课时作业(十五)
一、选择题
x 2y 2
1.(2014·北京西城一模)“m
m -10m -8曲线”的( )
A .充分不必要条件 C .充分必要条件
B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件
x 2y 2
解析:方程1表示双曲线,则(m -8)·(m -10)>0,
m -10m -8x 2y 2
解得m 10,故“m
m -10m -8的充分不必要条件,故选A.
答案:A
2.(2014·新课标全国卷Ⅰ) 已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A. 3 3m
B .3 D .3m
x 2y 2
解析:由题意,可得双曲线C 为3m 3=1,则双曲线的半焦距1
c =3m +3. 不妨取右焦点3m +3,0) ,其渐近线方程为y =x ,
m 即x my =0. 所以由点到直线的距
3m +3
离公式得d ==3. 故选A.
1+m 答案:A
3.(2014·保定调研) 以正三角形ABC 的顶点A ,B 为焦点的双曲
线恰好平分边AC ,BC ,则双曲线的离心率为( )
A. 3-1 B .2 C. 3+1 D .
3
解析:如图,设|AB |=2c ,显然|AD |=c ,|BD |=3c , 2
即3-1) c =2a ,∴e =3+1,
3-1∴选C. 答案:C
x 2y 2
4.(2014·天津卷) 已知双曲线a -b =1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )
x 2y 2
A. 520=1 3x 23y 2
C. 251001
x 2y 2
B. 205=1 3x 23y 2
D. 100-25=1
解析:由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y =2x +10上,所以c =5.
b
又因为一条渐近线与l 平行,因此a 2,可解得a 2=5,b 2=20,x 2y 2
故双曲线方程为5-20=1,故选A.
答案:A
5.(2014·新课标全国卷Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准
→→
线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP =4FQ ,则|QF |=( )
75
A. 2 B .3 C. 2 D .
2
解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p =|FM |=4. 过Q 作QH ⊥l 于H ,则|QH |=|QF |. 由题意,得△PHQ ∽△PMF , |HQ ||PQ |3
|MF ||PF |4|HQ |=3. ∴|QF |=3. 答案:B 二、填空题
x 2y 2
6.设F 1,F 2是椭圆a b =1(a >b >0)的左右焦点,若直线x =
2
ma (m >1)上存在一点P ,使△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则m 的取值范围是________.
解析:如图,PF 2=2c ,∠PF 2M =60°,F 2M =c , 2c
∴ma =2c ,∴m =a
答案:(1,2)
2y
7.(2014·安徽卷) 设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+b 1(0
右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点,若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.
12c 解析:设B 在x 轴上的射影为B 0,由题意得,|B 0F 1|=3|F 1F 2|=3⎛5c ⎫5c
得B 0坐标为 -3,0⎪,即B 点横坐标为-3设直线AB 的斜率为k ,
⎝
⎭
又直线过点F 1(-c, 0) ,
∴直线AB 的方程为y =k (x +c ) .
⎧y =k (x +c ),由⎨2y 2
⎩x +b 1
得(k 2+b 2) x 2+2ck 2x +k 2c 2-b 2=0,
-2ck 25
-3+c =,
k +b
222
22
⎧⎪5c
3c ,由韦达定理得⎨k c -b 5
⎪⎩-3c ×c =k +b 1222
解之,得c =3b =1-c =3.
2
32
∴椭圆方程为x +2=1.
2
32
答案:x 2=1
2
三、解答题
8.(2014·河北唐山二模) 已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的准线与x 轴交于点M ,过点M 作圆C :(x -2) 2+y 2=1的两条切线,切点为A ,42
B ,|AB |=3E 的方程.
⎛p ⎫ 解:由已知得M -2,0⎪,C (2,0). ⎝⎭
22
设AB 与x 轴交于点R ,由圆的对称性可知,|AR |=31
于是|CR |=|AC |-|AR |=3
|AC ||AC |
所以|CM |=3,
sin ∠AMC sin ∠CAR p
即2+2=3,p =2.
故抛物线E 的方程为y 2=4x .
x 2y 22
9.(2014·东北三校模拟) 椭圆M +1(a >b >0)的离心率为a b 2⎛2⎫
且经过点P 1⎪. 过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上,l 1与
2⎭⎝
椭圆M 交于A ,C 两点,l 2与椭圆M 交于B ,D 两点.
