2014年高考函数与方程及答案
1．[2014·山东卷] 已知函数f (x ) ＝|x －2|＋1，g (x ) ＝kx ，若方程f (x ) ＝g (x ) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
11
0， B. ⎛，1⎫ C. (1，2) D. (2，＋∞) A. ⎛⎝2⎝2⎭
2．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(
)
图1-1
A B C D
2
⎧⎪x ＋1，x >0，
3．[2014·福建卷] 已知函数f (x ) ＝⎨则下列结论正确的是( )
⎪cos x ， x ≤0，⎩
A ．f (x ) 是偶函数 B ．f (x ) 是增函数 C ．f (x ) 是周期函数 D ．f (x ) 的值域为[－1，＋∞)
4．[2014·新课标Ⅰ] 已知函数f (x ) ＝ax 3－3x 2＋1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 5．[2014·课标Ⅱ] 设函数f (x ) ＝3sin
A ．(－∞，－6) ∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4) ∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2) ∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)
6．[2014·湖南卷] 已知f (x ) ，g (x ) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x ) －g (x ) ＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
7．[2014·四川卷] 已知f (x ) ＝ln(1＋x ) －ln(1－x ) ，x ∈(－1，1) ．现有下列命题：
2x
①f (－x ) ＝－f (x ) ；②f ⎛1＋x ⎫＝2f (x ) ；③|f (x )|≥2|x |. 其中的所有正确命题的序号是( )
πx 22
，若存在f (x ) 的极值点x 0满足x 2则m 的取值范围是( ) 0＋[f (x 0)]＜m ，m
⎝⎭
A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②
1
8．[2014·湖北卷] 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2) ．
2若∀x ∈R ，f (x －1) ≤f (x ) ，则实数a 的取值范围为( )
11116633－ B. ⎡－ C. ⎡－⎤ D. ⎡－ A. ⎡⎣66⎣33⎦6⎣6⎣33
9．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
9
－6 A ．[－5，－3] B. ⎡8⎣C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]
10．[2014·浙江卷] 已知函数f (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0
A ．c ≤3 B ．39
11．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x ) ＝x a (x >0)，g (x ) ＝log a x 的图像可能是( )
A B C D
⎧x 2＋x ，x
12．[2014·浙江卷] 设函数f (x ) ＝⎨2若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．
⎪－x ， x ≥0. ⎩
13．[2014·天津卷] 已知函数f (x ) ＝|x 2＋3x |，x ∈R . 若方程f (x ) －a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．
14．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) ，对函数y ＝g (x )(x ∈I ) ，定义g (x ) 关于f (x ) 的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ) ，y ＝h (x ) 满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x )) ，(x ，g (x )) 关于点(x ，f (x )) 对称．若h (x ) 是g (x ) ＝4－x 关于f (x ) ＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x ) ＞g (x ) 恒成立，则实数b 的取值范围是________．
15．[2014·江苏卷] 已知函数f (x ) ＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )
1
x 2－2x . 若函数y ＝16．[2014·江苏卷] 已知f (x ) 是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3) 时，f (x ) ＝⎪2⎪f (x ) －a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同) ，则实数a 的取值范围是________．
17.[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x ) 组成的集合：对于函数φ(x ) ，存在一个正数M ，使得函数φ(x ) 的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x ) ＝x 3，φ2(x ) ＝sin x 时，φ1(x ) ∈A ，φ2(x ) ∈B . 现有如下命题：其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①设函数f (x ) 的定义域为D ，则“f (x ) ∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a ) ＝b ”； ②函数f (x ) ∈B 的充要条件是f (x ) 有最大值和最小值；
③若函数f (x ) ，g (x ) 的定义域相同，且f (x ) ∈A ，g (x ) ∈B ，则f (x ) ＋g (x ) ∉B ； x
④若函数f (x ) ＝a ln(x ＋2) ＋(x >－2，a ∈R ) 有最大值，则f (x ) ∈B .
x ＋1
1．[2014·山东卷] 已知函数f (x ) ＝|x －2|＋1，g (x ) ＝kx ，若方程f (x ) ＝g (x ) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
11
0， B. ⎛，1⎫ C. (1，2) D. (2，＋∞) A. ⎛⎝2⎝2⎭
[解析] 画出函数f (x ) 的图像，如图所示．若方程f (x ) ＝g (x ) 有两个不相等1
的实数，则函数f (x ) ，g (x ) 有两个交点，则k ＞，且k ＜1. 故选B.
