第二讲 线性子空间
一、线性子空间的定义及其性质
1. 定义：设V 1K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x , y ∈V 1，则x +y ∈V 1； （2） 如果x ∈V 1，k ∈K ，则kx ∈V 1， 则称V 1是V 的一个线性子空间或子空间。
2. 性质：（1）线性子空间V 1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V 1中元素的负元素仍在V 1中。 [证明]（1）0x =O
x ∈V 1⊂V
∴ V 中的零元素也在V 1中，V 1与V 享有共同的零元素。
（2）∀x ∈V 1
(-1) x =(-x ) ∈V 1 封闭性
∴ V 1中元素的负元素仍在V 1中
3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间
平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间
4. 生成子空间：设x 1, x 2 , x m 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合
⎧m ⎫
k x k ∈K , i =1, 2 , m ⎨∑i i i ⎬ ⎩i =1⎭
也是V 的线性子空间，称为由x 1, x 2 , x m 生（张）成的子空间，记为L (x 1, x 2 , x m ) 或者Span (x 1, x 2 , x m ) 。
若x 1, x 2 , x m 线性无关，则
dim {L (x 1, x 2 , x m ) }=m
5. 基扩定理：设V 1是数域K 上的线性空间V n 的一个m 维子空间，
x 1, x 2 , x m 是V 1的一个基，则这m 个基元素必可扩充为
V n 的一个基；换言之，在V n 中必可找到n -m 个元素x m +1, x m +2 , x n ，使得x 1, x 2 , x n 成为V n 的一个基。这
n -m 个元素必不在V 1中。
二、子空间的交与和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的两个子空间，则 V 1 V 2={x x ∈V 1, x ∈V 2}
V 1+V 2={x +y x ∈V 1, y ∈V 2}
分别称为V 1和V 2的交与和。
2. 定理：若V 1和V 2是线性空间V 的两个子空间，则V 1 V 2，V 1+V 2均
为V 的子空间
[证明]（1）∀x , y ∈V 1 V 2
x +y ∈V 1
x +y ∈V 2
∴x +y ∈V 1 V 2
∀x ∈V 1 V 2k ∈K
kx ∈V 1kx ∈V 2 ∴kx ∈V 1 V 2
∴V 1 V 2是V 的一个线性子空间。
（2）∀x 1, x 2∈V 1∀y 1, y 2∈V 2
(x 1+y 1) ∈V 1+V 2
(x 2+y 2) ∈V 1+V 2
(x 1+x 2) ∈V 1
(y 1+y 2) ∈V 2
(x 1+y 1) +(x 2+y 2) =(x 1+x 2) +(y 1+y 2) ∈V 1+V 2
∀k ∈K
kx 1∈V 1
ky 1∈V 2
k (x 1+y 1) =kx 1+ky 1∈V 1+V 2
∴V 1+V 2是V 的子空间。
3. 维数公式：若V 1、V 2是线性空间V 的子空间，则有
dim(V 1+V 2) +dim(V 1 V 2) =dim V 1+dim V 2
[证明] 设dim V 1=n 1, dim V 2=n 2, dim(V 1 V 2) =m
需要证明dim(V 1+V 2) =n 1+n 2-m
设x 1, x 2 , x m 是V 1 V 2的一个基，根据基扩定理
存在1）y 1, y 2 , y n 1-m ∈V 1，使x 1, x 2 , x m , y 1, y 2 , y n 1-m 成为V 1的一
个基；
2）z 1, z 2 , z n 2-m ∈V 2，使x 1, x 2 , x m , z 1, z 2 , z n 2-m
成为V 2的一个基；
考察x 1, x 2 , x m , y 1, y 2 , y n 1-m , z 1, z 2 , z n 2-m ，
若能证明它为V 1+V 2的一个基，则有dim(V 1+V 2) =n 1+n 2-m 。 成为基的两个条件：
1） 2）
它可以线性表示V 1+V 2中的任意元素 线性无关
显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。
假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数
k 1, k 2 , k m , p 1, p 2 , p n 1-m , q 1, q 2 , q n 2-m 使
∑k x +∑p y +∑q z
i
i
i
i
i
i
=0
令z =∑q i z i ∈V 2，则
∑k x +∑p y
i
i
i
i
=-z ∈V 1
∴-z ∈V 1I V 2 则-z 可用x 1, x 2 , x m 线性表示， ∴p i =0
则，∑k i x i +∑q i z i =0
因为，x 1, x 2 , x m , z 1, z 2 , z n 2-m 线性无关
∴q i =0k i =0
这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V 1+V 2的一个基。
∴dim(V 1+V 2) =n 1+n 2-m
三、子空间的直和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的子空间，若其和空间V 1+V 2中的任
一元素只能唯一的表示为V 1的一个元素与V 2的一个元素之和，即∀x ∈V 1+V 2，存在唯一的y ∈V 1, z ∈V 2，使x =y +z ，则称V 1+V 2为V 1与V 2的直和，记为V 1⊕V 2 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是
