1.(2003•大连) 抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).
A. 直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2
2.(2004•重庆) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图, 则点M(b, )在( ).
A. 第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限
3.(2004•天津) 已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有( ).
A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0
C.b2-4ac
4.(2003•杭州) 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位, 再向下平移2个单位, 所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).
A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21
5.(2004•河北) 在同一直角坐标系中, 一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).
6.(2004•昆明) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P 的横坐标是4, •图象交x 轴于点A(m,0)和点B, 且m>4,那么AB 的长是( ).
A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m
二、填空题
1.(2004•河北) 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式, 则 y=_______.
2.(2003•新疆) 请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.
3.(2003•天津) 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.
4.(2004•武汉) 已知二次函数的图象开口向下, 且与y 轴的正半轴相交, 请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.
5.(2003•黑龙江) 已知抛物线y=ax2+x+c与x 轴交点的横坐标为-1, 则a+c=_____.
6.(2002•北京东城) 有一个二次函数的图象, 三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x 轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数, 且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
答案:
基础达标验收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C
二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=- x2+2x+ 4.如y=-x2+1 5.1
6.y= x2- x+3或y=- x2+ x-3或y=- x2- x+1或y=- x2+ x-1
三、解答题
1.(2003•安徽) 已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象, 并指出图象的顶点坐标;
(3)当x>0时, 求使y≥2的x 取值范围.
2.(2004•济南) 已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x 轴有A 、B 两个交点, 且A 、B 两点关于y 轴对称.
(1)求m 的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;
(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.
3.(2004•南昌) 在平面直角坐标系中, 给定以下五点
A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点, 使经过这三点的抛物线满足以平行于y •轴的直线为对称轴. 我们约定:把经过三点A 、E 、B 的抛物线
表示为抛物线AEB(如图所示).
(1)问符号条件的抛物线还有哪几条? 不求解析式, •请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线, 它与余下的两点所确定的直线不相交? 如果存在, 试求出解析式及直线的解析式; 如果不存在, 请说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.(2003•新疆) 如图, 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于B 、C 两点, •与y 轴交于A 点.
(1)根据图象确定a 、b 、c 的符号, 并说明理由;
(2)如果点A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°, ∠ACB=60°, •求这个二次函数的解析式.
二、实际应用题
2.(2004•河南) •某市近年来经济发展速度很快, •根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.
经论证, 上述数据适合一个二次函数关系, 请你根据这个函数关系, 预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?
3.(2003•辽宁) 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品, 年初上市后, •公司经历了从亏损到盈利的过程. 下面的二次函数图象(部分) •刻画了该公司年初以来累积利润s(万元) 与销售时间t(月) 之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系).
根据图象(图) 提供的信息, 解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标, 求累积利润s(万元) 与时间t(月) 之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4.(2003•吉林) 如图, 有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时水面AB •的宽为20m, 如果水位上升3m 时, 水面CD 的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式; 三、
1. 解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),
∴9+3b-1=2,解得b=-2.
∴函数解析式为y=x2-2x-1.
(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.
图象略.
图象的顶点坐标为(1,-2).
(3)当x=3时,y=2,根据图象知, 当x≥3时,y≥2.
∴当x>0时, 使y≥2的x 的取值范围是x≥3.
2.(1)设A(x1,0) B(x2,0).
∵A 、B 两点关于y 轴对称.
∴ ∴
解得m=6.
(2)求得y=- x2+3.顶点坐标是(0,3)
(3)方程- x2+(6- )x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).
3. 解:(1)符合条件的抛物线还有5条, 分别如下:
①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC.
(2)在(1)中存在抛物线DBC, 它与直线AE 不相交.
设抛物线DBC 的解析式为y=ax2+bx+c.
将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入, 得
解这个方程组, 得a= ,b=- ,c=1.
∴抛物线DBC 的解析式为y= x2- x+1.
【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, ),得a= 也可. 】
又将直线AE 的解析式为y=mx+n.
将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入, 得
解这个方程组, 得m=-3,n=-6.
∴直线AE 的解析式为y=-3x-6.
能力提高练习
一、
1. 解:(1)∵抛物线开口向上, ∴a>0.
又∵对称轴在y 轴的左侧,
∴- 0.
又∵抛物线交于y 轴的负半轴.
∴c
(2)如图, 连结AB 、AC.
∵在Rt △AOB 中, ∠ABO=45°,
∴∠OAB=45°. ∴OB=OA.∴B(-3,0).
又∵在Rt △ACO 中, ∠ACO=60°,
∴OC=OA•cot60°= ,∴C( ,0).
设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
由题意
∴所求二次函数的解析式为y= x2+ ( -1)x-3.
2. 依题意, 可以把三组数据看成三个点:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
设y=ax2+bx+c.
把A 、B 、C 三点坐标代入上式, 得
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.
即所求二次函数为
y=0.014x2+0.29x+8.6.
令x=15,代入二次函数, 得y=16.1.
所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.
3. 解:(1)设s 与t 的函数关系式为s=at2+bt+c
由题意得 或 解得
∴s= t2-2t.
(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.
解得t1=0,t2=-6(舍).
答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入, 得s= ×72-2×7= =10.5;
把t=8代入, 得s= ×82-2×8=16.
16-10.5=5.5.
答:第8个月公司获利润5.5万元.
4. 解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O 到水面CD 的距离为hm, 则D(5,-h),B(10,-h-3).
∴ 解得
抛物线的解析式为y=- x2.