2
2.[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(
)
图1-1
A B C D
x
1⎫
[解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1) ，得a ＝3. 选项A 中的函数为y ＝⎛⎝3⎭，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x ) 3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x ) ，则其函数图像不正确．
2⎧⎪x ＋1，x >0，
3.[2014·福建卷] 已知函数f (x ) ＝⎨则下列结论正确的是( )
⎪cos x ， x ≤0，⎩
A ．f (x ) 是偶函数
B ．f (x ) 是增函数 C ．f (x ) 是周期函数
D ．f (x ) 的值域为[－1，＋∞)
[解析] 由函数f (x ) 的解析式知，f (1)＝2，f (－1) ＝cos(－1) ＝cos 1，f (1)≠f (－1) ，则f (x ) 不是偶函数； 当x >0时，令f (x ) ＝x 2＋1，则f (x ) 在区间(0，＋∞) 上是增函数，且函数值f (x )>1；
当x ≤0时，f (x ) ＝cos x ，则f (x ) 在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1，1]； ∴函数f (x ) 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞) ． 4.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x ) ＝ax 3－3x 2＋1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)
[解析] 当a ＝0时，f (x ) ＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.
2
由f ′(x ) ＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝.
a
2
2a 42＝－若a
a 2－4
此时只需>0，即可解得a
a
若a >0，则f (x ) 极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x ) 一定存在小于零的零点，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2) ．
5.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x ) 3sin 值范围是( )
A ．(－∞，－6) ∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4) ∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2) ∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)
πx 22
，若存在f (x ) 的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]＜m ，则m 的取m
πx π1
k ＋⎫，k ∈Z ，且极值为3，问题等价于存在k 0 [解析] 函数f (x ) 的极值点满足＝k π，即x ＝m ⎛⎝2⎭m 2
1⎫21⎫2112⎛2⎛使之满足不等式m ⎝k 0＋2⎭＋34，解得
44
m >2或m
6.[2014·湖南卷] 已知f (x ) ，g (x ) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x ) －g (x ) ＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
[解析] 因为f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1) －g (－1) ＝(－1) 3＋(－1) 2＋1＝1.
1
附加.[2014·湖南卷] 已知函数f (x ) ＝x 2＋e x －(x
2
则a 的取值范围是( )
1
A ．(－∞， B ．(－∞，e)
e
11⎛⎫⎛－e e ，C. D. e e ⎭⎝⎭⎝
1－
[解析] 依题意，设存在P (－m ，n ) 在f (x ) 的图像上，则Q (m ，n ) 在g (x ) 的图像上，则有m 2＋e m －＝m 2
2
11－－
＋ln(m ＋a ) ，解得m ＋a ＝ee m －a ＝ee m －－m (m ＞0) ，可得a ∈(e) ．
22
7．[2014·四川卷] 已知f (x ) ＝ln(1＋x ) －ln(1－x ) ，x ∈(－1，1) ．现有下列命题：
2x
①f (－x ) ＝－f (x ) ；②f ⎛1＋x ⎫＝2f (x ) ；
⎝⎭
③|f (x )|≥2|x |.
其中的所有正确命题的序号是( )
A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①② [解析] f (－x ) ＝ln(1－x ) －ln(1＋x ) ＝ln
1－x 1＋x
ln [ln （1＋x ）－ln （1－x ）] 1＋x 1－x
2x ⎛2x ⎫＝ln ⎛12x －ln ⎛12x ＝
(－1，1) ，且f ⎝1＋x ⎭⎝1＋x ⎭⎝1＋x ⎭1＋x
＝－f (x ) ，故①正确；当x ∈(－1，1) 时，
2x
1＋
1＋x 1＋x ⎫21＋x 2＋2x 1＋x ⎛ln ＝ln ln ＝2ln 2[ln(1＋x ) －ln(1－x )]＝2f (x ) ，故②正确； ⎪2x 1－x ⎭1＋x －2x 1－x ⎝11＋x 由①知，f (x ) 为奇函数，所以|f (x )|为偶函数，则只需判断当x ∈[0，1) 时，f (x ) 与2x 的大小关系即可． 记g (x ) ＝f (x ) －2x ，0≤x ＜1，
即g (x ) ＝ln(1＋x ) －ln(1－x ) －2x ，0≤x
g ′(x ) ＝20≤x ＜1.