(1)求椭圆M 的方程;
(2)若平行四边形ABCD 为菱形,求菱形ABCD 面积的最小值.
⎧
解:(1)依题意有⎨11
⎩a +2b 1,
2c =2a ,
2⎧a =2,⎪222
又a =b +c ,所以⎨2
⎪⎩b =1.
x 22
故椭圆M 的方程为2y =1.
(2)设直线AC :y =k 1x ,直线BD :y =k 2x ,A (x A ,y A ) ,C (x C ,y C ) .
2
x +y 2=1,
联立得⎨2
⎩y =k 1x
222
则(2k 21+1) x -2=0,x A =x C =
2
, 2k 2+11
故|OA |=|OC |=1+k 1同理,|OB |=|OD |2
2k +11
2
2k 2+1
⎛1⎫2
1+ k ⎝1⎭
1+k 2又AC ⊥BD ,所以|OB |=|OD |=
⎛1⎫2
2 k ⎪+1⎝1⎭
,其中
k 1≠0.
从而菱形ABCD 的面积S =2|OA |·|OB |=1+k 1·
⎛1⎫22
1+ k ⎪·
⎝⎭2k +111
⎛1⎫
2k ⎪2+1⎝1⎭
,
整理得S =4
211⎫⎛
k 1+2
k 1⎭⎝
,其中k 1≠0.
8
故当k 1=1或-1时,菱形ABCD 的面积最小,该最小值为3【高考预测】
x 2y 2
10.已知F 1,F 2是双曲线a -b =1(a >0,b >0)的左、右焦点,b
若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y a x 对称,则该双曲线的离心率为( )
5A. 2 2
B. 5 D .2
解析:由题意可知双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y bx |PF |b
=a 对称,则PF 1⊥PF 2. 又|PF |=a ,联立|PF 2|-|PF 1|=2a ,|PF 2|2+
1|PF 1|2=(2c ) 2,可得b 3+a 2b =2c 2a . 所以b =2a ,e =5. 故选B.
答案:B
x 2y 2
11.已知双曲线a b =1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2
=2px (p >0)的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 3,则
p =________.
c
解析:如图,由e =a 2,得c =2a ,b =3a ,所以双曲线的渐近线方程为y =3x .
p
又抛物线的准线方程为x =-2,
所以联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程可求
⎛p ⎛p 3p ⎫3p ⎫
⎪,B -,-. 得A -2222⎝⎭⎝⎭
p
在△AOB 中,|AB |=3p ,O 到AB 的距离为2S △AOB =3,1p
23p 23,所以p =2.
答案:2
x 2y 2
12.如图,已知M (x 1,y 1) a +b 1(a >b >0)上任意一点,F 为椭圆的右焦点.
(1)若椭圆的离心率为e ,试用e 、a 、x 1表示|MF |,并求|MF |的最值;
(2)已知直线m 与圆x 2+y 2=b 2相切,并与椭圆交于A 、B 两点,且直线m 与圆的切点Q 在y 轴右侧,若a =2,求△ABF 的周长.
解:(1)设F (c, 0) ,则|MF |=(x 1-c )+y 1, 2
x 2⎛x 2y ⎫22
又a +b 1,则y 1=1-a ⎪b , ⎝⎭
所以|MF |= =
⎫2⎛2
1-x 1-2cx +a 1a ⎭⎝
(ex 1-a ),
22
x 1-2cx 1+a = a
又-a ≤x 1≤a 且0
所以|MF |=a -ex 1,且|MF |max =a +ae ,|MF |min =a -ae . (2)设A (x 0,y 0) ,B (x 2,y 2)(x 0,x 2>0),连接OQ ,OA ,在△OQA
中,|AQ |2=x 20+y 20-b 2
,
22
又y 2⎛x 2
⎫0= 22
c x ⎝1-a ⎭b ,所以|AQ |=a 则|AQ |=cx cx a |BQ |=a
所以|AB |+|AF |+|BF |=2a -⎛ c c ⎫c c
⎝
a 0+a x 2⎪⎭
+a 0+a x 2=2a ,又所以所求周长为4.
a =2,
课时作业(十五)
一、选择题
x 2y 2
1.(2014·北京西城一模)“m
m -10m -8曲线”的( )
A .充分不必要条件 C .充分必要条件
B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件
x 2y 2
解析:方程1表示双曲线,则(m -8)·(m -10)>0,
m -10m -8x 2y 2
解得m 10,故“m
m -10m -8的充分不必要条件,故选A.