V 1+V 2={x +y x ∈V 1, y ∈V 2}，
反映的是两个子空间的关系特殊。
2. 定理：如下四种表述等价 （1）V 1+V 2成为直和V 1⊕V 2 （2）V 1 V 2={0}
（3）dim(V 1+V 2) =dim V 1+dim V 2
（4）x 1, x 2 , x s 为V 1的基，y 1, y 2 , y t 为V 2的基，则
x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 为V 1+V 2的基
[证明]（2）和（3）的等价性显然
采用循环证法：（1）→（2）→（4）→（1） （1）→（2）：已知V 1+V 2=V 1⊕V 2 假定x ≠0且x ∈V 1 V 2，则
0=0+0=x +(-x )
0∈V 1+V 2， V 1， 0∈V 2，x ∈V 1，-x ∈V 2
说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在V 1 V 2中只能存在0元素，即V 1 V 2={0}
（2）→（4）：已知V 1 V 2={0} 成为基的两个条件： 1）
可以线性表示V 1+V 2中的任意元素
2）线性无关
∀x ∈V 1，y ∈V 2，存在如下坐标表示式
x =∑ξi x i y =∑ηi y i
i =1
i =1
s
t
x +y 可表示V 1+V 2中的任一元素，
∴x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 可表示V 1+V 2中的任意元素。
假设x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 线性相关，即存在不全为0的
ξ1, ξ2 , ξs , η1, η2 , ηt 使
∑s t
ξi
x i
+∑η
i
y i =0
i =1
i =1
而s t
x =∑ξi x i ∈V 1 y =i =1
∑ηi y i ∈V 2
i =1
s
∴
∑ξ
i
x i =-y ∈V 2
i =1∑s
∴
ξi x
i
∈V 1 V 2
i =1s
∴
∑ξ
i
x i =0
i =1
∴ ξ1=ξ2= =ξs =0
同理η1=η2= =ηs =0
这与其线性相关性矛盾，x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 线性无关
∴ x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 可作为V 1+V 2的基
（4）→（1）：已知（4）成立 在x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 这组基下
∀x ∈V 1+V 2存在唯一的坐标ξ1, ξ2 , ξs , η1, η2 , ηt 使
s t
x =∑ξi x i +1
∑ηi y i
i =i =1∑s
t
ξ
i
x i ∈V 1
i =1
∑η
i
y i ∈V 2
i =1
∴ V 1+V 2成为直和 作业：P25－26，11、12、13
第二讲 线性子空间
一、线性子空间的定义及其性质
1. 定义：设V 1K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x , y ∈V 1，则x +y ∈V 1； （2） 如果x ∈V 1，k ∈K ，则kx ∈V 1， 则称V 1是V 的一个线性子空间或子空间。
2. 性质：（1）线性子空间V 1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V 1中元素的负元素仍在V 1中。 [证明]（1）0x =O
x ∈V 1⊂V
∴ V 中的零元素也在V 1中，V 1与V 享有共同的零元素。
（2）∀x ∈V 1
(-1) x =(-x ) ∈V 1 封闭性
∴ V 1中元素的负元素仍在V 1中
3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间
平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间
4. 生成子空间：设x 1, x 2 , x m 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合
⎧m ⎫
k x k ∈K , i =1, 2 , m ⎨∑i i i ⎬ ⎩i =1⎭
也是V 的线性子空间，称为由x 1, x 2 , x m 生（张）成的子空间，记为L (x 1, x 2 , x m ) 或者Span (x 1, x 2 , x m ) 。
若x 1, x 2 , x m 线性无关，则
dim {L (x 1, x 2 , x m ) }=m
5. 基扩定理：设V 1是数域K 上的线性空间V n 的一个m 维子空间，
x 1, x 2 , x m 是V 1的一个基，则这m 个基元素必可扩充为
V n 的一个基；换言之，在V n 中必可找到n -m 个元素x m +1, x m +2 , x n ，使得x 1, x 2 , x n 成为V n 的一个基。这
n -m 个元素必不在V 1中。
二、子空间的交与和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的两个子空间，则 V 1 V 2={x x ∈V 1, x ∈V 2}
V 1+V 2={x +y x ∈V 1, y ∈V 2}
分别称为V 1和V 2的交与和。
2. 定理：若V 1和V 2是线性空间V 的两个子空间，则V 1 V 2，V 1+V 2均
为V 的子空间
[证明]（1）∀x , y ∈V 1 V 2
x +y ∈V 1
x +y ∈V 2
∴x +y ∈V 1 V 2
∀x ∈V 1 V 2k ∈K
kx ∈V 1kx ∈V 2 ∴kx ∈V 1 V 2
∴V 1 V 2是V 的一个线性子空间。
（2）∀x 1, x 2∈V 1∀y 1, y 2∈V 2
(x 1+y 1) ∈V 1+V 2
(x 2+y 2) ∈V 1+V 2
(x 1+x 2) ∈V 1
