自相关系数也大于2倍的标准差，这说明差分后序列还具有短期相关性。根据差分后序列自相关图和偏自相关图的性质，尝试拟合ARMA 模型，但拟合效果均不理想，拟合残差均通不过白噪声检验。所以我们可以考虑建立乘积模型：

ARIM A (1,1,1)⨯(0,1,1)12

：∇∇12x t =

1-θ1B 1-φ1B

(1-θ12B ) εt

（4）参数估计

使用最小二乘法估计方法，得到该模型的估计方程为：

∇∇12x t =

1+0.986B 1-0.606B

(1-0.833B ) ε

（5）模型的检验

对拟合模型进行检验，检验结果显示该模型顺利通过了残差白噪声检验（图21）和参数显著性检验（图22）。

白噪声检验（图21）

参数显著性检验（图22）

（6）模型预测

3、（1）展开原模型，等价形式为：(1-B ) x t =(1-0.3B ) εt

∧

即x t =x t -1+εt -0.3εt -1 x 100=50, x 100(1)=51

∧

所以

x 100(1)=x 100-0.3ε100

∧

x 100(2)=x 100(1)=51

∧

（2）x 101=x 100(1)+ε101⇒ε101=1 x 101(1)=x 101-0.3ε101=51.7 4、（1）平稳性检验：

从该序列时序图中可以看到该序列为非平稳序列。（2）模型拟合：

ARCH 过程检验：

异方差怀特检验：

DW=2.05 序列中残差不存在自相关；怀特检验之后也不存在异方差；ARCH LM检验之后也不存在ARCH 过程。所以确定该模型为：

x t =0.9955x t -1+εt

εt =μt +0.597μt -1

（3）预测：

1939—1945年英国绵羊的数量预测如下表：

该序列时序图显示序列显著非平稳，如图所示：

对序列一阶差分之后残差进行怀特检验，检验结果如下：

结果说明序列残差存在异方差，

（2）但残差序列异方差时，我们需要对它进行进一步的处理，由于我们不知道异方差的具体函数，所以拟合条件异方差模型。

我们模拟的方程形式为：GARCH （2，1）即采用ARCH 方法得到的拟合结果为：

x t =βx t -1+εt

σt =θ1εt -1+θ2εt -2+φσt -1

对模型残差进行检验：

怀特检验结果：

结果显示不存在异方差。 ARCH LM检验结果：

结果显示不存在ARCH 过程。

所以我们确定最后的拟合方程为： x t =x t -1+εt

=-0.03εt -1+0.12εt -2+0.89σ

2t -1

第二章P34 1、（1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。（2）样本自相关系数：

n -k

ˆk = ρ

γ(k ) γ(0)

∑(x

≅

t =1

t n

-)(x t +k -)

∑(x

t =1

∑n

x t =

120

(1+2+ +20) =10. 5

t =1

γ(0) =

[1**********]7

∑(x

t =119

-) =35

γ(1) =

∑(x

t =118

-)(x t +1-) =29.75

γ(2) =

∑(x

t =117

-)(x t +2-) =25.9167

γ(3) =

∑(x

t =1

-)(x t +3-) =21.75

Partial Correlation . |*******| . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . | . *| . |

AC PAC

Prob 1 0.850 0.850 16.732 0.000 2 0.702 -0.0728.761 0.000

6 3 0.556 -0.0736.762 0.000

6 4 0.415 -0.0741.500 0.000 7

5 0.280 -0.0743.800 0.000

6 0.153 -0.0744.533 0.000 8

7 0.034 -0.0744.572 0.000

8 -0.07-0.0744.771 0.000

9 -0.17-0.0745.921 0.000

.**| . | .**| . | ***| . |

0 5

. *| . | 10 -0.25-0.0748.713 0.000

. *| . | 11 -0.31-0.0653.693 0.000 9 7

. *| . | 12 -0.37-0.0661.220 0.000

0 0

该图的自相关系数衰减为0的速度缓慢，可认为非平稳。

ˆk 2⎫⎛ρ

⎪4、LB =n (n +2) ∑ n -k ⎪

k =1⎝⎭

LB(6)=1.6747 LB(12)=4.9895 χ02. 05(6)=12.59 χ02. 05(12)=21.0

显然，LB 统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。

第三章P100

1、解：E (x t ) =0. 7*E (x t -1) +E (εt )

