南京理工大学
硕士学位论文
多阶段不确定系统的Bang--Bang最优控制
姓名：康玉洁
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：朱元国
20120309
硕士论文多阶段不确定最优控制
摘要
在理论和实际应用中，最优控制都起到了非常重要的作用。在多阶段系统中，当系统状态从前一个阶段转移到后一个阶段时，如果受到一个不确定变量的干扰，就是本文所讨论的多阶段不确定系统最优控制问题。本文所考虑的多阶段不确定系统的最优控制问题是使得不确定目标函数的期望值达到最优。在动态规划中ＢｅＵｍａｎ最优性原理的基础上，本文得到关于这类问题的一组递推公式。运用递推公式，对于目标函数是线性，状态转移方程分别是线性和二次的多阶段不确定最优系统，得到该系统的Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优目标值。
关键词：多阶段不确定最优控制，Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制，Ｂｅｎｍａｎ最优性原理，递推公式Ｉ
Ａｂｓｔｒａｃｔ硕士论文
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｉ８ａｖｅｕｉＩＩｌｐｏｒｔａｎｔｆｉｅｌｄｏｆｓｔｕｄｙｎｏｔｏｎｌｙｉｎｔｈｅｏ巧ｂｕｔ８Ｌ１ｓｏｉｎ印ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｉｎａｍｕｌｔｉ－ｓｔａ舻昭ｓｔｅｍ，ｗｈｅｎｔｈｅｓｔａｔｅａｔａｓｔａｇｅｏｆｔｈｅｓｙｓｔ锄ｉｓｄｅｒｉｖｅｄ行ｏｍｔｈｅｓｔａｔｅｏｆｔｈｅｆ０珊ｅｒｓｔａｇｅ，ａｎｄｄｉｊｓｔｕｒｂｅｄｂｙａｎｕｎｃｅｒｔａｉｌｌＶａｒｉａｂｌｅ，ａｍｕｌｔｉ－ｓｔａｇｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｉ８ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ａｎｏｐｔｉｍ２Ｌ１ｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒａｍＵｄｔｉ－ｓｔａｇｅｕｎＣｅｒ七越ｎｓｙｓｔｅｍｉｓｃ０ＩｌｓｉｄｅｒｅｄｔｏｏｐｔｉⅡｄｚｅｔｈｅｅ）（ｐｅｃｔｅｄ、，ａｌｕｅｏｆａｎｕｎｃｅｒｔａｉｎｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ０ｎＢｅｎｍａｎ’ｓＰｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＯｐｔｉｍａＨｔｙｉｌｌｄｙ－ｎ锄缸ｃｐｒｏｇｒａｍＨｌｉｎｇ，ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏ璐ｆｏｒｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｂｙｌｌｓｉｎｇｔｈｅｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｅｘａｕｃｔＢａｎ分Ｂａｎｇｏｐｔｉｍ越ＣｏｎｔｒｏｌｓａＩｌｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｏｐｔｉｍａＬｌｏｂｊｅｃｔｉｖｅｖ址ｕｅ８ｆｏｒｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍ耐ｔｈａｌｉｎｅａｒｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆＩｌｎｃｔｉｏｎｓｕｂｊｅｃｔｔ０ａｎ眦ｃｅｒｔａｉｎｌｉｎｅａｒａｎｄｑｕａｄｒａｔｉｃｓｙｓｔｅｍａｒｅ０ｂｔａｉｎｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ＫｅｙｗＤｒｄｓ：Ｍｕｌｔｉ－ｓｔａ嚣ｕｎｃｅｒｔａＬｉｎｏｐｔｉｍ以Ｃ０ｎｔｒｏｌ，Ｂａ略Ｂａｎｇｏｐｔｉｎｌ址ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｂｅｎｍａｄｌ’ｓＰｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＯｐｔｉｍａｌｉｔｙ＇工ｋｃｔｌｒｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎＩＩ
硕士论文多阶段不确定最优控制１引言
１．１最优控制的发展简介
上个世纪５０年代，在现代控制理论中，最优控制是其主要内容之一。最优控制问题主要是解决如何在众多决策中找到一个最优策略，使得目标函数达到最优，工程上的最速控制问题１１Ｊ就是一个最优控制问题。在最优控制理论中，许多数学家致力于研究最优控制问题，随着越来越多的数学和科学计算的方法和结论应用于最优控制问题中，最优控制理论得到了很大的发展。并且随着理论和应用的逐步深入，最优控制理论也逐渐应用于许多其他的领域，比如：工艺设计、程序设计、经济和管理领域。
从古到今，最优化问题一直是人们讨论的重点问题，如中国古代的”田忌赛马＂中选择一等马、二等马、三等马的比赛次序问题；赌博中如何获得最大利益的下注问题；现代投资组合中如何投资资金，从而获得最大收益的问题等。到２０世纪６０年代开始，随着实际中越来越多的最优化问题的提出，解决最优化问题的最优化方法也越来越多。在前人众多理论的基础上，最优化理论开始迅速发展，真正意义上形成一个学科。随后，最优化理论又出现了众多分支，如：线性规划、非线性规划、动态规划等。２０世纪７０年代，随着计算的精度和复杂性理论的提出，许多学者发现：对实际中一些复杂的组合优化问题，单纯地用当前人们所掌握的方法是很难解决的。２０世纪８０年代以来，人们发现自然界有许多现象可以进行模拟，从而得到一系列智能算法，如蚁群算法、遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络优化等，这些算法极大地促进了最优化问题的发展。
对于随机最优控制的研究起始于２０世纪６０年代，在７０年代广泛应用于金融学上，如Ｍｅｒｔｏｎ【２ｌ等。随后，Ｆｌｅ血ｎｇａｎｄ磁ｓｈｅｌ【３１，Ｈ甜ｒｉｓｏｎ【４１和Ｋ缸ａｔｚ嬲Ｍ，ＪｅＩｌｓｅｎ【６１等广大学者研究了布朗运动和随机微分方程在金融中的应用。研究最优控制的一个主要方法就是动态规划，特别是ＤｉＸｉｔ和Ｐｉｎｄｙｃｋ【７】对Ｉｔｏ过程中动态规划在优化】
ｌ引言硕士论文中的应用的研究，更是体现了这一点。解决随机最优控制问题所采用的随机优化方法与一般的优化问题所采用的方法有相同的要求，即：当满足给定的约束条件时，在所有方案中，找一个最优控制方案（即最优解），使得目标函数取得最优值（最大值或最小值）。但是，在我们所考虑的随机最优控制系统中，状态转移方程往往会受到随机因素的干扰，这是随机最优控制问题和一般的最优控制问题的区别。一般的最优化问题可以归结为求解一个正常的数学规划问题（线性或非线性），而随机规划问题则可归结为求解一个随机数学规划问题。近年来，国内广大学者，如李训经【８Ｊ【口Ｊ，雍炯敏【１０Ｊ【１１Ｊ，周风岐【１２Ｊ，赵纯均，詹一辉［Ⅷ，郭尚来（１４Ｊ，蔡尚峰【１５Ｊ，钟秋海【１６ｌ等也致力于研究最优控制理论、随机控制问题和干扰解耦等内容，他们的研究成果进一步发展了最优控制问题。
在工业上，自动化管理技术日趋成熟，使得最优控制在理论上不断进步、实践上不断发展。在理论上，最优控制现阶段主要研究最优化问题中的Ｂａｎ分Ｂ锄ｇ控制问题。在应用上，最优控制已经在金融、工艺设计等领域起到了关键性的作用。工程上一个常见的最优控制问题是对速度的控制，早在２０世纪５０年代初，就有学者发表了有关这些问题的论文。在航空航天控制问题中，工程上常提出以节省昂贵的燃料为目的的燃料最优控制问题，以节约时间为目的的时间最优控制问题，兼顾响应时间及燃料的时间．燃料最优控制问题。当所研究的问题是一个正常的最优控制问题时，所得的最优控制是继电型控制，也即所得的最优控制在两个边界值之间来回转换，称其为Ｂ嘴Ｂａｎｇ控制。
对于Ｂａｎ分Ｂａｎｇ控制的研究起始于２０世纪６０年代，例如主要用于研究最大时间问题的庞特里亚金极大值原理【１７Ｊ和Ｄｏｒａｔｏ【ｔ８Ｊ提出的关于线性随机系统的最优控制问题。当考虑关于布朗运动或随机微分方程上的时间最优问题或燃料最优问题时，我们可以研究它们的Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制。其中，Ｂａｌ出ｉｓｈｎａｎ【圳，ｖａ曲ｒａｍｅｅｖＭ，Ｗ如ｈ【２ｌ｜，ＪｏｈｎＮｏｂｌｅａＪｌｄＨｅｉｎｚＳｃｈａｅｔｔｌｅｒ【２２Ｊ，吴臻，王向荣ｆ２３Ｊ，高志强Ｍ，彭中兴，杨莹，黄琳【２５Ｊ等国内外众多学者就致力于研究此类问题。２
硕士论文多阶段不确定最优控制
近几年，为了研究线性系统最优控制问题的解，人们进行了许多讨论和实验。在这些理论的基础上，我们的文章解决一类特殊的问题，即：这类问题的最优控制已知是Ｂａｎ分Ｂａｎｇ类型的。所谓最优控制是Ｂａｎ分Ｂａｎｇ类型的充分条件是：对每一个控制变量（ａ）有上界和下界；（ｂ）状态转移方程是线性的；（ｃ）性能指标是线性或非线性的。这些条件在实际中非常普遍，例如在航空与航天技术研究领域中。
由于现实世界的复杂性，我们面临着各种各样的不确定事件。其中随机ｆ２６】１２７１和模糊【２８】㈨是两个经典的不确定性，它们是现代社会中研究最广泛、起重要作用的两类不确定性。然而，越来越多的调查表明一些不确定量，如“大约１００千米＂、“大约３９。Ｃ’’、“接近８０千克＂、“低速＂等，既不是随机的，也不是模糊的，这种情况促使我们去引入一种新的工具一不确定性理论来解决上述问题。不确定性理论是２００７年由Ｌｉｕ酬创建，并于２０１０年进一步发展［３１卜蚓。同时，Ｌｉｕ㈨提出了包含典范过程、不确定积分和链式法则的不确定微分，并运用不确定微分来解决动态不确定现象。从此，不确定性测度开始在理论研究和实际应用中被正式采用。现在，满足正规性、自反性、次可数可加性和乘积测度公理的不确定性理论已经成了数学的一个重要分支。
在生产实践中，计算机日益广泛地应用于各个领域中，这也就使得对于离散系统最优化问题的研究显得越来越重要。一方面实际中有些问题本身就是离散的，例如，经济与资源系统的最优化、数字滤波等问题；另一方面，即使实际问题是连续的，但是为了使连续过程能在计算机上进行控制，也要把时间离散化，从而得到一个离散系统，这样看来离散系统最优化问题就成了最优控制理论中一个越来越重要的方面。对于模糊离散最优系统，Ｌｉｎ和Ｙｉｎｇ㈨设计了一个最优且有实际意义的控制。当他们对于模糊离散最优系统进行研究时，主要考虑两个最优性问题：一个是对于给定的成本，使得收益最大；另一个是对于给定的收益，使得成本最小。在他们的文章中，考虑用加权和来代表所要优化的收益或成本。系统中的加权和实际上是一个模糊变量的期望值。由此，我们得到了在研究模糊最优控制中，用期望值来３
ｌ引言硕士论文计算不确定变量大小的思路。
在自然界和人类现实世界中，我们会遇到许多主观和客观的不确定的问题，能够有效地预测和控制这些不确定性因素，使它们能更好地为人类做贡献，是人们所追求的最终目标。在管理学、信息科学、运筹学、计算机科学等许多学科领域中，我们所遇到的不确定的问题主要有随机问题和模糊问题。根据随机过程和Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动，Ｌｉｕ㈨分别相对应地提出了模糊过程和典范过程。在典范过程的基础上，当系统受到模糊变量的干扰时，Ｌｉｕ㈨又提出了模糊微分方程。
随着研究的不断深入，多阶段模糊最优控制问题开始引起人们的注意，２０１１年，ＺｈｕＭ首先提出运用动态规划来研究这类问题，并基于动态规划中Ｂｅｌｌｍａｎ的最优性原理，给出了一组应用于所有阶段的递推公式，成功得到了多阶段模糊系统的Ｂａｌｌｇ－Ｂａｎｇ最优控制。在Ｚｈｕｌ３７１【３９】一“１】所考虑的问题中，对于一个多阶段模糊系统，其状态转移方程受到一个模糊变量的干扰，可以得到系统的模糊最优控制。引入不确定性理论后，如果状态转移方程受到不确定变量的干扰时，我们同样可以考虑一个多阶段不确定系统。多阶段不确定系统的最优控制问题同样是为了使目标函数达到最优（最大或最小），当受到一定的约束条件的限制时，在众多决策选择一个最优的决策，这类问题在实际中有着非常重要的应用。本文考虑的就是多阶段不确定系统，首先，仿照Ｚｈｕ【３７ｌ中的方法，给出递推公式，考虑系统的性能指标都是线性的，状态转移方程分别是线性的和二次的多阶段不确定系统，并且分别得到上述两种系统的Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优值。最后，本文运用所得到的结论，求解了一个数值例子，说明系统所得的最优控制的确是ＢａＩｌｇ－Ｂａｎｇ最优控制。１．２本文的主要内容
２０１１年，在模糊理论的基础上，多阶段模糊系统的最优控制问题最早由Ｚｈｕｆ３７】提出，他运用ＢｅＵｍａｎ最优性原理，研究并给出了递推公式和相应的模糊最优控制。当多阶段系统的状态转移方程受到不确定变量的干扰时，可以相应地得到一个４
硕士论文多阶段不确定最优控制多阶段不确定系统。对于这类问题，受Ｚｈｕ【３７】文章的启发，本文考虑运用同样的方法，求解多阶段不确定系统的最优控制。
本文的其他章节安排如下：
第二章为多阶段不确定最优控制问题的理论基础，首先回顾了不确定性理论的相关内容，包括不确定测度、不确定性空间、不确定性分布函数、不确定变量的期望的定义及其相关性质定理。
第三章给出多阶段不确定系统的一般模型；并且仿照Ｚｈｕ【矧，应用ＢｅＵｍａｎ的最优性原理，得到一组递推公式。
第四章首先提出线性多阶段不确定系统最优控制问题的模型，应用递推公式，得到系统的Ｂａｎ分Ｂ姐ｇ最优控制和相应的最优值；随后考虑当目标函数是线性，状态转移方程是二次的时，得到其Ｂａｎ争Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优值。
第五章的内容主要是给出一个数值例子，说明前述结论的应用。
本文主要内容已被接收将发表在国际ＳＣＩ源期刊Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ：Ａｎ
Ｉｎｔｅｒｄｉｓｃｉｐｈｎａ眄Ｊｏｕｒｎａｌ上。ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａＬｌ
５
２预备知识硕士论文２预备知识
本文是在不确定性理论的基础之上对多阶段系统进行的研究，所以我们首先回顾不确定性理论的相关内容，不确定性理论是建立在不确定测度的基础之上的，下面我们引入Ｌｉｕ脚ｌ中一些有用的定义。
２．１不确定测度和不确定变量
定义２．１．１．仁ｆ０叫皿ｒ是一个非空集合，￡是ｒ上的一个盯一代数．每一个Ａ∈￡称为事件．
定义２．１．２．仁ｉ０硐ｊ定义在￡上的盯一代数的集合函数Ｍ称为不确定测度，如果Ｍ满足下列公理：
公理１．（正规性）对全集ｒ，Ｍ｛ｒ）＝１；
公理２．（自对偶性）对任意的事件Ａ，Ｍ（Ａ卜卜Ｍ｜【Ａｃ）＝１；
ｆ∞ｌ∞
公理３・（次可数可加性）对每一个可数的事件序列＿［凡），有Ｍｔ些人ｔ，≤，三Ｍ｛人ｔ）・注２．１．１．根据上述三个公理，可以证明不确定测度Ｍ有单调性：
Ｍ｛Ａ）≤Ｍ｛Ｂ’，
其中ＡｃＢ．
定理２．１．１．仁ｉ０嗣Ｊ如果Ｍ是一个不确定测度，则空集０的不确定测度为ｏ，即：
Ｍ．［０）＝Ｏ．（２．１）
定理２．１．２．陋ｉ０嗣胆设Ｍ是一个不确定测度，对于任意的事件人，我们可得：
ｏ≤Ｍ＜Ａ）≤ｌ（２．２）
６
硕士论文多阶段不确定最优控制定理２．１．３．仁剐蚓胆设Ｍ是一个不确定测度，对于任意的事件Ａｌ和Ａ１，我们可得：
Ｍ．［Ａ１｝ＶＭ｛人２）≤３ｖｔ（Ａｌｕ人２）≤Ｍ．［人１）＋Ｍ．【Ａ２）．（２．３）
定理２．１．４．仁ｉ０叫胆设３ｙｃ是一个不确定测度，对于任意的事件Ａ１和Ａ１，我们可得：
Ｍ｛Ａｌ】．＋Ｍ｛人２）一１≤Ｍ｛Ａ１ｎＡ２）≤３ｖｔ．［Ａ１）人Ｍ．【Ａ２）．（２．４）
注２．１．２．不确定变量是为了模拟不确定现象（如未知常量），其中这些不确定现象可以是不变量，但其真实值不能准确得到．例如：油田的储油量、距离、强度、敌军部队的规模均是不确定变量的例子．
定义２．１．３．陋ｉ０叫肚ｒ是一个非空集合，￡是ｒ上的一个伊代数，并且Ｍ是一个不确定测度，则称三元组（ｒ，Ｃ，Ｍ）是一个不确定性空间．
定义２．１．４．仁ｉ０叫，三元组（ｒ，￡，３ｖｃ）称为是不确定性空间．一个从不确定性空间（ｒ，￡，Ｍ）到实数集的可测函数ｆ称为不确定变量．即：对于实数的任意Ｂｏｒｅｌ集Ｂ，集合
．【∈∈Ｂ｝＝｛一ｙ∈ｒｌ∈（一ｙ）∈Ｂ’
是一个事件．（２．５）
注２．１．３．很明显地，不确定变量与随机变量和模糊变量是有非常大的区别的．一般来说，随机变量是定义在概率空间上，函数值在实数集上的函数；模糊变量是定义在可能性空问上，函数值在实数集上的函数；而不确定变量是一个从不确定性空间到实数集的可测函数．