答案:A
2.(2014·新课标全国卷Ⅰ) 已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A. 3 3m
B .3 D .3m
x 2y 2
解析:由题意,可得双曲线C 为3m 3=1,则双曲线的半焦距1
c =3m +3. 不妨取右焦点3m +3,0) ,其渐近线方程为y =x ,
m 即x my =0. 所以由点到直线的距
3m +3
离公式得d ==3. 故选A.
1+m 答案:A
3.(2014·保定调研) 以正三角形ABC 的顶点A ,B 为焦点的双曲
线恰好平分边AC ,BC ,则双曲线的离心率为( )
A. 3-1 B .2 C. 3+1 D .
3
解析:如图,设|AB |=2c ,显然|AD |=c ,|BD |=3c , 2
即3-1) c =2a ,∴e =3+1,
3-1∴选C. 答案:C
x 2y 2
4.(2014·天津卷) 已知双曲线a -b =1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )
x 2y 2
A. 520=1 3x 23y 2
C. 251001
x 2y 2
B. 205=1 3x 23y 2
D. 100-25=1
解析:由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y =2x +10上,所以c =5.
b
又因为一条渐近线与l 平行,因此a 2,可解得a 2=5,b 2=20,x 2y 2
故双曲线方程为5-20=1,故选A.
答案:A
5.(2014·新课标全国卷Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准
→→
线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP =4FQ ,则|QF |=( )
75
A. 2 B .3 C. 2 D .
2
解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p =|FM |=4. 过Q 作QH ⊥l 于H ,则|QH |=|QF |. 由题意,得△PHQ ∽△PMF , |HQ ||PQ |3
|MF ||PF |4|HQ |=3. ∴|QF |=3. 答案:B 二、填空题
x 2y 2
6.设F 1,F 2是椭圆a b =1(a >b >0)的左右焦点,若直线x =
2
ma (m >1)上存在一点P ,使△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则m 的取值范围是________.
解析:如图,PF 2=2c ,∠PF 2M =60°,F 2M =c , 2c
∴ma =2c ,∴m =a
答案:(1,2)
2y
7.(2014·安徽卷) 设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+b 1(0
右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点,若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.
12c 解析:设B 在x 轴上的射影为B 0,由题意得,|B 0F 1|=3|F 1F 2|=3⎛5c ⎫5c
得B 0坐标为 -3,0⎪,即B 点横坐标为-3设直线AB 的斜率为k ,
⎝
⎭
又直线过点F 1(-c, 0) ,
∴直线AB 的方程为y =k (x +c ) .
⎧y =k (x +c ),由⎨2y 2
⎩x +b 1
得(k 2+b 2) x 2+2ck 2x +k 2c 2-b 2=0,
-2ck 25
-3+c =,
k +b
222
22
⎧⎪5c
3c ,由韦达定理得⎨k c -b 5
⎪⎩-3c ×c =k +b 1222
解之,得c =3b =1-c =3.
2
32
∴椭圆方程为x +2=1.
2
32
答案:x 2=1
2
三、解答题
8.(2014·河北唐山二模) 已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的准线与x 轴交于点M ,过点M 作圆C :(x -2) 2+y 2=1的两条切线,切点为A ,42
B ,|AB |=3E 的方程.
⎛p ⎫ 解:由已知得M -2,0⎪,C (2,0). ⎝⎭
22
设AB 与x 轴交于点R ,由圆的对称性可知,|AR |=31
于是|CR |=|AC |-|AR |=3
|AC ||AC |
所以|CM |=3,
sin ∠AMC sin ∠CAR p
即2+2=3,p =2.
故抛物线E 的方程为y 2=4x .
x 2y 22
9.(2014·东北三校模拟) 椭圆M +1(a >b >0)的离心率为a b 2⎛2⎫
且经过点P 1⎪. 过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上,l 1与
2⎭⎝
椭圆M 交于A ,C 两点,l 2与椭圆M 交于B ,D 两点.