1＋x 1－x 1－x 当0≤x ＜1时，g ′(x ) ≥0，
即g (x ) 在[0，1) 上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x ) ≥0， 即f (x ) －2x ≥0，x ∈[0，1) ，于是|f (x )|≥2|x |正确． 综上可知，①②③都为真命题，故选A.
1
8．[2014·湖北卷] 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) ＝(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2) ．若
2
∀x ∈R ，f (x －1) ≤f (x ) ，则实数a 的取值范围为( )
116－ B. ⎡－A. ⎡⎣66⎣6113－， D. ⎡－C. ⎡⎣33⎣36 6⎦3 31122222
[解析] 因为当x ≥0时，f (x ) ＝(|x －a |＋|x －2a |－3a 2) ，所以当0≤x ≤a 2时，f (x ) ＝(a －x ＋2a －x －3a ) 22＝－x ；
1222
当a 2
21222
当x ≥2a 2时，f (x ) (x －a ＋x －2a －3a ) ＝x －3a 2.
2
2
⎧－x ，0≤x ≤a ，
⎪22
2
综上，f (x ) ＝⎨－a ，a
⎪⎩x －3a 2，x ≥2a 2.
66
≤a ≤故选B. 66
32
9．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax －x ＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
9
－6 A ．[－5，－3] B. ⎡8⎣
C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]
x 2－4x －3
11．C [解析] 当－2≤x
x x 2－4x －3
令f (x ) －2≤x
x －x 2＋8x ＋9－（x －9）（x ＋1）
则f ′(x ) ＝f (x ) 在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0) 上单调递增，此
x x 1＋4－3x 2－4x －3x 2－4x －3
时有a ≤2. 当x ＝0时，g (x ) 恒成立．当0
x x －1
－x 2＋8x ＋9－（x －9）（x ＋1）
则g ′(x ) ＝
x x 1－4－3
故g (x ) 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥＝－6. 综上，－6≤a ≤－2.
1
10．[2014·浙江卷] 已知函数f (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且09
⎧⎪－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，
[解析] 由f (－1) ＝f (－2) ＝f (－3) 得⎨⇒
⎪⎩－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c
⎧⎪－7＋3a －b ＝0，⎧⎪a ＝6，⎨⇒⎨则f (x ) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0
a ( )
观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1) ≤f (x ) ，则需满足2a 2－(－4a 2) ≤1，解得－
A
C [解析] 只有选项D 符合，此时0
2⎧⎪x ＋x ，x
12．[2014·浙江卷] 设函数f (x ) ＝⎨2
⎪－x ， x ≥0. ⎩
若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 函数f (x ) 的图像如图所示，令
t ≥－2，所以f (a ) ≥－2，则a ≤2.
13．[2014·天津卷] 已知函数f (x ) ＝|x ＋3x |恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．
[解析] 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x ) 与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x ) 的图像相切时，
2
2
⎧⎪－ax ＋a ＝－x －3x ，由⎨整理得x 2＋(3－a ) x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a ) 2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9. ⎪⎩a >0，
故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x ) 的图像有四个交点时，0
>9.
14．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) ，对函数y ＝g (x )(x ∈I ) ，定义g (x ) 关于f (x ) 的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ) ，y ＝h (x ) 满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x )) ，(x ，g (x )) 关于点(x ，f (x )) 对称．若h (x ) 是g (x ) ＝4－x 关于f (x ) ＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x ) ＞g (x ) 恒成立，则实数b 的取值范围是________．
[解析] g (x ) 的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2＝4(y ≥0) ．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x ) ，
|b |
根据圆心(0，0) 到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆的半径求得2，解得b ＝2或b ＝－2舍去) ，要使
9＋1h (x )>g (x ) 恒成立，则b ＞210，即实数b 的取值范围是10，＋∞) ．
15．[2014·江苏卷] 已知函数f (x ) ＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )
[解析] 因为f (x ) ＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对22
－m ＜⎧⎧22⎪f （m ）＜0，2
于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x ) ＜0，只需⎨解得⎨即m ∈⎛，0⎫.