(1-0. 7) E (x t ) =0 E (x t ) =0 (1-0. 7B ）x t =εt

-122

x t =(1-0. 7B ) εt =(1+0. 7B +0. 7B + ) εt

Var (x t ) =

11-0. 49

σε=1. 9608σε

ρ2=φ1ρ0=0. 49 φ22=0

2、解：对于AR （2）模型：

⎧ρ1=φ1ρ0+φ2ρ-1=φ1+φ2ρ1=0. 5

⎨

ρ=φρ+φρ=φρ+φ=0. 31120112⎩2

⎧φ1=7/15解得：⎨

φ=1/15⎩2

3、解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E (x t ) =0 原模型可变为：x t =0. 8x t -1-0. 15x t -2+εt

Var (x t ) =

1-φ2

(1+φ2)(1-φ1-φ2)(1+φ1-φ2)

(1+0. 15)

(1-0. 15)(1-0. 8+0. 15)(1+0. 8+0. 15)

σ=1.9823σ

⎧ρ1=φ1/(1-φ2) =0. 6957⎧φ11=ρ1=0. 6957⎪⎪ρ=φρ+φρ=0. 4066 ⎨2⎨φ22=φ2=-0. 15 1120

⎪ρ=φρ+φρ=0. 2209⎪φ33=01221⎩3⎩

4、解：原模型可变形为： (1-B -cB ) x t =εt

由其平稳域判别条件知：当|φ2|

1⎧

⎪

=⎨1/(1-c ) ⎪ρ

⎩k -1+c ρk -2

k =0k =1 k ≥2

ρk

5、证明：已知原模型可变形为： (1-B -cB

+cB ) x t =εt

其特征方程为：λ3-λ2-c λ+c =(λ-1)(λ2+λ-c ) =0 不论c 取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。

6、解：（1）错，γ

=Var (x t ) =σε/(1-θ1) 。

（2）错，E [(x t -μ)(x t -1-μ)]=γ1=ρ1γ=θ1σε/(1-θ1) 。

ˆT (l ) = （3）错，x θ1x T 。

（4）错，e T (l ) =εT +l +G 1εT +l -1+G 2εT +l -2+ +G l -1εT +1 =

εT +l +θ1εT +l -1+θ1εT +l -2+ +θ1εT +1

1[1-θ1]1-θ1

22l

2l -1

ˆT (l )]=lim Var [e T (l )]=lim （5）错，lim Var [x T +l -x

l →∞

σε=

11-θ1

σε。

7、解：ρ1=

-θ11+θ

⇒θ1=

-1+

-4ρ12ρ1

=-1

MA(1)模型的表达式为：x t =εt +εt -1。

8、解：E (x t ) =φ0/(1-φ1) =10/(1-0. 5) =20

原模型可变为：(1-0. 5B )(x t -20) =(1-0. 8B x t -20=

+CB ) εt

(1-0. 8B +CB )

(1-0. 5B )

εt

显然，当1-0. 8B 2+CB 3能够整除1－0.5B 时，模型为MA(2)模型，由此得B ＝2是1-0. 8B 2+CB 3＝0的根，故C ＝0.275。

9、解：：E (x t ) =0 Var (x t ) =(1+ ρ1=

-θ1+θ1θ21+θ

θ1+θ2) σε=1. 65σε

=-0. 981. 65

=-0. 5939

2222

+θ

ρ2=

-θ21+θ1+θ2

0. 41. 65

=0. 2424 ρk =0，k ≥3

10、解：（1）x t =εt +C (εt -1+εt -2+ ) x t -1=εt -1+C (εt -2+εt -3+ )

⎛x t -1-εt -1⎫

+εt -1⎪=x t -1+εt +(C -1) εt -1 x t =εt +C

C ⎝⎭

即 (1-B ) x t =[1-(C -1) B ]εt

显然模型的AR 部分的特征根是1，模型非平稳。

（2） y t =x t -x t -1=εt +(C -1) εt -1为MA(1)模型，平稳。 ρ1=

11、解：（1）|φ2|=1. 2>1，模型非平稳； λ1=1.3738 λ2=-0.8736

-θ11+θ

C -1C

-2C +2

（2）|φ2|=0. 3

（3）|θ2|=0. 3

（4）|θ2|=0. 41，模型不可逆。 λ1=0.2569 λ2=-1.5569 （5）|φ1|=0. 7

（6）|φ2|=0. 51，模型非平稳。 λ1=0.4124 λ2=-1.2124 |θ1|=1. 1>1，模型不可逆；λ1=1.1

12、解：(1-0. 6B ) x t =(1-0. 3B ) εt

x t =(1-0. 3B )(1+0. 6B +0. 6B + ) εt

223

=(1+0. 3B +0. 3*0. 6B +0. 3*0. 6B + ) εt

∞

=εt +∑0. 3*0. 6

j =1

j -1

εt -j

j -1

G 0=1，G j =0. 3*0. 6

13、解：E [Φ(B ) x t ]=E [3+Θ(B ) εt ]⇒(1-0. 5) E (x t ) =3

E (x t ) =12

14、证明：ρ0=γ(0) /γ(0) =1； ρ1=

γ(1) γ(0)

