摘要：“在整数除法中, 余数可不可以为0？”人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》，从一年级上册到六年级下册，里面均无“余数可以为0”的表述，在数学课本中找不到“余数可以为0” 的论述，而在《现代汉语词典》(修订本) 中却找到了“余数不能为0”的证据。面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题，该怎样来正本清源呢？本文对这一问题进行查阅、论述，深入教材分析，得出答案——在整数除法中, 余数可以为零。并对教材修改提出一点个人意见。
关键词：整除 余数 零
2000c in integer division in the remainder can is zero
Times New Roman："In integer division, the remainder can 0?" O 'clock education curriculum standard experimental textbook obligations "mathematics", from one grade taxed to grade 6, vol.13, there were no remnant inside "0" expressions can, in math textbook can not find the "0" remnant can discussed, while in the contemporary Chinese dictionary (revised) finds the "0" remnant cannot evidence. Facing such a troubled elementary school in the problem, how to colleagues to original radically? This article on the issue to consult, paper, the thorough analysis, we can get the answer - textbooks in integer division, the remainder can is zero. And to the teaching material modification to raise some personal opinions.
Keywords: divisible ；by remainder ；zero
1. 困扰教师的问题
不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中, 余数可不可以为0？”这个问题早有定论，于是我不假思索地肯定作答：“余数当然可以为0。”不料对于这一答案，他们并不同意，其理由如下：
第一，人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》，从一年级上册到六年级下册，里面均无“余数可以为0”的表述。
第二，《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中，被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4„3，即不完全商是4，余数是3。”这就表明余数不能为0。
在数学课本中找不到“余数可以为0” 的论述，而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据，难怪让他们对我的答案持怀疑态度。面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题，该怎样来正本清源呢？
我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本，确实没找到“余数可以为0”的表述，只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中，发现了三处“余数为0”的表述。我知道，这样的表述既不是出现在正文中，又没有说明道理，不足以成为论据。课本中没有，看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的。
2. 解惑所需的思辨
2.1 要用对立统一的观点看待0
众所周知，当盘子中连一个桃子都没有时，我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲，0是空集的基数，0表示“没有”。然而，0又是一个确定的数，它是自然数列的起始数，它既不是正数，也不是负数，它是唯一的中性数。从这个意义上讲，0又表示“有”，这一点不难理解。比方说，小明在黑板上写了一个“0”，你总不能说他什么都没写吧！再比方说，某地某时的气温为0摄氏度，你总不能说该地该时没有温度吧！所以，我们应该用对立统一的辩证观点看待0，懂得0既可表示“无”，又可表示“有”。用这一观点考察整数除法，我们不难发现，当15÷5时，得到整数商3，既可以说“没有余数”，也可以说“余数为0”，这两种说法是完全等价的，因而都是正确的。
2.2 要用发展变化的观点看待概念间的关系
人们对数学概念的认识并非一成不变的，而是处于不断发展变化之中的。例如，“整数”与“分数”最初是两个并列的概念，它们相互排斥，泾渭分明，不容混淆。然而，出于数学自身发展的需要，后来，人们又把整数看作是分母为1，分子为该整数的假分数，如3=3/1，65=65/1„„这样一来，“分数”的外延就扩大了，“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。“整数”成了“分数”的特例，整数集成了分数集的真子集，原先，整数集与分数集之并集才是有理数集，后来，这种广义的分数集实际上就是有理数集。