⎝2⎭⎪f （m ＋1）＜0， 3⎩
－＜m ＜0，⎩2
1
x 2－2x . 若函数16、[2014·江苏卷] 已知f (x ) 是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3) 时，f (x ) ＝⎪2⎪y ＝f (x ) －a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同) ，则实数a 的取值范围是________．
1
[解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，
2将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x ) 在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3) ＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2) ＝f (1)＝f (4)＝0.5.
函数y ＝f (x ) －a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同) 等价于y ＝f (x ) 的图像与直线y ＝a 有10个不同的10，⎫.
交点，由图像可得a ∈⎛⎝2⎭
17.[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x ) 组成的集合：对于函数φ(x ) ，存在一个正数M ，使得函数φ(x ) 的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x ) ＝x 3，φ2(x ) ＝sin x 时，φ1(x ) ∈A ，φ2(x ) ∈B . 现有如下命题：
①设函数f (x ) 的定义域为D ，则“f (x ) ∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a ) ＝b ”； ②函数f (x ) ∈B 的充要条件是f (x ) 有最大值和最小值；
③若函数f (x ) ，g (x ) 的定义域相同，且f (x ) ∈A ，g (x ) ∈B ，则f (x ) ＋g (x ) ∉B ；
x
④若函数f (x ) ＝a ln(x ＋2) ＋(x >－2，a ∈R ) 有最大值，则f (x ) ∈B .
x ＋1
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f (x ) ∈A ，则f (x ) 的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a ) ＝b ，故①正确．
取函数f (x ) ＝x (－1＜x ＜1) ，其值域为(－1，1) ，于是，存在M ＝1，使得f (x ) 的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x ) 没有最大值和最小值，故②错误．
当f (x ) ∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a ) ＝b ，所以，当g (x ) ∈B 时，对于函数f (x ) ＋g (x ) ，如果存在一个正数M ，使得f (x ) ＋g (x ) 的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0) ＝b －g (a 0) ，即f (a 0) ＋g (a 0) ＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．
x
对于f (x ) ＝a ln(x ＋2) ＋(x ＞－2) ，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x ) 都没有最大值．要使得函数f (x ) 有最
x ＋1大值，只有a ＝0，此时f (x ) ＝
x
(x ＞－2) ． x ＋1
111
－，所以存在正数M ，使得f (x ) ∈[－M ，M ]，故④正确． 易知f (x ) ∈⎡⎣222附加12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x ) 满足：
①f (0)＝f (1)＝0；
1
②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x ) －f (y )|
2
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x ) －f (y )|
1111A. B. C. 2482π
12．B [解析] 不妨设0≤y
1111
当x －y |f (x ) －f (y )|
当x －y >时，|f (x ) －f (y )|＝|f (x ) －f (1)－(f (y ) －f (0))|≤|f (x ) －f (1)|＋|f (y ) －f (0)|
2211111
|x －1|＋y －0|＝－x －y ) . 故k min ＝.
22244
1i
10．[2014·浙江卷] 设函数f 1(x ) ＝x 2，f 2(x ) ＝2(x －x 2) ，f 3(x ) ＝|sin 2πx |，a i ＝，i ＝0，1，2，„，99. 记
399
I k ＝|f k (a 1) －f k (a 0)|＋|f k (a 2) －f k (a 1)|＋„＋|f k (a 99) －f k (a 98)|，k ＝1，2，3，则( )
A ．I 1
i 2⎛i －1⎫2⎪2i －11⎪⎛10．B [解析] 对于I 1，由于⎝99－＝(i ＝1，2，„，99) ，故I 1＋3＋5＋„＋2×99
99⎪⎝99⎭⎪99
9922i i －1⎛i 2⎛i －12⎪2⎪－1) ＝1；对于I 2，由于2＝|100－2i |(i ＝1，2，„，99) ，故I 2＝2×－⎝99＋9999⎝99⎪99⎪9999
2
50（98＋0）100×9899－1
2π×⎫－sin ⎛2π×＋sin ⎛2π－sin ⎛2π×＋„＋ I 3sin ⎛99⎭999999⎝⎝⎝⎝3
99982π×－sin ⎛2π＝ sin ⎛9999⎝⎝1⎛2π×25⎫－2sin ⎛2π×74≈4故I 2
2014年高考函数与方程及答案
1．[2014·山东卷] 已知函数f (x ) ＝|x －2|＋1，g (x ) ＝kx ，若方程f (x ) ＝g (x ) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
11
0， B. ⎛，1⎫ C. (1，2) D. (2，＋∞) A. ⎛⎝2⎝2⎭
2．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(
)
图1-1