(φ1-θ1)(1-θ1φ1) 1+θ

-2θ1φ1

0. 25(1-0. 5*0. 25) 1+0. 25-2*0. 5*0. 25

=0. 27

ρk =φ1ρk -1=0. 5ρk -1 k ≥2

15、解：（1）错；（2）对；（3）对；（4）错。

16、解：（1）x t -10=0. 3*(x t -1-10) +εt ， x T =9. 6

ˆT (1) =E (x t +1) =E [10+0. 3*(x T -10) +εT +1]=9. 88 x

ˆT (2) =E (x t +2) =E [10+0. 3*(x T +1-10) +εT +2]=9. 964 x

ˆT (3) =E (x t +3) =E [10+0. 3*(x T +2-10) +εT +3]=9. 9892 x

已知AR(1)模型的Green 函数为：G j =φ1，j =1，2， e T (3) =G 0εt +3+G 1εt +2+G 2εt +1=εt +3+φ1εt +2+φ12εt +1 Var [e T (3)]=(1+0. 32+0. 092) *9=9. 8829

x t +3的95％的置信区间：[9.9892-1.96*9. 8829，9.9892＋1.96*9. 8829] 即[3.8275,16.1509]

ˆT (1) =10. 5-9. 88=0. 62 （2）εT +1=x T +1-x

ˆT +1(1) =E (x t +2) =0. 3*0. 62+9. 964=10. 15 x

ˆT +1(2) =E (x t +3) =0. 09*0. 62+9. 9892=10. 045 x

Var [e T +2(2)]=(1+0. 3) *9=9. 81

x t +3的95％的置信区间：[10.045-1.96×9. 81，10.045＋1.96*9. 81] 即[3.9061,16.1839]

习题4 p133 1、

ˆT +1=x ˆT +2=x

面的系数均为 2、由

1414

(x T +x T -1+x T -2+x T -3) ˆT +1+x T +x T -1+x T -2) =(x

。

516

x T +

516

x T -1+

516

x T -2+

116

x T -3所以，ˆT +2中x T 与x T -1前在x

t =αx t +(1-α) x t -1⎧x ⎨

t +1=αx t +1+(1-α) x t ⎩x

t =5. 2α5+⎧x ⎨

=5α. 5+⎩5. 26

5-(α1 t -α(1x

代入数据得

)

解得

t =5. 1x ⎧

⎨

α=0. 4舍(去α>的1情况) ⎩

3、（1）

ˆ21= x

ˆ22= x

+x 19

+1x +x 17) =113+11+10+10+12）=11.2 86

+1x +x ) =11.2+13+11+10+10）=11.04 91817

ˆ2+(x x 1

+x 20

t =0.4x t +0.6x t -1且初始值x 0=x 1进行迭代计算即可。另外，x ˆ22=x ˆ21=x 20 该题详见Excel 。11.79277 （2）利用x

（3）在移动平均法下:

ˆ=X 21

15X 20+

ˆX 22

∑5

X i

i =16

1ˆ11=X +X +2120

555

X i

∑

i =15

a =

⨯

625

在指数平滑法中:

ˆ22=ˆx x

= x

=0. 4x

6x +0.

∴b =0.4

∴b -a =0.4-

5、由

625

=0.16

t =αx t +(1-α)(x t -1+r t -1) ⎧x

⎨

r =γ(x -x ) +(1-γ) r t t -1t -1⎩t

代入数据得

解得

t =0. 4x t +0⨯. 6(+205⎧x ⎨

4. 1=0. x 2-(+20) ⨯0. 8t ⎩

t =20. 5⎧x

⎨ x =13. 75⎩t

6、

方法一：趋势拟合法

income

ts.plot(income)

由时序图可以看出，该序列呈现二次曲线的形状。于是，我们对该序列进行二次曲线拟合： t

lines(z$fitted.values, col=2) 方法二：移动平滑法拟合选取N=5

income.fil

7、（1）

milk

ts.plot(milk)

从该序列的时序图中，我们看到长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列, 因此我们可以采用乘积模型和加法模型。

