耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系

第27卷　第2期

Vol. 27　No. 2河南职技师院学报Journal o f Henan Vocation-T echnical Teachers College 1999年　6月Jun. 1999

耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系

华守亮　王庆飞

(安阳大学, 455000)

摘　要　通过对耗散系统的研究, 证明了耗散系统奇怪吸引子的存在, 并首次给出2n ・3和2n ・5各片奇怪吸引子片转折点对K 和J 的普适标度关系, 对耗散系统2n ・P (P =1, 3, 5,. .. ) 片奇怪吸引子的普适转变特性有一个完整的了解, 在此基础上给出了K -J 平面内奇怪吸引子各分岔序列的普适转变曲线

关键词　耗散系统; 奇怪吸引子; 片转折点; 普适标度; 分岔

中图分类号　O414. 21

1　引言

对一个具有三维相空间的物理系统, 系统的轨道与相空间适当选择的面相交产生一系列的点, 构成一个二维映象(即截面映象) , 对哈密顿系统, 该映象是面积守恒的, 对耗散系统随着一次次地迭代, 截面映象的面积将不断收缩, 趋于一个较低维的吸引子, 本文将以几个二维耗散映象为例, 以计算机为工具进行数值研究, 并作图显示说明二维耗散映象的奇怪吸引子的普适转变特性。

研究耗散映象奇怪吸引子普适转变的意义在于:许多物理系统的相空间截面映象表现出上述性质, 如非线性电路, 阻尼摆振子等。在等离子磁约束中, 如果考虑各种阻尼(如粒子之间的碰撞、幅射阻尼等) , 带电粒子在“磁瓶”中的运动就可用耗散标准映象来描述。对奇怪吸引子的普适转变特性的研究, 有助于在研究物理系统时, 通过对参量的控制, 达到控制系统运动方式的目的。本文所研究的几个映象如下:

(1) Y n+1=-Jx n

该映象可看作是一些三维流体系统的截面映象, 其中K 是系统强度参数, 代表着系统的不可积程度, J 是代表耗散强弱的因子, 是系统Jaco bian 行列式。

Y n+1=X n -f(K, x n+1)

该映象也是在研究三维流体运动时提出的, 其中f(k, x n ) =-Kx n +(1+K) x 2n , K 和J 的意义同上。

x n+1=x n +Y n+1

(3) sin(2 x n ) 2

这个映象的物理模型较多, 其中一个简单的情况是; 一个粒子在两个板之间跳动, 一个板固定, 一个板在作振动。Y n +1=JY n +

4. 考虑带电粒子在电场的作用下所做的阻尼运动我们可得到第二类耗散标准映象:

G X n +1=X n +Y n +1G

Y n+1=e (Y n +ksin(2 x n ) )

-G 1. Henon 映象:x n+1=Y n +1-Kx n 22. Dev ogelaere 映象:x n +1=-JY n +f(K, x n ) (2) 3. 第一类耗散标准映象:(4) 收稿日期:1999-02-01.

:, .

第2期华守亮等:耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系

-G 63　　其Jacobian 行列式J=e , G=-1nJ.

上述二维耗散映象当J =0代表了一个一维的非线性散映象, 当J =1时(无耗散) 代表了一个二维的哈密顿映象。一般地当J 在0～1之间取一个确定的值时, 即表示一个耗散系统的二维映象, 对其参数坐标空间(k-x 空间) 的数值计算表明, 当参数K 从0变大时, 迭代过程出现多次的突变, 在某一参数区间内, 是周期1不动点, 在另一区间内, 是周期2不动点.. .... 这些不动点称为周期吸引子, 随着k 的增加发生倍周期分岔, 到k=k ∞时出现混沌(达到无穷长周期) 。如图1所示, 以k n 周期2轨道产生周期2n+1轨道处的k 值, 则计算结果表明

=li n m →∞

是普适的, 且

1=4. 6692

　　J=1时对应于哈密顿系统, 2=8. 721.