A B C D
2
⎧⎪x ＋1，x >0，
3．[2014·福建卷] 已知函数f (x ) ＝⎨则下列结论正确的是( )
⎪cos x ， x ≤0，⎩
A ．f (x ) 是偶函数 B ．f (x ) 是增函数 C ．f (x ) 是周期函数 D ．f (x ) 的值域为[－1，＋∞)
4．[2014·新课标Ⅰ] 已知函数f (x ) ＝ax 3－3x 2＋1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 5．[2014·课标Ⅱ] 设函数f (x ) ＝3sin
A ．(－∞，－6) ∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4) ∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2) ∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)
6．[2014·湖南卷] 已知f (x ) ，g (x ) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x ) －g (x ) ＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
7．[2014·四川卷] 已知f (x ) ＝ln(1＋x ) －ln(1－x ) ，x ∈(－1，1) ．现有下列命题：
2x
①f (－x ) ＝－f (x ) ；②f ⎛1＋x ⎫＝2f (x ) ；③|f (x )|≥2|x |. 其中的所有正确命题的序号是( )
πx 22
，若存在f (x ) 的极值点x 0满足x 2则m 的取值范围是( ) 0＋[f (x 0)]＜m ，m
⎝⎭
A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②
1
8．[2014·湖北卷] 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2) ．
2若∀x ∈R ，f (x －1) ≤f (x ) ，则实数a 的取值范围为( )
11116633－ B. ⎡－ C. ⎡－⎤ D. ⎡－ A. ⎡⎣66⎣33⎦6⎣6⎣33
9．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
9
－6 A ．[－5，－3] B. ⎡8⎣C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]
10．[2014·浙江卷] 已知函数f (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0
A ．c ≤3 B ．39
11．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x ) ＝x a (x >0)，g (x ) ＝log a x 的图像可能是( )
A B C D
⎧x 2＋x ，x
12．[2014·浙江卷] 设函数f (x ) ＝⎨2若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．
⎪－x ， x ≥0. ⎩
13．[2014·天津卷] 已知函数f (x ) ＝|x 2＋3x |，x ∈R . 若方程f (x ) －a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．
14．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) ，对函数y ＝g (x )(x ∈I ) ，定义g (x ) 关于f (x ) 的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ) ，y ＝h (x ) 满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x )) ，(x ，g (x )) 关于点(x ，f (x )) 对称．若h (x ) 是g (x ) ＝4－x 关于f (x ) ＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x ) ＞g (x ) 恒成立，则实数b 的取值范围是________．
15．[2014·江苏卷] 已知函数f (x ) ＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )
1
x 2－2x . 若函数y ＝16．[2014·江苏卷] 已知f (x ) 是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3) 时，f (x ) ＝⎪2⎪f (x ) －a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同) ，则实数a 的取值范围是________．
17.[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x ) 组成的集合：对于函数φ(x ) ，存在一个正数M ，使得函数φ(x ) 的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x ) ＝x 3，φ2(x ) ＝sin x 时，φ1(x ) ∈A ，φ2(x ) ∈B . 现有如下命题：其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①设函数f (x ) 的定义域为D ，则“f (x ) ∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a ) ＝b ”； ②函数f (x ) ∈B 的充要条件是f (x ) 有最大值和最小值；
③若函数f (x ) ，g (x ) 的定义域相同，且f (x ) ∈A ，g (x ) ∈B ，则f (x ) ＋g (x ) ∉B ； x
④若函数f (x ) ＝a ln(x ＋2) ＋(x >－2，a ∈R ) 有最大值，则f (x ) ∈B .
x ＋1
1．[2014·山东卷] 已知函数f (x ) ＝|x －2|＋1，g (x ) ＝kx ，若方程f (x ) ＝g (x ) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
11
0， B. ⎛，1⎫ C. (1，2) D. (2，＋∞) A. ⎛⎝2⎝2⎭
[解析] 画出函数f (x ) 的图像，如图所示．若方程f (x ) ＝g (x ) 有两个不相等1
的实数，则函数f (x ) ，g (x ) 有两个交点，则k ＞，且k ＜1. 故选B.
