求斜三角形的边长问题教学案例

求斜三角形的边长问题教学案例(建议2课时)

林志红

一、学习目标

（1）知识与技能：能根据问题的需要合理作出垂线段, 构造直角三角形; 会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题。

（2）过程与方法：通过探究活动，掌握一般探究活动的基本步骤；通过小组同学评论、动手操作等方法，掌握提高学生发现问题、解决问题的能力。培养学生转化和分类讨论的数学思想。

（3）情感态度与价值观：经历观察、计算、分析、归纳等过程，体验解决实际问题的基本方法，获得成功和克服困难的体验；通过一题多变，激发学生学习数学的兴趣；通过小组之间的分工与合作，培养现代社会学习和生活中应具有的交流合作意识。

二、重难点分析

重点：能根据问题的需要合理作出垂线段, 构造两个特殊直角三角形，将斜三角形的问题转化为特殊的直角三角形。

难点：（1）在“变式”图形中如何添加辅助线,构造特殊的直角三角形； （2）在已知什么条件时应考虑分类讨论。

三、活动流程图

：

四、活动记录：

（一）复习提问：

师：直角三角形ABC中，∠C=90°，请同学们总结我们学习过的有关直角三角形的所有知识：

1．在直角三角形中。30°角所对的直角边等于斜边的一半； 2．直角三角形的斜边中线等于斜边一半； 3．直角三角形中的边角关系： （1）边角之间关系 如果用表示直角三角形的一个锐角，那么：

sin

的对边的邻边的对边的邻边

；cos；tan；cot

斜边斜边的邻边的对边

（2）三边之间关系

a2 +b2 =c2 (勾股定理)

（3）锐角之间关系

∠A+∠B=90°． （二）探究过程：

一．已知三角形的两角一边，求此三角形其他边长 活动1：计算顶角为120的等腰三角形一边的长 一、情景引入

（1）已知如图△ABC中，∠A=30°，AB=10,若∠

师：你能有几种方法？

二、小组活动 (一) 活动目的:

o

通过小组活动，总结求BC

长的各种方法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。

(二)组员分工：

组长（统筹整个小组交流），4人合作进行，1人进行记录并做好交流发言准备，1人进行交

(三)方法总结： 解：过点B作BD⊥AC于D, 在Rt△ABD中，∠A=30°

∴BD=

1

AB53 2

∵∠ACB=120° ∴∠BCD=60°

在Rt△BCD中，BC=

BD53

10

sinBCD3

2

方法二：

过点A作AD⊥BC于D, Rt△ABD中，∠BAC=30°

ACB=120° ∴∠B=30°

∴

AD=

1

AB5 2

BD=ABcos∠B=15 ∵∠ACB=120° ∴∠ACD=60° 在Rt△ACD中，CD=

AD53

5

tanACD∴BC=BD-CD=15-5=10

方法三：（在方法二的基础上加以改进，利用等腰三角形的条件）

解：过点A作AD⊥BC于D, 在Rt△ABD中，∠BAC=30°

∵∠ACB=120° ∴∠B=30° ∴∠BAC=∠B ∴AC=BC

下面的方法就与方法一完全相同了！

师：将方法一的图形进行图形的变换（如旋转、翻折）能否得到方法二的图形？

方法四：

解：过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ABD中，∠BAC=30°

B

∵∠ACB=120° ∴∠B=30° ∴∠BAC=∠B ∴AC=BC

∴BD=

1

AB53 2

BD53

10

cosB3

2

∴BC=

方法五：（过程略） 方法六：（过程略）

（此时，△BCD是等腰三角形） （此时，△BCD是等边三角形）

活动2：计算可转化为特殊直角三角形的斜三角形一边的长 一、情景引入

（1）已知如图△ABC中，∠A=30°，AB=10,若∠B=15°

师：根据我们总结的添加辅助线的基本原则，

比较活动1的三种方法，哪种方法可行？ 二、小组活动 (一) 活动目的

:

通过小组活动，总结求BC长的各种方法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。

(二)组员分工：

组长（统筹整个小组交流），4人合作进行，1人进行记录并做好交流发言准备，1人进行交流发言。

(三)比较方法： 方法一：

方法一可行，因为此图已转化为两个特殊三角形（一

个30，一个45），而且已知30的直角三角形中一

o

o

o

D

B

边的长

方法二： 方法二的困难是： 在△ABD中，∠B=15°,

而15°的三角函数值我们还需要求出，给我们增添了困难。

方法三：

B

方法三的问题是：由于辅助线的添加将已知的AB

长度“破坏”了，不能直接利用已知长度求一条边，解决的办法是：设CD=x，再将AD与BD都用CD表示，利用方程思想：AD+BD=AB解决问题。但也会遇到与方法二同样的问题：在△CBD中，∠B=15°,因此此方法不可取！

其他方法可行吗？想一想？（渗透方程思想）

活动3 总结： 添加适当的辅助线，将斜三角形转化为特殊的直角三角形

师：将下列三角形添加适当的辅助线，将其转化成特殊的直角三角形

D

F

B

H

师生共同总结：

两种基本图形：(一幅三角板，有一条边相等)

二．已知三角形的两边一角，求此三角形其他边长

问题1：已知△ABC中，∠A=30°，AB=10,若AC=10,求BC的长.