定义２．１．５．仁ｉ０删肛ｆ和，７是两个不确定变量，如果对于实数的任意Ｂｏｒｅｌ集Ｂ，均有
Ｍ代∈Ｂ＞＝Ｍ｛，７∈Ｂ）
就称不确定变量∈和叼是相同的分布．（２．６）
７
２预备知识硕士论文２．２不确定性分布
本小节引入不确定性分布的定义来描述不确定变量，不确定性分布就是不确定变量的不完全信息的一个承载。然而，在很多情况下，我们多考虑不确定性分布，而不考虑不确定变量本身。
定义２．２．１．陋“叫，不确定变量荨的不确定性分布函数圣：睨＿【ｏ，１】定义如下：对任意实数ｚ，
圣（ｚ）＝Ｍ｛∈≤ｚ）．
例２．１．如果不确定变量∈有‘‘之字形”不确定性分布函数
０，如果ｚ≤口
如果。≤ｚ≤６（ｚ一。）／２（６一口）’
西（ｚ）＝（２．７）
（ｚ＋ｃ一２６）／２（ｃ一６），如果６Ｓｚ茎ｃ
ｌ，如果ｚ≥ｃ
记作ｚ（ｎ，６，ｃ）其中ｏ，６，ｃ是实数，并满足ａ＜６＜ｃ．我们就称∈为“之字形”不确定变量．
定理２．２．１．仁ｔ∥司）如果两个不确定变量是相同的分布，则它们有公共的不确定性分布，但反过来结论不成立．
定理２．２．２．亿ｉｕＭＪ一个函数西：跪＿［０，１】是一个不确定性分布当且仅当它是一个单调递增的函数，除了西＠）三。和西（ｚ）兰１．
注２．２．１．独立性有许多种不同的表达形式，但必须满足的必不可少的特点是这些不确定变量不仅要独立地定义在不同的不确定性空间，而且同时还要定义在它们的乘积不确定性空间上．为了确保我们能够做到这一点，我们运用如下的数学形式来定义不确定变量的独立性．８
硕士论文多阶段不确定最优控制定义２．２．２．仁ｉ０“１尉任意实Ｂｏｒｅｌ集Ｂ１，岛，…，Ｂｍ，有
Ｍ｛自婚∈最，＞＝，蛩甄Ｍ
则称不确定变量∈１，已，…，岛是独立的。
立的当且仅当ｔ６∈鼠，，ｃ２㈣定理２．２．３．仁抛㈨，对任意实Ｂｏｒｅｌ集Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｍ，不确定变量∈１，已，…，‰是独
Ｍ胁吲）．滕Ｍ豫吲
的函数，则＾（荨１），五（已），…，厶（靠）是独立的不确定变量．
不确定变量的期望和方差２．３江９，定理２．２．４．仁“。胡胜不确定变量荨１，已，…，缸是独立的，并且＾，，２，…，厶是可测
，＋∞
‘，０，０ｒ）ｄｒ，Ｅ略】＝／３ｙｃ｛ｆ≥ｒ）ｄｒ一／了ｖｃ．［∈ｓＪ一∞（２．１０）
，＋∞，．０
Ｅ医】＝／．，０垂（ｚ）血．（１一西（ｚ））血一／．，一∞（２．１１）
剐＝Ｚ１一（Ｑ）ｄＱ。（２．１２）
’西ｃｚ，＝｛ｃｚ｛，／２，三三三薹；１二≤ｌＱ．１３，
２预备知识硕士论文由（２．１１）式可得∈的期望值为
Ｅ圈＝小１一孚肛￡孚扣。．仁㈣
定理２．３．３．仁｛以司皿∈和，７是两个有有限期望值的独立的不确定变量，则对任意的实数口和６，有
Ｅ【《＋６，７】＝口Ｅ睡】＋６Ｅ［纠．
注２．３．１．值得注意的是，期望值算子Ｅ对不独立的不确定变量一般没有线性性．
定义２．３．２．仁ｔ∥司肚专是一个不确定变量，其有界的期望值为ｅ，则不确定变量∈的方差定义为
ｙ圈＝Ｅ【＠一ｅ）２】．
定理２．３．４．仁ｉ∥司，不确定变量专有有界的期望值ｅ，口和６是实数，则
ｙＫ＋６】＝口２ｙ圈．１０
硕士论文多阶段不确定最优控制３多阶段不确定系统
３．１多阶段不确定系统模型
多阶段不确定系统的最优控制问题就是为了使目标函数达到最优（最大或最小），当受到一定的约束条件的限制时，在众多决策选择一个最优的决策。本文中，我们将讨论下列以不确定期望值最优作为目标函数，得到多阶段不确定系统最优控制问题，其一般模型如下：
堆ｏ，ｏ，＝躐Ｅ酚㈣蝴∽］
ｚ０＋１）：妒＠０），ｔ正Ｇ），Ｊ）＋口＠Ｕ），让Ｇ），Ｊ）ｃ≥＋１，
其中歹＝０，ｌ，２，…，Ⅳ一１，
ｚ（ｏ）＝ｚｏ．
其中，是目标函数，矽和盯是两个函数，ｚＯ）是系统第Ｊ个阶段的状态，ｕＯ）系统第ｊ『个阶段的控制变量，％满足约束条件的控制变量ｕ０），其中Ｊ＝ｏ，１，２，…，Ⅳ的全（３・１）体，ｚｏ是系统的初始状态。另外，Ｇ，岛，…，ｏ是一些独立的不确定变量。
令对任意的ｏ≤后≤Ⅳ，Ｊ＠七，七）是瞻，Ⅳ】上所得的期望值的最优返回值，其中在第尼阶段有状态ｚ（忍）＝ｚ七。则可得下列模型：
ｍ舶，＝拦Ｅ隆魄蚓∽］以％砷２拦ＥＩ．薹“比），比）＇力Ｊ
ｚＵ＋１）＝妒０Ｄ），让０），歹）＋仃０Ｇ），乱Ｕ），歹）Ｇ＋・，
其中ｊ『＝七，后＋１，…，Ⅳ一ｌ，
ｚ（七）＝ｚ七．
１１（３．２）
３多阶段不确定系统硕士论文注３．１．１．在上述模型的基础上，我们也可以考虑其他形式的多阶段不确定系统的最优控制问题的模型。如：上述模型中的最优值取的是目标函数的期望值的最大值，当我们考虑取目标函数的乐观值的最大值时，就可以建立相应的不确定乐观值最优控制问题模型。由于比较两个不同的不确定变量时采用了不同的比较准则，使得各类问题在引入形式和应用方面各不相同。
３．２递推公式
应用ＢｅＵｍａｎ最优性原理，类似于Ｚｈｕ【３７１中递推公式的证明，我们可以得到下列递推公式。由这个递推公式，问题（３．１）就能进行求解了。
定理３．２．１．对于问题（３．１），我们可以得到下列递推公式：
Ｊ＠Ⅳ，Ⅳ）＝ｕ（瑚蹴，（ｚⅣ，让（Ⅳ），Ⅳ），
（３．３）
Ｊ（ｚ七，后卜ｕ鼢引ｍ七，ｕ（啪）＋删％＋１），七＋１）】，
其中忌＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，ｌ，０．
证明：由所给条件，很明显可以得到Ｊ０Ⅳ，Ⅳ）＝札（ｍ瓿，（ｚⅣ，乱（Ⅳ），Ⅳ）。对任意的忌＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，ｌ，０，有
ｒⅣ１
以％动２燧Ｅ【三八加）＇的）＇力Ｊ
＝燧Ｅ卜ｎ㈤㈤＋Ｅ幽蚓州幻，］］＾Ｓ‘ＳⅣＬＵ＝七＋ｌＪＪ
ｒｒⅣ１１
≤“鼢Ｅ陋蛾蚶舭）＋。熬ＥＬ萎。ｍ㈨ｕ刚ＪＪ
＝缸蹴Ｅ［他（忌），ｕ（尼），七）＋，（ｚ（后＋１），％＋１）】．１２（３・４）
硕士论文多阶段不确定最优控制另外，对任意的ｕ（ｔ），七≤ｚ≤Ⅳ，可得
，（钆，七）≥Ｅ心Ｚ∽Ｌ∽
“¨Ｊ
＝ＥⅣ∑似他㈣ｈ似Ｕ、门砷＋Ｅ白枷∽Ｊ，］］Ｉ∑ｍｏ），ｕ◇），ｊ『）ｌＩｂ＝七＋１ＪＪ
因为对于七＋ｌ≤ｔＳⅣ，则
ｍ舶脚卜ｎ㈤㈤＋愚Ｅ隆枷∽Ｊ，］］
＝Ｅｆ，（ｚ（％），ｔ上（七），膏）＋Ｊ＠（惫＋１），七＋１）】．
对上述不等式两边同时关于ｕ（七）取最大值，可得
Ｊ（ｚ％，七）＞ｕ蹴Ｅ阶（忌），ｕ（啪）＋州克＋１），七十１）】．（３．５）
联合（３．４）和（３．５），即可得递推公式（３．３）。
根据前面所考虑的模型，递推公式（３．３）还可以表示为
Ｊ＠Ⅳ，Ⅳ）＝ｕ（器‰，扛Ⅳ，札（Ⅳ），Ⅳ），
Ｊ（瓢，七）＿ｕ鼢Ｅ阶七，ｕ（啪）＋Ｊ（砂（ｚ七，ｕ（七），尼）（３．６）
＋仃（ｚ七，ｔｌ（七），忌）Ｃｋ＋１，七＋１）】，
其中％＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，１，０。
注３．２．１．从定理３．２．１，我们可以看出求解问题（３．１）可以转化为：按照逆序的方法，从最后一个阶段开始，一步一步，直到初始阶段为止，求解较为简单的问题（３．３）。
１３
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文４多阶段不确定最优控制问题
多阶段不确定最优控制问题是对于一个离散系统，当状态转移方程受到不确定变量的干扰时，求该多阶段不确定系统的最优控制，及其相应的最优目标值。４．１线性多阶段不确定最优控制问题
考虑如下线性多阶段不确定最优控制问题，由递推公式（３．３），我们可以得到其精确解，及其相应的最优值。系统模型如下：
ｍｏ，ｏ，＝蹬Ｅ阢。）］ｏＳｔＳⅣＬＪ＝０Ｊ
ｓ．ｔ．
ｚＧ＋１）：％ｚＵ）＋６ＪｕＵ）＋乃＋１ｃ；＋ｌ，
其中Ｊ＝０，ｌ，２，…，Ⅳ一１，
ｚ（０）＝ｚｏ，（４・１）
其中ｚ０）是第Ｊ个阶段现存的燃料量，缸Ｏ）是第歹个阶段通过消耗或添加的燃料来影
州垆∞’＝
ＪｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ－｝ＱＮ，
ＮＮ
，＠％，后）＝Ｒｚ七＋∑Ｑｉ＋乏二只ｃｒｔｅｔ，‘＝七ｉ＝七＋１
１４
硕士论文多阶段不确定最优控制其中
ＰⅣ＝ＡⅣ，Ｒ＝４七＋最＋１钆；
ＱⅣ＝Ｏ，Ｑ七＝最＋１‰Ｉ，
对任意的七＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，１，０．
证明：上述问题的最优控制分别标记为矿（０），ｕ‘（１），…，ｕ。（Ⅳ），运用递推公式（３．３），可得
Ｊ（ｚⅣ，Ⅳ）２ｌ滁１（山ｚⅣ）＝ＡⅣｚⅣ，
其中ｌｕ’（Ⅳ）ｌ≤１０令ＰⅣ＝ＡⅣ，ＱⅣ＝ｏ，则
ＪｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ＋ＱＮ．
当忌＝Ⅳ一１时，运用递推公式（３．３），可得
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）
２Ｉ乜（黝ｓ１剐Ⅳ－１ｚⅣ－１＋，（ｚ（Ⅳ），Ⅳ）】
Ｉｕ（躐ｓｌ‰一ｌｚⅣ＿１＋ＰⅣＥ陋（Ⅳ）】＋ＱⅣ）
Ｉ“（躐ｓ１｛ＡⅣ．１ｚⅣ－１＋ＰⅣＥ【口Ⅳ一ｌｚⅣ－ｌ＋
６Ⅳ一１ｔ正（Ⅳ一１）＋盯Ⅳ瓯】＋ＱⅣ）２２
２Ｉｕ（麟≤１．［（ＡⅣ＿ｌ＋Ｒ口Ⅳ．１）ｚⅣ－ｌ＋
ＰⅣ６Ⅳ一１ｕ（Ⅳ一１）＋ＰⅣ咐ｅⅣ＋ＱⅣ）．（４．２）因此
ＰⅣｈ一１矿（Ⅳ一１）２Ｉｕ（麟≤１既６Ⅳ－１ｕ（Ⅳ一１）・
１５
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文所以可得
ｕ』ｃⅣ一１，＝｛兰：定，三蓁兰三ｉ三三ｉ
ｓｉ弘．［６Ⅳ一１），如果６Ⅳ一１≠ｏ；
不确定，其他情况．
因此。可得
Ｊ（ｚⅣ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋尸Ⅳ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ６Ｎ一１ｕ‘（Ⅳ一１）＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ．
当６Ⅳ一１＝０时，有
Ｊ（ｚⅣ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋尸Ⅳｏｊｖ—１）ｚⅣ一１＋ＰⅣｕ’（Ⅳ一１）×ｏ＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＝（４Ⅳ一ｌ＋ＰⅣｏⅣ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ口ⅣｅⅣ＋ＱⅣ．
令
。ＰⅣ一１＝ＡⅣ一１＋ｊ，ⅣｏⅣ一１，ＱⅣ一１＝０．
则
Ｊ＠Ⅳ一１，Ⅳ一１）＝ＰⅣ一１ｚⅣ一１＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋ＰⅣ叫ｅⅣ．
当６Ⅳ一１＞ｏ时，有ｕ‘（Ⅳ一１）＝１，并且
，＠Ⅳ一１，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋户ＩⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ６Ⅳ一１×１＋尸ｌⅣ盯ＮｅⅣ＋（？Ｎ
＝（ＡⅣ一ｌ＋Ｒ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ６Ⅳ一１＋ＱⅣ＋ＰⅣ仃ⅣｅⅣ．
１６（４．３）（４．４）（４．５）（４．６）
令
ｊ）Ⅳ一１＝ＡⅣ一ｌ＋尸Ⅳ口Ⅳ一ｌ，ＱⅣ一ｌ＝ＰⅣ６Ⅳ一１．
则
‘，０Ｎ—ｌ，Ⅳ一１）＝ＰⅣ一ｌｚＮ—ｌ＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ．
当６Ⅳ一１＜０时，有ｕ‘（Ⅳ一１）＝一１，并且
‘，（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋Ｒ口Ⅳ一１）ｚⅣ一ｌ＋尸＾，６Ⅳ一ｌ×（一１）＋既盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＝（ＡⅣ一１＋ＰⅣａⅣ一１）ｚⅣ一１一Ｒ６Ⅳ一ｌ＋ＱⅣ＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ．
令
蜀ｖ—ｌ＝ＡⅣ一１＋蜀ｖ口Ⅳ一ｌ，
则（４．７）ＱⅣ一１＝一毋曲Ⅳ一１．
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）＝户ｋ—ｌｚⅣ一ｌ＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋Ｒ盯ⅣｅⅣ．
当忌＝Ⅳ一２时，运用递推公式（３．３），可得
，０Ⅳ－２＇Ⅳ一２）
２阻（是萄≤ｉＥ陋Ⅳ一２ｚⅣ一２＋Ｊ＠（』、ｒ一１），Ⅳ一１）】
２ｌｕ（蹴ｓｌ｛ＡⅣ＿２ｚⅣ－２＋ＰⅣ一１Ｅ陋（Ⅳ一１）】＋ＱⅣ－１＋ＱⅣ＋ＰⅣ仃ⅣｅⅣ）Ｉｕ（麟≤ｌ｛ＡⅣ一２ｚⅣ一２＋鼢一１Ｅ【。Ⅳ一２ｚⅣ一２＋６Ⅳ一２“（Ⅳ一２）＋％一１％一１】＋ＱＮ＾＋ＱＮ＋ＰＮｏＮｅＮ、２
２ｌ“（黝ｓ１｛（ＡⅣ－２＋ＰⅣ一１ＱⅣ＿２）ｚⅣ＿２＋Ｒ一１６Ⅳ一２ｔ正（Ⅳ一２）＋ＱⅣ－ｌ＋弧
＋ｐＩⅣ一１盯Ⅳ一１ｅⅣ一１＋尸Ⅳ盯ⅣｅⅣ）．（４．８）１７
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文因此
ＰⅣ一１６Ⅳ－２ｕ’（Ⅳ一２）２
所以可得Ｉｕ（躐≤１ＰⅣ一１６心“（Ⅳ一２）・
如果６Ⅳ一２＞Ｏ；
如果６Ⅳ一２＜０；１，ｕ‘（Ⅳ一１，
不确定，如果６Ⅳ一２＝０，
ｓｉ髓＿［６Ⅳ一２），如果６Ⅳ一２≠ｏ；（４．９）
不确定。
因此，可得其他情况．
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一ｌｏⅣ一２）ｚⅣ一２＋尸Ⅳ一１６Ⅳ一２缸‘（Ⅳ一２）＋ＱⅣ一１＋Ｑ．Ⅳ
＋尸Ⅳ一１盯Ⅳ一ｌｅⅣ一１＋尸ｌⅣ盯ⅣｅⅣ．（４．１０）
当６Ⅳ一２＝Ｏ时，有
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一１口Ⅳ一２）ｚⅣ一２＋ＰⅣ一１ｕ＋（Ⅳ一２）×０＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ
—｝ＰＮ一・一Ｎ一、ｅＮ—ｌ＋ＰＮｏＮｅＮ
＝∽Ⅳ一２＋ＰⅣ一ｌｎⅣ＿２）ｚⅣ一２＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋既一１卿一１ｅ＾ｒ—ｌ
－｝ＰＮｏＮｅＮ．（４．１１）
令
毋、ｒ一２＝ＡⅣ一２＋上）Ⅳ一ｌ口Ⅳ一２，
１８Ｑ＾ｒ一２＝０．
则
‘，＠Ⅳ一２，Ⅳ一２）＝ｊ）Ⅳ一２ｚＩⅣ一２＋ＱⅣ一２＋ＱⅣ一１＋Ｑ｜Ⅳ＋蜀、ｒ—ｌａ．Ⅳ一ｌｅⅣ一１＋局、ｒａ．ⅣｅⅣ．当６Ⅳ一２＞ｏ时，有矿（Ⅳ一２）＝１，并且
，（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（ＡⅣ一２＋尸Ⅳ一１口Ⅳ一２）ｚⅣ一２＋尸Ⅳ一１６Ⅳ一２×１＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ
七ＰＮ一谭Ｎ一谭Ｎ—ｌ＋ＰＮｏＮｅＮ
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一ｌａⅣ一２）ｚⅣ一２＋ＰⅣ一１６Ⅳ一２＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ
七ＰＮ一ⅣＮ一水Ｎ—ｌ＋ＰＮｏＮｅＮ．（４．１２）
令
—ＰｌⅣ一２＝ＡⅣ一２＋．尸ＩⅣ一１ｎⅣ一２，
则ＱⅣ一２＝．尸ＩⅣ一１６Ⅳ一２
Ｊ＠Ⅳ一２，Ⅳ一２）＝ＰⅣ一２ｚⅣ一２＋ＱⅣ一２＋ＱⅣ一１＋Ｑ．Ⅳ＋尸Ⅳ一ｌ知一１ｅⅣ一１＋户Ⅳ叫ｅⅣ．当６Ⅳ一２＜ｏ时，有ｕ’（Ⅳ一２）＝一ｌ，并且
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（４Ⅳ一２＋ＰⅣ一ｌｎⅣ一２）ｚⅣ一２＋ＰⅣ一１６Ⅳ一２×（一１）＋Ｑ．Ⅳ一ｌ＋ＱⅣ
＋ＰＮ一１仃Ｎ—ｌｅＮ一１＋ＰＮａＮｅＮ
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一１口Ⅳ一２）ｚⅣ一２一Ｒ—１６Ⅳ一２＋Ｑ＾ｒ一１＋ＱⅣ
＋ＰＮ一炉Ｎ—ｌｅＮ一１＋ＰＮｏＮｅＮ．（４．１３）令
ｊ）Ⅳ一２＝ＡⅣ一２＋ｊ，Ⅳ一１口Ⅳ一２，ＱⅣ一２＝一ｊ，Ⅳ一１６Ⅳ一２．
１９
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文则
Ｊ０Ⅳ一２，Ⅳ一２）＝霸一２ｚⅣ一２＋ＱⅣ一２＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋ＰⅣ一１啊一ｌｅⅣ一１＋ＰⅣ¨ｅⅣ．由数学归纳法，可以得到相应的定理结论，定理即证。
注４．１．１．由定理４．１．１中最优控制的表达式，我们可以看出：问题（４．１）是Ｂａｎ争Ｂａ皿ｇ控制问题。