特别令人感兴趣的是耗散映象经由倍周期分岔进入混沌后, 有一个反向的周期2n 的混沌带序列, 经过逆向倍周期分岔由混沌... 2n . .. 8, 4, 2至1片混沌带(片) 出现。继续增加k , 1片混沌带保持不变。以k`n 表示2n+1片产生2n 片处的k 值, 则逆向倍周期分岔带的标度

=n lim →∞n n-1k`n+1-k`n (7) (6) n n-1k n+1-k n n 是一个常数。而且数值实验和理论证明了, 对任何二次方单峰映象, J =0(对应一维耗散映象) 时, 的值

当J=0时与 相同, 即 1′= 1=4. 6692。当J 在0到1之间时, ′对所有耗散系统是一个确定的值, 且其值在 1与 2之间。已有的数值结果表明, 这些由逆向分岔的倍周期带(片) 到混沌带是耗散系统特有的, 一般地我们称这些片为奇怪吸引子(以与周期吸引子相对应) 。对耗散映象的(k-x ) 图仔细观察还可以发现, 在1片混沌带中有3片、5片... 等吸引子的窗口, 在2片混沌带中有6片、10片等吸引子的窗

n 口... , 即奇怪吸引子是以2. P (P =1, 3, 5,. .. ) 片组成不同的分岔序列, 如1-2-4-... , 3-6-12-... , 5-10-

20-... 等。下面我们将以数值计算和作图显示来证明, 耗散系统的所有2n ・P 片奇怪吸引子对K 和J 存在普适标度关系。

2　耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系

对耗散系统和哈密顿系统的映象研究发现两者从有序运动转变为混沌运动的普适性彼此不同; 以周期吸引子而言, 虽然两者对强度(不可积) 参数K 都存在普适标度 , 但其值却不一样, 分别为 1(4. 6692) 和 1(8. 271) 。并且哈密顿系统不存在奇怪吸引子, 而耗散系统的混沌运动以其分片的奇怪吸引子为特征; 亦即在倍周期分岔进入混沌之后, 有一个逆向倍周期分岔混沌带序列; 它们和周期吸引子有类同的分岔标度 ′(其定义见(7) 式) 。图1以耗散Devog elaere 映象(2) 式为列, 作出的J =0. 2时的参数坐标空间(K -x 空间) 的分岔图, 从图中可清楚看到2n 周期吸子和2n 片奇怪吸引子K 方向窗口, 而2n . 3和

2. 5序列的奇怪吸引子则必须提高分辨率才能发现, 图2是一般二维耗散系统在(k-x ) 平面内奇怪吸引子结构变化的示意图, 以突出表现2n . 3和2n . 5序列各片奇怪吸引子的位置, 图3给出了J =0. 014时3片奇怪吸引子在k -x 平面内k 方向的窗口, 图4给出了J =0. 2时5片奇怪吸引子的窗口。

一维非线性耗散映象和二维哈密顿映象其Jacobian 行列式的值分别为0和1。大量数值计算和作图显示, 对一般的耗散系统的二维映象(J 值在0～1之间) , 其K 方向的分岔标度对J 有一个普适关系。

定义有效分岔率:

ef f (J , n ) =

　　有效Jacobian 行列式=2n n -1∧n +1(J ) -∧n (J ) (8) n

64河　南　职　技　师　院　学　报1999年

图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3

　　这里∧n (J ) 是参数k 在周期2n 或2n ・P 片奇怪吸引子最大稳定处的k 值, 则对于任意的n , 数字计算表明 eff (J , n ) 和J eff 存在普适关系, 以上述耗散映象参数k 方向有效分岔标度 eff 和有效Jaco bian 行列J eff 为纵横坐标作图发现, eff 以 1(4. 6692) 为起点, 随着J eff 的增加光滑地趋近于 2(8. 271) , 如图5所示, 该图说明了耗散系统奇怪吸引子在k

