专题八 平面向量
一、复习要求
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量
的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线
段，为什么？（向量可以平移）。如：
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向
量的方向是任意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB AB 共线的单位向量是±) ；
|AB |
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，
相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 a 、b 叫做平行向量，提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个
向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线
重合； ③平行向量无传递性！（因为有0) ； AC 共线； ④三点A 、B 、C 共线⇔AB 、
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－。如 下列命题：（1）若a =b ，则a =b 。（2）两个向量相等的充
要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B =D C ，则A B C D ABCD 是平行四边形。（4）若是平行四边形，则AB =DC 。（5） 若a =b , b =c ，则a =c 。（6）若a //b , b //c ，则a //c 。其中正确的是
_______
二、向量的表示
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在
前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向
相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可 表示为a =xi +y j =(x , y )，称(x , y )为向量a 的坐标，a ＝
(x , y )叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么
向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共
线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数
λ1、λ2，使a =λ1e 1＋λ2e 2。如 （1）若a =(1,1), b =(1, -1), c =(-1,2) ，则c =______
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e 1=(0,0),e 2=(1, -2) B. e 1=(-1,2), e 2=(5,7)
13 C. e 1=(3,5),e 2=(6,10) D. e 1=(2,-3), e 2=(, -) 24 （3）已知AD , BE 分别是∆ABC 的边B C , A C 上的中线, 且 AD =a , BE =b , 则BC 可用向量a , b 表示为_____
（4）已知∆ABC 中，点D 在BC 边上，且CD =2DB ，
CD =r AB +s AC ，则r +s 的值是___ −−→−−→−−→−−→−−→
四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下：(1)λa =λa , (2)当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ
五．平面向量的数量积： 1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作O A =aO , B b =，
∠AOB =θ
(0≤θ≤π)称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ
π时，a ，b 垂直。 2
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹 角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做与的数量积（或内积或 点积），记作：∙，即∙＝a b cos θ。规定：零向量与任＝π时，a ，b 反向，当θ＝
一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC 中，|AB |=3，|AC |=4，|BC |=5，则
−−→−−→−−→
AB ⋅BC =_________
1 1 （2）已知a =(1, ), b =(0,-), c =a +kb , d =a -b ，c 与d 的夹角22
为π
4，则k 等于____
（3）已知a =2, b =5, a b =-3，则a +b 等于____
（4）已知a , b 是两个非零向量，且a =b =a -b ，则a 与a +b
的夹角为____ 3．b 在a 上的投影为|b |cos θ，它是一个实数，但不一定大
于0。如
已知|a |=3，|b |=5，且a ⋅b =12，则向量a 在向量b 上的
投影为______ 4．∙的几何意义：数量积∙等于的模|a |与在上
的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，
则： ①a ⊥b ⇔a ∙b =0； ②当，同向时，∙＝a b ，特别地
，
2 2 a =a ∙a =a , a =；当与反向时，∙＝－a b ；当θ b 不同向，a ⋅b >0是θ为锐角的必要为锐角时，a ∙b ＞0，且a 、 b 不反向，a ⋅b
θ为钝角的必要非充分条件； a ∙b θ=；③非零向量，夹角θ的计算公式：c o s a b
④|a ∙b |≤|a ||b |。如
（1）已知a =(λ, 2λ) ，b =(3λ, 2) ，如果a 与b 的夹角为锐
角，则λ的取值范围是______
−−→−−→13（2）已知∆OFQ 的面积为S ，且OF ⋅FQ =1，若
则OF , FQ 夹角θ的取值范围是_________
六．向量的运算：
−−→−−→→→→→→→→→→→
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边
形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用 “三角形法则”：设AB =a , BC =b ，那么向量AC 叫做a 与b 的 和，即a +b =AB +BC =AC ；