在这里以加法模型为例。

ts.plot(z)

z.s

z.1

lines(z.s$trend,col=3)

z.2

summary(r2)

summary(r3) ##发现3次拟合效果最佳，故选用三次拟合 ts.plot(z.2)

lines(r3$fitt,col=4)

pt2

ts.plot(ts(z),xlim=c(1,123),ylim=c(550,950))

lines(pt1,p1,col=2)

##包含季节效应的 SARIMA 模型 z

ts.plot(diff(z))

##观察上图，发现ACF 图12阶处明显，24阶处即变到置信区间内。

result

4.8

adf.test(z) ##单位根检验。比较科学的定量的方法

##其原假设：具有单位根，即不平稳。此题中接受备则假设：平稳。

指数平滑预测

ffe

for(i in 1:length(z)) y

简单移动平均

z.1

lines(z.1,col=3)

meand

z.2

}##一直重复：预测，原始数列取代一个，预测数列拿来一个 return(y) }

ts.plot(z,xlim=c(0,205))

lines(y,col=3)

##SARIMA

par(mfrow=c(2,1)) ds

pacf(ds,40)

##可以看出有一些不明显的周期性，故采用sarima 拟合

result

##在季节部分很少出现2以上的数字（指seasonal result

的order 部分）

中

result

时序图显示该序列有显著的变化趋势，为典型的非平稳序列。（2）对原序列进行差分运算：

对原序列进行1阶差分运算，运算后序列时序图如图2所示：

时序图显示差分后序列在均值附近比较平稳的波动。为了进一步确定平稳性，考察差分后序列的自相关图，如图三所示：

自相关图显示差分后序列不存在自相关，所以可以认为1阶差分后序列平稳，从图中我们还可以判断差分后序列可以视为白噪声序列。

（3）对白噪声平稳差分序列拟合AR 模型原序列的自相关图和偏自相关图如图4：

x t =0.888x t -1+31.489+εt

（4）对残差序列进行检验：

参数显著性检验：

∧

估计下一盘的收盘价为：2、（1）绘制时序图：

x t (1)=0.888⨯289+31.489=288.121

时序图显示该序列具有长期递增趋势和以年为周期的季节效应。（2）差分平稳化

对原序列作1阶差分，希望提取原序列的趋势效应，差分后序列时序图：

3、模型定阶

考察差分后序列相关图和偏自相关图的性质，进一步确认平稳性判断，并估计拟合模型的阶数。

ARIM A (1,1,1)⨯(0,1,1)12

：∇∇12x t =

1-θ1B 1-φ1B

(1-θ12B ) εt

（4）参数估计

使用最小二乘法估计方法，得到该模型的估计方程为：

∇∇12x t =

1+0.986B 1-0.606B

(1-0.833B ) ε

（5）模型的检验

对拟合模型进行检验，检验结果显示该模型顺利通过了残差白噪声检验（图21）和参数显著性检验（图22）。

白噪声检验（图21）

参数显著性检验（图22）

（6）模型预测

3、（1）展开原模型，等价形式为：(1-B ) x t =(1-0.3B ) εt

∧

即x t =x t -1+εt -0.3εt -1 x 100=50, x 100(1)=51

∧

所以

x 100(1)=x 100-0.3ε100

∧

x 100(2)=x 100(1)=51

∧

（2）x 101=x 100(1)+ε101⇒ε101=1 x 101(1)=x 101-0.3ε101=51.7 4、（1）平稳性检验：

从该序列时序图中可以看到该序列为非平稳序列。（2）模型拟合：

ARCH 过程检验：

异方差怀特检验：

DW=2.05 序列中残差不存在自相关；怀特检验之后也不存在异方差；ARCH LM检验之后也不存在ARCH 过程。所以确定该模型为：

x t =0.9955x t -1+εt

εt =μt +0.597μt -1

（3）预测：

1939—1945年英国绵羊的数量预测如下表：

该序列时序图显示序列显著非平稳，如图所示：

对序列一阶差分之后残差进行怀特检验，检验结果如下：

结果说明序列残差存在异方差，

（2）但残差序列异方差时，我们需要对它进行进一步的处理，由于我们不知道异方差的具体函数，所以拟合条件异方差模型。

我们模拟的方程形式为：GARCH （2，1）即采用ARCH 方法得到的拟合结果为：

x t =βx t -1+εt

σt =θ1εt -1+θ2εt -2+φσt -1

对模型残差进行检验：

怀特检验结果：

结果显示不存在异方差。 ARCH LM检验结果：

结果显示不存在ARCH 过程。

所以我们确定最后的拟合方程为： x t =x t -1+εt

=-0.03εt -1+0.12εt -2+0.89σ

2t -1

人大(王燕)时间序列课后习题答案)

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