４．２非线性多阶段不确定最优控制问题
问题（４．１）中，我们考虑的是目标函数和状态转移方程都是线性的，由定理４．１．１中的结论得到线性多阶段不确定最优控制问题的最优控制和最优值，但当所考虑的系统中目标函数是线性的，状态转移方程是二次的时，就是我们下面所要考虑的二次多阶段不确定最优控制问题。
４．２．１非线性多阶段不确定最优控制问题数学模型
由定理４．１．１，对于在每一个阶段上，目标函数和状态转移方程都是线性的不确定最优控制系统，我们可以得到该系统的Ｂａｎ乎Ｂ锄ｇ最优控制和相应的最优目标值的精确表达形式。如果当系统中目标函数是线性的，状态转移方程是二次的，我们考虑下列问题：
ｍｏ，ｏ，＝瞄Ｅ［争。）］
ｚＵ＋１）：吩ｚ０）＋％ｕ◇）＋吗ｔ‘２Ｇ）＋乃＋ｌｃ≥＋１，（４・１４）
其中歹＝０，１，２，…，Ⅳ一１，
ｚ（０）＝ｚｏ，
其中如＜ｏ对于任意的ｏ≤Ｊ≤Ⅳ，其余的参数与（４．１）中意义相同・２０
硕士论文多阶段不确定最优控制定理４．２．１．问题（４．１４）的最优控制ｕ‘（忌）为
Ｉ矿∽）Ｉ
ｔ正’（克）＝一兹，６岛如果２以≤６七≤一２以
一、●，【“弘｛赶）’，
相应的最优值为其他情况
ＪｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ七ＱＮ，
ＮＮ
，（％七）＝船七十∑Ｑ＋∑
‘＝七｛＝如｝１只吼ｅｔ，
其中
Ｒ＝ＡⅣ，Ｒ＝Ａ七十最＋１０七；
＋ｌｄ七＋
ｄ七如果如果
如果１ＱⅣ＝０，ＱＪｃ＝篡酱尸一＋１一ｂ一４＋一￡１瓦２盘，
其中尼＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，ｌ，Ｏ．
证明：上述问题的最优控制分别标记为ｕ＋（０），ｕ‘（１），…，让‘（Ⅳ），运用递推公式（３．３），可得
‘，（ｚⅣ，Ⅳ）＝ｌ梳。｛“ｚⅣ｝＝鼬ｚ．Ⅳ，
其中Ｉｕ‘（Ⅳ）Ｉ≤ｌ。令Ｒ＝ＡⅣ，ＱⅣ＝ｏ，则
３ｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ＋ＱＮ．
２１
当七＝Ⅳ一ｌ时，由递推公式（３．３），可得
‘厂（ｚＮ一１，Ⅳ一１）
＝．，翠蜷．．Ｅ阻Ⅳ一ｌｚⅣ一１＋Ｊ０（Ⅳ），Ⅳ）１。‘
阻（Ⅳ一１）１５１一
＝．，粤ａ签，．｛ＡⅣ一１ｚⅣ一１＋ＰⅣＥｋ（Ⅳ）】＋ＱⅣ）。。‘‘
Ｉｕ（Ⅳ一１）ＩＳｌ‘
＝．，９１ａ蕞，．．【ＡＪ、ｒ一１ｚⅣ一１＋ｊ，ⅣＥ陋Ⅳ一１ｚⅣ一ｌ’
Ｉ缸（Ⅳ一１）ｌＳｌ、
＋６Ⅳ一１ｔ上（Ⅳ一１）＋ｄⅣ一１ｔ上２（Ⅳ一１）＋口Ⅳ∞】＋ＱⅣ＞
＝（ＡⅣ一１＋霸ｏⅣ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ口ⅣｅⅣ＋ＱⅣ
＋ｌｕ（躐ｓ１｛Ｒｈ一１ｔｌ（Ⅳ一１）＋ＰⅣｄⅣ一１ｔ正２（Ⅳ一１））・（４・１５）
设
日（ｕ（Ⅳ一１））＝ＰⅣ６Ⅳ一ｌ牡（Ⅳ一１）＋ＰⅣ如一ｌ“２（Ⅳ一１）．
求ｎ‘（Ⅳ一１）使得（４．１５）成立，就相当于求函数日∞（Ⅳ一１））在ｌ乱（Ⅳ一１）Ｉ≤１上的最大值点，即
．，粤嚼，．日（ｕ（Ⅳ一１））’’～
ｌ乜（Ⅳ一１）Ｉ≤ｌ
日（让‘（Ⅳ一１））
＝ＰⅣ６Ⅳ一１ｔ正＋（Ⅳ一１）＋Ｒ如一１（ｔ‘’（Ⅳ一１））２．（４．１６）
由群＝ＰⅣ６Ⅳ．１＋２ＰⅣ札札（Ⅳ－１）＝。
可得
ｕ（Ⅳ＿１）＝一器．
情况１：如果ｌ—ｈ—ｌ／（２如一１）ｌ≤１，即２ｄⅣ一１≤６Ⅳ一１≤一２ｄⅣ一ｌ，则日（ｔ上（Ⅳ一１））的轨迹如图４．１中的日ｌ，此时ｕ‘（Ⅳ一１）＝一６Ⅳ一１／（２ｄⅣ一１）是日（ｕ（Ⅳ一１））的最大值点，
硕士论文多阶段不确定最优控制因为
ｄ２日（ｕ（Ⅳ一１））
毗（Ⅳ一１）２＝２尸：ⅣｄⅣ一１＜０．
也就是说，如果２ｄⅣ一１≤６Ⅳ一１≤一２ｄⅣ一ｌ，则第Ⅳ一１个阶段的最优控制是
ｕ。（Ⅳ一１）＝一６Ⅳ一ｌ／（２ｄⅣ一１）．
此时，把缸＋（Ⅳ一１）＝－６Ⅳ一１／（２ｄⅣ一１）代入（４．１６）式，可得
．，乎蜷，．日（ｕ（Ⅳ一１））’、～
Ｉｕ（Ⅳ一１）Ｉ≤１
＝ＰⅣ６Ⅳ一１ｕ‘（Ⅳ一１）＋ＰⅣｄⅣ一ｌ（ｔ正＋（Ⅳ一１））２
＝蹦Ｍ（一嘉）＋氏札（一是）２
＝＝一一ＰⅣ６知一１
２ｄⅣ一１＋甓
ＰⅣ６南一１
钇Ⅳ一１‘（４．１７）
把日（ｕ‘（Ⅳ一１））代入（４．１５）可得第Ⅳ一１个阶段的最优目标值Ｊ＠Ⅳ一１，Ⅳ一１）为
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一ｌ＋ＰⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一ｌ＋氏盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＋日（ｔ正’（Ⅳ一１））
＝（札。＋ＰⅣ口Ｍ）吼。一案＋ＱⅣ＋ＰⅣ州Ⅳ．（４．１８）
令
毋、ｒ—ｌ＝ＡⅣ一１＋尸Ⅳ口Ⅳ一１，ＱⅣ一ｌ＝一ＰⅣ６ｊＩ一１
４ｄⅣ一ｌ‘
则
Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）＝ＰⅣ一１ｚⅣ一１＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋ＰⅣ％ｅⅣ．
情况２：如果一６Ⅳ一ｌ／（２ｄⅣ一１）＞１，即６Ⅳ一ｌ＞一２ｄⅣ一１，则日（让（Ⅳ一１））的轨迹如图４．１中的日２，此时日（ｕ（Ⅳ一１））是ｕ（Ⅳ一１）∈【一１，ｌ】上的递增函数。也就是说，如
果６Ⅳ一１＞一２ｄⅣ一１，则第Ⅳ一１个阶段的最优控制是
ｔ‘’（Ⅳ一１）＝１－
此时，把ｕ。（Ⅳ一１）＝１代入（４．１６）式，可得
～．，乎嚼，．Ｈ（ｕ（Ⅳ一１））、’
Ｉｕ（Ⅳ一１）ＩＳｌ
＝ＰⅣ６Ｎ一１“’（Ⅳ一１）＋既ｄⅣ一１ｍ。（Ⅳ一１））２
＝尸ｌⅣ６＾ｒ—ｌ×１＋户ＩⅣｄⅣ一ｌ×１２
＝民（ｄⅣ一ｌ＋６Ⅳ一１）．
把日（ｕ＋（Ⅳ一１））代入（４．１５）可得第Ⅳ一１阶段最优目标值Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）为（４．１９）
Ｊ（ｚⅣ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一ｌ＋尸ｌⅣ口Ｎ一１）ｚⅣ一１＋尸Ⅳ盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＋日（ｕ’（Ⅳ一１））
＝（ＡⅣ一１＋ＰⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋Ｒ（ｄⅣ一１＋６Ⅳ一１）＋ＱⅣ＋ＰⅣ叫ｅⅣ．
令
局、ｒ一１＝ＡⅣ一１＋局、ｒｎⅣ一１，（４．２０）ＱⅣ一ｌ＝—Ｐ知（ｄⅣ一ｌ＋６Ⅳ一１）．
则
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）＝尸ＩⅣ一１ｚⅣ一ｌ＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋尸ｌⅣ９ⅣｅⅣ．
情况３：如果一６Ⅳ一１／（２ｄⅣ一１）＜一１，即６Ⅳ一ｌ＜２ｄⅣ一ｌ，则Ｈ（ｕ（Ⅳ一１））的轨迹如图４．１中的日３，此时Ｈ（ｕ（Ⅳ一１））是ｕ（Ⅳ一１）∈【一１，１】上的递减函数。也就是说，如果６Ⅳ一１＜２ｄⅣ一ｌ，则第Ⅳ一１个阶段的最优控制是ｔ‘＋（Ⅳ一１）＝一１．
此时，把矿（Ⅳ一１）＝一１代入（４．１６）式，可得
“．，粤嚼，，日（“（Ⅳ一１））Ｋ（Ⅳ一１）ｌＳｌ’、
＝ＰⅣ６．Ⅳ一１ｔ正’（Ⅳ一１）＋ＲｄⅣ一１（ｕ＋（Ⅳ一１））２
ＰⅣ６Ⅳ一１×（一１）＋ＰⅣｄⅣ一ｌ×（一１）２
＝ＰⅣ（ｄⅣ一ｌ—ｈ一１）．（４．２１）
把日（ｕ‘（Ⅳ一１））代入（４．１５）可得第Ⅳ一１个阶段的最优目标值Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）为
‘，０Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋氏ＤⅣ一１）ｚⅣ一ｌ＋Ｒ叫ｅⅣ＋ＱⅣ＋日（乱＋（Ⅳ一１））
＝（ＡⅣ一１＋ＰⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一ｌ＋ＰⅣ（ｄⅣ一ｌ一６Ⅳ一１）＋ＱＮ＋ＰⅣ仃ＮｅⅣ．
令
尸Ⅳ一ｌ＝ＡⅣ一ｌ＋ＰⅣｏⅣ一ｌ，
则（４．２２）ＱⅣ一１＝只ｖ（ｄⅣ一ｌ一６Ⅳ一１）．
Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）＝尸Ⅳ一ｌｚⅣ一１＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋尸Ⅳ仃Ⅳｅｊ、ｒ．
当忌＝Ⅳ一２时，由递推公式（３．３），可得
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
２Ｉ。（黝≤ｌＥ陋Ⅳ－２ｚⅣ－２＋‘，（ｚ（Ⅳ一１），Ⅳ一１）】
ｋ（嚣蜀≤１＜ＡⅣ一２ｚⅣ一２＋日一ｌＥｋ（Ⅳ一１）】＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋尸Ⅳ卿ｅⅣ】．２
２Ｉ。（鼢ｓ１｛如一２ｚⅣ＿２＋ＰⅣ一１Ｅ【口Ⅳ一２ｚ眦＋６Ⅳ＿２ｕ（Ⅳ一２）
＋ｄⅣ一２让２（Ⅳ一２）＋盯Ⅳ一１瓯一ｌ】＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ十尸Ⅳ啊ｅⅣ｝
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一ｌｏⅣ一２）ｚⅣ一２＋既一ｌ口Ⅳ一１ｅⅣ一１＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋尸Ⅳ啊ｅⅣ
＋ｍａｘ（４．２３）
Ｉｔ‘（Ⅳ一２）Ｉ≤１、｛ＰⅣ一１６Ⅳ一２ｕ（Ⅳ一２）＋ＰⅣ一１ｄⅣ一２乱２（Ⅳ一２））．
设
日（ｕ（Ⅳ一２））＝ＰⅣ一１６Ⅳ一２ｕ（Ⅳ一２）＋ＰⅣ一ｌｄＮ一２乱２（Ⅳ一２）．
由
笔等簪三产＝ＰⅣ一・ｈ一２＋２ＰⅣ一・ｄⅣ一２ｕ（Ⅳ一２）＝。
可得
ｕ（Ⅳ－２）一是．
类似于％＝Ⅳ一１的情况，可得：
如果Ｉ一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）ｌ≤ｌ，即２ａｋ一２≤６Ⅳ一２≤一２ｄⅣ一２，则ｕ’（Ⅳ一２）＝一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）是日（ｕ（Ⅳ一２））的最大值点，其中日（ｕ（Ⅳ一２））的轨迹如图４．１中的日１・因为啤卿：２ＰⅣ－１ｄⅣ－２＜ｏ．ｄｕ（Ⅳ一２）２～”～一”～‘。
也就是说，如果２如一２≤６Ⅳ一２≤一２ｄ＾ｒ一２，则第Ⅳ一２个阶段的最优控制是
ｕ＋（Ⅳ一２）＝一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）．
否则，因为如果一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）＞ｌ，即６Ⅳ一２＞一２ｄⅣ一２，则日（ｔｌ（Ⅳ一２））的轨迹如图４．１中的日２。日∞（Ⅳ一２））是ｕ（Ⅳ一２）∈【一１，１】上的递增函数，则第Ⅳ一２阶段的最优控制是
ｔ‘’（Ⅳ一２）＝１．
如果一６Ⅳ一２／（２ｄＮ一２）＜一１，即６Ⅳ一２＜２ｄⅣ一２，则日（乱（Ⅳ一２））的轨迹如图４．１中的日３。日（让（Ⅳ一２））是ｕ（Ⅳ一２）∈【一ｌ，１】上的递减函数，则第Ⅳ一２阶段的最优控制是
牡‘（Ⅳ一２）＝一１．
２６
硕士论文多阶段不确定最优控制凼此ｆ一骧，Ｉ一—趸面ｉ二；一’
日（让）如果２如一２≤６Ⅳ＿２≤一２ｄⅣ一２划术ｚⅡⅣ一２∑口Ⅳ一２∑一么口Ⅳ一２．Ｍ紧蜀≤１日（ｕ（Ⅳ一２））２．｛ＰⅣ一１（ｄⅣ一２＋６Ｎ一２），如果６Ｎ一２＞一２ｄⅣ一２【ＰⅣ“如一２—６Ⅳ－２），如果６Ⅳ－２＜２ｄⅣ－２．把最优控制代入（４．２３）可得第Ⅳ一２个阶段的最优目标值Ｊ＠Ⅳ一２，Ⅳ一２）。由数学归纳法。可以得到相应的定理结论。定理即证。
／一／一１／、、
、、日１／｛罗＼／—＼＼１Ｈ２＼’＼．一
图４．１：函数日（ｔ‘）的三种轨迹
注４．２．１．由定理４．２．１中最优控制的表达式，我们可以看出：问题（４．１４）是Ｂａｎ争ＢａＪｌｇ控制问题。
４．２．２算法分析
在定理４．２．１中，我们研究的是目标函数是线性，状态转移方程是二次的多阶段最优控制问题。对于该问题，我们得到其每一个阶段的最优控制和最优目标值的精确表达形式。对于所有的％＝０，１，…，Ⅳ一１，根据定理４．２．１，由第忌个阶段和第七＋１个阶段之间的关系，可得下列两个算法，来计算不确定最优控制问题的最优控制和最优目标值。
算法Ｊ：（计算每个阶段的系数）２７
４多阶段不确定最优控制问题
硕士论文
步骤ｌ：令ｕ’（Ⅳ）＝ｏ，计算Ｊ＠Ⅳ，Ⅳ）＝ＰⅣｚⅣ＋ＱⅣ＝ＰⅣｚⅣ；步骤２：对于七＝Ⅳ一ｌ，…，０，执行以下两个步骤；
步骤３：比较ｋ和２如，
如果６七＞一２以，则ｕ。（忌）＝１；如果６七＜２ｄ％，贝０ｕ’（詹）＝一１；
如果２ｄ七≤６七Ｓ一２ｄ七，则ｕ‘（七）＝一靠／（２ｄ七）；步骤４：计算Ｒ＝屯＋口七Ｒ＋１，
如果让。（后）＝１，贝４Ｑ七＝最＋１（ｄ七＋６七）；如果ｕ’（后）＝一１，则Ｑ惫＝：Ｒ＋１（以一６知）；
如果ｕ’（忌）＝－６南／（２比），则Ｑ七＝一（磋Ｒ＋１）／（４以）。
由算法１，在每一个阶段忌（七＝０，１，…，Ⅳ一１），我们可以得到ｕ＋（七），Ｒ和Ｑ知的表达式。设不确定变量ｆｌ，岛，…，知分别有期望值ｅ１，ｅ２，…，ｅⅣ。现在，给定初值ｚ（ｏ），
我们可以根据算法１的结果，在计算机上用下列算法２得到系统的状态变量、最优控制和最优目标值。
算法２（对任意给定的初值，计算最优控制）
步骤１：执行算法ｌ，对于给定的初值ｚｏ，计算
Ｎ
Ｎ
Ｊ００，ｏ）＝晶跏＋∑Ｑ｛＋∑只吼ｅ｛；
‘＝０
‘＝ｌ
步骤２：对于忌＝１，…，Ⅳ，执行下列两个步骤；
步骤３：用轮盘赌的方式随机产生ｒ∈【０，ｌ】，由于不确定变量仉满足
不确定性分布西仕），使得西（ｃ（忌））＝，．，计算实数ｃ（七）。计算ｚ（后）＝吼一１ｚ（七一１）＋６七一ｌｔ‘‘（七一１）＋如一１（ｔ上。（七一１））２＋吼ｃ（七）；
步骤４：计算
Ｎ
Ｎ
ｔ，ｐ七，七）＝最ｚ七＋∑Ｑ‘＋∑只以艮．
１＝詹
ｔ＝七＋ｌ
硕士论文多阶段不确定最优控制
注４．２．２．由算法１，我们可按照逆序从最后一个阶段开始到初始阶段，计算每个阶段的系数。由算法２，当给定初始状态ｚｏ时，从初始阶段开始到最后一个阶段，计算所有阶段的最优控制和相应的最优目标值。
５数值实例硕士论文
５数值实例
在前面章节里，我们考虑了当目标函数是线性的，状态转移方程分别是线性和二次的多阶段不确定系统最优控制问题，并且分别经证明得到了上述两类问题的每一个阶段的最优控制和相应最优目标值的精确表达式。由定理４．１．１和定理４．２．１中最优控制的表达式可知：上述两种问题均为Ｂａｎ分Ｂａｎｇ控制问题。作为应用，我们考虑当目标函数和状态转移方程都是线性时，把定理３．２．１的结论应用于下列具体实
例。
例５．１．
厂１０
１
以‰０）２麟Ｅ【．善扣∽Ｊ
ｏ≤ｔ≤１０
ＬＪ＝０Ｊ
ｚＧ＋１）＝％ｚ０）＋％ｕＵ）＋吩＋１Ｃ：ｆ＋１，
其中歹＝０，１，２，…，９，ｚ（ｏ）＝ｚｏ．
（５．１）
其中相应的系数罗列于表５．１中，对于每一个ｏ≤歹≤１０，有一１≤ｕＵ）≤１。另外，ａ，Ｑ，…，ｑｏ是独立的‘‘之字型’’不确定变量ｚ（一１，ｏ，１），根据（２．１４）式，对于每一个ｊｉ＝ｌ，２，…，１０，则有驯０】＝ｏ．
表５．１：实例中的系数
●
Ｊ
０８０．０１１．２．０．２
１１３Ｏ．０２１．５０
２１００．０１１．２．０．３
３１１０．０ｌ
１
４１ｌ０．０１１．２．Ｏ．３
５１６０．０２１．３．０．２
６８０．０１１．４０．２
７１１０．０１１０．２
８１２０．０１１．２．Ｏ．２
９１００．０２１．１０．３
１０１５０．０１１．３．０．４
山
ａｓ
口Ｊ
６Ｊ
０．１
由定理４．１．１，可得最优控制和相应的最优目标值，罗列于表５．２。表５．２的第
四列数据表示的是相应的状态，这些状态是由初始状态ｚ（Ｏ）＝１，经状态转移方
３０
硕士论文
多阶段不确定最优控制
程ｚ＠＋１）＝口蠡石（七）＋６＿｜ｃｕ（尼）＋仃七＋１呶＋ｌ迭代得到的，其中ｃ¨１是不确定变量伉＋１的实现。对每一个阶段任意产生的一个实数ｒ¨１∈［ｏ，ｌ】（尼＝ｏ，ｌ，２，…，９），通过式
子ｃ¨１＝２ｒ七＋１—１，可以得到相应的戗＋１。
表５．２：最优解
ＳｔａｇｅＯ
１
ｎｂ
Ｃｋ
ｚ（尼）
１
ｔ正’（七）
．１
Ｊ（ｚ七，后）
６３６．６２５６３２．１８
６１１．８９７
０．７６１３４５０．０５３４０７４Ｏ．８３１８１２０．３１５４３９０．５６００４５Ｏ．７８４１７３０．６０４６０２０．０６４８８２４０．２１９５２
０．７４８２８３
Ｏ．５２２６９１．０．８９３１８５Ｏ．６６３６２５．０．３６９１２１０．１２００９０．５６８３４６０．２０９２０４—０．８７０２３５．０．５６０９６１
０．４９６５６７
１．４１０４５
２．１０６７５
Ｉｔ‘‘（Ⅳ）Ｉ≤ｌ
．１ｌ
２３４５６
７