方向的普适标度关系。

图

4图5

对上述映象的数值研究还发现, 对一特定的0

当k

这些片以k ∞为起点, 在k 处结束, 以k -k ∞为纵轴, 以J 为

横轴, 经过大量的数值计算和图形显示, 可以给出各2n 片

奇怪吸引子出现的区域图, 如图6所示, 此处曲线k 1代表1

片混沌带开始出现的各点, 从图上可以看出, k 1和k ∞逐渐

接近并且在J =1处相遇, K 2线表示2-片出现(4片结束) 片

等等. .. 。1, 2, 4. .. 区域分别表示1, 2, 4... 片存在区。从图

上还可得知, 2片奇怪吸引子并非对任-J 都存在, 当J>J 1

时, 2片奇怪吸引子消失, J >J 2时4片奇怪吸引消失... , J

n n 图6n >J n 时2片奇怪吸引子消失, 这些J n (及对应的k n ) 就是奇怪吸引子2片序列的片转折点。

在逆向倍周期分岔2n 片奇怪吸引子的k-x 图中, 对k 方向放大, 即可得到2n . 3和2n . 5... 片奇怪吸引子的窗口, 在k-x 空间形成嵌套的混沌带片结构; 对2. 3和2. 5... 各片奇怪吸引子的大量数值计算和图形显示发现, 各奇怪吸引子有趋于各片转折点J n (P) 的情况; J>0增加时, 到第一个片转折点J 0(p) (p =3, 5... ) 各片奇怪吸引子“窗口”消失, 到第二个片转折点J 1(P ) 时2P =6, 10. .. 等各片吸引子“窗口”消失, 并且随着J 的增加2n . 3、2n . 5. .. 各片奇怪吸引子都将逐渐消失, 呈现出类似2n 片转折点的特(P ) n n

第2期华守亮等:耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系65值的计算结果如表1:其中P=1对应于分岔序列1-2-4... (表中第一列) ; P=2对应于分岔序列3-6-

12... (表中第二列) ; P =3对应于分岔序列5-10-20... (表中第三列)

在不至于引起混乱的情况下, 我

们将奇怪吸引子的各分岔序列2. P

(P =1, 3, 5,.. . ) 的第一个片转折点

记为J 0(P ) , 第二个片转折点记为J 1

(p ).. . 即以J n (p ) 代表2n . p 片奇怪吸

引子的片转折点的J 值。当具体讨论n 表1　不同P 值奇怪吸引子转折点Jn (P ) J n (P) J 0(P) J 1(P) J 2(P) 10. 45～0. 460. 66～0. 670. 81～0. 8230. 022～0. 0230. 14～0. 150. 38～0. 3950. 22～0. 230. 47～0. 480. 68～0. 69某一分岔序列时(p 一定) J n (P) 就记

为J n 。观察各混沌片转折点J n , 可以发现, 对于给定P 的分岔序列, 在数值计算能达到的精度下存在标度关系

J 2n +1=J n (10)

　　定义J eff =(J n ) 2n 为有效Jacobian 行列式, 则对确定的P , J eff 是一个常数, 例P =1, J eff =0. 022... 事实上耗散系统奇怪吸引子的片转折点对J 的标度关系是(10) 不仅对耗散标准映象(2) 存在, 对其它映象的数值研究发现, 对不同的映象代表的耗散系统, 其各片转折点的J 值都存在(10) 式所标明的标度关系, 奇怪吸引子按2n . P (P =1, 3, 5,.. . ) 片分为不同的分岔序列(2n . 3和2n . 5... 序列嵌套在相应的2n 片奇怪吸引子中) , 每个序列的奇怪吸引子在K 和J 方向上存在普适的转变关系。在J 轴上存在普适标度关系J n+1=J , (或普适标度值J eff ) 。对一确定的J 值, 不同耗散系统 为确定的值, 并且 ′由 1=4. 669光滑趋于 2=8. 721。由此对不同耗散系统2. P 各分岔序列的奇怪吸引子的片转折点(K n , J n ) 值, 可得到一个普适的片转折点曲线, 利用重整化群理论可对上述结果可作出证明, 在后续文章中我们将给出其理论结果。n 2n