2
2.[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(
)
图1-1
A B C D
x
1⎫
[解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1) ，得a ＝3. 选项A 中的函数为y ＝⎛⎝3⎭，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x ) 3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x ) ，则其函数图像不正确．
2⎧⎪x ＋1，x >0，
3.[2014·福建卷] 已知函数f (x ) ＝⎨则下列结论正确的是( )
⎪cos x ， x ≤0，⎩
A ．f (x ) 是偶函数
B ．f (x ) 是增函数 C ．f (x ) 是周期函数
D ．f (x ) 的值域为[－1，＋∞)
[解析] 由函数f (x ) 的解析式知，f (1)＝2，f (－1) ＝cos(－1) ＝cos 1，f (1)≠f (－1) ，则f (x ) 不是偶函数； 当x >0时，令f (x ) ＝x 2＋1，则f (x ) 在区间(0，＋∞) 上是增函数，且函数值f (x )>1；
当x ≤0时，f (x ) ＝cos x ，则f (x ) 在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1，1]； ∴函数f (x ) 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞) ． 4.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x ) ＝ax 3－3x 2＋1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)
[解析] 当a ＝0时，f (x ) ＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.
2
由f ′(x ) ＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝.
a
2
2a 42＝－若a
a 2－4
此时只需>0，即可解得a
a
若a >0，则f (x ) 极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x ) 一定存在小于零的零点，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2) ．
5.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x ) 3sin 值范围是( )
A ．(－∞，－6) ∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4) ∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2) ∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)
πx 22
，若存在f (x ) 的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]＜m ，则m 的取m
πx π1
k ＋⎫，k ∈Z ，且极值为3，问题等价于存在k 0 [解析] 函数f (x ) 的极值点满足＝k π，即x ＝m ⎛⎝2⎭m 2
1⎫21⎫2112⎛2⎛使之满足不等式m ⎝k 0＋2⎭＋34，解得
44
m >2或m
6.[2014·湖南卷] 已知f (x ) ，g (x ) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x ) －g (x ) ＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
[解析] 因为f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1) －g (－1) ＝(－1) 3＋(－1) 2＋1＝1.
1
附加.[2014·湖南卷] 已知函数f (x ) ＝x 2＋e x －(x
2
则a 的取值范围是( )
1
A ．(－∞， B ．(－∞，e)
e
11⎛⎫⎛－e e ，C. D. e e ⎭⎝⎭⎝
1－
[解析] 依题意，设存在P (－m ，n ) 在f (x ) 的图像上，则Q (m ，n ) 在g (x ) 的图像上，则有m 2＋e m －＝m 2
2
11－－
＋ln(m ＋a ) ，解得m ＋a ＝ee m －a ＝ee m －－m (m ＞0) ，可得a ∈(e) ．
22
7．[2014·四川卷] 已知f (x ) ＝ln(1＋x ) －ln(1－x ) ，x ∈(－1，1) ．现有下列命题：
2x
①f (－x ) ＝－f (x ) ；②f ⎛1＋x ⎫＝2f (x ) ；
⎝⎭
③|f (x )|≥2|x |.
其中的所有正确命题的序号是( )
A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①② [解析] f (－x ) ＝ln(1－x ) －ln(1＋x ) ＝ln
1－x 1＋x
ln [ln （1＋x ）－ln （1－x ）] 1＋x 1－x
2x ⎛2x ⎫＝ln ⎛12x －ln ⎛12x ＝
(－1，1) ，且f ⎝1＋x ⎭⎝1＋x ⎭⎝1＋x ⎭1＋x
＝－f (x ) ，故①正确；当x ∈(－1，1) 时，
2x
1＋
1＋x 1＋x ⎫21＋x 2＋2x 1＋x ⎛ln ＝ln ln ＝2ln 2[ln(1＋x ) －ln(1－x )]＝2f (x ) ，故②正确； ⎪2x 1－x ⎭1＋x －2x 1－x ⎝11＋x 由①知，f (x ) 为奇函数，所以|f (x )|为偶函数，则只需判断当x ∈[0，1) 时，f (x ) 与2x 的大小关系即可． 记g (x ) ＝f (x ) －2x ，0≤x ＜1，
即g (x ) ＝ln(1＋x ) －ln(1－x ) －2x ，0≤x
g ′(x ) ＝20≤x ＜1.