２．８３４７３２．９３１０４３．８１９６５５．１７１２３７．．４４１８２７．６３３１２９．３４８５２１０．５８８３
５９１．９８５６０．１９８５２８．２６４６７．６２７４２６．３７２３４４．１３１２５２．２３６１５８．８２５
．１
．１１１—１ｌ
８９
１０
ｌ让。（Ⅳ）ｌ≤１
当我们所考虑的目标函数是线性的，而状态转移方程都是二次的时，结合算法１和算法２，运用定理４．２．１的结论考虑下列具体实例。
例５．２．
１０
１
Ｊ，Ｉ、珈Ｏ、ｌ，＝
Ｅ
ｍ毯毫菩牌ｏＩ
＆
Ｊ＝ｏ
∑如ｚｏ）ＩＪ
（５・２）
Ｌ
ｚ０＋１）：唧ｚＵ）＋６Ｊｕ０）＋如ｔ正２０）＋乃＋１ｃ；＋ｌ，
其中歹＝Ｏ，１，２，…，９，
ｚ（ｏ）＝ｚｏ．
其中相应的系数罗列于表５．３中，如＜０，其余各系数和例５．１的意义相同．
３１
５数值实例硕士论文
表５．３：实例中的系数
●
３
０８０．０１１．２．０．２．Ｏ．０５
１１３０．０２１．５０．５．０．０４
２１００．０１１．２．０．３．０．０３
３１１０．０１ｌ０．１．Ｏ．０２
４１１０．０１１．２．０．３．０．０９
５１６０．０２１．３．０．２．０．０６
６８０．０１１．４０．２．０．０５
７
１ｌ
８
１２
．
９１００．０２１．１０．３—０．０５
１０１５０．０１１．３一Ｏ．４．０．０３
Ａ
８’
０．０１ｌ０．２．０．０６
０．０ｌ１．２．Ｏ．２．０．０７
％
％
西
运用递推公式，根据算法ｌ＇我们可以得到上述问题在每个阶段上的系数Ｒ和Ｑ知：
Ｐ１０＝４１０＝１５，最＝Ａ七＋Ｒ＋１口七；
Ｒ＋１（也＋％），一如果ｕ＋（庇）＝１；
Ｑ１０＝ｏ，
Ｑ知＝１最＋ｌ（ｄ七一ｂ七），如果ｕ’（庇）＝一ｌ；
【一警，如果ｕ地）＝一瓣．
对于后＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，０，其中Ａ七，ｎ七，ｋ和毗罗列于表５．３中。
根据算法１，我们得到的系数最和Ｑ矗。当给定初始状态ｚｏ＝１时，运用算法２，我们可以得到每一个阶段的最优控制和相应的最优目标值，相应结果罗列于表５。４。
表５．４中的第二列是随机产生的实数强∈［０，１】；第三列是当后＝１，２，…，Ⅳ时，根据（１＋ｃ七）／２＝以，得到的相应实数％∈卜１，１】；第四列是每个阶段的状态，它们满足ｚ（七十１）＝饥ｚ（后）＋ｋ乱（七）＋吼＋ｌ仅＋ｌ；第五列是当给定初始状态为ｚｏ＝１时，
得到的每个阶段的最优控制；最后一列是相应的每个阶段的最优目标值。
３２
硕士论文多阶段不确定最优控制
表５．４：最优解
Ｓｔａｇｅｒ七
Ｃ量
ｚ（七）
ｔ‘’（七）
，＠ｋ，七）
０．１．１６８７．０６３１０．９１９９８Ｏ．８３９９６１１．３６６８１６８４．７７５２Ｏ．５３０８０８０．０６１６１６９２．５１０８１．１６６７．１４１３
０．８０８００８０．６１６０１６３．２８９１４１６４３．１０１４
０．８５７８１４Ｏ．７１５６２９３．３７６２９．１６０８．０８２５０．９３２７６８Ｏ．８６５５３５４．２７８８６．１５７３．１２７６０．９２８７３９０．８５７４７９５．７１１１１
５０５．３９１７０．０９６３４６９．０．８０７３０６８．１３７４６ｌ
４５９．２６８０．１７３２５４—０．６５３４９３８．２７０９３．１
３６９．４６２９０．５６４０７４０．１２８１４７１０．０５７７１
２７０．２７８１０
０．９４４４５６
Ｏ．８８８９１３
１１．３２２３
ｆｕ‘（Ⅳ）Ｉ≤１
１６９．８３５
总结
硕士论文
总结
在实际中，由于模糊和随机的局限性，２００７年清华大学刘宝碇教授创建了不确定性理论，并于２０１０年进一步发展。现在，满足正规性、自反性、次可数可加性和乘积测度公理的不确定性理论已经成了数学的一个重要分支。本文是在不确定性理论的基础上，讨论对于一个多阶段系统，该系统的每一个阶段都受到一个不确定变量的干扰，并且使得目标函数的期望值达到最优的问题。为了解决这个多阶段不确定系统的最优控制问题，在动态规划中Ｂｅｎｍａｎ最优性原理的基础上，提出递推公式，当不确定系统的目标函数是线性的，状态转移方程分别是线性和二次的时，分别得到了相应的最优控制的表达式，由解的表达式知道上述两类问题都是Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ控制问题。作为应用，对于多阶段不确定系统的最优控制问题的一个具体实例，运用已经证明的定理，求解得到其Ｂａｎ分Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优目标值。
上述两类问题所研究的目标函数都是线性的，证明得到最优控制问题是Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制问题。然而，当目标函数是非线性的（如二次的）时，最优控制问题是否仍然是Ｂａｎ分Ｂａｄｌｇ最优控制问题就有待进一步研究。
硕士论文
多阶段不确定最优控制
致谢
两年半的研究生学习生涯即将结束，在此论文完成之际，我首先要向我的导师朱元国教授表示衷心的感谢。感谢朱老师在我写论文期间遇到困难时，耐心地指导，给我提供文献资料，以及关于文献检索方面的技巧，帮我突破瓶颈。朱老师精益求精的学习态度、严谨的科学态度、务实的工作作风深深激励着我，促使我不断地进步。并且朱老师平易近人，关心学生，在生活上给予我无微不至的关怀。
其次，感谢学校图书馆提供的电子资源信息和书籍，如中国期刊网、超星数据库、国外高校的硕博论文数据库、Ｓｐｒｉｎｇｅｒ、ＩＥＥＥ、南京理工大学书刊资料借阅室等，使我在书写本论文时能能较全面地查阅相关资料。
再次，感谢我的同学和朋友，尤其是许新新、张锦和我的舍友，感谢他们在我学习遇到困难时无私的帮助，感谢他们在我情绪低落时的开导和安慰，感谢他们让我看到了自己的不足，感谢他们在我的学习生涯中给予我的帮助和关心。
最后，感谢我的父母，感谢他们的包容和牵挂，无论走多远，父母永远是孩子的避风的港湾，他们用无私的爱给予我默默的关心和支持，使我能够安安心心地顺利完成学习和研究。
参考文献
硕士论文
参
【１】Ｌ蠲ａｕｅ
ＪＰ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ
考文
献
Ａｎａｂ玛ｉｓ缸ｌｄ
Ｔｉｎｌｅｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒ０１．ＮｅｗＹ．０ｒｋ：Ａ∞ｄｅｍｉｃ
胁，１９６９．
【２】ＭｅｒｔｏｎＲＣ．Ｏｐｔ洫ａｌ
ＣｏＩｌｓ砌ｐｔｉｏｎ
ａｎｄＰｏｒｔｆ０１ｉｏＲｍ镪ｉｎ
ａ
ＣｏｎｔｉｍｌｏｕｓＴｉｍｅ
Ｍｏｄｅｌ．知ｕｍ以盯互泐佗Ｄ仇ｔｃ
２现ｅＤｒ奶１９７ｌ，３：３７３－４１３
【３】Ｆ１ｅ血ｎｇｗＨ，Ｒ曲ｅｌＲｗ．Ｄｅｔｅ咖ｉｎｉｓｔｉｃＹ０ｒｋ：跏ｎ叼ｅｒ．讫“蛳１９８６［４】ＨａｒｒｉｓｏｎＪＭ．Ｂｒ∞ｍｉａｎ．Ｍｏｔｉｏｎ
ａｎｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＯｐｔｉｎｌ越Ｃｏｎｔｒ０１．ＮｅＷ
ａｎｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＦ１０Ｗ
ｓｙｓｔｅ脚．ＮｅｗＹｏｒｋ：乃概
肌切彩舶邶，１９８５
［５】Ｋａｒａｔｚ锯Ｉ．ＯｐｔｉⅡｌｉｚａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ
。，０ｕｒ扎口２ｏｎ
ｉｎｔｈｅ
Ｔｈｅｏ巧０ｆＣｏｎｔｉ肌ｏｕｓ
ｎａｍｎｇ．黝Ｍ
Ｉ：ｂ佗ｔ”Ｄｆ口礼ｄ《９ｐ托ｍ￡加托Ｄ住，１９８９，２７（６）：１２２１一１２５９
ｏｐｔｉｍａｌＳｔｏｐｐｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍ
［６】ＪｅＩｌｓｅｎｕ．Ａｎ
口ｎｄ
ｉｎ瞰ｓｋＴｈｅｏＵＪ『如ｕｍ竹ｃｅ：Ｍａ忱ｅｍ口挽ｃｓ
ＥｃＤｎＤｍ记ｓ，１９９８，２２（２）：１７７－１７８
ＲＳ．Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｕｎｄｅｒ
［７】ＤｂｄｔＡＫ，Ｐｉｎｄｙｃｋ
Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ：Ｒ呓佗ｃｅ￡ＤｎＵｍ‘
口ｅｒｓｔ匆肌ｓｓ，１９９４
［８】李训经．控制理论基础．北京：高等教育出版社，２００２
［９】李训经，雍炯敏，周渊．控制理论基础．第二版．北京：高等教育出版社，２０１０
【１０】雍炯敏．动态规划方法与Ｈ撇ｉｌｔｏｎ－Ｊａｃ如ｉｃ－Ｂｅｌｈａｎ方程．第三版．上海：上海科
学技术出版社，１９９２
．
【１１１雍炯敏，楼卫红．最优控制理论简明教程．第四版．北京：高等教育出版社，２００６【１２】周凤岐．现代控制理论及应用．第三版．成都：电子科技大学出版社，１９９４
３６
硕士论文
多阶段不确定最优控制
【１３】赵纯均，詹一辉．控制理论基础．第三版．北京：清华大学出版社，１９９１【１４】郭尚来．随机控制．北京：清华大学出版社，１９９９［１５】蔡尚峰．随机控制理论．上海：上海交通大学出版社，１９８７【１６】钟秋海．现代控制理论．北京：高等教育出版社，２００４【１７】解学书．最优控制理论与应用．北京：清华大学出版社，１９８６［１８】Ｄｏｒａｔ０Ｐ’Ｈｓｉｅｈ
Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ￡Ｄｍ口统ｃ
ｃＭ，Ｒ０ｂｌｎｓｏｎＰＮ．ＯｐｔｉｍａｌＢａＪｌ分ＢａｎｇｃｏｎｔｒｏｌｏｆＬｉｎｅａｒ
ａ
ＳｙｓｔｅＤ＝ｌｓ而ｔｈ
ＳｍａｕＮｏｉｓｅ
Ｐａｕｒａｍｅｔｅｒ．Ｚ肼汜乃也船口ｃ统Ｄ船Ｄ佗Ａ缸．
Ｃ『Ｄ他ｔｒｏｊ，１９６７，ＡＧｌ２（６）：６８二６９０
ＡＶ．ｏｎｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ
（１９】Ｂａｌ妇ｉｓｈｎａｎＢａｎ分Ｂａｎｇ．ｃｏｎｔｒ０１．Ａ卯阮ｄ讹统ｅ仇口￡ｚｃｓ口磁
印协ｎ钯口ｚｚＤ他，１９８０，６：９１—９６
［２０】ｖａＬｌ出ｒ锄ｅｅｖ
ＳＡ．ＡＢａ肛乎ＢａｎｇＴｈｅｏｒｅｍ
ｗｉｔｈ
ａ
Ｆｉ诚ｅ
ＮｕＨｌｂｅｒｏｆＳ丽ｔｃｈｅ８
ｆｏｒ
ＮｏｒｄｊｎｅａｒＣｏｎｔｒｏｌ
２０１６
Ｓｙｓｔｅ麟．知缸ｍ口Ｚ盯讹冼ｅ仇。统训＆ｉｅ礼伽，１９９７，８５（３）：２００２．
【２１】、ｖａｂｈＧＲ．ＡＮｕｍｅｒｉｃａｌＥｘａｍｐｌｅｏｆ０ｐｔｉｍａＬｌＢａｎｇ－Ｂａｎ：ｇ
Ｃｏｎｔｒ０１ｓ．‘，ａｕｍ以盯
蜀叼讯ｅｅ厄佗９讹统ｅｍｎｔｔｃｓ，１９７２，６（２）：１６５－１７４
【２２】Ｊｏｈｎ
ＮｏｂＩｅ，Ｈｅｉｎｚｓｃｈａｅｔｔｌｅｒ．ＯｎｔｈｅＯｐｔｉｍａｕｔｙｏｆ
Ｐａｒ锄ｅｔｒｉｚｅｄＦａｍｉＨｔ涵ｏｆ
Ｂ埘ＢａｎｇＴｒａｊｅｃｔｏｒｉｅｓ．Ⅳａ佗如ｎｅ口ｒ以钆口枷括，２００１，４７：３５１．３６２
ｆ２３】吴臻，王向荣．带有随机跳跃干扰的线性二次随机最优控制问题．自动化学报，
２００３，２９（６）：８２１—８２６【２４】Ｇａ０
ｚ．ＯｎＤｉｓｃｒｅｔｅＴｉｍｅＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ：
Ａ
Ｃｌｏｓｅｄ－Ｆｂ珊Ｓ０１ｕｔｉｏｎ．Ｍ静
ｓａｃｈｌｓｅｔｔｓ：Ａｍｅ九∞佗（勋ｎ￡ｍｊ∞啊托他他ｃｅ
ＢＤｓ￡Ｄ鸭２００４
３７
参考文献硕士论文
【２５】Ｐｅｎｇｚ，ＹａｎｇＹ，ＨｕａｎｇＬ．ＣｏｎｔｒｏｌＥｌｉ蚵ｎａｔｉｏｎｏｆＴｉｍｅＯｐｔｉｍ２ＬｌＢａ跨Ｂａｎｇ
ＣｏｎｔＤ０ｌ祈ｔｈａＣｌ鹪ｓｏｆＩｎｐｕｔＣｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｚ砸汜饥亡ｅｍｏ洳礼口Ｚ国可．ｅ他礼ｃｅＤ仃Ｃ『ＤｎｔｍＺｎｎｄＡｔ‘亡Ｄｍ口托Ｄ％２０１０，８：１７１ｍ１７１５
【２６】ＳｔｅｎｇｅｌＲＦ．ＳｔｏｃｈａｌｓｔｉｃＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ：Ｔｈｅｏｗ锄ｄＡｐｐｈｃａｔｉｏｎ．ＮｅｗＹ．ｏｒｋ．
乃梳耽ｆｅ！，拶舶瑚，１９８６
【２７】Ｋａ０ＥＰＣ．ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔ０ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓ铅．肌幽伽Ｄ砌凡６如＾咖∞ｍ・
册叼，１９９７，１：３７垂４２０
【２８】Ｌｉｕｘ．Ｅｎｔｒｏｐｙ’ＤｉｓｔａｎｃｅＭｅａｓｕｒｅａｎｄｓｉｍｉｌ缸ｉ蚵ＭｅａｓｕｒｅｏｆＦ吆珂ｓｅｔｓａｎｄＴｈｅｉｒ
Ｒｅｌａｔｉｏｎｓ．呦＆幻口ｎｄ跏沈ｍｓ，１９９２，５２：３０５－３１８
【２９】Ｌｉｕｘ．Ｍｅａｓｌｌｒｉｎｇｔｈｅｓａｔｉｓｆ如ｔｉｏｎｏｆｃｏｌｌｓｔｒａｉｎｔｓｉｎＦｕｚｚｙＬｉｎｅ龇Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．
ｊ咖ｊｇｅ绐ｎ死ｄｉ受／ｓｔｅ仃ｌｓ，２００１，１２２（２）：２６３．２７５
［３０】ＬｉｕＢ．ＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙＴｈｅｏ融２ｎｄｅｄ．Ｂｅｒｌｉｎ：却ｎ哪ｅｒ．阮订略２００７
【３１】Ｇａ０Ｊ，Ｇａ０ｘ．ＡＮｅｗＭｏｄｅｌｆｏｒＣｒｅｄｉｂｉｌｉｔｉｃＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇ．乃ｔ‘ｍ口：盯咖ｃｅｎ口饥
跏￡ｅ＂坫，２００８，２（４）：２４孓２４７
【３２】ＬｉｕＹ，ＨａＭ．Ｅ砷ｅＣｔｅｄＶ甜ｕｅｏｆＦｕｎｃｔｉｏｎ０ｆｕｎｃｅｒｔ出ｎＶ打ｉａｂｌｅｓ．Ｋｕｎｒｎｊｎｇ：ｍ－
ｃｅＩ碱唧ｓ可现ｅ肋＾饥觑ｔｅｍｏ悦Ｄ礼口ｆＣ，Ｄ他厂ｅ他佗ｃｅＤ佗砌加ｒｍｎ扼Ｄ佗口以Ｍａｎ叼ｅｍｅ耐＆钯他ｃｅｓ，２００９，１７：７７９＿７８１
【３３】ＬｉｕＢ．ｕｎｅｅｒｔａｉ奶ｒＴｈｅｏ可：ＡＢｒａｎｃｈｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｆｏｒＭｏｄｅｕｎｇＨｕｍａｎｕｎ－
ｃｅｒｔａｉｎｔｙ．Ｂｅｒｈｎ：印ｎ叼ｅｒ－讫ｒｆ蛳２０１０
【３４】Ｌｉｕｗ，ＸｕＪ．ｓ锄ｅＰｒｏｐｅｒｔ涵ｏｎＥｘｐｅｃｔｅｄＶ洳ｅＯｐｅｒａｔｏｒｆｏｒｕｎｃｅｒｔ咖妇ｉ－
ａｂｌ筒．砌加ｒ仇口ｔｉＤｎ：Ａｎ砌ｔｅｍ口托Ｄ礼以仇ｔｅ廊ｃ印溉口阿乃让ｍ口ｊ＇２０１０，１３（５）：１６９孓１６９９
硕士论文多阶段不确定最优控制
【３５】Ｙｕｘ．ＥＸｐｅｃｔｅｄＰａｙｏｆｆｏｆｎａｄｉｎｇｓｔｒａｔｅ舀ｅｓｆｏｒｕｎｃｅｒｔ越ｎＦｉｎａｎｃ瑚Ｍ盯ｋｅｔｓ．
功加ｍｌｏ统Ｄ礼？Ａｎ觑亡ｅｍ口渤佗ＤＺ觑亡ｅ７１ｄ诂ｃ咖ｆ讯。阿ｊＩＤｔ正ｍ口ｆ，２０１１，１４（１０）：３１７５．３１８６
【３６】ＬｉｎＦ，ＹｉｎｇＨ．ＭｏｄｅｌｉｎｇａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ０ｆＦｕｚｚｙＤｉｓｃｒｅｔｅＥｖｅｎｔＳｙｓｔｅＩ璐．陋Ｅ目
乃．口邶口ｃ托Ｄ瑚Ｄ佗勖ｓｔｅ仇ｓ，＾她％口砌回６ｅｍｅ托ｃｓ—Ｐ口ｎＥ２００２，３２（４）：４０＆４１５［３７】ｚｈｕＹ．ＦｕｚｚｙｏｐｔｉｎｌａＬｌＣｏｎｔｒｏｌｆｏｒＭ诚ｉ．ｓｔａｇｅＥ．ＩｕｚｚｙｓｙｓｔｅⅡ塔．舾ＥＥｎ氇船口ｃ抚Ｄ船
Ｄｎ勋ｓ抛ｍｓ，讹礼彩回６ｅｍｅ既ｃｓ？凡ｎＥ２０１１，４１（４）：９６４９７５
［３８】ＬｉｕＢ．ｎｚｚｙＰｒｏｃｅ豁，ＨｙｂｒｉｄＰｒｏｃｅ豁ａｎｄｕｎｃｅｒｔａｉｎＰｒｏｃｅｓｓ．乃ｕｍ口２盯踟ｃｅｎ口饥
跏￡ｅ竹话，２００８，２（１）：１９５．２１５
［３９】ｚｈｕＹ．ＯｎＰ盯ａ．ＮｏｒｍｅｄＳｐａｃｅ而ｔｈｎｚｚｙ、协ｉａｂｌｅｓＢａｓｅｄｏｎＥＸｐｅｃｔｅｄＶ甜ｕｅｄ
Ｏｐｅｒａｔｏｒ．饥ｔｅｍ口￡ｉ帆以乃牡ｍ０２巧踟．傀行ｏｉ礼地凡蟛规礼ｅ始ｎ几ｄｊ流Ｄ叫ｆｅ匆ｅ－６０ｓ缸跏￡ｅｍｓ，２００８，１６（１）：９５－１０６
【４０】ｚｈｕＹ，Ｊｉｘ．ＥｘｐｅｃｔｅｄＶａｌ懈ｏｆＦ、１１ｎｃｔｉｏｎ８ｏｆＦｌｕｚｚｙＶ打ｉａｂｌｅｓ．如ｕｍ赦盯ｈ亡ｅ胁
夕ｅ耐呦勋ｓｔｅ脚２００６，１７（５）：４７１－４７８
［４１】ｚｈｕＹ．ｕｎｃｅｒｔａｉｌｌＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌⅥ，ｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏａＰｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎ
Ｍｏｄｅｌ．劬６ｅｍｅ扰ｃｓ口们勖ｓ￡ｅ脚，２０１０，４１（７）：５３５－５４７
【４２】ＬｉｕＢ．ｓｏｍｅＲ艘ｅａｒｃｈＰｒｏｂｋｍｓｉｎｕｎｃｅｒｔａｉｌｌｔｙＴｈｅ０够乃ｕｍｎ２盯溉ｃｅ订口饥
跏ｔｅ竹硌，２００９，３（１）：冬１０
【４３】ＬｉｕＢ．ＡＳｕｒＶ呵ｏｆＥｎｔｒｏｐｙｏｆＦ’ｕｚｚｙＶ打ｉａｂｌｅｓ．如ｕｍ口２ｏ，阮ｃｅｎ口讥Ｓ如钯册，