参考文献

1　J . M . G reen , R . S . M ackay , F . Vivaldi and M . J . Feigenbaum . Instability of Dynamical Systems w ith Sever al D egr ee of F r eedom , Phy sics 3D, 1981, 468

2　R. S. M ackay. T he Statist ical M echanical A naly tic Dy namics. Phy s. let t, 87A , 1982, 321

3　G . Schmidt and B . H . Wang . Det erminist ic Chao s . P hy , R ev . A 32, 1985, 2994

4　W ang Bing. hong and W ang Q ingfei. Conver g ence of Chao tic Or bit Co mputations for No ninteg rable D issipativ e Sy s-tems. Scintific. , 1988, 5

5　C. Chen, G. Gyo r gy i and G. Schmidt. St rang e At tactor s for Dissipativ e Systems. phy s. Rev. A 34, 1986, 2568

U niversal-Chang ing Relation for the

Strange A ttactors o f Disspative System

Hua Shouliang et al .

(Anyang Univer sity, 455000)

ABSTRACT

In this paper , the calculations have been made for disspative systems . T he value and diag ram dis-play the str ang e attractor s o f disspative sy stem. We have found the univ ersal-changing relatio ns of pieces -changing-po ints(P-C-P) for 2n. p(P=1. 3. 5) in K and J. We know the universality w ell in K-J plane for branches of strange attr ator s and give the univ ersal chang ing lines of strang e attractor s of 2n. p pieces in K-J plane.

KEY WORDS 　disspative system , strange attractors , pieces -changing -points , universal -changing

第27卷　第2期

Vol. 27　No. 2河南职技师院学报Journal o f Henan Vocation-T echnical Teachers College 1999年　6月Jun. 1999

耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系

华守亮　王庆飞

(安阳大学, 455000)

摘　要　通过对耗散系统的研究, 证明了耗散系统奇怪吸引子的存在, 并首次给出2n ・3和2n ・5各片奇怪吸引子片转折点对K 和J 的普适标度关系, 对耗散系统2n ・P (P =1, 3, 5,. .. ) 片奇怪吸引子的普适转变特性有一个完整的了解, 在此基础上给出了K -J 平面内奇怪吸引子各分岔序列的普适转变曲线

关键词　耗散系统; 奇怪吸引子; 片转折点; 普适标度; 分岔

中图分类号　O414. 21

1　引言

对一个具有三维相空间的物理系统, 系统的轨道与相空间适当选择的面相交产生一系列的点, 构成一个二维映象(即截面映象) , 对哈密顿系统, 该映象是面积守恒的, 对耗散系统随着一次次地迭代, 截面映象的面积将不断收缩, 趋于一个较低维的吸引子, 本文将以几个二维耗散映象为例, 以计算机为工具进行数值研究, 并作图显示说明二维耗散映象的奇怪吸引子的普适转变特性。

研究耗散映象奇怪吸引子普适转变的意义在于:许多物理系统的相空间截面映象表现出上述性质, 如非线性电路, 阻尼摆振子等。在等离子磁约束中, 如果考虑各种阻尼(如粒子之间的碰撞、幅射阻尼等) , 带电粒子在“磁瓶”中的运动就可用耗散标准映象来描述。对奇怪吸引子的普适转变特性的研究, 有助于在研究物理系统时, 通过对参量的控制, 达到控制系统运动方式的目的。本文所研究的几个映象如下:

(1) Y n+1=-Jx n

该映象可看作是一些三维流体系统的截面映象, 其中K 是系统强度参数, 代表着系统的不可积程度, J 是代表耗散强弱的因子, 是系统Jaco bian 行列式。

Y n+1=X n -f(K, x n+1)

该映象也是在研究三维流体运动时提出的, 其中f(k, x n ) =-Kx n +(1+K) x 2n , K 和J 的意义同上。

x n+1=x n +Y n+1

(3) sin(2 x n ) 2

这个映象的物理模型较多, 其中一个简单的情况是; 一个粒子在两个板之间跳动, 一个板固定, 一个板在作振动。Y n +1=JY n +

4. 考虑带电粒子在电场的作用下所做的阻尼运动我们可得到第二类耗散标准映象:

G X n +1=X n +Y n +1G

Y n+1=e (Y n +ksin(2 x n ) )

-G 1. Henon 映象:x n+1=Y n +1-Kx n 22. Dev ogelaere 映象:x n +1=-JY n +f(K, x n ) (2) 3. 第一类耗散标准映象:(4) 收稿日期:1999-02-01.

:, .

第2期华守亮等:耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系

-G 63　　其Jacobian 行列式J=e , G=-1nJ.

上述二维耗散映象当J =0代表了一个一维的非线性散映象, 当J =1时(无耗散) 代表了一个二维的哈密顿映象。一般地当J 在0～1之间取一个确定的值时, 即表示一个耗散系统的二维映象, 对其参数坐标空间(k-x 空间) 的数值计算表明, 当参数K 从0变大时, 迭代过程出现多次的突变, 在某一参数区间内, 是周期1不动点, 在另一区间内, 是周期2不动点.. .... 这些不动点称为周期吸引子, 随着k 的增加发生倍周期分岔, 到k=k ∞时出现混沌(达到无穷长周期) 。如图1所示, 以k n 周期2轨道产生周期2n+1轨道处的k 值, 则计算结果表明

=li n m →∞

是普适的, 且

1=4. 6692

　　J=1时对应于哈密顿系统, 2=8. 721.

特别令人感兴趣的是耗散映象经由倍周期分岔进入混沌后, 有一个反向的周期2n 的混沌带序列, 经过逆向倍周期分岔由混沌... 2n . .. 8, 4, 2至1片混沌带(片) 出现。继续增加k , 1片混沌带保持不变。以k`n 表示2n+1片产生2n 片处的k 值, 则逆向倍周期分岔带的标度

=n lim →∞n n-1k`n+1-k`n (7) (6) n n-1k n+1-k n n 是一个常数。而且数值实验和理论证明了, 对任何二次方单峰映象, J =0(对应一维耗散映象) 时, 的值

当J=0时与 相同, 即 1′= 1=4. 6692。当J 在0到1之间时, ′对所有耗散系统是一个确定的值, 且其值在 1与 2之间。已有的数值结果表明, 这些由逆向分岔的倍周期带(片) 到混沌带是耗散系统特有的, 一般地我们称这些片为奇怪吸引子(以与周期吸引子相对应) 。对耗散映象的(k-x ) 图仔细观察还可以发现, 在1片混沌带中有3片、5片... 等吸引子的窗口, 在2片混沌带中有6片、10片等吸引子的窗

n 口... , 即奇怪吸引子是以2. P (P =1, 3, 5,. .. ) 片组成不同的分岔序列, 如1-2-4-... , 3-6-12-... , 5-10-