②向量的减法：用“三角形法则”：设 AB =a , AC =b , 那么a -b =AB -AC =CA ，由减向量的终点指向
被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 化简：①AB +BC +CD =___；②AB -AD -DC =____； ③(AB -CD ) -(AC -BD ) =_____ 2．坐标运算：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ，则： ①向量的加减法运算：a ±b =(x 1±x 2，y 1±y 2) 。如
（1）已知点A (2,3),B (5,4)，C (7,10)，若AP =AB +λAC (λ∈R ) ，
则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上
1 ππ（2）已知A (2,3),B (1,4), 且AB =(sinx ,cos y ) ，x , y ∈(-, ) ，222
则x +y = ②实数与向量的积：λa =λ(x 1, y 1)=(λx 1, λy 1)。 ③若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1)，即一个向
量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐
标。如
设A (2,3),B (-1,5) ，且AC =AB ，AD =3AB ，则C 、D 的坐标
分别是__________ ④平面向量数量积：a ∙b =x 1x 2+y 1y 2。如 已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－
π3ππ1，0）。（1）若x ＝，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈[-, ]，384
1函数f (x ) =λ⋅的最大值为，求λ的值
2 2 22⑤向量的模：|a |=a =|a |=x +y 2。如 已知a , b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么|a +3b |＝
_____
⑥两点间的距离：若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则
1 3
|AB |=
七．向量的运算律： 1．交换律：a +b =b +a ，λμa =(λμ)a ，a ∙b =b ∙a ；
-b -c =，a -2．结合律：a +b +c =a +, b +c a
λa ∙b =λa ∙b =a ∙λb ；
3．分配律：(λ+μ)a =λa +μa , λa +b =λa +λb ，
a +b ∙c =a ∙c +b ∙c 。 ()()() b + c ()()()()()
如下列命题中：① a ⋅(b -c ) =a ⋅b -a ⋅c ；② a ⋅(b ⋅c ) =(a ⋅b ) ⋅c ；
③ (a -b ) =|a |2 2→→→
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→-2|a |⋅|b |+|b |；④ 若a ⋅b =0，则a =0或b =0；⑤若 2 2 2 2 2a ⋅b b a ⋅b =c ⋅b , 则a =c ；⑥a =a ；⑦2=；⑧(a ⋅b ) =a ⋅b ；2
⑨(a -b ) 2=a -2a ⋅b +b 。其中正确的是______
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对
于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，
两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向
量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约) ；（2）
向量的“乘法”不满足结合律，即(∙) ≠(∙) ，为什么？
八．向量平行(共线) 的充要条件： 2 2a //b ⇔a =λb ⇔(a ⋅b ) =(|a ||b |)⇔x 1y 2-y 1x 2＝0。如 (1)若向量a =(x ,1), b =(4,x ) ，当x ＝_____时a 与b 共线且方
向相同 （2）已知a =(1,1),b =(4,x ) ，u =a +2b ，v =2a +b ，且u //v ，
则x ＝______
（3）设PA =(k ,12), PB =(4,5),PC =(10,k ＝_____时，k ，则)
A,B,C 共线 0⇔|a +b ||=a -|九．向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ⋅b = b AB AC AB AC ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 特别地(+) ⊥(-) 。如 AB AC AB AC
2 2a a
(1)已知OA =(-1,2), OB =(3,m ) ，若OA ⊥OB ，则m =
（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，
∠B =90︒，则点B 的坐标是________ （3）已知n =(a , b ), 向量n ⊥m ，且n =m ，则m 的坐标是
________
十．向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注
意运用； b 同向或有（2）||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |，特别地，当a 、 0⇔|a +b |=|a |+|b | a 、 b ；当反向或有≥||a |-|b ||=|a -b | 0⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |；当a 、 b 不共线 ⇔||a |-|b ||
（3）在∆ABC 中，①若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3)，则其⎛x +x +x y +y +y 3⎫重心的坐标为G 123, 12⎪。如 33⎝⎭
若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），
则⊿ABC 的重心的坐标为_______
②PG =(PA +PB +PC ) ⇔G 为∆ABC 的重心，特别地
3 PA +PB +PC =0⇔P 为∆ABC 的重心； ③PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为∆ABC 的垂心； +)(λ≠0) 所在直线过∆ABC 的内心(是④向量λ(|AB ||AC |