２００７，１（１）：缸１３
【４４】ＬｉｕＢ．’ｎｌｅ０叮ａｎｄ
讫ｒｆ凹，２００２ＰｒａｃｔｉｃｅｏｆＵｎｃｅｒｔａｉｎＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ：Ｐｈ妒ｉ∞．
在学期间发表的论文硕士论文
在学期间发表的论文
【１】Ｙｕｊｉｅ
ｔａｉｎＫａｎｇａｎｄＹｕ锄ｇｕｏｚｈｕ，Ｂａｎ乎ＢａｎｇＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌｆｏｒＭｕｌｔｉ－ｓｔａｇｅｕｎｃｅｒ－ＳｙｓｔｅＨｌｓ，功如ｍｏ优Ｄ礼：Ａ佗托ｔｅｍｎ托Ｄｎ耐ｈ把纪话ｃ咖胁口硝ＪｌＤｔ‘ｍ讲（ＳＣＩ源期刊），ａｃｃｅｐｔｅｄ。
南京理工大学
硕士学位论文
多阶段不确定系统的Bang--Bang最优控制
姓名：康玉洁
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：朱元国
20120309
硕士论文多阶段不确定最优控制
摘要
在理论和实际应用中，最优控制都起到了非常重要的作用。在多阶段系统中，当系统状态从前一个阶段转移到后一个阶段时，如果受到一个不确定变量的干扰，就是本文所讨论的多阶段不确定系统最优控制问题。本文所考虑的多阶段不确定系统的最优控制问题是使得不确定目标函数的期望值达到最优。在动态规划中ＢｅＵｍａｎ最优性原理的基础上，本文得到关于这类问题的一组递推公式。运用递推公式，对于目标函数是线性，状态转移方程分别是线性和二次的多阶段不确定最优系统，得到该系统的Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优目标值。
关键词：多阶段不确定最优控制，Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制，Ｂｅｎｍａｎ最优性原理，递推公式Ｉ
Ａｂｓｔｒａｃｔ硕士论文
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｉ８ａｖｅｕｉＩＩｌｐｏｒｔａｎｔｆｉｅｌｄｏｆｓｔｕｄｙｎｏｔｏｎｌｙｉｎｔｈｅｏ巧ｂｕｔ８Ｌ１ｓｏｉｎ印ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｉｎａｍｕｌｔｉ－ｓｔａ舻昭ｓｔｅｍ，ｗｈｅｎｔｈｅｓｔａｔｅａｔａｓｔａｇｅｏｆｔｈｅｓｙｓｔ锄ｉｓｄｅｒｉｖｅｄ行ｏｍｔｈｅｓｔａｔｅｏｆｔｈｅｆ０珊ｅｒｓｔａｇｅ，ａｎｄｄｉｊｓｔｕｒｂｅｄｂｙａｎｕｎｃｅｒｔａｉｌｌＶａｒｉａｂｌｅ，ａｍｕｌｔｉ－ｓｔａｇｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｉ８ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ａｎｏｐｔｉｍ２Ｌ１ｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒａｍＵｄｔｉ－ｓｔａｇｅｕｎＣｅｒ七越ｎｓｙｓｔｅｍｉｓｃ０ＩｌｓｉｄｅｒｅｄｔｏｏｐｔｉⅡｄｚｅｔｈｅｅ）（ｐｅｃｔｅｄ、，ａｌｕｅｏｆａｎｕｎｃｅｒｔａｉｎｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ０ｎＢｅｎｍａｎ’ｓＰｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＯｐｔｉｍａＨｔｙｉｌｌｄｙ－ｎ锄缸ｃｐｒｏｇｒａｍＨｌｉｎｇ，ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏ璐ｆｏｒｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｂｙｌｌｓｉｎｇｔｈｅｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｅｘａｕｃｔＢａｎ分Ｂａｎｇｏｐｔｉｍ越ＣｏｎｔｒｏｌｓａＩｌｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｏｐｔｉｍａＬｌｏｂｊｅｃｔｉｖｅｖ址ｕｅ８ｆｏｒｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍ耐ｔｈａｌｉｎｅａｒｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆＩｌｎｃｔｉｏｎｓｕｂｊｅｃｔｔ０ａｎ眦ｃｅｒｔａｉｎｌｉｎｅａｒａｎｄｑｕａｄｒａｔｉｃｓｙｓｔｅｍａｒｅ０ｂｔａｉｎｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ＫｅｙｗＤｒｄｓ：Ｍｕｌｔｉ－ｓｔａ嚣ｕｎｃｅｒｔａＬｉｎｏｐｔｉｍ以Ｃ０ｎｔｒｏｌ，Ｂａ略Ｂａｎｇｏｐｔｉｎｌ址ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｂｅｎｍａｄｌ’ｓＰｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＯｐｔｉｍａｌｉｔｙ＇工ｋｃｔｌｒｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎＩＩ
硕士论文多阶段不确定最优控制１引言
１．１最优控制的发展简介
上个世纪５０年代，在现代控制理论中，最优控制是其主要内容之一。最优控制问题主要是解决如何在众多决策中找到一个最优策略，使得目标函数达到最优，工程上的最速控制问题１１Ｊ就是一个最优控制问题。在最优控制理论中，许多数学家致力于研究最优控制问题，随着越来越多的数学和科学计算的方法和结论应用于最优控制问题中，最优控制理论得到了很大的发展。并且随着理论和应用的逐步深入，最优控制理论也逐渐应用于许多其他的领域，比如：工艺设计、程序设计、经济和管理领域。
从古到今，最优化问题一直是人们讨论的重点问题，如中国古代的”田忌赛马＂中选择一等马、二等马、三等马的比赛次序问题；赌博中如何获得最大利益的下注问题；现代投资组合中如何投资资金，从而获得最大收益的问题等。到２０世纪６０年代开始，随着实际中越来越多的最优化问题的提出，解决最优化问题的最优化方法也越来越多。在前人众多理论的基础上，最优化理论开始迅速发展，真正意义上形成一个学科。随后，最优化理论又出现了众多分支，如：线性规划、非线性规划、动态规划等。２０世纪７０年代，随着计算的精度和复杂性理论的提出，许多学者发现：对实际中一些复杂的组合优化问题，单纯地用当前人们所掌握的方法是很难解决的。２０世纪８０年代以来，人们发现自然界有许多现象可以进行模拟，从而得到一系列智能算法，如蚁群算法、遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络优化等，这些算法极大地促进了最优化问题的发展。
对于随机最优控制的研究起始于２０世纪６０年代，在７０年代广泛应用于金融学上，如Ｍｅｒｔｏｎ【２ｌ等。随后，Ｆｌｅ血ｎｇａｎｄ磁ｓｈｅｌ【３１，Ｈ甜ｒｉｓｏｎ【４１和Ｋ缸ａｔｚ嬲Ｍ，ＪｅＩｌｓｅｎ【６１等广大学者研究了布朗运动和随机微分方程在金融中的应用。研究最优控制的一个主要方法就是动态规划，特别是ＤｉＸｉｔ和Ｐｉｎｄｙｃｋ【７】对Ｉｔｏ过程中动态规划在优化】
ｌ引言硕士论文中的应用的研究，更是体现了这一点。解决随机最优控制问题所采用的随机优化方法与一般的优化问题所采用的方法有相同的要求，即：当满足给定的约束条件时，在所有方案中，找一个最优控制方案（即最优解），使得目标函数取得最优值（最大值或最小值）。但是，在我们所考虑的随机最优控制系统中，状态转移方程往往会受到随机因素的干扰，这是随机最优控制问题和一般的最优控制问题的区别。一般的最优化问题可以归结为求解一个正常的数学规划问题（线性或非线性），而随机规划问题则可归结为求解一个随机数学规划问题。近年来，国内广大学者，如李训经【８Ｊ【口Ｊ，雍炯敏【１０Ｊ【１１Ｊ，周风岐【１２Ｊ，赵纯均，詹一辉［Ⅷ，郭尚来（１４Ｊ，蔡尚峰【１５Ｊ，钟秋海【１６ｌ等也致力于研究最优控制理论、随机控制问题和干扰解耦等内容，他们的研究成果进一步发展了最优控制问题。
在工业上，自动化管理技术日趋成熟，使得最优控制在理论上不断进步、实践上不断发展。在理论上，最优控制现阶段主要研究最优化问题中的Ｂａｎ分Ｂ锄ｇ控制问题。在应用上，最优控制已经在金融、工艺设计等领域起到了关键性的作用。工程上一个常见的最优控制问题是对速度的控制，早在２０世纪５０年代初，就有学者发表了有关这些问题的论文。在航空航天控制问题中，工程上常提出以节省昂贵的燃料为目的的燃料最优控制问题，以节约时间为目的的时间最优控制问题，兼顾响应时间及燃料的时间．燃料最优控制问题。当所研究的问题是一个正常的最优控制问题时，所得的最优控制是继电型控制，也即所得的最优控制在两个边界值之间来回转换，称其为Ｂ嘴Ｂａｎｇ控制。
对于Ｂａｎ分Ｂａｎｇ控制的研究起始于２０世纪６０年代，例如主要用于研究最大时间问题的庞特里亚金极大值原理【１７Ｊ和Ｄｏｒａｔｏ【ｔ８Ｊ提出的关于线性随机系统的最优控制问题。当考虑关于布朗运动或随机微分方程上的时间最优问题或燃料最优问题时，我们可以研究它们的Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制。其中，Ｂａｌ出ｉｓｈｎａｎ【圳，ｖａ曲ｒａｍｅｅｖＭ，Ｗ如ｈ【２ｌ｜，ＪｏｈｎＮｏｂｌｅａＪｌｄＨｅｉｎｚＳｃｈａｅｔｔｌｅｒ【２２Ｊ，吴臻，王向荣ｆ２３Ｊ，高志强Ｍ，彭中兴，杨莹，黄琳【２５Ｊ等国内外众多学者就致力于研究此类问题。２
硕士论文多阶段不确定最优控制
近几年，为了研究线性系统最优控制问题的解，人们进行了许多讨论和实验。在这些理论的基础上，我们的文章解决一类特殊的问题，即：这类问题的最优控制已知是Ｂａｎ分Ｂａｎｇ类型的。所谓最优控制是Ｂａｎ分Ｂａｎｇ类型的充分条件是：对每一个控制变量（ａ）有上界和下界；（ｂ）状态转移方程是线性的；（ｃ）性能指标是线性或非线性的。这些条件在实际中非常普遍，例如在航空与航天技术研究领域中。
由于现实世界的复杂性，我们面临着各种各样的不确定事件。其中随机ｆ２６】１２７１和模糊【２８】㈨是两个经典的不确定性，它们是现代社会中研究最广泛、起重要作用的两类不确定性。然而，越来越多的调查表明一些不确定量，如“大约１００千米＂、“大约３９。Ｃ’’、“接近８０千克＂、“低速＂等，既不是随机的，也不是模糊的，这种情况促使我们去引入一种新的工具一不确定性理论来解决上述问题。不确定性理论是２００７年由Ｌｉｕ酬创建，并于２０１０年进一步发展［３１卜蚓。同时，Ｌｉｕ㈨提出了包含典范过程、不确定积分和链式法则的不确定微分，并运用不确定微分来解决动态不确定现象。从此，不确定性测度开始在理论研究和实际应用中被正式采用。现在，满足正规性、自反性、次可数可加性和乘积测度公理的不确定性理论已经成了数学的一个重要分支。
在生产实践中，计算机日益广泛地应用于各个领域中，这也就使得对于离散系统最优化问题的研究显得越来越重要。一方面实际中有些问题本身就是离散的，例如，经济与资源系统的最优化、数字滤波等问题；另一方面，即使实际问题是连续的，但是为了使连续过程能在计算机上进行控制，也要把时间离散化，从而得到一个离散系统，这样看来离散系统最优化问题就成了最优控制理论中一个越来越重要的方面。对于模糊离散最优系统，Ｌｉｎ和Ｙｉｎｇ㈨设计了一个最优且有实际意义的控制。当他们对于模糊离散最优系统进行研究时，主要考虑两个最优性问题：一个是对于给定的成本，使得收益最大；另一个是对于给定的收益，使得成本最小。在他们的文章中，考虑用加权和来代表所要优化的收益或成本。系统中的加权和实际上是一个模糊变量的期望值。由此，我们得到了在研究模糊最优控制中，用期望值来３
ｌ引言硕士论文计算不确定变量大小的思路。
在自然界和人类现实世界中，我们会遇到许多主观和客观的不确定的问题，能够有效地预测和控制这些不确定性因素，使它们能更好地为人类做贡献，是人们所追求的最终目标。在管理学、信息科学、运筹学、计算机科学等许多学科领域中，我们所遇到的不确定的问题主要有随机问题和模糊问题。根据随机过程和Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动，Ｌｉｕ㈨分别相对应地提出了模糊过程和典范过程。在典范过程的基础上，当系统受到模糊变量的干扰时，Ｌｉｕ㈨又提出了模糊微分方程。
随着研究的不断深入，多阶段模糊最优控制问题开始引起人们的注意，２０１１年，ＺｈｕＭ首先提出运用动态规划来研究这类问题，并基于动态规划中Ｂｅｌｌｍａｎ的最优性原理，给出了一组应用于所有阶段的递推公式，成功得到了多阶段模糊系统的Ｂａｌｌｇ－Ｂａｎｇ最优控制。在Ｚｈｕｌ３７１【３９】一“１】所考虑的问题中，对于一个多阶段模糊系统，其状态转移方程受到一个模糊变量的干扰，可以得到系统的模糊最优控制。引入不确定性理论后，如果状态转移方程受到不确定变量的干扰时，我们同样可以考虑一个多阶段不确定系统。多阶段不确定系统的最优控制问题同样是为了使目标函数达到最优（最大或最小），当受到一定的约束条件的限制时，在众多决策选择一个最优的决策，这类问题在实际中有着非常重要的应用。本文考虑的就是多阶段不确定系统，首先，仿照Ｚｈｕ【３７ｌ中的方法，给出递推公式，考虑系统的性能指标都是线性的，状态转移方程分别是线性的和二次的多阶段不确定系统，并且分别得到上述两种系统的Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优值。最后，本文运用所得到的结论，求解了一个数值例子，说明系统所得的最优控制的确是ＢａＩｌｇ－Ｂａｎｇ最优控制。１．２本文的主要内容
２０１１年，在模糊理论的基础上，多阶段模糊系统的最优控制问题最早由Ｚｈｕｆ３７】提出，他运用ＢｅＵｍａｎ最优性原理，研究并给出了递推公式和相应的模糊最优控制。当多阶段系统的状态转移方程受到不确定变量的干扰时，可以相应地得到一个４
硕士论文多阶段不确定最优控制多阶段不确定系统。对于这类问题，受Ｚｈｕ【３７】文章的启发，本文考虑运用同样的方法，求解多阶段不确定系统的最优控制。
本文的其他章节安排如下：
第二章为多阶段不确定最优控制问题的理论基础，首先回顾了不确定性理论的相关内容，包括不确定测度、不确定性空间、不确定性分布函数、不确定变量的期望的定义及其相关性质定理。
第三章给出多阶段不确定系统的一般模型；并且仿照Ｚｈｕ【矧，应用ＢｅＵｍａｎ的最优性原理，得到一组递推公式。
第四章首先提出线性多阶段不确定系统最优控制问题的模型，应用递推公式，得到系统的Ｂａｎ分Ｂ姐ｇ最优控制和相应的最优值；随后考虑当目标函数是线性，状态转移方程是二次的时，得到其Ｂａｎ争Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优值。
第五章的内容主要是给出一个数值例子，说明前述结论的应用。
本文主要内容已被接收将发表在国际ＳＣＩ源期刊Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ：Ａｎ
Ｉｎｔｅｒｄｉｓｃｉｐｈｎａ眄Ｊｏｕｒｎａｌ上。ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａＬｌ
５
２预备知识硕士论文２预备知识
本文是在不确定性理论的基础之上对多阶段系统进行的研究，所以我们首先回顾不确定性理论的相关内容，不确定性理论是建立在不确定测度的基础之上的，下面我们引入Ｌｉｕ脚ｌ中一些有用的定义。
２．１不确定测度和不确定变量
定义２．１．１．仁ｆ０叫皿ｒ是一个非空集合，￡是ｒ上的一个盯一代数．每一个Ａ∈￡称为事件．
定义２．１．２．仁ｉ０硐ｊ定义在￡上的盯一代数的集合函数Ｍ称为不确定测度，如果Ｍ满足下列公理：
公理１．（正规性）对全集ｒ，Ｍ｛ｒ）＝１；
公理２．（自对偶性）对任意的事件Ａ，Ｍ（Ａ卜卜Ｍ｜【Ａｃ）＝１；
ｆ∞ｌ∞
公理３・（次可数可加性）对每一个可数的事件序列＿［凡），有Ｍｔ些人ｔ，≤，三Ｍ｛人ｔ）・注２．１．１．根据上述三个公理，可以证明不确定测度Ｍ有单调性：
Ｍ｛Ａ）≤Ｍ｛Ｂ’，
其中ＡｃＢ．
定理２．１．１．仁ｉ０嗣Ｊ如果Ｍ是一个不确定测度，则空集０的不确定测度为ｏ，即：
Ｍ．［０）＝Ｏ．（２．１）
定理２．１．２．陋ｉ０嗣胆设Ｍ是一个不确定测度，对于任意的事件人，我们可得：
ｏ≤Ｍ＜Ａ）≤ｌ（２．２）
６
硕士论文多阶段不确定最优控制定理２．１．３．仁剐蚓胆设Ｍ是一个不确定测度，对于任意的事件Ａｌ和Ａ１，我们可得：
Ｍ．［Ａ１｝ＶＭ｛人２）≤３ｖｔ（Ａｌｕ人２）≤Ｍ．［人１）＋Ｍ．【Ａ２）．（２．３）
定理２．１．４．仁ｉ０叫胆设３ｙｃ是一个不确定测度，对于任意的事件Ａ１和Ａ１，我们可得：
Ｍ｛Ａｌ】．＋Ｍ｛人２）一１≤Ｍ｛Ａ１ｎＡ２）≤３ｖｔ．［Ａ１）人Ｍ．【Ａ２）．（２．４）
注２．１．２．不确定变量是为了模拟不确定现象（如未知常量），其中这些不确定现象可以是不变量，但其真实值不能准确得到．例如：油田的储油量、距离、强度、敌军部队的规模均是不确定变量的例子．
