学案1函数及其表示方法,函数的定义域

学案1 函数及其表示方法，函数的定义域

一、课前准备： 【自主梳理】

1．函数的三要素：，，

2．相同函数的判断方法：①；② (两点必须同时具备) 3① 定义法（拼凑）：② ③ ④ 赋值法．

4．若A{a,b,c}，B{1,4}；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个． 5①y

f(x)g(x)

，则 ； ②y

2n

f(x)(nN)则 ；

*

③y[f(x)]0，则 ④ylog 【自我检测】

f(x)

g(x)，则

1． 已知函数f(x)axb，且f(1)4，f(2)5,则f(0)_________．

2． 设f:xx2是集合A到B（不含2）的映射，如果A1,2，则AB________． 3．

函数y

4． 函数ylog2x1(3x2)的定义域是 ． 5

．函数y

log2(x2)的定义域是6．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x1，则f(x)的解析式为 ． 二、课堂活动：

【例1】填空题：

（1）若一次函数f(x)的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f(x)= ． （2）函数y=

1

4x

2

2

xx

的定义域为 ．

（3）若f()x

x

x

2

(x>0)，则f(x

x－4

（4）若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

mx＋4mx＋3

【例2】给出下列两个条件：（1）f(

x

+1) = x + 2

x

;(2)f(x)为二次函数且f(0) = 3，

f(x+2) f(x) = 4x + 2．试分别求出f(x)的解析式．

【例3】某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：

(1) 根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；

(2) 根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式；

(3) 用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？

三、课后作业

1

1．设函数f1(x)=x2，f2(x)=x，f3(x)=x，则2．函数f(x)=3．若f(x) =

12|1log2(x1)

-12

f3f2(f1(2007))= ．

的定义域为 ．

(x6)(x6)

f(x3)log2x

，则f(1)的值为 ．

4．已知f(

1x1x

)

1x1x

22

，则f(x)的解析式为 ．

5．函数f(x) =

3x

2

x

+ lg (3x+1)的定义域是

6．定义在R上的函数f(x)满足f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy (x，y∈R)，f(1) = 2，则f(

则f［g(1)］的值为 ，满足f［g(x)］＞g［f(x)］的x的值是 ．  8．已知函数(x) = f(x) + g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且（）=16，

31

(1) = 8，则(x) = ．

2

x＋bx＋c， x≤0，

9．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个

2， x>0.

数为________．

10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1) 求f[g(2)]和g[f(2)]的值； (2) 求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．

11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

四、纠错分析

x－1，x>0，

2－x，x

学案1 函数及其表示方法，函数的定义域

参考答案

一、课前准备： 【自主梳理】

1．定义域，值域，对应法则；2．定义域，对应法则；3． 换元法，待定系数法； 4．8，9； 5． ①g(x)0②f(x)0③f(x)0④【自我检测】

(2

,1)(1,)

2x

13

或-2x1

{g(x)0

f(x)0且f(x)1

1．-1 2．{1} 3．[-2，2] 4．3二、课堂活动

【例1】（1）x5或-x4

（2）[2,1)(1,0)(0,1)(1,2]

1

5．[3,) 6．

（3

）x

x0)

3（4）[0，4

【例2】解：（1）令t=

x

+1，∴t≥1，x=（t-1）2．

则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1，即f(x)=x2-1，x∈［1，+∞)． （2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)， ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c，则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2．

4a4



4a2b2∴

a1

b1

，∴，又f(0)=3

c=3，∴f(x)=x2-x+3．

【例3】解：(1)设表示前20天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k1t＋m，

0＋mk1＝2＝k1×

5由图象得，解得

6＝k1×20＋m

1

m＝2

1

1

，即P＝t＋2；

5

设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k2t＋n，

20＋nk2＝－6＝k2×

10由图象得，解得

30＋n5＝k2×

n＝8

，

1

即P＋8．

10

t＋2， 0≤t

综上知P＝1

－10＋8， 20≤t≤30

(t∈N)．

(2)由表知，日交易量Q(万股)与时间t(天)满足一次函数关系式，设Q＝at＋b(a、b为常数且a≠0)，将(4，36)与(10，30)的坐标代入，

4a＋b＝36，a＝－1，

得解得 10a＋b＝30，b＝40.