与此类似，人们研究整数除法时，先研究被除数能被除数整除的情形，如15÷5，正好得到整数商3，记作15÷5=3。后来才研究有余数的情形，如16÷5，得到不完全商3后还余1，记作16÷5=3„„1。起初，“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念，前者没有余数，后者有余数，互不相容。后来，为了研究的方便，人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大，让它把原先的两个概念一并囊括。因为这很容易办到：只要把“整除”时的“没有余数”看作“余数为0”即可。这样一来，“整除”就成了“有余数的除法”的特例，“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一，二者统一于广义的“有余数的除法”之中。
2.3“余数为0”的说法有据可查
事实上，“余数为0”的提法早已被数学界认可。
1、《小学数学教师手册》(人民教育出版社，1982年) 第49页有如下表述:
“判定一个整数能不能被另一个正整数整除，只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0，就是整除的情况；如果所得的余数不为0，就是不能整除的情况。例如:
①a=91，b=13。a ÷b=91÷13，商7余0。这表明91=13×7，即91能被13整除。
②a=97，b=19。97÷19商5余2，所以97不能被19整除。
一般地，对于整数a 和正整数b ，如果进行除法a ÷b 得商q ，余数为r ，就有a=bq+r，其中0≤r
2、《数学手册》(人民教育出版社，1979年) 第1057页“数论”的“辗转相除法”中，有如下表述:
“每一个整数a 可以唯一地通过正整数b 表示为a=bq+r，（0≤r ）”
值得注意的是，“辗转相除法”又称“欧几里得算法”，我国宋代数学家秦九韶早在公元1247年在其著作《数书九章》中，对这一算法进行过卓有成效的研究。
3、《数学手册》(人民教育出版社，1979年) 第1066页“数论”的“同余式”中，有如下表述:“设以m 为模, 则可将全体整数分为m 个类，同类的数都同余，不同类的数都不同余，称这样的类为同余类，每类中各取一数为代表，例如:0，1，2，„，m-1构成一个完全剩余类。”
由此易知, 在以0为代表的这个剩余类中, 每个数除以m, 所得的余数均为0。也就是说, 此类数中的每一个都是m 的倍数。
事实上，我们不仅从剩余类的理论中，看到了对“余数为0”的认可，还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。载有这类题目并给出解答的数学书籍比比皆是，如：“求证：在任意四个整数中，必有这样的两个数，它们的差能被3整除。”的证明过程如下： 证明：因为任何整数除以3，所得余数只可能是0，1，2三种。也就是说，所有整数按其除以3所得余数来分，可分为余数分别为0，1，2的三个剩余类。把每个剩余类都看作一个抽屉，三个剩余类就是三个抽屉。根据“抽屉原理”，把四个整数放进三个抽屉，至少有一个抽屉里会有两个整数。这两个整数既属同一个剩余类，它们除以3所得的余数必然相同，故其差除以3所得的余数必为0，也就是说，这个差必能被3整除。
3. 教材修改的建议
综上所述，在整数除法中，余数的确是可以为0的。但在现行的人教版小学数学教材中，对此却完全不予涉及，令在教学中起主导作用的教师迷茫不解。由此观之，教材必须修改。
3.1 教材修改的重要意义
第一，有利于学生认识0的双重意义，知道0既可表示“无”，又可表示“有”。使用修改后的教材教学，能让学生初步感知对立统一的辩证思想。
第二，有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系，知道当学习“有余数的除法”后，原来的“整除”(包括“表内除法”) 可以看作是“有余数的除法”的特例，由此理解“特殊”与“一般”的关系。
第三，有利于学生后续的数学学习，增强学生的数学学习兴趣。
3.2 教材修改的具体意见
首先，要明确指出“没有余数”就是“余数为0”。
人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页例题1为：“搬15盆花布置会场，每组摆5盆，可以摆几组？”解答此题的横式为 15÷5=3(组) 。接着，课本上还列出了竖式。 这道例题显然起着承上启下的作用：既承接二年级下册的“表内除法”，又由此介绍除法竖式，为“有余数的除法”的教学作铺垫。
第51页例题2是：“一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆4组，还多3盆。”这是“有余数的除法”的首个例题。解答时，课本上先列出横式：
23÷5=4(组) „„3(盆)
再在横式下方列出竖式，并用虚线将两个式子中的3连接，标上“余数”二字。
课本上述编排颇具匠心，但还应作点补充。建议在这两道例题后面，不失时机地编排一段对“0”的辩证认识的文字，让学生懂得：“0”虽然表示“没有”，但它同时又是一个确定的数，从这个意义上讲，“0”也表示“有”。紧接着，还要引导学生对这两道例题的竖式进行观察和比较，发现例题1竖式中最下面的“0”与例题2竖式最下面的“3”处于相同的位置，“3”既表示余数，“0”也可看成是余数。过去我们说15÷5恰好等于3，“没有余数”，现在我们也可说15÷5，商为3，“余数为0”。 相信这样处理，学生能在轻松愉快中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育。