(y 1+y 2) ∈V 2
(x 1+y 1) +(x 2+y 2) =(x 1+x 2) +(y 1+y 2) ∈V 1+V 2
∀k ∈K
kx 1∈V 1
ky 1∈V 2
k (x 1+y 1) =kx 1+ky 1∈V 1+V 2
∴V 1+V 2是V 的子空间。
3. 维数公式：若V 1、V 2是线性空间V 的子空间，则有
dim(V 1+V 2) +dim(V 1 V 2) =dim V 1+dim V 2
[证明] 设dim V 1=n 1, dim V 2=n 2, dim(V 1 V 2) =m
需要证明dim(V 1+V 2) =n 1+n 2-m
设x 1, x 2 , x m 是V 1 V 2的一个基，根据基扩定理
存在1）y 1, y 2 , y n 1-m ∈V 1，使x 1, x 2 , x m , y 1, y 2 , y n 1-m 成为V 1的一
个基；
2）z 1, z 2 , z n 2-m ∈V 2，使x 1, x 2 , x m , z 1, z 2 , z n 2-m
成为V 2的一个基；
考察x 1, x 2 , x m , y 1, y 2 , y n 1-m , z 1, z 2 , z n 2-m ，
若能证明它为V 1+V 2的一个基，则有dim(V 1+V 2) =n 1+n 2-m 。 成为基的两个条件：
1） 2）
它可以线性表示V 1+V 2中的任意元素 线性无关
显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。
假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数
k 1, k 2 , k m , p 1, p 2 , p n 1-m , q 1, q 2 , q n 2-m 使
∑k x +∑p y +∑q z
i
i
i
i
i
i
=0
令z =∑q i z i ∈V 2，则
∑k x +∑p y
i
i
i
i
=-z ∈V 1
∴-z ∈V 1I V 2 则-z 可用x 1, x 2 , x m 线性表示， ∴p i =0
则，∑k i x i +∑q i z i =0
因为，x 1, x 2 , x m , z 1, z 2 , z n 2-m 线性无关
∴q i =0k i =0
这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V 1+V 2的一个基。
∴dim(V 1+V 2) =n 1+n 2-m
三、子空间的直和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的子空间，若其和空间V 1+V 2中的任
一元素只能唯一的表示为V 1的一个元素与V 2的一个元素之和，即∀x ∈V 1+V 2，存在唯一的y ∈V 1, z ∈V 2，使x =y +z ，则称V 1+V 2为V 1与V 2的直和，记为V 1⊕V 2 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是
V 1+V 2={x +y x ∈V 1, y ∈V 2}，
反映的是两个子空间的关系特殊。
2. 定理：如下四种表述等价 （1）V 1+V 2成为直和V 1⊕V 2 （2）V 1 V 2={0}
（3）dim(V 1+V 2) =dim V 1+dim V 2
（4）x 1, x 2 , x s 为V 1的基，y 1, y 2 , y t 为V 2的基，则
x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 为V 1+V 2的基
[证明]（2）和（3）的等价性显然
采用循环证法：（1）→（2）→（4）→（1） （1）→（2）：已知V 1+V 2=V 1⊕V 2 假定x ≠0且x ∈V 1 V 2，则
0=0+0=x +(-x )
0∈V 1+V 2， V 1， 0∈V 2，x ∈V 1，-x ∈V 2
说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在V 1 V 2中只能存在0元素，即V 1 V 2={0}
（2）→（4）：已知V 1 V 2={0} 成为基的两个条件： 1）
可以线性表示V 1+V 2中的任意元素
2）线性无关
∀x ∈V 1，y ∈V 2，存在如下坐标表示式
x =∑ξi x i y =∑ηi y i
i =1
i =1
s
t
x +y 可表示V 1+V 2中的任一元素，
∴x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 可表示V 1+V 2中的任意元素。
假设x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 线性相关，即存在不全为0的
ξ1, ξ2 , ξs , η1, η2 , ηt 使
∑s t
ξi
x i
+∑η
i
y i =0
i =1
i =1
而s t
x =∑ξi x i ∈V 1 y =i =1
∑ηi y i ∈V 2
i =1
s
∴
∑ξ
i
x i =-y ∈V 2
i =1∑s
∴
ξi x
i
∈V 1 V 2
i =1s
∴
∑ξ
i
x i =0
i =1
∴ ξ1=ξ2= =ξs =0
同理η1=η2= =ηs =0
这与其线性相关性矛盾，x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 线性无关
∴ x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 可作为V 1+V 2的基
（4）→（1）：已知（4）成立 在x 1, x 2 , x s , y 1, y 2 , y t 这组基下
∀x ∈V 1+V 2存在唯一的坐标ξ1, ξ2 , ξs , η1, η2 , ηt 使
s t
x =∑ξi x i +1
∑ηi y i
i =i =1∑s
t
ξ
i
x i ∈V 1
i =1
∑η
i
y i ∈V 2
i =1
∴ V 1+V 2成为直和 作业：P25－26，11、12、13