1＋x 1－x 1－x 当0≤x ＜1时，g ′(x ) ≥0，
即g (x ) 在[0，1) 上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x ) ≥0， 即f (x ) －2x ≥0，x ∈[0，1) ，于是|f (x )|≥2|x |正确． 综上可知，①②③都为真命题，故选A.
1
8．[2014·湖北卷] 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) ＝(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2) ．若
2
∀x ∈R ，f (x －1) ≤f (x ) ，则实数a 的取值范围为( )
116－ B. ⎡－A. ⎡⎣66⎣6113－， D. ⎡－C. ⎡⎣33⎣36 6⎦3 31122222
[解析] 因为当x ≥0时，f (x ) ＝(|x －a |＋|x －2a |－3a 2) ，所以当0≤x ≤a 2时，f (x ) ＝(a －x ＋2a －x －3a ) 22＝－x ；
1222
当a 2
21222
当x ≥2a 2时，f (x ) (x －a ＋x －2a －3a ) ＝x －3a 2.
2
2
⎧－x ，0≤x ≤a ，
⎪22
2
综上，f (x ) ＝⎨－a ，a
⎪⎩x －3a 2，x ≥2a 2.
66
≤a ≤故选B. 66
32
9．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax －x ＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
9
－6 A ．[－5，－3] B. ⎡8⎣
C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]
x 2－4x －3
11．C [解析] 当－2≤x
x x 2－4x －3
令f (x ) －2≤x
x －x 2＋8x ＋9－（x －9）（x ＋1）
则f ′(x ) ＝f (x ) 在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0) 上单调递增，此
x x 1＋4－3x 2－4x －3x 2－4x －3
时有a ≤2. 当x ＝0时，g (x ) 恒成立．当0
x x －1
－x 2＋8x ＋9－（x －9）（x ＋1）
则g ′(x ) ＝
x x 1－4－3
故g (x ) 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥＝－6. 综上，－6≤a ≤－2.
1
10．[2014·浙江卷] 已知函数f (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且09
⎧⎪－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，
[解析] 由f (－1) ＝f (－2) ＝f (－3) 得⎨⇒
⎪⎩－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c
⎧⎪－7＋3a －b ＝0，⎧⎪a ＝6，⎨⇒⎨则f (x ) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0
a ( )
观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1) ≤f (x ) ，则需满足2a 2－(－4a 2) ≤1，解得－
A
C [解析] 只有选项D 符合，此时0
2⎧⎪x ＋x ，x
12．[2014·浙江卷] 设函数f (x ) ＝⎨2
⎪－x ， x ≥0. ⎩
若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 函数f (x ) 的图像如图所示，令
t ≥－2，所以f (a ) ≥－2，则a ≤2.
13．[2014·天津卷] 已知函数f (x ) ＝|x ＋3x |恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．
[解析] 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x ) 与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x ) 的图像相切时，
2
2
⎧⎪－ax ＋a ＝－x －3x ，由⎨整理得x 2＋(3－a ) x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a ) 2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9. ⎪⎩a >0，
故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x ) 的图像有四个交点时，0
>9.
14．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) ，对函数y ＝g (x )(x ∈I ) ，定义g (x ) 关于f (x ) 的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ) ，y ＝h (x ) 满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x )) ，(x ，g (x )) 关于点(x ，f (x )) 对称．若h (x ) 是g (x ) ＝4－x 关于f (x ) ＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x ) ＞g (x ) 恒成立，则实数b 的取值范围是________．
[解析] g (x ) 的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2＝4(y ≥0) ．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x ) ，
|b |
根据圆心(0，0) 到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆的半径求得2，解得b ＝2或b ＝－2舍去) ，要使
9＋1h (x )>g (x ) 恒成立，则b ＞210，即实数b 的取值范围是10，＋∞) ．
15．[2014·江苏卷] 已知函数f (x ) ＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )
[解析] 因为f (x ) ＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对22
－m ＜⎧⎧22⎪f （m ）＜0，2
于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x ) ＜0，只需⎨解得⎨即m ∈⎛，0⎫.