师：上述三种方法依然可行吗？

通过小组活动，在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。

解：过点B作BD⊥AC于D, 在Rt△ABD中，∠

A=30°

∴BD=

1

AB

53 2

∵AD=

AB1015 ∴CD=AD-AC=5

cosA3

2

在Rt△BCD中，∠BDC=90° ∴BC=CD+BD∴BC=10

方法二与方法三： 由于∠A=30°的条件无法应用，所以此种辅助线无法解题： 方法四：

分析：过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ABD中，∠A=30°

2

2

2

ACcosA10

3

5 2

由此发现AD=

1

AB 2

从而可知ABC为等腰三角形，此问题可解！

师：通过上述两个问题的讨论，请同学们总结，在三角形角与边的条件时，添加辅助线应遵循什么原则？

学生讨论总结：

（1）在构造的特殊直角三角形中，应已知一边的长度；

（2）充分挖掘已知条件。（如本题实际是一个等腰三角形，但已知条件中并没有告诉我们，需要我们去发现。）

问题2：已知△ABC中，∠A=30°，AB=10,若BC=10,求AC的长.

师：要求各小组利用作图工具，画出图形，并体会此问题与问题2的不同. 通过小组活动，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。 问题解决：

此题有两解：AC=10或20

三．研究三角形可解的条件

师：在斜三角形中已知哪些条件，求三角形的边长时，答案是唯一解、两解、无解？ 分组讨论，总结：

（SAS、ASA、AAS、SSS）唯一解 SSA: 无解、唯一解、两解 AAA无解 四．课下思考

师：利用一幅三角板（有一条直角边相等，可重合）可以拼成哪几种四边形？为下节课做准备。

求斜三角形的边长问题教学案例(建议2课时)

林志红

一、学习目标

（1）知识与技能：能根据问题的需要合理作出垂线段, 构造直角三角形; 会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题。

（2）过程与方法：通过探究活动，掌握一般探究活动的基本步骤；通过小组同学评论、动手操作等方法，掌握提高学生发现问题、解决问题的能力。培养学生转化和分类讨论的数学思想。

（3）情感态度与价值观：经历观察、计算、分析、归纳等过程，体验解决实际问题的基本方法，获得成功和克服困难的体验；通过一题多变，激发学生学习数学的兴趣；通过小组之间的分工与合作，培养现代社会学习和生活中应具有的交流合作意识。

二、重难点分析

重点：能根据问题的需要合理作出垂线段, 构造两个特殊直角三角形，将斜三角形的问题转化为特殊的直角三角形。

难点：（1）在“变式”图形中如何添加辅助线,构造特殊的直角三角形； （2）在已知什么条件时应考虑分类讨论。

三、活动流程图

：

四、活动记录：

（一）复习提问：

师：直角三角形ABC中，∠C=90°，请同学们总结我们学习过的有关直角三角形的所有知识：

1．在直角三角形中。30°角所对的直角边等于斜边的一半； 2．直角三角形的斜边中线等于斜边一半； 3．直角三角形中的边角关系： （1）边角之间关系 如果用表示直角三角形的一个锐角，那么：

sin

的对边的邻边的对边的邻边

；cos；tan；cot

斜边斜边的邻边的对边

（2）三边之间关系

a2 +b2 =c2 (勾股定理)