其次，要明确指出除数为a 时，共有a 种不同的余数：0，1，2，„，a-1。
三年级上册第52页例题3为：“如果上例中一共有16盆花，可以摆几组？多几盆？如果是17盆，18盆，„，24盆，25盆呢？”
课本上列出了一组式子:
15÷5=3(组)
16÷5=3(组) „„1(盆)
17÷5=3(组) „„2(盆)
18÷5=3(组) „„3(盆)
19÷5=3(组) „„4(盆)
20÷5=□(组)
21÷5= □(组) „„□(盆)
22÷5= □(组) „„□(盆)
23÷5=
24÷5=
25÷5=
在这组式子的右边，提了一个问题：“观察余数和除数，你发现了什么？”旨在引导学生发现“余数小于除数”的结论。
此题编得不错，无须大改。关键是要增加一段文字，要告诉学生：“15÷5=3(组) ”也可写作“15÷5=3(组) „„0(盆) ”。这样，展现在学生面前的余数就有0，1，2，3，4五种，就不会由于余数0的隐匿，而使学生误认为“一个整数除以5，只有1，2，3，4四种余数”。
到四年级学习了“用字母表示数”后，课本还应当用更具概括性的语言告诉学生：在整数除法中，如果除数是a ，则余数只能是0，1，2，„，a-1，一共有a 种。
当今时代，数学不仅作为工具，发挥着越来越重要的作用，而且，数学作为一种文化，也日益深入人心。近年来，人们对0的双重意义的认识越来越到位了。这不，没有距离被称作“零距离”；不收关税被称作“零关税”，把没有误差称作“零误差”，把没有风险称为“零风险”„„而像“零增长”、“零收益”、“零亏损”、“零排放”、“零损耗”、“零学费”、“零片酬”、“零首付”、“零月租”、“零利息”等等之类的提法早已见诸各媒体。随着时间的推移，像这类以“零××”为模式的词汇还在不断地诞生。前些时候，美国国务卿希拉里·克林顿由于不满下属的荒唐行为，还首创了“零忍耐”一词，令人颇感新鲜。
“0”本是数学中的元素，在数学的整数除法中，又实实在在地存在着余数为0的现象，而为什么在我们的小学数学教科书上，反倒连一个“零余数”都不敢提呢？这真是：墙外百花齐放，墙内掖掖藏藏。令人不解其意，空自扼腕嗟伤！
教科书是师生进行教学活动的重要资源和主要依据，该说清的一定要说清，该指明的一定要指明，一切都要为学生的发展着想。
参考文献：
【1】人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》
【2】《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页
【3】《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年) 第49页
【4】《数学手册》(人民教育出版社,1979年) 第1057页
【5】人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页
摘要：“在整数除法中, 余数可不可以为0？”人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》，从一年级上册到六年级下册，里面均无“余数可以为0”的表述，在数学课本中找不到“余数可以为0” 的论述，而在《现代汉语词典》(修订本) 中却找到了“余数不能为0”的证据。面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题，该怎样来正本清源呢？本文对这一问题进行查阅、论述，深入教材分析，得出答案——在整数除法中, 余数可以为零。并对教材修改提出一点个人意见。
关键词：整除 余数 零
2000c in integer division in the remainder can is zero
Times New Roman："In integer division, the remainder can 0?" O 'clock education curriculum standard experimental textbook obligations "mathematics", from one grade taxed to grade 6, vol.13, there were no remnant inside "0" expressions can, in math textbook can not find the "0" remnant can discussed, while in the contemporary Chinese dictionary (revised) finds the "0" remnant cannot evidence. Facing such a troubled elementary school in the problem, how to colleagues to original radically? This article on the issue to consult, paper, the thorough analysis, we can get the answer - textbooks in integer division, the remainder can is zero. And to the teaching material modification to raise some personal opinions.