定义２．１．３．陋ｉ０叫肚ｒ是一个非空集合，￡是ｒ上的一个伊代数，并且Ｍ是一个不确定测度，则称三元组（ｒ，Ｃ，Ｍ）是一个不确定性空间．
定义２．１．４．仁ｉ０叫，三元组（ｒ，￡，３ｖｃ）称为是不确定性空间．一个从不确定性空间（ｒ，￡，Ｍ）到实数集的可测函数ｆ称为不确定变量．即：对于实数的任意Ｂｏｒｅｌ集Ｂ，集合
．【∈∈Ｂ｝＝｛一ｙ∈ｒｌ∈（一ｙ）∈Ｂ’
是一个事件．（２．５）
注２．１．３．很明显地，不确定变量与随机变量和模糊变量是有非常大的区别的．一般来说，随机变量是定义在概率空间上，函数值在实数集上的函数；模糊变量是定义在可能性空问上，函数值在实数集上的函数；而不确定变量是一个从不确定性空间到实数集的可测函数．
定义２．１．５．仁ｉ０删肛ｆ和，７是两个不确定变量，如果对于实数的任意Ｂｏｒｅｌ集Ｂ，均有
Ｍ代∈Ｂ＞＝Ｍ｛，７∈Ｂ）
就称不确定变量∈和叼是相同的分布．（２．６）
７
２预备知识硕士论文２．２不确定性分布
本小节引入不确定性分布的定义来描述不确定变量，不确定性分布就是不确定变量的不完全信息的一个承载。然而，在很多情况下，我们多考虑不确定性分布，而不考虑不确定变量本身。
定义２．２．１．陋“叫，不确定变量荨的不确定性分布函数圣：睨＿【ｏ，１】定义如下：对任意实数ｚ，
圣（ｚ）＝Ｍ｛∈≤ｚ）．
例２．１．如果不确定变量∈有‘‘之字形”不确定性分布函数
０，如果ｚ≤口
如果。≤ｚ≤６（ｚ一。）／２（６一口）’
西（ｚ）＝（２．７）
（ｚ＋ｃ一２６）／２（ｃ一６），如果６Ｓｚ茎ｃ
ｌ，如果ｚ≥ｃ
记作ｚ（ｎ，６，ｃ）其中ｏ，６，ｃ是实数，并满足ａ＜６＜ｃ．我们就称∈为“之字形”不确定变量．
定理２．２．１．仁ｔ∥司）如果两个不确定变量是相同的分布，则它们有公共的不确定性分布，但反过来结论不成立．
定理２．２．２．亿ｉｕＭＪ一个函数西：跪＿［０，１】是一个不确定性分布当且仅当它是一个单调递增的函数，除了西＠）三。和西（ｚ）兰１．
注２．２．１．独立性有许多种不同的表达形式，但必须满足的必不可少的特点是这些不确定变量不仅要独立地定义在不同的不确定性空间，而且同时还要定义在它们的乘积不确定性空间上．为了确保我们能够做到这一点，我们运用如下的数学形式来定义不确定变量的独立性．８
硕士论文多阶段不确定最优控制定义２．２．２．仁ｉ０“１尉任意实Ｂｏｒｅｌ集Ｂ１，岛，…，Ｂｍ，有
Ｍ｛自婚∈最，＞＝，蛩甄Ｍ
则称不确定变量∈１，已，…，岛是独立的。
立的当且仅当ｔ６∈鼠，，ｃ２㈣定理２．２．３．仁抛㈨，对任意实Ｂｏｒｅｌ集Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｍ，不确定变量∈１，已，…，‰是独
Ｍ胁吲）．滕Ｍ豫吲
的函数，则＾（荨１），五（已），…，厶（靠）是独立的不确定变量．
不确定变量的期望和方差２．３江９，定理２．２．４．仁“。胡胜不确定变量荨１，已，…，缸是独立的，并且＾，，２，…，厶是可测
，＋∞
‘，０，０ｒ）ｄｒ，Ｅ略】＝／３ｙｃ｛ｆ≥ｒ）ｄｒ一／了ｖｃ．［∈ｓＪ一∞（２．１０）
，＋∞，．０
Ｅ医】＝／．，０垂（ｚ）血．（１一西（ｚ））血一／．，一∞（２．１１）
剐＝Ｚ１一（Ｑ）ｄＱ。（２．１２）
’西ｃｚ，＝｛ｃｚ｛，／２，三三三薹；１二≤ｌＱ．１３，
２预备知识硕士论文由（２．１１）式可得∈的期望值为
Ｅ圈＝小１一孚肛￡孚扣。．仁㈣
定理２．３．３．仁｛以司皿∈和，７是两个有有限期望值的独立的不确定变量，则对任意的实数口和６，有
Ｅ【《＋６，７】＝口Ｅ睡】＋６Ｅ［纠．
注２．３．１．值得注意的是，期望值算子Ｅ对不独立的不确定变量一般没有线性性．
定义２．３．２．仁ｔ∥司肚专是一个不确定变量，其有界的期望值为ｅ，则不确定变量∈的方差定义为
ｙ圈＝Ｅ【＠一ｅ）２】．
定理２．３．４．仁ｉ∥司，不确定变量专有有界的期望值ｅ，口和６是实数，则
ｙＫ＋６】＝口２ｙ圈．１０
硕士论文多阶段不确定最优控制３多阶段不确定系统
３．１多阶段不确定系统模型
多阶段不确定系统的最优控制问题就是为了使目标函数达到最优（最大或最小），当受到一定的约束条件的限制时，在众多决策选择一个最优的决策。本文中，我们将讨论下列以不确定期望值最优作为目标函数，得到多阶段不确定系统最优控制问题，其一般模型如下：
堆ｏ，ｏ，＝躐Ｅ酚㈣蝴∽］
ｚ０＋１）：妒＠０），ｔ正Ｇ），Ｊ）＋口＠Ｕ），让Ｇ），Ｊ）ｃ≥＋１，
其中歹＝０，ｌ，２，…，Ⅳ一１，
ｚ（ｏ）＝ｚｏ．
其中，是目标函数，矽和盯是两个函数，ｚＯ）是系统第Ｊ个阶段的状态，ｕＯ）系统第ｊ『个阶段的控制变量，％满足约束条件的控制变量ｕ０），其中Ｊ＝ｏ，１，２，…，Ⅳ的全（３・１）体，ｚｏ是系统的初始状态。另外，Ｇ，岛，…，ｏ是一些独立的不确定变量。
令对任意的ｏ≤后≤Ⅳ，Ｊ＠七，七）是瞻，Ⅳ】上所得的期望值的最优返回值，其中在第尼阶段有状态ｚ（忍）＝ｚ七。则可得下列模型：
ｍ舶，＝拦Ｅ隆魄蚓∽］以％砷２拦ＥＩ．薹“比），比）＇力Ｊ
ｚＵ＋１）＝妒０Ｄ），让０），歹）＋仃０Ｇ），乱Ｕ），歹）Ｇ＋・，
其中ｊ『＝七，后＋１，…，Ⅳ一ｌ，
ｚ（七）＝ｚ七．
１１（３．２）
３多阶段不确定系统硕士论文注３．１．１．在上述模型的基础上，我们也可以考虑其他形式的多阶段不确定系统的最优控制问题的模型。如：上述模型中的最优值取的是目标函数的期望值的最大值，当我们考虑取目标函数的乐观值的最大值时，就可以建立相应的不确定乐观值最优控制问题模型。由于比较两个不同的不确定变量时采用了不同的比较准则，使得各类问题在引入形式和应用方面各不相同。
３．２递推公式
应用ＢｅＵｍａｎ最优性原理，类似于Ｚｈｕ【３７１中递推公式的证明，我们可以得到下列递推公式。由这个递推公式，问题（３．１）就能进行求解了。
定理３．２．１．对于问题（３．１），我们可以得到下列递推公式：
Ｊ＠Ⅳ，Ⅳ）＝ｕ（瑚蹴，（ｚⅣ，让（Ⅳ），Ⅳ），
（３．３）
Ｊ（ｚ七，后卜ｕ鼢引ｍ七，ｕ（啪）＋删％＋１），七＋１）】，
其中忌＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，ｌ，０．
证明：由所给条件，很明显可以得到Ｊ０Ⅳ，Ⅳ）＝札（ｍ瓿，（ｚⅣ，乱（Ⅳ），Ⅳ）。对任意的忌＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，ｌ，０，有
ｒⅣ１
以％动２燧Ｅ【三八加）＇的）＇力Ｊ
＝燧Ｅ卜ｎ㈤㈤＋Ｅ幽蚓州幻，］］＾Ｓ‘ＳⅣＬＵ＝七＋ｌＪＪ
ｒｒⅣ１１
≤“鼢Ｅ陋蛾蚶舭）＋。熬ＥＬ萎。ｍ㈨ｕ刚ＪＪ
＝缸蹴Ｅ［他（忌），ｕ（尼），七）＋，（ｚ（后＋１），％＋１）】．１２（３・４）
硕士论文多阶段不确定最优控制另外，对任意的ｕ（ｔ），七≤ｚ≤Ⅳ，可得
，（钆，七）≥Ｅ心Ｚ∽Ｌ∽
“¨Ｊ
＝ＥⅣ∑似他㈣ｈ似Ｕ、门砷＋Ｅ白枷∽Ｊ，］］Ｉ∑ｍｏ），ｕ◇），ｊ『）ｌＩｂ＝七＋１ＪＪ
因为对于七＋ｌ≤ｔＳⅣ，则
ｍ舶脚卜ｎ㈤㈤＋愚Ｅ隆枷∽Ｊ，］］
＝Ｅｆ，（ｚ（％），ｔ上（七），膏）＋Ｊ＠（惫＋１），七＋１）】．
对上述不等式两边同时关于ｕ（七）取最大值，可得
Ｊ（ｚ％，七）＞ｕ蹴Ｅ阶（忌），ｕ（啪）＋州克＋１），七十１）】．（３．５）
联合（３．４）和（３．５），即可得递推公式（３．３）。
根据前面所考虑的模型，递推公式（３．３）还可以表示为
Ｊ＠Ⅳ，Ⅳ）＝ｕ（器‰，扛Ⅳ，札（Ⅳ），Ⅳ），
Ｊ（瓢，七）＿ｕ鼢Ｅ阶七，ｕ（啪）＋Ｊ（砂（ｚ七，ｕ（七），尼）（３．６）
＋仃（ｚ七，ｔｌ（七），忌）Ｃｋ＋１，七＋１）】，
其中％＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，１，０。
注３．２．１．从定理３．２．１，我们可以看出求解问题（３．１）可以转化为：按照逆序的方法，从最后一个阶段开始，一步一步，直到初始阶段为止，求解较为简单的问题（３．３）。
１３
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文４多阶段不确定最优控制问题
多阶段不确定最优控制问题是对于一个离散系统，当状态转移方程受到不确定变量的干扰时，求该多阶段不确定系统的最优控制，及其相应的最优目标值。４．１线性多阶段不确定最优控制问题
考虑如下线性多阶段不确定最优控制问题，由递推公式（３．３），我们可以得到其精确解，及其相应的最优值。系统模型如下：
ｍｏ，ｏ，＝蹬Ｅ阢。）］ｏＳｔＳⅣＬＪ＝０Ｊ
ｓ．ｔ．
ｚＧ＋１）：％ｚＵ）＋６ＪｕＵ）＋乃＋１ｃ；＋ｌ，
其中Ｊ＝０，ｌ，２，…，Ⅳ一１，
ｚ（０）＝ｚｏ，（４・１）
其中ｚ０）是第Ｊ个阶段现存的燃料量，缸Ｏ）是第歹个阶段通过消耗或添加的燃料来影
州垆∞’＝
ＪｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ－｝ＱＮ，
ＮＮ
，＠％，后）＝Ｒｚ七＋∑Ｑｉ＋乏二只ｃｒｔｅｔ，‘＝七ｉ＝七＋１
１４
硕士论文多阶段不确定最优控制其中
ＰⅣ＝ＡⅣ，Ｒ＝４七＋最＋１钆；
ＱⅣ＝Ｏ，Ｑ七＝最＋１‰Ｉ，
对任意的七＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，１，０．
证明：上述问题的最优控制分别标记为矿（０），ｕ‘（１），…，ｕ。（Ⅳ），运用递推公式（３．３），可得
Ｊ（ｚⅣ，Ⅳ）２ｌ滁１（山ｚⅣ）＝ＡⅣｚⅣ，
其中ｌｕ’（Ⅳ）ｌ≤１０令ＰⅣ＝ＡⅣ，ＱⅣ＝ｏ，则
ＪｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ＋ＱＮ．
当忌＝Ⅳ一１时，运用递推公式（３．３），可得
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）
２Ｉ乜（黝ｓ１剐Ⅳ－１ｚⅣ－１＋，（ｚ（Ⅳ），Ⅳ）】
Ｉｕ（躐ｓｌ‰一ｌｚⅣ＿１＋ＰⅣＥ陋（Ⅳ）】＋ＱⅣ）
Ｉ“（躐ｓ１｛ＡⅣ．１ｚⅣ－１＋ＰⅣＥ【口Ⅳ一ｌｚⅣ－ｌ＋
６Ⅳ一１ｔ正（Ⅳ一１）＋盯Ⅳ瓯】＋ＱⅣ）２２
２Ｉｕ（麟≤１．［（ＡⅣ＿ｌ＋Ｒ口Ⅳ．１）ｚⅣ－ｌ＋
ＰⅣ６Ⅳ一１ｕ（Ⅳ一１）＋ＰⅣ咐ｅⅣ＋ＱⅣ）．（４．２）因此
ＰⅣｈ一１矿（Ⅳ一１）２Ｉｕ（麟≤１既６Ⅳ－１ｕ（Ⅳ一１）・
１５
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文所以可得
ｕ』ｃⅣ一１，＝｛兰：定，三蓁兰三ｉ三三ｉ
ｓｉ弘．［６Ⅳ一１），如果６Ⅳ一１≠ｏ；
不确定，其他情况．
因此。可得
Ｊ（ｚⅣ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋尸Ⅳ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ６Ｎ一１ｕ‘（Ⅳ一１）＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ．
当６Ⅳ一１＝０时，有
Ｊ（ｚⅣ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋尸Ⅳｏｊｖ—１）ｚⅣ一１＋ＰⅣｕ’（Ⅳ一１）×ｏ＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＝（４Ⅳ一ｌ＋ＰⅣｏⅣ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ口ⅣｅⅣ＋ＱⅣ．
令
。ＰⅣ一１＝ＡⅣ一１＋ｊ，ⅣｏⅣ一１，ＱⅣ一１＝０．
则
Ｊ＠Ⅳ一１，Ⅳ一１）＝ＰⅣ一１ｚⅣ一１＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋ＰⅣ叫ｅⅣ．
当６Ⅳ一１＞ｏ时，有ｕ‘（Ⅳ一１）＝１，并且
，＠Ⅳ一１，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋户ＩⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ６Ⅳ一１×１＋尸ｌⅣ盯ＮｅⅣ＋（？Ｎ
＝（ＡⅣ一ｌ＋Ｒ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ６Ⅳ一１＋ＱⅣ＋ＰⅣ仃ⅣｅⅣ．
１６（４．３）（４．４）（４．５）（４．６）
令
ｊ）Ⅳ一１＝ＡⅣ一ｌ＋尸Ⅳ口Ⅳ一ｌ，ＱⅣ一ｌ＝ＰⅣ６Ⅳ一１．
则
‘，０Ｎ—ｌ，Ⅳ一１）＝ＰⅣ一ｌｚＮ—ｌ＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ．
当６Ⅳ一１＜０时，有ｕ‘（Ⅳ一１）＝一１，并且
‘，（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋Ｒ口Ⅳ一１）ｚⅣ一ｌ＋尸＾，６Ⅳ一ｌ×（一１）＋既盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＝（ＡⅣ一１＋ＰⅣａⅣ一１）ｚⅣ一１一Ｒ６Ⅳ一ｌ＋ＱⅣ＋ＰⅣ盯ⅣｅⅣ．
令
蜀ｖ—ｌ＝ＡⅣ一１＋蜀ｖ口Ⅳ一ｌ，
则（４．７）ＱⅣ一１＝一毋曲Ⅳ一１．
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）＝户ｋ—ｌｚⅣ一ｌ＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋Ｒ盯ⅣｅⅣ．
当忌＝Ⅳ一２时，运用递推公式（３．３），可得
，０Ⅳ－２＇Ⅳ一２）
２阻（是萄≤ｉＥ陋Ⅳ一２ｚⅣ一２＋Ｊ＠（』、ｒ一１），Ⅳ一１）】
２ｌｕ（蹴ｓｌ｛ＡⅣ＿２ｚⅣ－２＋ＰⅣ一１Ｅ陋（Ⅳ一１）】＋ＱⅣ－１＋ＱⅣ＋ＰⅣ仃ⅣｅⅣ）Ｉｕ（麟≤ｌ｛ＡⅣ一２ｚⅣ一２＋鼢一１Ｅ【。Ⅳ一２ｚⅣ一２＋６Ⅳ一２“（Ⅳ一２）＋％一１％一１】＋ＱＮ＾＋ＱＮ＋ＰＮｏＮｅＮ、２
２ｌ“（黝ｓ１｛（ＡⅣ－２＋ＰⅣ一１ＱⅣ＿２）ｚⅣ＿２＋Ｒ一１６Ⅳ一２ｔ正（Ⅳ一２）＋ＱⅣ－ｌ＋弧
＋ｐＩⅣ一１盯Ⅳ一１ｅⅣ一１＋尸Ⅳ盯ⅣｅⅣ）．（４．８）１７
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文因此
ＰⅣ一１６Ⅳ－２ｕ’（Ⅳ一２）２
所以可得Ｉｕ（躐≤１ＰⅣ一１６心“（Ⅳ一２）・
如果６Ⅳ一２＞Ｏ；
如果６Ⅳ一２＜０；１，ｕ‘（Ⅳ一１，
不确定，如果６Ⅳ一２＝０，
ｓｉ髓＿［６Ⅳ一２），如果６Ⅳ一２≠ｏ；（４．９）
不确定。
因此，可得其他情况．
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一ｌｏⅣ一２）ｚⅣ一２＋尸Ⅳ一１６Ⅳ一２缸‘（Ⅳ一２）＋ＱⅣ一１＋Ｑ．Ⅳ
＋尸Ⅳ一１盯Ⅳ一ｌｅⅣ一１＋尸ｌⅣ盯ⅣｅⅣ．（４．１０）
当６Ⅳ一２＝Ｏ时，有
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一１口Ⅳ一２）ｚⅣ一２＋ＰⅣ一１ｕ＋（Ⅳ一２）×０＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ
—｝ＰＮ一・一Ｎ一、ｅＮ—ｌ＋ＰＮｏＮｅＮ
＝∽Ⅳ一２＋ＰⅣ一ｌｎⅣ＿２）ｚⅣ一２＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋既一１卿一１ｅ＾ｒ—ｌ
－｝ＰＮｏＮｅＮ．（４．１１）
令
毋、ｒ一２＝ＡⅣ一２＋上）Ⅳ一ｌ口Ⅳ一２，
１８Ｑ＾ｒ一２＝０．
则
‘，＠Ⅳ一２，Ⅳ一２）＝ｊ）Ⅳ一２ｚＩⅣ一２＋ＱⅣ一２＋ＱⅣ一１＋Ｑ｜Ⅳ＋蜀、ｒ—ｌａ．Ⅳ一ｌｅⅣ一１＋局、ｒａ．ⅣｅⅣ．当６Ⅳ一２＞ｏ时，有矿（Ⅳ一２）＝１，并且
，（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（ＡⅣ一２＋尸Ⅳ一１口Ⅳ一２）ｚⅣ一２＋尸Ⅳ一１６Ⅳ一２×１＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ
七ＰＮ一谭Ｎ一谭Ｎ—ｌ＋ＰＮｏＮｅＮ
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一ｌａⅣ一２）ｚⅣ一２＋ＰⅣ一１６Ⅳ一２＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ
七ＰＮ一ⅣＮ一水Ｎ—ｌ＋ＰＮｏＮｅＮ．（４．１２）
令
—ＰｌⅣ一２＝ＡⅣ一２＋．尸ＩⅣ一１ｎⅣ一２，
则ＱⅣ一２＝．尸ＩⅣ一１６Ⅳ一２
Ｊ＠Ⅳ一２，Ⅳ一２）＝ＰⅣ一２ｚⅣ一２＋ＱⅣ一２＋ＱⅣ一１＋Ｑ．Ⅳ＋尸Ⅳ一ｌ知一１ｅⅣ一１＋户Ⅳ叫ｅⅣ．当６Ⅳ一２＜ｏ时，有ｕ’（Ⅳ一２）＝一ｌ，并且
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
＝（４Ⅳ一２＋ＰⅣ一ｌｎⅣ一２）ｚⅣ一２＋ＰⅣ一１６Ⅳ一２×（一１）＋Ｑ．Ⅳ一ｌ＋ＱⅣ
＋ＰＮ一１仃Ｎ—ｌｅＮ一１＋ＰＮａＮｅＮ
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一１口Ⅳ一２）ｚⅣ一２一Ｒ—１６Ⅳ一２＋Ｑ＾ｒ一１＋ＱⅣ