20-... 等。下面我们将以数值计算和作图显示来证明, 耗散系统的所有2n ・P 片奇怪吸引子对K 和J 存在普适标度关系。

2　耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系

对耗散系统和哈密顿系统的映象研究发现两者从有序运动转变为混沌运动的普适性彼此不同; 以周期吸引子而言, 虽然两者对强度(不可积) 参数K 都存在普适标度 , 但其值却不一样, 分别为 1(4. 6692) 和 1(8. 271) 。并且哈密顿系统不存在奇怪吸引子, 而耗散系统的混沌运动以其分片的奇怪吸引子为特征; 亦即在倍周期分岔进入混沌之后, 有一个逆向倍周期分岔混沌带序列; 它们和周期吸引子有类同的分岔标度 ′(其定义见(7) 式) 。图1以耗散Devog elaere 映象(2) 式为列, 作出的J =0. 2时的参数坐标空间(K -x 空间) 的分岔图, 从图中可清楚看到2n 周期吸子和2n 片奇怪吸引子K 方向窗口, 而2n . 3和

2. 5序列的奇怪吸引子则必须提高分辨率才能发现, 图2是一般二维耗散系统在(k-x ) 平面内奇怪吸引子结构变化的示意图, 以突出表现2n . 3和2n . 5序列各片奇怪吸引子的位置, 图3给出了J =0. 014时3片奇怪吸引子在k -x 平面内k 方向的窗口, 图4给出了J =0. 2时5片奇怪吸引子的窗口。

一维非线性耗散映象和二维哈密顿映象其Jacobian 行列式的值分别为0和1。大量数值计算和作图显示, 对一般的耗散系统的二维映象(J 值在0～1之间) , 其K 方向的分岔标度对J 有一个普适关系。

定义有效分岔率:

ef f (J , n ) =

　　有效Jacobian 行列式=2n n -1∧n +1(J ) -∧n (J ) (8) n

64河　南　职　技　师　院　学　报1999年

图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3

　　这里∧n (J ) 是参数k 在周期2n 或2n ・P 片奇怪吸引子最大稳定处的k 值, 则对于任意的n , 数字计算表明 eff (J , n ) 和J eff 存在普适关系, 以上述耗散映象参数k 方向有效分岔标度 eff 和有效Jaco bian 行列J eff 为纵横坐标作图发现, eff 以 1(4. 6692) 为起点, 随着J eff 的增加光滑地趋近于 2(8. 271) , 如图5所示, 该图说明了耗散系统奇怪吸引子在k

方向的普适标度关系。

图

4图5

对上述映象的数值研究还发现, 对一特定的0

当k

这些片以k ∞为起点, 在k 处结束, 以k -k ∞为纵轴, 以J 为

横轴, 经过大量的数值计算和图形显示, 可以给出各2n 片

奇怪吸引子出现的区域图, 如图6所示, 此处曲线k 1代表1

片混沌带开始出现的各点, 从图上可以看出, k 1和k ∞逐渐

接近并且在J =1处相遇, K 2线表示2-片出现(4片结束) 片

等等. .. 。1, 2, 4. .. 区域分别表示1, 2, 4... 片存在区。从图

上还可得知, 2片奇怪吸引子并非对任-J 都存在, 当J>J 1

时, 2片奇怪吸引子消失, J >J 2时4片奇怪吸引消失... , J

n n 图6n >J n 时2片奇怪吸引子消失, 这些J n (及对应的k n ) 就是奇怪吸引子2片序列的片转折点。

在逆向倍周期分岔2n 片奇怪吸引子的k-x 图中, 对k 方向放大, 即可得到2n . 3和2n . 5... 片奇怪吸引子的窗口, 在k-x 空间形成嵌套的混沌带片结构; 对2. 3和2. 5... 各片奇怪吸引子的大量数值计算和图形显示发现, 各奇怪吸引子有趋于各片转折点J n (P) 的情况; J>0增加时, 到第一个片转折点J 0(p) (p =3, 5... ) 各片奇怪吸引子“窗口”消失, 到第二个片转折点J 1(P ) 时2P =6, 10. .. 等各片吸引子“窗口”消失, 并且随着J 的增加2n . 3、2n . 5. .. 各片奇怪吸引子都将逐渐消失, 呈现出类似2n 片转折点的特(P ) n n