Keywords: divisible ；by remainder ；zero
1. 困扰教师的问题
不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中, 余数可不可以为0？”这个问题早有定论，于是我不假思索地肯定作答：“余数当然可以为0。”不料对于这一答案，他们并不同意，其理由如下：
第一，人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》，从一年级上册到六年级下册，里面均无“余数可以为0”的表述。
第二，《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中，被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4„3，即不完全商是4，余数是3。”这就表明余数不能为0。
在数学课本中找不到“余数可以为0” 的论述，而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据，难怪让他们对我的答案持怀疑态度。面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题，该怎样来正本清源呢？
我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本，确实没找到“余数可以为0”的表述，只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中，发现了三处“余数为0”的表述。我知道，这样的表述既不是出现在正文中，又没有说明道理，不足以成为论据。课本中没有，看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的。
2. 解惑所需的思辨
2.1 要用对立统一的观点看待0
众所周知，当盘子中连一个桃子都没有时，我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲，0是空集的基数，0表示“没有”。然而，0又是一个确定的数，它是自然数列的起始数，它既不是正数，也不是负数，它是唯一的中性数。从这个意义上讲，0又表示“有”，这一点不难理解。比方说，小明在黑板上写了一个“0”，你总不能说他什么都没写吧！再比方说，某地某时的气温为0摄氏度，你总不能说该地该时没有温度吧！所以，我们应该用对立统一的辩证观点看待0，懂得0既可表示“无”，又可表示“有”。用这一观点考察整数除法，我们不难发现，当15÷5时，得到整数商3，既可以说“没有余数”，也可以说“余数为0”，这两种说法是完全等价的，因而都是正确的。
2.2 要用发展变化的观点看待概念间的关系
人们对数学概念的认识并非一成不变的，而是处于不断发展变化之中的。例如，“整数”与“分数”最初是两个并列的概念，它们相互排斥，泾渭分明，不容混淆。然而，出于数学自身发展的需要，后来，人们又把整数看作是分母为1，分子为该整数的假分数，如3=3/1，65=65/1„„这样一来，“分数”的外延就扩大了，“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。“整数”成了“分数”的特例，整数集成了分数集的真子集，原先，整数集与分数集之并集才是有理数集，后来，这种广义的分数集实际上就是有理数集。
与此类似，人们研究整数除法时，先研究被除数能被除数整除的情形，如15÷5，正好得到整数商3，记作15÷5=3。后来才研究有余数的情形，如16÷5，得到不完全商3后还余1，记作16÷5=3„„1。起初，“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念，前者没有余数，后者有余数，互不相容。后来，为了研究的方便，人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大，让它把原先的两个概念一并囊括。因为这很容易办到：只要把“整除”时的“没有余数”看作“余数为0”即可。这样一来，“整除”就成了“有余数的除法”的特例，“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一，二者统一于广义的“有余数的除法”之中。
2.3“余数为0”的说法有据可查
事实上，“余数为0”的提法早已被数学界认可。
1、《小学数学教师手册》(人民教育出版社，1982年) 第49页有如下表述:
“判定一个整数能不能被另一个正整数整除，只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0，就是整除的情况；如果所得的余数不为0，就是不能整除的情况。例如:
①a=91，b=13。a ÷b=91÷13，商7余0。这表明91=13×7，即91能被13整除。
②a=97，b=19。97÷19商5余2，所以97不能被19整除。
一般地，对于整数a 和正整数b ，如果进行除法a ÷b 得商q ，余数为r ，就有a=bq+r，其中0≤r
2、《数学手册》(人民教育出版社，1979年) 第1057页“数论”的“辗转相除法”中，有如下表述:
“每一个整数a 可以唯一地通过正整数b 表示为a=bq+r，（0≤r ）”
值得注意的是，“辗转相除法”又称“欧几里得算法”，我国宋代数学家秦九韶早在公元1247年在其著作《数书九章》中，对这一算法进行过卓有成效的研究。
3、《数学手册》(人民教育出版社，1979年) 第1066页“数论”的“同余式”中，有如下表述:“设以m 为模, 则可将全体整数分为m 个类，同类的数都同余，不同类的数都不同余，称这样的类为同余类，每类中各取一数为代表，例如:0，1，2，„，m-1构成一个完全剩余类。”
由此易知, 在以0为代表的这个剩余类中, 每个数除以m, 所得的余数均为0。也就是说, 此类数中的每一个都是m 的倍数。