∠BAC 的角平分线所在直线) ； （4）向量PA 、 PB 、 PC 中三终点A 、B 、C 共线⇔存在实数 α、β使得PA =αPB +βPC 且α+β=1. 如
O 为坐标原点，平面直角坐标系中，已知两点A (3, 1) , B (-1, 3) ,
若点C 满足OC =λ1OA +λ2OB , 其中λ1, λ2∈R 且λ1+λ2=1, 则
点C 的轨迹是_______
四：同步练习 −−→−−→−−→
2012年高考文科数学解析分类汇编：平面向量
一、选择题
1 ．（2012年高考（重庆文））设x ∈R ,向量a =(x ,1), b =(1, -2), 且a ⊥b ,
则|a +b |=
A
B
C
． （ ） D ．10
3 ．（2012年高考（天津文））在∆ABC 中, ∠A =90︒, AB =1, 设
点P , Q 满足A P =λ . 若A , B =A (Q 1-λ) λA , ∈C R
BQ ⋅CP =-2, 则λ=
（ ） 24 C ． D ．2 33
4 ．（2012年高考（四川文））设a 、b 都是非零向量, 下列四个条件中, 使A ．B ．1 3
a b =成立的充分条件是 |a ||b |（ ）
A ．|a |=|b |且a //b B ．a =-b C ．a //b D ．a =2b
5 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b =
1, 则x =
A ．—1 B ．—（ ） 1 2C ．1 2D ．1
6 ．（2012年高考（广东文））对任意两个非零的平面向量α和β, 定义
α⋅β=α⋅β, 若平面向量a 、b 满足a ≥b >0, a 与b 的夹角β⋅β
⎩2（ ） ⎧n ⎫⎛π⎫θ∈ 0, ⎪, 且a b 和b a 都在集合⎨n ∈Z ⎬中, 则a b = 4⎝⎭⎭
A ．1 2B ．1 C ．35D ． 2 2
7 ．（2012年高考（广东文））(向量) 若向量 AB =(1,2), BC =(3,4), 则 AC =
A ．(4,6) B ．(-4, -6) C ．(-2, -2) D ．(2,2) 9 ．（2012年高考（大纲文））∆ABC 中, AB 边的高为CD , 若
CB = a , CA = b , a ⋅ b =0, | a |=1, | b |=2, 则 AD =
A ．1 2 2
3a -1
3b B 3a -3b C 3
5a -3
5b D 4 a -4b
55
二、填空题
10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则
AB ⋅ AC =________.
12．（2012年高考（课标文））已知向量a , b 夹角为450, 且
|a |=1,|2a -b
则|b |=_______.
14．（2012年高考（湖南文））如图4, 在平行四边形ABCD 中 ,AP⊥BD, 垂足
为P, AP =3且 AP AC = _____.
15．（2012年高考（湖北文））已知向量 a =(1,0), b =(1,1) , 则
(Ⅰ) 与2 a + b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ) 向量b -3 a 与向量 a 夹角的余弦值为____________. 16．（2012年高考（北京文））已知正方形ABCD 的边长为1, 点E 是AB 边上
的动点, 则 DE ⋅ CB 的值为________.
（ ） （ ）
17．（2012年高考（安徽文））设向量a =(1,2m ), b =(m +1,1), c =(2,m ) ,
若(a +c ) ⊥b , 则a =_____.
专题八 平面向量
一、复习要求
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量
的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线
段，为什么？（向量可以平移）。如：
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向
量的方向是任意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB AB 共线的单位向量是±) ；
|AB |
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，
相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 a 、b 叫做平行向量，提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个
向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线
重合； ③平行向量无传递性！（因为有0) ； AC 共线； ④三点A 、B 、C 共线⇔AB 、
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－。如 下列命题：（1）若a =b ，则a =b 。（2）两个向量相等的充
要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B =D C ，则A B C D ABCD 是平行四边形。（4）若是平行四边形，则AB =DC 。（5） 若a =b , b =c ，则a =c 。（6）若a //b , b //c ，则a //c 。其中正确的是
_______
二、向量的表示
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在
前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向
相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可 表示为a =xi +y j =(x , y )，称(x , y )为向量a 的坐标，a ＝
(x , y )叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么
向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共
线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数
λ1、λ2，使a =λ1e 1＋λ2e 2。如 （1）若a =(1,1), b =(1, -1), c =(-1,2) ，则c =______
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e 1=(0,0),e 2=(1, -2) B. e 1=(-1,2), e 2=(5,7)
13 C. e 1=(3,5),e 2=(6,10) D. e 1=(2,-3), e 2=(, -) 24 （3）已知AD , BE 分别是∆ABC 的边B C , A C 上的中线, 且 AD =a , BE =b , 则BC 可用向量a , b 表示为_____