所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式为 Q＝40－t(0≤t≤30且t∈N)． (3)由(1)(2)可得

t＋2×40－t，0≤t

－10＋8×40－t，20≤t≤30

即y＝1

10t－12t＋320，20≤t≤30

2

1

－t2＋6t＋80，0≤t

(t∈N)．

(t∈N)．

12

当0≤t

5∴当t＝15时，ymax＝125；

1

当20≤t≤30时，函数y2－12t＋320的图象的对称轴为直线t＝60，

10∴该函数在[20，30]上单调递减， 即当t＝20时，ymax＝120．

而125>120，

∴第15天日交易额最大，最大值为125万元． 三、课后作业

1

2x

2

15

1． 20072． 3,3． 3 4． f(x)=1x5． （-3，1）6． 6 7． 1， 2 8． 3x+x

2

9． 解析：法一：若x≤0，则f(x)＝x＋bx＋c． ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，

2

－4＋b·－4＋c＝c，b＝4，

∴解得 2

－2＋b·－2＋c＝－2，c＝2.2

x＋4x＋2，x≤0，

∴f(x)＝

2， x>0.

当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x， 解得x＝－2，或x＝－1；

当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2． ∴方程f(x)＝x有3个解．

法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解． 答案：3

10． 解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， ∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2． (2)当x>0时，g(x)＝x－1， 故f[g(x)]＝(x－1)－1＝x－2x； 当x

故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；

2x－2x，x>0，

∴f[g(x)]＝2

x－4x＋3，x

2

2

2

当x>1或x0， 故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；

当－1

2x－2，x>1或x

∴g[f(x)]＝ 2

3－x，－1

2

36003000

11． 解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为时租出了88辆车．

（2）设每辆车的月租金定为

x3000

50

=12，所以这

x元，则租赁公司的月收益为f(x)=

（100-

50

)(x150)

2

x300050

×50．

1

x

整理得f(x)=-50 +162x-21 000=-50(x-4 050)2+307 050．

所以，当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050．

即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．

学案1 函数及其表示方法，函数的定义域

一、课前准备： 【自主梳理】

1．函数的三要素：，，

2．相同函数的判断方法：①；② (两点必须同时具备) 3① 定义法（拼凑）：② ③ ④ 赋值法．

4．若A{a,b,c}，B{1,4}；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个． 5①y

f(x)g(x)

，则 ； ②y

2n

f(x)(nN)则 ；

*

③y[f(x)]0，则 ④ylog 【自我检测】

f(x)

g(x)，则

1． 已知函数f(x)axb，且f(1)4，f(2)5,则f(0)_________．

2． 设f:xx2是集合A到B（不含2）的映射，如果A1,2，则AB________． 3．

函数y

4． 函数ylog2x1(3x2)的定义域是 ． 5

．函数y

log2(x2)的定义域是6．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x1，则f(x)的解析式为 ． 二、课堂活动：

【例1】填空题：

（1）若一次函数f(x)的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f(x)= ． （2）函数y=

1

4x

2

2

xx

的定义域为 ．

（3）若f()x

x

x

2

(x>0)，则f(x

x－4

（4）若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

mx＋4mx＋3

【例2】给出下列两个条件：（1）f(

x

+1) = x + 2

x

;(2)f(x)为二次函数且f(0) = 3，

f(x+2) f(x) = 4x + 2．试分别求出f(x)的解析式．

【例3】某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：

(1) 根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；

(2) 根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式；

(3) 用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？

三、课后作业

1

1．设函数f1(x)=x2，f2(x)=x，f3(x)=x，则2．函数f(x)=3．若f(x) =

12|1log2(x1)

-12

f3f2(f1(2007))= ．

的定义域为 ．

(x6)(x6)

f(x3)log2x

，则f(1)的值为 ．

4．已知f(

1x1x

)

1x1x

22

，则f(x)的解析式为 ．

5．函数f(x) =

3x

2

x

+ lg (3x+1)的定义域是

6．定义在R上的函数f(x)满足f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy (x，y∈R)，f(1) = 2，则f(

则f［g(1)］的值为 ，满足f［g(x)］＞g［f(x)］的x的值是 ．  8．已知函数(x) = f(x) + g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且（）=16，

31

(1) = 8，则(x) = ．

2

x＋bx＋c， x≤0，

9．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个

2， x>0.