＋ＰＮ一炉Ｎ—ｌｅＮ一１＋ＰＮｏＮｅＮ．（４．１３）令
ｊ）Ⅳ一２＝ＡⅣ一２＋ｊ，Ⅳ一１口Ⅳ一２，ＱⅣ一２＝一ｊ，Ⅳ一１６Ⅳ一２．
１９
４多阶段不确定最优控制问题硕士论文则
Ｊ０Ⅳ一２，Ⅳ一２）＝霸一２ｚⅣ一２＋ＱⅣ一２＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋ＰⅣ一１啊一ｌｅⅣ一１＋ＰⅣ¨ｅⅣ．由数学归纳法，可以得到相应的定理结论，定理即证。
注４．１．１．由定理４．１．１中最优控制的表达式，我们可以看出：问题（４．１）是Ｂａｎ争Ｂａ皿ｇ控制问题。
４．２非线性多阶段不确定最优控制问题
问题（４．１）中，我们考虑的是目标函数和状态转移方程都是线性的，由定理４．１．１中的结论得到线性多阶段不确定最优控制问题的最优控制和最优值，但当所考虑的系统中目标函数是线性的，状态转移方程是二次的时，就是我们下面所要考虑的二次多阶段不确定最优控制问题。
４．２．１非线性多阶段不确定最优控制问题数学模型
由定理４．１．１，对于在每一个阶段上，目标函数和状态转移方程都是线性的不确定最优控制系统，我们可以得到该系统的Ｂａｎ乎Ｂ锄ｇ最优控制和相应的最优目标值的精确表达形式。如果当系统中目标函数是线性的，状态转移方程是二次的，我们考虑下列问题：
ｍｏ，ｏ，＝瞄Ｅ［争。）］
ｚＵ＋１）：吩ｚ０）＋％ｕ◇）＋吗ｔ‘２Ｇ）＋乃＋ｌｃ≥＋１，（４・１４）
其中歹＝０，１，２，…，Ⅳ一１，
ｚ（０）＝ｚｏ，
其中如＜ｏ对于任意的ｏ≤Ｊ≤Ⅳ，其余的参数与（４．１）中意义相同・２０
硕士论文多阶段不确定最优控制定理４．２．１．问题（４．１４）的最优控制ｕ‘（忌）为
Ｉ矿∽）Ｉ
ｔ正’（克）＝一兹，６岛如果２以≤６七≤一２以
一、●，【“弘｛赶）’，
相应的最优值为其他情况
ＪｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ七ＱＮ，
ＮＮ
，（％七）＝船七十∑Ｑ＋∑
‘＝七｛＝如｝１只吼ｅｔ，
其中
Ｒ＝ＡⅣ，Ｒ＝Ａ七十最＋１０七；
＋ｌｄ七＋
ｄ七如果如果
如果１ＱⅣ＝０，ＱＪｃ＝篡酱尸一＋１一ｂ一４＋一￡１瓦２盘，
其中尼＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，ｌ，Ｏ．
证明：上述问题的最优控制分别标记为ｕ＋（０），ｕ‘（１），…，让‘（Ⅳ），运用递推公式（３．３），可得
‘，（ｚⅣ，Ⅳ）＝ｌ梳。｛“ｚⅣ｝＝鼬ｚ．Ⅳ，
其中Ｉｕ‘（Ⅳ）Ｉ≤ｌ。令Ｒ＝ＡⅣ，ＱⅣ＝ｏ，则
３ｂＮ，Ｎ、＝ＰＮｚＮ＋ＱＮ．
２１
当七＝Ⅳ一ｌ时，由递推公式（３．３），可得
‘厂（ｚＮ一１，Ⅳ一１）
＝．，翠蜷．．Ｅ阻Ⅳ一ｌｚⅣ一１＋Ｊ０（Ⅳ），Ⅳ）１。‘
阻（Ⅳ一１）１５１一
＝．，粤ａ签，．｛ＡⅣ一１ｚⅣ一１＋ＰⅣＥｋ（Ⅳ）】＋ＱⅣ）。。‘‘
Ｉｕ（Ⅳ一１）ＩＳｌ‘
＝．，９１ａ蕞，．．【ＡＪ、ｒ一１ｚⅣ一１＋ｊ，ⅣＥ陋Ⅳ一１ｚⅣ一ｌ’
Ｉ缸（Ⅳ一１）ｌＳｌ、
＋６Ⅳ一１ｔ上（Ⅳ一１）＋ｄⅣ一１ｔ上２（Ⅳ一１）＋口Ⅳ∞】＋ＱⅣ＞
＝（ＡⅣ一１＋霸ｏⅣ一１）ｚⅣ一１＋ＰⅣ口ⅣｅⅣ＋ＱⅣ
＋ｌｕ（躐ｓ１｛Ｒｈ一１ｔｌ（Ⅳ一１）＋ＰⅣｄⅣ一１ｔ正２（Ⅳ一１））・（４・１５）
设
日（ｕ（Ⅳ一１））＝ＰⅣ６Ⅳ一ｌ牡（Ⅳ一１）＋ＰⅣ如一ｌ“２（Ⅳ一１）．
求ｎ‘（Ⅳ一１）使得（４．１５）成立，就相当于求函数日∞（Ⅳ一１））在ｌ乱（Ⅳ一１）Ｉ≤１上的最大值点，即
．，粤嚼，．日（ｕ（Ⅳ一１））’’～
ｌ乜（Ⅳ一１）Ｉ≤ｌ
日（让‘（Ⅳ一１））
＝ＰⅣ６Ⅳ一１ｔ正＋（Ⅳ一１）＋Ｒ如一１（ｔ‘’（Ⅳ一１））２．（４．１６）
由群＝ＰⅣ６Ⅳ．１＋２ＰⅣ札札（Ⅳ－１）＝。
可得
ｕ（Ⅳ＿１）＝一器．
情况１：如果ｌ—ｈ—ｌ／（２如一１）ｌ≤１，即２ｄⅣ一１≤６Ⅳ一１≤一２ｄⅣ一ｌ，则日（ｔ上（Ⅳ一１））的轨迹如图４．１中的日ｌ，此时ｕ‘（Ⅳ一１）＝一６Ⅳ一１／（２ｄⅣ一１）是日（ｕ（Ⅳ一１））的最大值点，
硕士论文多阶段不确定最优控制因为
ｄ２日（ｕ（Ⅳ一１））
毗（Ⅳ一１）２＝２尸：ⅣｄⅣ一１＜０．
也就是说，如果２ｄⅣ一１≤６Ⅳ一１≤一２ｄⅣ一ｌ，则第Ⅳ一１个阶段的最优控制是
ｕ。（Ⅳ一１）＝一６Ⅳ一ｌ／（２ｄⅣ一１）．
此时，把缸＋（Ⅳ一１）＝－６Ⅳ一１／（２ｄⅣ一１）代入（４．１６）式，可得
．，乎蜷，．日（ｕ（Ⅳ一１））’、～
Ｉｕ（Ⅳ一１）Ｉ≤１
＝ＰⅣ６Ⅳ一１ｕ‘（Ⅳ一１）＋ＰⅣｄⅣ一ｌ（ｔ正＋（Ⅳ一１））２
＝蹦Ｍ（一嘉）＋氏札（一是）２
＝＝一一ＰⅣ６知一１
２ｄⅣ一１＋甓
ＰⅣ６南一１
钇Ⅳ一１‘（４．１７）
把日（ｕ‘（Ⅳ一１））代入（４．１５）可得第Ⅳ一１个阶段的最优目标值Ｊ＠Ⅳ一１，Ⅳ一１）为
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一ｌ＋ＰⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一ｌ＋氏盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＋日（ｔ正’（Ⅳ一１））
＝（札。＋ＰⅣ口Ｍ）吼。一案＋ＱⅣ＋ＰⅣ州Ⅳ．（４．１８）
令
毋、ｒ—ｌ＝ＡⅣ一１＋尸Ⅳ口Ⅳ一１，ＱⅣ一ｌ＝一ＰⅣ６ｊＩ一１
４ｄⅣ一ｌ‘
则
Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）＝ＰⅣ一１ｚⅣ一１＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋ＰⅣ％ｅⅣ．
情况２：如果一６Ⅳ一ｌ／（２ｄⅣ一１）＞１，即６Ⅳ一ｌ＞一２ｄⅣ一１，则日（让（Ⅳ一１））的轨迹如图４．１中的日２，此时日（ｕ（Ⅳ一１））是ｕ（Ⅳ一１）∈【一１，ｌ】上的递增函数。也就是说，如
果６Ⅳ一１＞一２ｄⅣ一１，则第Ⅳ一１个阶段的最优控制是
ｔ‘’（Ⅳ一１）＝１－
此时，把ｕ。（Ⅳ一１）＝１代入（４．１６）式，可得
～．，乎嚼，．Ｈ（ｕ（Ⅳ一１））、’
Ｉｕ（Ⅳ一１）ＩＳｌ
＝ＰⅣ６Ｎ一１“’（Ⅳ一１）＋既ｄⅣ一１ｍ。（Ⅳ一１））２
＝尸ｌⅣ６＾ｒ—ｌ×１＋户ＩⅣｄⅣ一ｌ×１２
＝民（ｄⅣ一ｌ＋６Ⅳ一１）．
把日（ｕ＋（Ⅳ一１））代入（４．１５）可得第Ⅳ一１阶段最优目标值Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）为（４．１９）
Ｊ（ｚⅣ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一ｌ＋尸ｌⅣ口Ｎ一１）ｚⅣ一１＋尸Ⅳ盯ⅣｅⅣ＋ＱⅣ＋日（ｕ’（Ⅳ一１））
＝（ＡⅣ一１＋ＰⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一１＋Ｒ（ｄⅣ一１＋６Ⅳ一１）＋ＱⅣ＋ＰⅣ叫ｅⅣ．
令
局、ｒ一１＝ＡⅣ一１＋局、ｒｎⅣ一１，（４．２０）ＱⅣ一ｌ＝—Ｐ知（ｄⅣ一ｌ＋６Ⅳ一１）．
则
Ｊ（ｚⅣ一１，Ⅳ一１）＝尸ＩⅣ一１ｚⅣ一ｌ＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋尸ｌⅣ９ⅣｅⅣ．
情况３：如果一６Ⅳ一１／（２ｄⅣ一１）＜一１，即６Ⅳ一ｌ＜２ｄⅣ一ｌ，则Ｈ（ｕ（Ⅳ一１））的轨迹如图４．１中的日３，此时Ｈ（ｕ（Ⅳ一１））是ｕ（Ⅳ一１）∈【一１，１】上的递减函数。也就是说，如果６Ⅳ一１＜２ｄⅣ一ｌ，则第Ⅳ一１个阶段的最优控制是ｔ‘＋（Ⅳ一１）＝一１．
此时，把矿（Ⅳ一１）＝一１代入（４．１６）式，可得
“．，粤嚼，，日（“（Ⅳ一１））Ｋ（Ⅳ一１）ｌＳｌ’、
＝ＰⅣ６．Ⅳ一１ｔ正’（Ⅳ一１）＋ＲｄⅣ一１（ｕ＋（Ⅳ一１））２
ＰⅣ６Ⅳ一１×（一１）＋ＰⅣｄⅣ一ｌ×（一１）２
＝ＰⅣ（ｄⅣ一ｌ—ｈ一１）．（４．２１）
把日（ｕ‘（Ⅳ一１））代入（４．１５）可得第Ⅳ一１个阶段的最优目标值Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）为
‘，０Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）
＝（ＡⅣ一１＋氏ＤⅣ一１）ｚⅣ一ｌ＋Ｒ叫ｅⅣ＋ＱⅣ＋日（乱＋（Ⅳ一１））
＝（ＡⅣ一１＋ＰⅣ口Ⅳ一１）ｚⅣ一ｌ＋ＰⅣ（ｄⅣ一ｌ一６Ⅳ一１）＋ＱＮ＋ＰⅣ仃ＮｅⅣ．
令
尸Ⅳ一ｌ＝ＡⅣ一ｌ＋ＰⅣｏⅣ一ｌ，
则（４．２２）ＱⅣ一１＝只ｖ（ｄⅣ一ｌ一６Ⅳ一１）．
Ｊ＠Ⅳ一ｌ，Ⅳ一１）＝尸Ⅳ一ｌｚⅣ一１＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋尸Ⅳ仃Ⅳｅｊ、ｒ．
当忌＝Ⅳ一２时，由递推公式（３．３），可得
Ｊ（ｚⅣ一２，Ⅳ一２）
２Ｉ。（黝≤ｌＥ陋Ⅳ－２ｚⅣ－２＋‘，（ｚ（Ⅳ一１），Ⅳ一１）】
ｋ（嚣蜀≤１＜ＡⅣ一２ｚⅣ一２＋日一ｌＥｋ（Ⅳ一１）】＋ＱⅣ一１＋ＱⅣ＋尸Ⅳ卿ｅⅣ】．２
２Ｉ。（鼢ｓ１｛如一２ｚⅣ＿２＋ＰⅣ一１Ｅ【口Ⅳ一２ｚ眦＋６Ⅳ＿２ｕ（Ⅳ一２）
＋ｄⅣ一２让２（Ⅳ一２）＋盯Ⅳ一１瓯一ｌ】＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ十尸Ⅳ啊ｅⅣ｝
＝（ＡⅣ一２＋ＰⅣ一ｌｏⅣ一２）ｚⅣ一２＋既一ｌ口Ⅳ一１ｅⅣ一１＋ＱⅣ一ｌ＋ＱⅣ＋尸Ⅳ啊ｅⅣ
＋ｍａｘ（４．２３）
Ｉｔ‘（Ⅳ一２）Ｉ≤１、｛ＰⅣ一１６Ⅳ一２ｕ（Ⅳ一２）＋ＰⅣ一１ｄⅣ一２乱２（Ⅳ一２））．
设
日（ｕ（Ⅳ一２））＝ＰⅣ一１６Ⅳ一２ｕ（Ⅳ一２）＋ＰⅣ一ｌｄＮ一２乱２（Ⅳ一２）．
由
笔等簪三产＝ＰⅣ一・ｈ一２＋２ＰⅣ一・ｄⅣ一２ｕ（Ⅳ一２）＝。
可得
ｕ（Ⅳ－２）一是．
类似于％＝Ⅳ一１的情况，可得：
如果Ｉ一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）ｌ≤ｌ，即２ａｋ一２≤６Ⅳ一２≤一２ｄⅣ一２，则ｕ’（Ⅳ一２）＝一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）是日（ｕ（Ⅳ一２））的最大值点，其中日（ｕ（Ⅳ一２））的轨迹如图４．１中的日１・因为啤卿：２ＰⅣ－１ｄⅣ－２＜ｏ．ｄｕ（Ⅳ一２）２～”～一”～‘。
也就是说，如果２如一２≤６Ⅳ一２≤一２ｄ＾ｒ一２，则第Ⅳ一２个阶段的最优控制是
ｕ＋（Ⅳ一２）＝一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）．
否则，因为如果一６Ⅳ一２／（２ｄⅣ一２）＞ｌ，即６Ⅳ一２＞一２ｄⅣ一２，则日（ｔｌ（Ⅳ一２））的轨迹如图４．１中的日２。日∞（Ⅳ一２））是ｕ（Ⅳ一２）∈【一１，１】上的递增函数，则第Ⅳ一２阶段的最优控制是
ｔ‘’（Ⅳ一２）＝１．
如果一６Ⅳ一２／（２ｄＮ一２）＜一１，即６Ⅳ一２＜２ｄⅣ一２，则日（乱（Ⅳ一２））的轨迹如图４．１中的日３。日（让（Ⅳ一２））是ｕ（Ⅳ一２）∈【一ｌ，１】上的递减函数，则第Ⅳ一２阶段的最优控制是
牡‘（Ⅳ一２）＝一１．
２６
硕士论文多阶段不确定最优控制凼此ｆ一骧，Ｉ一—趸面ｉ二；一’
日（让）如果２如一２≤６Ⅳ＿２≤一２ｄⅣ一２划术ｚⅡⅣ一２∑口Ⅳ一２∑一么口Ⅳ一２．Ｍ紧蜀≤１日（ｕ（Ⅳ一２））２．｛ＰⅣ一１（ｄⅣ一２＋６Ｎ一２），如果６Ｎ一２＞一２ｄⅣ一２【ＰⅣ“如一２—６Ⅳ－２），如果６Ⅳ－２＜２ｄⅣ－２．把最优控制代入（４．２３）可得第Ⅳ一２个阶段的最优目标值Ｊ＠Ⅳ一２，Ⅳ一２）。由数学归纳法。可以得到相应的定理结论。定理即证。
／一／一１／、、
、、日１／｛罗＼／—＼＼１Ｈ２＼’＼．一
图４．１：函数日（ｔ‘）的三种轨迹
注４．２．１．由定理４．２．１中最优控制的表达式，我们可以看出：问题（４．１４）是Ｂａｎ争ＢａＪｌｇ控制问题。
４．２．２算法分析
在定理４．２．１中，我们研究的是目标函数是线性，状态转移方程是二次的多阶段最优控制问题。对于该问题，我们得到其每一个阶段的最优控制和最优目标值的精确表达形式。对于所有的％＝０，１，…，Ⅳ一１，根据定理４．２．１，由第忌个阶段和第七＋１个阶段之间的关系，可得下列两个算法，来计算不确定最优控制问题的最优控制和最优目标值。
算法Ｊ：（计算每个阶段的系数）２７
４多阶段不确定最优控制问题
硕士论文
步骤ｌ：令ｕ’（Ⅳ）＝ｏ，计算Ｊ＠Ⅳ，Ⅳ）＝ＰⅣｚⅣ＋ＱⅣ＝ＰⅣｚⅣ；步骤２：对于七＝Ⅳ一ｌ，…，０，执行以下两个步骤；
步骤３：比较ｋ和２如，
如果６七＞一２以，则ｕ。（忌）＝１；如果６七＜２ｄ％，贝０ｕ’（詹）＝一１；
如果２ｄ七≤６七Ｓ一２ｄ七，则ｕ‘（七）＝一靠／（２ｄ七）；步骤４：计算Ｒ＝屯＋口七Ｒ＋１，
如果让。（后）＝１，贝４Ｑ七＝最＋１（ｄ七＋６七）；如果ｕ’（后）＝一１，则Ｑ惫＝：Ｒ＋１（以一６知）；
如果ｕ’（忌）＝－６南／（２比），则Ｑ七＝一（磋Ｒ＋１）／（４以）。
由算法１，在每一个阶段忌（七＝０，１，…，Ⅳ一１），我们可以得到ｕ＋（七），Ｒ和Ｑ知的表达式。设不确定变量ｆｌ，岛，…，知分别有期望值ｅ１，ｅ２，…，ｅⅣ。现在，给定初值ｚ（ｏ），
我们可以根据算法１的结果，在计算机上用下列算法２得到系统的状态变量、最优控制和最优目标值。
算法２（对任意给定的初值，计算最优控制）
步骤１：执行算法ｌ，对于给定的初值ｚｏ，计算
Ｎ
Ｎ
Ｊ００，ｏ）＝晶跏＋∑Ｑ｛＋∑只吼ｅ｛；
‘＝０
‘＝ｌ
步骤２：对于忌＝１，…，Ⅳ，执行下列两个步骤；
步骤３：用轮盘赌的方式随机产生ｒ∈【０，ｌ】，由于不确定变量仉满足
不确定性分布西仕），使得西（ｃ（忌））＝，．，计算实数ｃ（七）。计算ｚ（后）＝吼一１ｚ（七一１）＋６七一ｌｔ‘‘（七一１）＋如一１（ｔ上。（七一１））２＋吼ｃ（七）；
步骤４：计算
Ｎ
Ｎ
ｔ，ｐ七，七）＝最ｚ七＋∑Ｑ‘＋∑只以艮．
１＝詹
ｔ＝七＋ｌ
硕士论文多阶段不确定最优控制
注４．２．２．由算法１，我们可按照逆序从最后一个阶段开始到初始阶段，计算每个阶段的系数。由算法２，当给定初始状态ｚｏ时，从初始阶段开始到最后一个阶段，计算所有阶段的最优控制和相应的最优目标值。
５数值实例硕士论文
５数值实例
在前面章节里，我们考虑了当目标函数是线性的，状态转移方程分别是线性和二次的多阶段不确定系统最优控制问题，并且分别经证明得到了上述两类问题的每一个阶段的最优控制和相应最优目标值的精确表达式。由定理４．１．１和定理４．２．１中最优控制的表达式可知：上述两种问题均为Ｂａｎ分Ｂａｎｇ控制问题。作为应用，我们考虑当目标函数和状态转移方程都是线性时，把定理３．２．１的结论应用于下列具体实
例。
例５．１．
厂１０
１
以‰０）２麟Ｅ【．善扣∽Ｊ
ｏ≤ｔ≤１０
ＬＪ＝０Ｊ
ｚＧ＋１）＝％ｚ０）＋％ｕＵ）＋吩＋１Ｃ：ｆ＋１，
其中歹＝０，１，２，…，９，ｚ（ｏ）＝ｚｏ．
（５．１）
其中相应的系数罗列于表５．１中，对于每一个ｏ≤歹≤１０，有一１≤ｕＵ）≤１。另外，ａ，Ｑ，…，ｑｏ是独立的‘‘之字型’’不确定变量ｚ（一１，ｏ，１），根据（２．１４）式，对于每一个ｊｉ＝ｌ，２，…，１０，则有驯０】＝ｏ．
表５．１：实例中的系数
●
Ｊ
０８０．０１１．２．０．２
１１３Ｏ．０２１．５０
２１００．０１１．２．０．３
３１１０．０ｌ
１
４１ｌ０．０１１．２．Ｏ．３
５１６０．０２１．３．０．２
６８０．０１１．４０．２
７１１０．０１１０．２
８１２０．０１１．２．Ｏ．２
９１００．０２１．１０．３
１０１５０．０１１．３．０．４
山
ａｓ
口Ｊ
６Ｊ
０．１
由定理４．１．１，可得最优控制和相应的最优目标值，罗列于表５．２。表５．２的第
四列数据表示的是相应的状态，这些状态是由初始状态ｚ（Ｏ）＝１，经状态转移方
３０
硕士论文
多阶段不确定最优控制
程ｚ＠＋１）＝口蠡石（七）＋６＿｜ｃｕ（尼）＋仃七＋１呶＋ｌ迭代得到的，其中ｃ¨１是不确定变量伉＋１的实现。对每一个阶段任意产生的一个实数ｒ¨１∈［ｏ，ｌ】（尼＝ｏ，ｌ，２，…，９），通过式
子ｃ¨１＝２ｒ七＋１—１，可以得到相应的戗＋１。
表５．２：最优解
ＳｔａｇｅＯ
１
ｎｂ
Ｃｋ
ｚ（尼）
１
ｔ正’（七）
．１
Ｊ（ｚ七，后）
６３６．６２５６３２．１８
６１１．８９７
０．７６１３４５０．０５３４０７４Ｏ．８３１８１２０．３１５４３９０．５６００４５Ｏ．７８４１７３０．６０４６０２０．０６４８８２４０．２１９５２
０．７４８２８３
Ｏ．５２２６９１．０．８９３１８５Ｏ．６６３６２５．０．３６９１２１０．１２００９０．５６８３４６０．２０９２０４—０．８７０２３５．０．５６０９６１
０．４９６５６７
１．４１０４５
２．１０６７５
Ｉｔ‘‘（Ⅳ）Ｉ≤ｌ
．１ｌ
２３４５６
７
２．８３４７３２．９３１０４３．８１９６５５．１７１２３７．．４４１８２７．６３３１２９．３４８５２１０．５８８３
５９１．９８５６０．１９８５２８．２６４６７．６２７４２６．３７２３４４．１３１２５２．２３６１５８．８２５
．１
．１１１—１ｌ
８９
１０
ｌ让。（Ⅳ）ｌ≤１
当我们所考虑的目标函数是线性的，而状态转移方程都是二次的时，结合算法１和算法２，运用定理４．２．１的结论考虑下列具体实例。
例５．２．
１０
１
Ｊ，Ｉ、珈Ｏ、ｌ，＝