（3）锐角之间关系

∠A+∠B=90°． （二）探究过程：

一．已知三角形的两角一边，求此三角形其他边长 活动1：计算顶角为120的等腰三角形一边的长 一、情景引入

（1）已知如图△ABC中，∠A=30°，AB=10,若∠

师：你能有几种方法？

二、小组活动 (一) 活动目的:

o

通过小组活动，总结求BC

长的各种方法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。

(二)组员分工：

组长（统筹整个小组交流），4人合作进行，1人进行记录并做好交流发言准备，1人进行交

(三)方法总结： 解：过点B作BD⊥AC于D, 在Rt△ABD中，∠A=30°

∴BD=

1

AB53 2

∵∠ACB=120° ∴∠BCD=60°

在Rt△BCD中，BC=

BD53

10

sinBCD3

2

方法二：

过点A作AD⊥BC于D, Rt△ABD中，∠BAC=30°

ACB=120° ∴∠B=30°

∴

AD=

1

AB5 2

BD=ABcos∠B=15 ∵∠ACB=120° ∴∠ACD=60° 在Rt△ACD中，CD=

AD53

5

tanACD∴BC=BD-CD=15-5=10

方法三：（在方法二的基础上加以改进，利用等腰三角形的条件）

解：过点A作AD⊥BC于D, 在Rt△ABD中，∠BAC=30°

∵∠ACB=120° ∴∠B=30° ∴∠BAC=∠B ∴AC=BC

下面的方法就与方法一完全相同了！

师：将方法一的图形进行图形的变换（如旋转、翻折）能否得到方法二的图形？

方法四：

解：过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ABD中，∠BAC=30°

B

∵∠ACB=120° ∴∠B=30° ∴∠BAC=∠B ∴AC=BC

∴BD=

1

AB53 2

BD53

10

cosB3

2

∴BC=

方法五：（过程略） 方法六：（过程略）

（此时，△BCD是等腰三角形） （此时，△BCD是等边三角形）

活动2：计算可转化为特殊直角三角形的斜三角形一边的长 一、情景引入

（1）已知如图△ABC中，∠A=30°，AB=10,若∠B=15°

师：根据我们总结的添加辅助线的基本原则，

比较活动1的三种方法，哪种方法可行？ 二、小组活动 (一) 活动目的

:

通过小组活动，总结求BC长的各种方法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。

(二)组员分工：

组长（统筹整个小组交流），4人合作进行，1人进行记录并做好交流发言准备，1人进行交流发言。

(三)比较方法： 方法一：

方法一可行，因为此图已转化为两个特殊三角形（一

个30，一个45），而且已知30的直角三角形中一

o

o

o

D

B

边的长

方法二： 方法二的困难是： 在△ABD中，∠B=15°,

而15°的三角函数值我们还需要求出，给我们增添了困难。

方法三：

B

方法三的问题是：由于辅助线的添加将已知的AB

长度“破坏”了，不能直接利用已知长度求一条边，解决的办法是：设CD=x，再将AD与BD都用CD表示，利用方程思想：AD+BD=AB解决问题。但也会遇到与方法二同样的问题：在△CBD中，∠B=15°,因此此方法不可取！

其他方法可行吗？想一想？（渗透方程思想）

活动3 总结： 添加适当的辅助线，将斜三角形转化为特殊的直角三角形

师：将下列三角形添加适当的辅助线，将其转化成特殊的直角三角形

D

F

B

H

师生共同总结：

两种基本图形：(一幅三角板，有一条边相等)

二．已知三角形的两边一角，求此三角形其他边长

问题1：已知△ABC中，∠A=30°，AB=10,若AC=10,求BC的长.

师：上述三种方法依然可行吗？

通过小组活动，在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。

解：过点B作BD⊥AC于D, 在Rt△ABD中，∠

A=30°

∴BD=

1

AB

53 2

∵AD=

AB1015 ∴CD=AD-AC=5

cosA3

2

在Rt△BCD中，∠BDC=90° ∴BC=CD+BD∴BC=10

方法二与方法三： 由于∠A=30°的条件无法应用，所以此种辅助线无法解题： 方法四：

分析：过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ABD中，∠A=30°

2

2

2

ACcosA10

3

5 2

由此发现AD=

1

AB 2

从而可知ABC为等腰三角形，此问题可解！

师：通过上述两个问题的讨论，请同学们总结，在三角形角与边的条件时，添加辅助线应遵循什么原则？

学生讨论总结：

（1）在构造的特殊直角三角形中，应已知一边的长度；

（2）充分挖掘已知条件。（如本题实际是一个等腰三角形，但已知条件中并没有告诉我们，需要我们去发现。）

问题2：已知△ABC中，∠A=30°，AB=10,若BC=10,求AC的长.

师：要求各小组利用作图工具，画出图形，并体会此问题与问题2的不同. 通过小组活动，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。 问题解决：

此题有两解：AC=10或20

三．研究三角形可解的条件

师：在斜三角形中已知哪些条件，求三角形的边长时，答案是唯一解、两解、无解？ 分组讨论，总结：

（SAS、ASA、AAS、SSS）唯一解 SSA: 无解、唯一解、两解 AAA无解 四．课下思考

师：利用一幅三角板（有一条直角边相等，可重合）可以拼成哪几种四边形？为下节课做准备。