事实上，我们不仅从剩余类的理论中，看到了对“余数为0”的认可，还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。载有这类题目并给出解答的数学书籍比比皆是，如：“求证：在任意四个整数中，必有这样的两个数，它们的差能被3整除。”的证明过程如下： 证明：因为任何整数除以3，所得余数只可能是0，1，2三种。也就是说，所有整数按其除以3所得余数来分，可分为余数分别为0，1，2的三个剩余类。把每个剩余类都看作一个抽屉，三个剩余类就是三个抽屉。根据“抽屉原理”，把四个整数放进三个抽屉，至少有一个抽屉里会有两个整数。这两个整数既属同一个剩余类，它们除以3所得的余数必然相同，故其差除以3所得的余数必为0，也就是说，这个差必能被3整除。
3. 教材修改的建议
综上所述，在整数除法中，余数的确是可以为0的。但在现行的人教版小学数学教材中，对此却完全不予涉及，令在教学中起主导作用的教师迷茫不解。由此观之，教材必须修改。
3.1 教材修改的重要意义
第一，有利于学生认识0的双重意义，知道0既可表示“无”，又可表示“有”。使用修改后的教材教学，能让学生初步感知对立统一的辩证思想。
第二，有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系，知道当学习“有余数的除法”后，原来的“整除”(包括“表内除法”) 可以看作是“有余数的除法”的特例，由此理解“特殊”与“一般”的关系。
第三，有利于学生后续的数学学习，增强学生的数学学习兴趣。
3.2 教材修改的具体意见
首先，要明确指出“没有余数”就是“余数为0”。
人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页例题1为：“搬15盆花布置会场，每组摆5盆，可以摆几组？”解答此题的横式为 15÷5=3(组) 。接着，课本上还列出了竖式。 这道例题显然起着承上启下的作用：既承接二年级下册的“表内除法”，又由此介绍除法竖式，为“有余数的除法”的教学作铺垫。
第51页例题2是：“一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆4组，还多3盆。”这是“有余数的除法”的首个例题。解答时，课本上先列出横式：
23÷5=4(组) „„3(盆)
再在横式下方列出竖式，并用虚线将两个式子中的3连接，标上“余数”二字。
课本上述编排颇具匠心，但还应作点补充。建议在这两道例题后面，不失时机地编排一段对“0”的辩证认识的文字，让学生懂得：“0”虽然表示“没有”，但它同时又是一个确定的数，从这个意义上讲，“0”也表示“有”。紧接着，还要引导学生对这两道例题的竖式进行观察和比较，发现例题1竖式中最下面的“0”与例题2竖式最下面的“3”处于相同的位置，“3”既表示余数，“0”也可看成是余数。过去我们说15÷5恰好等于3，“没有余数”，现在我们也可说15÷5，商为3，“余数为0”。 相信这样处理，学生能在轻松愉快中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育。
其次，要明确指出除数为a 时，共有a 种不同的余数：0，1，2，„，a-1。
三年级上册第52页例题3为：“如果上例中一共有16盆花，可以摆几组？多几盆？如果是17盆，18盆，„，24盆，25盆呢？”
课本上列出了一组式子:
15÷5=3(组)
16÷5=3(组) „„1(盆)
17÷5=3(组) „„2(盆)
18÷5=3(组) „„3(盆)
19÷5=3(组) „„4(盆)
20÷5=□(组)
21÷5= □(组) „„□(盆)
22÷5= □(组) „„□(盆)
23÷5=
24÷5=
25÷5=
在这组式子的右边，提了一个问题：“观察余数和除数，你发现了什么？”旨在引导学生发现“余数小于除数”的结论。
此题编得不错，无须大改。关键是要增加一段文字，要告诉学生：“15÷5=3(组) ”也可写作“15÷5=3(组) „„0(盆) ”。这样，展现在学生面前的余数就有0，1，2，3，4五种，就不会由于余数0的隐匿，而使学生误认为“一个整数除以5，只有1，2，3，4四种余数”。
到四年级学习了“用字母表示数”后，课本还应当用更具概括性的语言告诉学生：在整数除法中，如果除数是a ，则余数只能是0，1，2，„，a-1，一共有a 种。
当今时代，数学不仅作为工具，发挥着越来越重要的作用，而且，数学作为一种文化，也日益深入人心。近年来，人们对0的双重意义的认识越来越到位了。这不，没有距离被称作“零距离”；不收关税被称作“零关税”，把没有误差称作“零误差”，把没有风险称为“零风险”„„而像“零增长”、“零收益”、“零亏损”、“零排放”、“零损耗”、“零学费”、“零片酬”、“零首付”、“零月租”、“零利息”等等之类的提法早已见诸各媒体。随着时间的推移，像这类以“零××”为模式的词汇还在不断地诞生。前些时候，美国国务卿希拉里·克林顿由于不满下属的荒唐行为，还首创了“零忍耐”一词，令人颇感新鲜。
“0”本是数学中的元素，在数学的整数除法中，又实实在在地存在着余数为0的现象，而为什么在我们的小学数学教科书上，反倒连一个“零余数”都不敢提呢？这真是：墙外百花齐放，墙内掖掖藏藏。令人不解其意，空自扼腕嗟伤！
教科书是师生进行教学活动的重要资源和主要依据，该说清的一定要说清，该指明的一定要指明，一切都要为学生的发展着想。
参考文献：
【1】人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》
【2】《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页
【3】《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年) 第49页
【4】《数学手册》(人民教育出版社,1979年) 第1057页
【5】人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页