Ｅ
ｍ毯毫菩牌ｏＩ
＆
Ｊ＝ｏ
∑如ｚｏ）ＩＪ
（５・２）
Ｌ
ｚ０＋１）：唧ｚＵ）＋６Ｊｕ０）＋如ｔ正２０）＋乃＋１ｃ；＋ｌ，
其中歹＝Ｏ，１，２，…，９，
ｚ（ｏ）＝ｚｏ．
其中相应的系数罗列于表５．３中，如＜０，其余各系数和例５．１的意义相同．
３１
５数值实例硕士论文
表５．３：实例中的系数
●
３
０８０．０１１．２．０．２．Ｏ．０５
１１３０．０２１．５０．５．０．０４
２１００．０１１．２．０．３．０．０３
３１１０．０１ｌ０．１．Ｏ．０２
４１１０．０１１．２．０．３．０．０９
５１６０．０２１．３．０．２．０．０６
６８０．０１１．４０．２．０．０５
７
１ｌ
８
１２
．
９１００．０２１．１０．３—０．０５
１０１５０．０１１．３一Ｏ．４．０．０３
Ａ
８’
０．０１ｌ０．２．０．０６
０．０ｌ１．２．Ｏ．２．０．０７
％
％
西
运用递推公式，根据算法ｌ＇我们可以得到上述问题在每个阶段上的系数Ｒ和Ｑ知：
Ｐ１０＝４１０＝１５，最＝Ａ七＋Ｒ＋１口七；
Ｒ＋１（也＋％），一如果ｕ＋（庇）＝１；
Ｑ１０＝ｏ，
Ｑ知＝１最＋ｌ（ｄ七一ｂ七），如果ｕ’（庇）＝一ｌ；
【一警，如果ｕ地）＝一瓣．
对于后＝Ⅳ一１，Ⅳ一２，…，０，其中Ａ七，ｎ七，ｋ和毗罗列于表５．３中。
根据算法１，我们得到的系数最和Ｑ矗。当给定初始状态ｚｏ＝１时，运用算法２，我们可以得到每一个阶段的最优控制和相应的最优目标值，相应结果罗列于表５。４。
表５．４中的第二列是随机产生的实数强∈［０，１】；第三列是当后＝１，２，…，Ⅳ时，根据（１＋ｃ七）／２＝以，得到的相应实数％∈卜１，１】；第四列是每个阶段的状态，它们满足ｚ（七十１）＝饥ｚ（后）＋ｋ乱（七）＋吼＋ｌ仅＋ｌ；第五列是当给定初始状态为ｚｏ＝１时，
得到的每个阶段的最优控制；最后一列是相应的每个阶段的最优目标值。
３２
硕士论文多阶段不确定最优控制
表５．４：最优解
Ｓｔａｇｅｒ七
Ｃ量
ｚ（七）
ｔ‘’（七）
，＠ｋ，七）
０．１．１６８７．０６３１０．９１９９８Ｏ．８３９９６１１．３６６８１６８４．７７５２Ｏ．５３０８０８０．０６１６１６９２．５１０８１．１６６７．１４１３
０．８０８００８０．６１６０１６３．２８９１４１６４３．１０１４
０．８５７８１４Ｏ．７１５６２９３．３７６２９．１６０８．０８２５０．９３２７６８Ｏ．８６５５３５４．２７８８６．１５７３．１２７６０．９２８７３９０．８５７４７９５．７１１１１
５０５．３９１７０．０９６３４６９．０．８０７３０６８．１３７４６ｌ
４５９．２６８０．１７３２５４—０．６５３４９３８．２７０９３．１
３６９．４６２９０．５６４０７４０．１２８１４７１０．０５７７１
２７０．２７８１０
０．９４４４５６
Ｏ．８８８９１３
１１．３２２３
ｆｕ‘（Ⅳ）Ｉ≤１
１６９．８３５
总结
硕士论文
总结
在实际中，由于模糊和随机的局限性，２００７年清华大学刘宝碇教授创建了不确定性理论，并于２０１０年进一步发展。现在，满足正规性、自反性、次可数可加性和乘积测度公理的不确定性理论已经成了数学的一个重要分支。本文是在不确定性理论的基础上，讨论对于一个多阶段系统，该系统的每一个阶段都受到一个不确定变量的干扰，并且使得目标函数的期望值达到最优的问题。为了解决这个多阶段不确定系统的最优控制问题，在动态规划中Ｂｅｎｍａｎ最优性原理的基础上，提出递推公式，当不确定系统的目标函数是线性的，状态转移方程分别是线性和二次的时，分别得到了相应的最优控制的表达式，由解的表达式知道上述两类问题都是Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ控制问题。作为应用，对于多阶段不确定系统的最优控制问题的一个具体实例，运用已经证明的定理，求解得到其Ｂａｎ分Ｂａｎｇ最优控制和相应的最优目标值。
上述两类问题所研究的目标函数都是线性的，证明得到最优控制问题是Ｂａｎ乎Ｂａｎｇ最优控制问题。然而，当目标函数是非线性的（如二次的）时，最优控制问题是否仍然是Ｂａｎ分Ｂａｄｌｇ最优控制问题就有待进一步研究。
硕士论文
多阶段不确定最优控制
致谢
两年半的研究生学习生涯即将结束，在此论文完成之际，我首先要向我的导师朱元国教授表示衷心的感谢。感谢朱老师在我写论文期间遇到困难时，耐心地指导，给我提供文献资料，以及关于文献检索方面的技巧，帮我突破瓶颈。朱老师精益求精的学习态度、严谨的科学态度、务实的工作作风深深激励着我，促使我不断地进步。并且朱老师平易近人，关心学生，在生活上给予我无微不至的关怀。
其次，感谢学校图书馆提供的电子资源信息和书籍，如中国期刊网、超星数据库、国外高校的硕博论文数据库、Ｓｐｒｉｎｇｅｒ、ＩＥＥＥ、南京理工大学书刊资料借阅室等，使我在书写本论文时能能较全面地查阅相关资料。
再次，感谢我的同学和朋友，尤其是许新新、张锦和我的舍友，感谢他们在我学习遇到困难时无私的帮助，感谢他们在我情绪低落时的开导和安慰，感谢他们让我看到了自己的不足，感谢他们在我的学习生涯中给予我的帮助和关心。
最后，感谢我的父母，感谢他们的包容和牵挂，无论走多远，父母永远是孩子的避风的港湾，他们用无私的爱给予我默默的关心和支持，使我能够安安心心地顺利完成学习和研究。
参考文献
硕士论文
参
【１】Ｌ蠲ａｕｅ
ＪＰ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ
考文
献
Ａｎａｂ玛ｉｓ缸ｌｄ
Ｔｉｎｌｅｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒ０１．ＮｅｗＹ．０ｒｋ：Ａ∞ｄｅｍｉｃ
胁，１９６９．
【２】ＭｅｒｔｏｎＲＣ．Ｏｐｔ洫ａｌ
ＣｏＩｌｓ砌ｐｔｉｏｎ
ａｎｄＰｏｒｔｆ０１ｉｏＲｍ镪ｉｎ
ａ
ＣｏｎｔｉｍｌｏｕｓＴｉｍｅ
Ｍｏｄｅｌ．知ｕｍ以盯互泐佗Ｄ仇ｔｃ
２现ｅＤｒ奶１９７ｌ，３：３７３－４１３
【３】Ｆ１ｅ血ｎｇｗＨ，Ｒ曲ｅｌＲｗ．Ｄｅｔｅ咖ｉｎｉｓｔｉｃＹ０ｒｋ：跏ｎ叼ｅｒ．讫“蛳１９８６［４】ＨａｒｒｉｓｏｎＪＭ．Ｂｒ∞ｍｉａｎ．Ｍｏｔｉｏｎ
ａｎｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＯｐｔｉｎｌ越Ｃｏｎｔｒ０１．ＮｅＷ
ａｎｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＦ１０Ｗ
ｓｙｓｔｅ脚．ＮｅｗＹｏｒｋ：乃概
肌切彩舶邶，１９８５
［５】Ｋａｒａｔｚ锯Ｉ．ＯｐｔｉⅡｌｉｚａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ
。，０ｕｒ扎口２ｏｎ
ｉｎｔｈｅ
Ｔｈｅｏ巧０ｆＣｏｎｔｉ肌ｏｕｓ
ｎａｍｎｇ．黝Ｍ
Ｉ：ｂ佗ｔ”Ｄｆ口礼ｄ《９ｐ托ｍ￡加托Ｄ住，１９８９，２７（６）：１２２１一１２５９
ｏｐｔｉｍａｌＳｔｏｐｐｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍ
［６】ＪｅＩｌｓｅｎｕ．Ａｎ
口ｎｄ
ｉｎ瞰ｓｋＴｈｅｏＵＪ『如ｕｍ竹ｃｅ：Ｍａ忱ｅｍ口挽ｃｓ
ＥｃＤｎＤｍ记ｓ，１９９８，２２（２）：１７７－１７８
ＲＳ．Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｕｎｄｅｒ
［７】ＤｂｄｔＡＫ，Ｐｉｎｄｙｃｋ
Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ：Ｒ呓佗ｃｅ￡ＤｎＵｍ‘
口ｅｒｓｔ匆肌ｓｓ，１９９４
［８】李训经．控制理论基础．北京：高等教育出版社，２００２
［９】李训经，雍炯敏，周渊．控制理论基础．第二版．北京：高等教育出版社，２０１０
【１０】雍炯敏．动态规划方法与Ｈ撇ｉｌｔｏｎ－Ｊａｃ如ｉｃ－Ｂｅｌｈａｎ方程．第三版．上海：上海科
学技术出版社，１９９２
．
【１１１雍炯敏，楼卫红．最优控制理论简明教程．第四版．北京：高等教育出版社，２００６【１２】周凤岐．现代控制理论及应用．第三版．成都：电子科技大学出版社，１９９４
３６
硕士论文
多阶段不确定最优控制
【１３】赵纯均，詹一辉．控制理论基础．第三版．北京：清华大学出版社，１９９１【１４】郭尚来．随机控制．北京：清华大学出版社，１９９９［１５】蔡尚峰．随机控制理论．上海：上海交通大学出版社，１９８７【１６】钟秋海．现代控制理论．北京：高等教育出版社，２００４【１７】解学书．最优控制理论与应用．北京：清华大学出版社，１９８６［１８】Ｄｏｒａｔ０Ｐ’Ｈｓｉｅｈ
Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ￡Ｄｍ口统ｃ
ｃＭ，Ｒ０ｂｌｎｓｏｎＰＮ．ＯｐｔｉｍａｌＢａＪｌ分ＢａｎｇｃｏｎｔｒｏｌｏｆＬｉｎｅａｒ
ａ
ＳｙｓｔｅＤ＝ｌｓ而ｔｈ
ＳｍａｕＮｏｉｓｅ
Ｐａｕｒａｍｅｔｅｒ．Ｚ肼汜乃也船口ｃ统Ｄ船Ｄ佗Ａ缸．
Ｃ『Ｄ他ｔｒｏｊ，１９６７，ＡＧｌ２（６）：６８二６９０
ＡＶ．ｏｎｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ
（１９】Ｂａｌ妇ｉｓｈｎａｎＢａｎ分Ｂａｎｇ．ｃｏｎｔｒ０１．Ａ卯阮ｄ讹统ｅ仇口￡ｚｃｓ口磁
印协ｎ钯口ｚｚＤ他，１９８０，６：９１—９６
［２０】ｖａＬｌ出ｒ锄ｅｅｖ
ＳＡ．ＡＢａ肛乎ＢａｎｇＴｈｅｏｒｅｍ
ｗｉｔｈ
ａ
Ｆｉ诚ｅ
ＮｕＨｌｂｅｒｏｆＳ丽ｔｃｈｅ８
ｆｏｒ
ＮｏｒｄｊｎｅａｒＣｏｎｔｒｏｌ
２０１６
Ｓｙｓｔｅ麟．知缸ｍ口Ｚ盯讹冼ｅ仇。统训＆ｉｅ礼伽，１９９７，８５（３）：２００２．
【２１】、ｖａｂｈＧＲ．ＡＮｕｍｅｒｉｃａｌＥｘａｍｐｌｅｏｆ０ｐｔｉｍａＬｌＢａｎｇ－Ｂａｎ：ｇ
Ｃｏｎｔｒ０１ｓ．‘，ａｕｍ以盯
蜀叼讯ｅｅ厄佗９讹统ｅｍｎｔｔｃｓ，１９７２，６（２）：１６５－１７４
【２２】Ｊｏｈｎ
ＮｏｂＩｅ，Ｈｅｉｎｚｓｃｈａｅｔｔｌｅｒ．ＯｎｔｈｅＯｐｔｉｍａｕｔｙｏｆ
Ｐａｒ锄ｅｔｒｉｚｅｄＦａｍｉＨｔ涵ｏｆ
Ｂ埘ＢａｎｇＴｒａｊｅｃｔｏｒｉｅｓ．Ⅳａ佗如ｎｅ口ｒ以钆口枷括，２００１，４７：３５１．３６２
ｆ２３】吴臻，王向荣．带有随机跳跃干扰的线性二次随机最优控制问题．自动化学报，
２００３，２９（６）：８２１—８２６【２４】Ｇａ０
ｚ．ＯｎＤｉｓｃｒｅｔｅＴｉｍｅＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ：
Ａ
Ｃｌｏｓｅｄ－Ｆｂ珊Ｓ０１ｕｔｉｏｎ．Ｍ静
ｓａｃｈｌｓｅｔｔｓ：Ａｍｅ九∞佗（勋ｎ￡ｍｊ∞啊托他他ｃｅ
ＢＤｓ￡Ｄ鸭２００４
３７
参考文献硕士论文
【２５】Ｐｅｎｇｚ，ＹａｎｇＹ，ＨｕａｎｇＬ．ＣｏｎｔｒｏｌＥｌｉ蚵ｎａｔｉｏｎｏｆＴｉｍｅＯｐｔｉｍ２ＬｌＢａ跨Ｂａｎｇ
ＣｏｎｔＤ０ｌ祈ｔｈａＣｌ鹪ｓｏｆＩｎｐｕｔＣｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｚ砸汜饥亡ｅｍｏ洳礼口Ｚ国可．ｅ他礼ｃｅＤ仃Ｃ『ＤｎｔｍＺｎｎｄＡｔ‘亡Ｄｍ口托Ｄ％２０１０，８：１７１ｍ１７１５
【２６】ＳｔｅｎｇｅｌＲＦ．ＳｔｏｃｈａｌｓｔｉｃＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌ：Ｔｈｅｏｗ锄ｄＡｐｐｈｃａｔｉｏｎ．ＮｅｗＹ．ｏｒｋ．
乃梳耽ｆｅ！，拶舶瑚，１９８６
【２７】Ｋａ０ＥＰＣ．ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔ０ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓ铅．肌幽伽Ｄ砌凡６如＾咖∞ｍ・
册叼，１９９７，１：３７垂４２０
【２８】Ｌｉｕｘ．Ｅｎｔｒｏｐｙ’ＤｉｓｔａｎｃｅＭｅａｓｕｒｅａｎｄｓｉｍｉｌ缸ｉ蚵ＭｅａｓｕｒｅｏｆＦ吆珂ｓｅｔｓａｎｄＴｈｅｉｒ
Ｒｅｌａｔｉｏｎｓ．呦＆幻口ｎｄ跏沈ｍｓ，１９９２，５２：３０５－３１８
【２９】Ｌｉｕｘ．Ｍｅａｓｌｌｒｉｎｇｔｈｅｓａｔｉｓｆ如ｔｉｏｎｏｆｃｏｌｌｓｔｒａｉｎｔｓｉｎＦｕｚｚｙＬｉｎｅ龇Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．
ｊ咖ｊｇｅ绐ｎ死ｄｉ受／ｓｔｅ仃ｌｓ，２００１，１２２（２）：２６３．２７５
［３０】ＬｉｕＢ．ＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙＴｈｅｏ融２ｎｄｅｄ．Ｂｅｒｌｉｎ：却ｎ哪ｅｒ．阮订略２００７
【３１】Ｇａ０Ｊ，Ｇａ０ｘ．ＡＮｅｗＭｏｄｅｌｆｏｒＣｒｅｄｉｂｉｌｉｔｉｃＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇ．乃ｔ‘ｍ口：盯咖ｃｅｎ口饥
跏￡ｅ＂坫，２００８，２（４）：２４孓２４７
【３２】ＬｉｕＹ，ＨａＭ．Ｅ砷ｅＣｔｅｄＶ甜ｕｅｏｆＦｕｎｃｔｉｏｎ０ｆｕｎｃｅｒｔ出ｎＶ打ｉａｂｌｅｓ．Ｋｕｎｒｎｊｎｇ：ｍ－
ｃｅＩ碱唧ｓ可现ｅ肋＾饥觑ｔｅｍｏ悦Ｄ礼口ｆＣ，Ｄ他厂ｅ他佗ｃｅＤ佗砌加ｒｍｎ扼Ｄ佗口以Ｍａｎ叼ｅｍｅ耐＆钯他ｃｅｓ，２００９，１７：７７９＿７８１
【３３】ＬｉｕＢ．ｕｎｅｅｒｔａｉ奶ｒＴｈｅｏ可：ＡＢｒａｎｃｈｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｆｏｒＭｏｄｅｕｎｇＨｕｍａｎｕｎ－
ｃｅｒｔａｉｎｔｙ．Ｂｅｒｈｎ：印ｎ叼ｅｒ－讫ｒｆ蛳２０１０
【３４】Ｌｉｕｗ，ＸｕＪ．ｓ锄ｅＰｒｏｐｅｒｔ涵ｏｎＥｘｐｅｃｔｅｄＶ洳ｅＯｐｅｒａｔｏｒｆｏｒｕｎｃｅｒｔ咖妇ｉ－
ａｂｌ筒．砌加ｒ仇口ｔｉＤｎ：Ａｎ砌ｔｅｍ口托Ｄ礼以仇ｔｅ廊ｃ印溉口阿乃让ｍ口ｊ＇２０１０，１３（５）：１６９孓１６９９
硕士论文多阶段不确定最优控制
【３５】Ｙｕｘ．ＥＸｐｅｃｔｅｄＰａｙｏｆｆｏｆｎａｄｉｎｇｓｔｒａｔｅ舀ｅｓｆｏｒｕｎｃｅｒｔ越ｎＦｉｎａｎｃ瑚Ｍ盯ｋｅｔｓ．
功加ｍｌｏ统Ｄ礼？Ａｎ觑亡ｅｍ口渤佗ＤＺ觑亡ｅ７１ｄ诂ｃ咖ｆ讯。阿ｊＩＤｔ正ｍ口ｆ，２０１１，１４（１０）：３１７５．３１８６
【３６】ＬｉｎＦ，ＹｉｎｇＨ．ＭｏｄｅｌｉｎｇａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ０ｆＦｕｚｚｙＤｉｓｃｒｅｔｅＥｖｅｎｔＳｙｓｔｅＩ璐．陋Ｅ目
乃．口邶口ｃ托Ｄ瑚Ｄ佗勖ｓｔｅ仇ｓ，＾她％口砌回６ｅｍｅ托ｃｓ—Ｐ口ｎＥ２００２，３２（４）：４０＆４１５［３７】ｚｈｕＹ．ＦｕｚｚｙｏｐｔｉｎｌａＬｌＣｏｎｔｒｏｌｆｏｒＭ诚ｉ．ｓｔａｇｅＥ．ＩｕｚｚｙｓｙｓｔｅⅡ塔．舾ＥＥｎ氇船口ｃ抚Ｄ船
Ｄｎ勋ｓ抛ｍｓ，讹礼彩回６ｅｍｅ既ｃｓ？凡ｎＥ２０１１，４１（４）：９６４９７５
［３８】ＬｉｕＢ．ｎｚｚｙＰｒｏｃｅ豁，ＨｙｂｒｉｄＰｒｏｃｅ豁ａｎｄｕｎｃｅｒｔａｉｎＰｒｏｃｅｓｓ．乃ｕｍ口２盯踟ｃｅｎ口饥
跏￡ｅ竹话，２００８，２（１）：１９５．２１５
［３９】ｚｈｕＹ．ＯｎＰ盯ａ．ＮｏｒｍｅｄＳｐａｃｅ而ｔｈｎｚｚｙ、协ｉａｂｌｅｓＢａｓｅｄｏｎＥＸｐｅｃｔｅｄＶ甜ｕｅｄ
Ｏｐｅｒａｔｏｒ．饥ｔｅｍ口￡ｉ帆以乃牡ｍ０２巧踟．傀行ｏｉ礼地凡蟛规礼ｅ始ｎ几ｄｊ流Ｄ叫ｆｅ匆ｅ－６０ｓ缸跏￡ｅｍｓ，２００８，１６（１）：９５－１０６
【４０】ｚｈｕＹ，Ｊｉｘ．ＥｘｐｅｃｔｅｄＶａｌ懈ｏｆＦ、１１ｎｃｔｉｏｎ８ｏｆＦｌｕｚｚｙＶ打ｉａｂｌｅｓ．如ｕｍ赦盯ｈ亡ｅ胁
夕ｅ耐呦勋ｓｔｅ脚２００６，１７（５）：４７１－４７８
［４１】ｚｈｕＹ．ｕｎｃｅｒｔａｉｌｌＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌⅥ，ｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏａＰｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎ
Ｍｏｄｅｌ．劬６ｅｍｅ扰ｃｓ口们勖ｓ￡ｅ脚，２０１０，４１（７）：５３５－５４７
【４２】ＬｉｕＢ．ｓｏｍｅＲ艘ｅａｒｃｈＰｒｏｂｋｍｓｉｎｕｎｃｅｒｔａｉｌｌｔｙＴｈｅ０够乃ｕｍｎ２盯溉ｃｅ订口饥
跏ｔｅ竹硌，２００９，３（１）：冬１０
【４３】ＬｉｕＢ．ＡＳｕｒＶ呵ｏｆＥｎｔｒｏｐｙｏｆＦ’ｕｚｚｙＶ打ｉａｂｌｅｓ．如ｕｍ口２ｏ，阮ｃｅｎ口讥Ｓ如钯册，
２００７，１（１）：缸１３
【４４】ＬｉｕＢ．’ｎｌｅ０叮ａｎｄ
讫ｒｆ凹，２００２ＰｒａｃｔｉｃｅｏｆＵｎｃｅｒｔａｉｎＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ：Ｐｈ妒ｉ∞．
在学期间发表的论文硕士论文
在学期间发表的论文
【１】Ｙｕｊｉｅ
ｔａｉｎＫａｎｇａｎｄＹｕ锄ｇｕｏｚｈｕ，Ｂａｎ乎ＢａｎｇＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌｆｏｒＭｕｌｔｉ－ｓｔａｇｅｕｎｃｅｒ－ＳｙｓｔｅＨｌｓ，功如ｍｏ优Ｄ礼：Ａ佗托ｔｅｍｎ托Ｄｎ耐ｈ把纪话ｃ咖胁口硝ＪｌＤｔ‘ｍ讲（ＳＣＩ源期刊），ａｃｃｅｐｔｅｄ。