(1)求椭圆M 的方程;
(2)若平行四边形ABCD 为菱形,求菱形ABCD 面积的最小值.
⎧
解:(1)依题意有⎨11
⎩a +2b 1,
2c =2a ,
2⎧a =2,⎪222
又a =b +c ,所以⎨2
⎪⎩b =1.
x 22
故椭圆M 的方程为2y =1.
(2)设直线AC :y =k 1x ,直线BD :y =k 2x ,A (x A ,y A ) ,C (x C ,y C ) .
2
x +y 2=1,
联立得⎨2
⎩y =k 1x
222
则(2k 21+1) x -2=0,x A =x C =
2
, 2k 2+11
故|OA |=|OC |=1+k 1同理,|OB |=|OD |2
2k +11
2
2k 2+1
⎛1⎫2
1+ k ⎝1⎭
1+k 2又AC ⊥BD ,所以|OB |=|OD |=
⎛1⎫2
2 k ⎪+1⎝1⎭
,其中
k 1≠0.
从而菱形ABCD 的面积S =2|OA |·|OB |=1+k 1·
⎛1⎫22
1+ k ⎪·
⎝⎭2k +111
⎛1⎫
2k ⎪2+1⎝1⎭
,
整理得S =4
211⎫⎛
k 1+2
k 1⎭⎝
,其中k 1≠0.
8
故当k 1=1或-1时,菱形ABCD 的面积最小,该最小值为3【高考预测】
x 2y 2
10.已知F 1,F 2是双曲线a -b =1(a >0,b >0)的左、右焦点,b
若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y a x 对称,则该双曲线的离心率为( )
5A. 2 2
B. 5 D .2
解析:由题意可知双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y bx |PF |b
=a 对称,则PF 1⊥PF 2. 又|PF |=a ,联立|PF 2|-|PF 1|=2a ,|PF 2|2+
1|PF 1|2=(2c ) 2,可得b 3+a 2b =2c 2a . 所以b =2a ,e =5. 故选B.
答案:B
x 2y 2
11.已知双曲线a b =1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2
=2px (p >0)的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 3,则
p =________.
c
解析:如图,由e =a 2,得c =2a ,b =3a ,所以双曲线的渐近线方程为y =3x .
p
又抛物线的准线方程为x =-2,
所以联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程可求
⎛p ⎛p 3p ⎫3p ⎫
⎪,B -,-. 得A -2222⎝⎭⎝⎭
p
在△AOB 中,|AB |=3p ,O 到AB 的距离为2S △AOB =3,1p
23p 23,所以p =2.
答案:2
x 2y 2
12.如图,已知M (x 1,y 1) a +b 1(a >b >0)上任意一点,F 为椭圆的右焦点.
(1)若椭圆的离心率为e ,试用e 、a 、x 1表示|MF |,并求|MF |的最值;
(2)已知直线m 与圆x 2+y 2=b 2相切,并与椭圆交于A 、B 两点,且直线m 与圆的切点Q 在y 轴右侧,若a =2,求△ABF 的周长.
解:(1)设F (c, 0) ,则|MF |=(x 1-c )+y 1, 2
x 2⎛x 2y ⎫22
又a +b 1,则y 1=1-a ⎪b , ⎝⎭
所以|MF |= =
⎫2⎛2
1-x 1-2cx +a 1a ⎭⎝
(ex 1-a ),
22
x 1-2cx 1+a = a
又-a ≤x 1≤a 且0
所以|MF |=a -ex 1,且|MF |max =a +ae ,|MF |min =a -ae . (2)设A (x 0,y 0) ,B (x 2,y 2)(x 0,x 2>0),连接OQ ,OA ,在△OQA
中,|AQ |2=x 20+y 20-b 2
,
22
又y 2⎛x 2
⎫0= 22
c x ⎝1-a ⎭b ,所以|AQ |=a 则|AQ |=cx cx a |BQ |=a
所以|AB |+|AF |+|BF |=2a -⎛ c c ⎫c c
⎝
a 0+a x 2⎪⎭
+a 0+a x 2=2a ,又所以所求周长为4.
a =2,