第2期华守亮等:耗散系统奇怪吸引子的普适转变关系65值的计算结果如表1:其中P=1对应于分岔序列1-2-4... (表中第一列) ; P=2对应于分岔序列3-6-

12... (表中第二列) ; P =3对应于分岔序列5-10-20... (表中第三列)

在不至于引起混乱的情况下, 我

们将奇怪吸引子的各分岔序列2. P

(P =1, 3, 5,.. . ) 的第一个片转折点

记为J 0(P ) , 第二个片转折点记为J 1

(p ).. . 即以J n (p ) 代表2n . p 片奇怪吸

引子的片转折点的J 值。当具体讨论n 表1　不同P 值奇怪吸引子转折点Jn (P ) J n (P) J 0(P) J 1(P) J 2(P) 10. 45～0. 460. 66～0. 670. 81～0. 8230. 022～0. 0230. 14～0. 150. 38～0. 3950. 22～0. 230. 47～0. 480. 68～0. 69某一分岔序列时(p 一定) J n (P) 就记

为J n 。观察各混沌片转折点J n , 可以发现, 对于给定P 的分岔序列, 在数值计算能达到的精度下存在标度关系

J 2n +1=J n (10)

　　定义J eff =(J n ) 2n 为有效Jacobian 行列式, 则对确定的P , J eff 是一个常数, 例P =1, J eff =0. 022... 事实上耗散系统奇怪吸引子的片转折点对J 的标度关系是(10) 不仅对耗散标准映象(2) 存在, 对其它映象的数值研究发现, 对不同的映象代表的耗散系统, 其各片转折点的J 值都存在(10) 式所标明的标度关系, 奇怪吸引子按2n . P (P =1, 3, 5,.. . ) 片分为不同的分岔序列(2n . 3和2n . 5... 序列嵌套在相应的2n 片奇怪吸引子中) , 每个序列的奇怪吸引子在K 和J 方向上存在普适的转变关系。在J 轴上存在普适标度关系J n+1=J , (或普适标度值J eff ) 。对一确定的J 值, 不同耗散系统 为确定的值, 并且 ′由 1=4. 669光滑趋于 2=8. 721。由此对不同耗散系统2. P 各分岔序列的奇怪吸引子的片转折点(K n , J n ) 值, 可得到一个普适的片转折点曲线, 利用重整化群理论可对上述结果可作出证明, 在后续文章中我们将给出其理论结果。n 2n

参考文献

1　J . M . G reen , R . S . M ackay , F . Vivaldi and M . J . Feigenbaum . Instability of Dynamical Systems w ith Sever al D egr ee of F r eedom , Phy sics 3D, 1981, 468

2　R. S. M ackay. T he Statist ical M echanical A naly tic Dy namics. Phy s. let t, 87A , 1982, 321

3　G . Schmidt and B . H . Wang . Det erminist ic Chao s . P hy , R ev . A 32, 1985, 2994

4　W ang Bing. hong and W ang Q ingfei. Conver g ence of Chao tic Or bit Co mputations for No ninteg rable D issipativ e Sy s-tems. Scintific. , 1988, 5

5　C. Chen, G. Gyo r gy i and G. Schmidt. St rang e At tactor s for Dissipativ e Systems. phy s. Rev. A 34, 1986, 2568

U niversal-Chang ing Relation for the

Strange A ttactors o f Disspative System

Hua Shouliang et al .

(Anyang Univer sity, 455000)

ABSTRACT

In this paper , the calculations have been made for disspative systems . T he value and diag ram dis-play the str ang e attractor s o f disspative sy stem. We have found the univ ersal-changing relatio ns of pieces -changing-po ints(P-C-P) for 2n. p(P=1. 3. 5) in K and J. We know the universality w ell in K-J plane for branches of strange attr ator s and give the univ ersal chang ing lines of strang e attractor s of 2n. p pieces in K-J plane.

KEY WORDS 　disspative system , strange attractors , pieces -changing -points , universal -changing