平行四边形及特殊的平行四边形证明习题

平行四边形及特殊的平行四边形

1．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.（1）求证：AM=DM；

（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

∠ABC90．2. 如图所示，在Rt△ABC中，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180得到△ABF．连接AD．

第1题图 A

（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

3．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。 ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.

B D

第2题图

4. 如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BEAD，垂足为E，连结CE，过点E作EFCE，交BD于F．

（1）求证：BFFD；（2）A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG

5 如图，平行四边形ABCD中，ABAC，AB

1，BC．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

C A

DA，并说明理由 4

6. 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

7. 如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

AEF90，8. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由

9. 在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q． (1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋

PQ； 3

图1

图2

F G

图3 A

（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。