1.(2003•大连) 抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).
A. 直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2
2.(2004•重庆) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图, 则点M(b, )在( ).
A. 第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限
3.(2004•天津) 已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有( ).
A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0
C.b2-4ac
4.(2003•杭州) 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位, 再向下平移2个单位, 所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).
A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21
5.(2004•河北) 在同一直角坐标系中, 一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).
6.(2004•昆明) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P 的横坐标是4, •图象交x 轴于点A(m,0)和点B, 且m>4,那么AB 的长是( ).
A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m
二、填空题
1.(2004•河北) 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式, 则 y=_______.
2.(2003•新疆) 请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.
3.(2003•天津) 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.
4.(2004•武汉) 已知二次函数的图象开口向下, 且与y 轴的正半轴相交, 请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.
5.(2003•黑龙江) 已知抛物线y=ax2+x+c与x 轴交点的横坐标为-1, 则a+c=_____.
6.(2002•北京东城) 有一个二次函数的图象, 三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x 轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数, 且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
答案:
基础达标验收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C
二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=- x2+2x+ 4.如y=-x2+1 5.1
6.y= x2- x+3或y=- x2+ x-3或y=- x2- x+1或y=- x2+ x-1
三、解答题
1.(2003•安徽) 已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象, 并指出图象的顶点坐标;
(3)当x>0时, 求使y≥2的x 取值范围.
2.(2004•济南) 已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x 轴有A 、B 两个交点, 且A 、B 两点关于y 轴对称.
(1)求m 的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;
(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.
3.(2004•南昌) 在平面直角坐标系中, 给定以下五点
A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点, 使经过这三点的抛物线满足以平行于y •轴的直线为对称轴. 我们约定:把经过三点A 、E 、B 的抛物线
表示为抛物线AEB(如图所示).
(1)问符号条件的抛物线还有哪几条? 不求解析式, •请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线, 它与余下的两点所确定的直线不相交? 如果存在, 试求出解析式及直线的解析式; 如果不存在, 请说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.(2003•新疆) 如图, 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于B 、C 两点, •与y 轴交于A 点.
(1)根据图象确定a 、b 、c 的符号, 并说明理由;
(2)如果点A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°, ∠ACB=60°, •求这个二次函数的解析式.
二、实际应用题
2.(2004•河南) •某市近年来经济发展速度很快, •根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.
经论证, 上述数据适合一个二次函数关系, 请你根据这个函数关系, 预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?
3.(2003•辽宁) 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品, 年初上市后, •公司经历了从亏损到盈利的过程. 下面的二次函数图象(部分) •刻画了该公司年初以来累积利润s(万元) 与销售时间t(月) 之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系).
根据图象(图) 提供的信息, 解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标, 求累积利润s(万元) 与时间t(月) 之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4.(2003•吉林) 如图, 有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时水面AB •的宽为20m, 如果水位上升3m 时, 水面CD 的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式; 三、
1. 解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),
∴9+3b-1=2,解得b=-2.
∴函数解析式为y=x2-2x-1.
(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.
图象略.
图象的顶点坐标为(1,-2).
(3)当x=3时,y=2,根据图象知, 当x≥3时,y≥2.
∴当x>0时, 使y≥2的x 的取值范围是x≥3.
2.(1)设A(x1,0) B(x2,0).
∵A 、B 两点关于y 轴对称.
∴ ∴
解得m=6.
(2)求得y=- x2+3.顶点坐标是(0,3)
(3)方程- x2+(6- )x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).
3. 解:(1)符合条件的抛物线还有5条, 分别如下:
①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC.
(2)在(1)中存在抛物线DBC, 它与直线AE 不相交.
设抛物线DBC 的解析式为y=ax2+bx+c.
将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入, 得
解这个方程组, 得a= ,b=- ,c=1.
∴抛物线DBC 的解析式为y= x2- x+1.
【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, ),得a= 也可. 】
又将直线AE 的解析式为y=mx+n.
将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入, 得
解这个方程组, 得m=-3,n=-6.
∴直线AE 的解析式为y=-3x-6.
能力提高练习
一、
1. 解:(1)∵抛物线开口向上, ∴a>0.
又∵对称轴在y 轴的左侧,
∴- 0.
又∵抛物线交于y 轴的负半轴.
∴c
(2)如图, 连结AB 、AC.
∵在Rt △AOB 中, ∠ABO=45°,
∴∠OAB=45°. ∴OB=OA.∴B(-3,0).
又∵在Rt △ACO 中, ∠ACO=60°,
∴OC=OA•cot60°= ,∴C( ,0).
设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
由题意
∴所求二次函数的解析式为y= x2+ ( -1)x-3.
2. 依题意, 可以把三组数据看成三个点:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
设y=ax2+bx+c.
把A 、B 、C 三点坐标代入上式, 得
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.
即所求二次函数为
y=0.014x2+0.29x+8.6.
令x=15,代入二次函数, 得y=16.1.
所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.
3. 解:(1)设s 与t 的函数关系式为s=at2+bt+c
由题意得 或 解得
∴s= t2-2t.
(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.
解得t1=0,t2=-6(舍).
答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入, 得s= ×72-2×7= =10.5;
把t=8代入, 得s= ×82-2×8=16.
16-10.5=5.5.
答:第8个月公司获利润5.5万元.
4. 解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O 到水面CD 的距离为hm, 则D(5,-h),B(10,-h-3).
∴ 解得
抛物线的解析式为y=- x2.