⎝2⎭⎪f （m ＋1）＜0， 3⎩
－＜m ＜0，⎩2
1
x 2－2x . 若函数16、[2014·江苏卷] 已知f (x ) 是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3) 时，f (x ) ＝⎪2⎪y ＝f (x ) －a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同) ，则实数a 的取值范围是________．
1
[解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，
2将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x ) 在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3) ＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2) ＝f (1)＝f (4)＝0.5.
函数y ＝f (x ) －a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同) 等价于y ＝f (x ) 的图像与直线y ＝a 有10个不同的10，⎫.
交点，由图像可得a ∈⎛⎝2⎭
17.[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x ) 组成的集合：对于函数φ(x ) ，存在一个正数M ，使得函数φ(x ) 的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x ) ＝x 3，φ2(x ) ＝sin x 时，φ1(x ) ∈A ，φ2(x ) ∈B . 现有如下命题：
①设函数f (x ) 的定义域为D ，则“f (x ) ∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a ) ＝b ”； ②函数f (x ) ∈B 的充要条件是f (x ) 有最大值和最小值；
③若函数f (x ) ，g (x ) 的定义域相同，且f (x ) ∈A ，g (x ) ∈B ，则f (x ) ＋g (x ) ∉B ；
x
④若函数f (x ) ＝a ln(x ＋2) ＋(x >－2，a ∈R ) 有最大值，则f (x ) ∈B .
x ＋1
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f (x ) ∈A ，则f (x ) 的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a ) ＝b ，故①正确．
取函数f (x ) ＝x (－1＜x ＜1) ，其值域为(－1，1) ，于是，存在M ＝1，使得f (x ) 的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x ) 没有最大值和最小值，故②错误．
当f (x ) ∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a ) ＝b ，所以，当g (x ) ∈B 时，对于函数f (x ) ＋g (x ) ，如果存在一个正数M ，使得f (x ) ＋g (x ) 的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0) ＝b －g (a 0) ，即f (a 0) ＋g (a 0) ＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．
x
对于f (x ) ＝a ln(x ＋2) ＋(x ＞－2) ，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x ) 都没有最大值．要使得函数f (x ) 有最
x ＋1大值，只有a ＝0，此时f (x ) ＝
x
(x ＞－2) ． x ＋1
111
－，所以存在正数M ，使得f (x ) ∈[－M ，M ]，故④正确． 易知f (x ) ∈⎡⎣222附加12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x ) 满足：
①f (0)＝f (1)＝0；
1
②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x ) －f (y )|
2
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x ) －f (y )|
1111A. B. C. 2482π
12．B [解析] 不妨设0≤y
1111
当x －y |f (x ) －f (y )|
当x －y >时，|f (x ) －f (y )|＝|f (x ) －f (1)－(f (y ) －f (0))|≤|f (x ) －f (1)|＋|f (y ) －f (0)|
2211111
|x －1|＋y －0|＝－x －y ) . 故k min ＝.
22244
1i
10．[2014·浙江卷] 设函数f 1(x ) ＝x 2，f 2(x ) ＝2(x －x 2) ，f 3(x ) ＝|sin 2πx |，a i ＝，i ＝0，1，2，„，99. 记
399
I k ＝|f k (a 1) －f k (a 0)|＋|f k (a 2) －f k (a 1)|＋„＋|f k (a 99) －f k (a 98)|，k ＝1，2，3，则( )
A ．I 1
i 2⎛i －1⎫2⎪2i －11⎪⎛10．B [解析] 对于I 1，由于⎝99－＝(i ＝1，2，„，99) ，故I 1＋3＋5＋„＋2×99
99⎪⎝99⎭⎪99
9922i i －1⎛i 2⎛i －12⎪2⎪－1) ＝1；对于I 2，由于2＝|100－2i |(i ＝1，2，„，99) ，故I 2＝2×－⎝99＋9999⎝99⎪99⎪9999
2
50（98＋0）100×9899－1
2π×⎫－sin ⎛2π×＋sin ⎛2π－sin ⎛2π×＋„＋ I 3sin ⎛99⎭999999⎝⎝⎝⎝3
99982π×－sin ⎛2π＝ sin ⎛9999⎝⎝1⎛2π×25⎫－2sin ⎛2π×74≈4故I 2