数为________．

10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1) 求f[g(2)]和g[f(2)]的值； (2) 求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．

11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

四、纠错分析

x－1，x>0，

2－x，x

学案1 函数及其表示方法，函数的定义域

参考答案

一、课前准备： 【自主梳理】

1．定义域，值域，对应法则；2．定义域，对应法则；3． 换元法，待定系数法； 4．8，9； 5． ①g(x)0②f(x)0③f(x)0④【自我检测】

(2

,1)(1,)

2x

13

或-2x1

{g(x)0

f(x)0且f(x)1

1．-1 2．{1} 3．[-2，2] 4．3二、课堂活动

【例1】（1）x5或-x4

（2）[2,1)(1,0)(0,1)(1,2]

1

5．[3,) 6．

（3

）x

x0)

3（4）[0，4

【例2】解：（1）令t=

x

+1，∴t≥1，x=（t-1）2．

则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1，即f(x)=x2-1，x∈［1，+∞)． （2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)， ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c，则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2．

4a4



4a2b2∴

a1

b1

，∴，又f(0)=3

c=3，∴f(x)=x2-x+3．

【例3】解：(1)设表示前20天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k1t＋m，

0＋mk1＝2＝k1×

5由图象得，解得

6＝k1×20＋m

1

m＝2

1

1

，即P＝t＋2；

5

设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k2t＋n，

20＋nk2＝－6＝k2×

10由图象得，解得

30＋n5＝k2×

n＝8

，

1

即P＋8．

10

t＋2， 0≤t

综上知P＝1

－10＋8， 20≤t≤30

(t∈N)．

(2)由表知，日交易量Q(万股)与时间t(天)满足一次函数关系式，设Q＝at＋b(a、b为常数且a≠0)，将(4，36)与(10，30)的坐标代入，

4a＋b＝36，a＝－1，

得解得 10a＋b＝30，b＝40.

所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式为 Q＝40－t(0≤t≤30且t∈N)． (3)由(1)(2)可得

t＋2×40－t，0≤t

－10＋8×40－t，20≤t≤30

即y＝1

10t－12t＋320，20≤t≤30

2

1

－t2＋6t＋80，0≤t

(t∈N)．

(t∈N)．

12

当0≤t

5∴当t＝15时，ymax＝125；

1

当20≤t≤30时，函数y2－12t＋320的图象的对称轴为直线t＝60，

10∴该函数在[20，30]上单调递减， 即当t＝20时，ymax＝120．

而125>120，

∴第15天日交易额最大，最大值为125万元． 三、课后作业

1

2x

2

15

1． 20072． 3,3． 3 4． f(x)=1x5． （-3，1）6． 6 7． 1， 2 8． 3x+x

2

9． 解析：法一：若x≤0，则f(x)＝x＋bx＋c． ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，

2

－4＋b·－4＋c＝c，b＝4，

∴解得 2

－2＋b·－2＋c＝－2，c＝2.2

x＋4x＋2，x≤0，

∴f(x)＝

2， x>0.

当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x， 解得x＝－2，或x＝－1；

当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2． ∴方程f(x)＝x有3个解．

法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解． 答案：3

10． 解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， ∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2． (2)当x>0时，g(x)＝x－1， 故f[g(x)]＝(x－1)－1＝x－2x； 当x

故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；

2x－2x，x>0，

∴f[g(x)]＝2

x－4x＋3，x

2

2

2

当x>1或x0， 故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；

当－1

2x－2，x>1或x

∴g[f(x)]＝ 2

3－x，－1

2

36003000

11． 解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为时租出了88辆车．

（2）设每辆车的月租金定为

x3000

50

=12，所以这

x元，则租赁公司的月收益为f(x)=

（100-

50

)(x150)

2

x300050

×50．

1

x

整理得f(x)=-50 +162x-21 000=-50(x-4 050)2+307 050．

所以，当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050．

即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．