（4）已知∆ABC 中，点D 在BC 边上，且CD =2DB ，
CD =r AB +s AC ，则r +s 的值是___ −−→−−→−−→−−→−−→
四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下：(1)λa =λa , (2)当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ
五．平面向量的数量积： 1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作O A =aO , B b =，
∠AOB =θ
(0≤θ≤π)称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ
π时，a ，b 垂直。 2
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹 角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做与的数量积（或内积或 点积），记作：∙，即∙＝a b cos θ。规定：零向量与任＝π时，a ，b 反向，当θ＝
一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC 中，|AB |=3，|AC |=4，|BC |=5，则
−−→−−→−−→
AB ⋅BC =_________
1 1 （2）已知a =(1, ), b =(0,-), c =a +kb , d =a -b ，c 与d 的夹角22
为π
4，则k 等于____
（3）已知a =2, b =5, a b =-3，则a +b 等于____
（4）已知a , b 是两个非零向量，且a =b =a -b ，则a 与a +b
的夹角为____ 3．b 在a 上的投影为|b |cos θ，它是一个实数，但不一定大
于0。如
已知|a |=3，|b |=5，且a ⋅b =12，则向量a 在向量b 上的
投影为______ 4．∙的几何意义：数量积∙等于的模|a |与在上
的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，
则： ①a ⊥b ⇔a ∙b =0； ②当，同向时，∙＝a b ，特别地
，
2 2 a =a ∙a =a , a =；当与反向时，∙＝－a b ；当θ b 不同向，a ⋅b >0是θ为锐角的必要为锐角时，a ∙b ＞0，且a 、 b 不反向，a ⋅b
θ为钝角的必要非充分条件； a ∙b θ=；③非零向量，夹角θ的计算公式：c o s a b
④|a ∙b |≤|a ||b |。如
（1）已知a =(λ, 2λ) ，b =(3λ, 2) ，如果a 与b 的夹角为锐
角，则λ的取值范围是______
−−→−−→13（2）已知∆OFQ 的面积为S ，且OF ⋅FQ =1，若
则OF , FQ 夹角θ的取值范围是_________
六．向量的运算：
−−→−−→→→→→→→→→→→
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边
形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用 “三角形法则”：设AB =a , BC =b ，那么向量AC 叫做a 与b 的 和，即a +b =AB +BC =AC ；
②向量的减法：用“三角形法则”：设 AB =a , AC =b , 那么a -b =AB -AC =CA ，由减向量的终点指向
被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 化简：①AB +BC +CD =___；②AB -AD -DC =____； ③(AB -CD ) -(AC -BD ) =_____ 2．坐标运算：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ，则： ①向量的加减法运算：a ±b =(x 1±x 2，y 1±y 2) 。如
（1）已知点A (2,3),B (5,4)，C (7,10)，若AP =AB +λAC (λ∈R ) ，
则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上
1 ππ（2）已知A (2,3),B (1,4), 且AB =(sinx ,cos y ) ，x , y ∈(-, ) ，222
则x +y = ②实数与向量的积：λa =λ(x 1, y 1)=(λx 1, λy 1)。 ③若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1)，即一个向
量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐
标。如
设A (2,3),B (-1,5) ，且AC =AB ，AD =3AB ，则C 、D 的坐标
分别是__________ ④平面向量数量积：a ∙b =x 1x 2+y 1y 2。如 已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－
π3ππ1，0）。（1）若x ＝，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈[-, ]，384
1函数f (x ) =λ⋅的最大值为，求λ的值
2 2 22⑤向量的模：|a |=a =|a |=x +y 2。如 已知a , b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么|a +3b |＝
_____
⑥两点间的距离：若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则
1 3
|AB |=
七．向量的运算律： 1．交换律：a +b =b +a ，λμa =(λμ)a ，a ∙b =b ∙a ；
-b -c =，a -2．结合律：a +b +c =a +, b +c a
λa ∙b =λa ∙b =a ∙λb ；
3．分配律：(λ+μ)a =λa +μa , λa +b =λa +λb ，
a +b ∙c =a ∙c +b ∙c 。 ()()() b + c ()()()()()
如下列命题中：① a ⋅(b -c ) =a ⋅b -a ⋅c ；② a ⋅(b ⋅c ) =(a ⋅b ) ⋅c ；
③ (a -b ) =|a |2 2→→→
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→-2|a |⋅|b |+|b |；④ 若a ⋅b =0，则a =0或b =0；⑤若 2 2 2 2 2a ⋅b b a ⋅b =c ⋅b , 则a =c ；⑥a =a ；⑦2=；⑧(a ⋅b ) =a ⋅b ；2
⑨(a -b ) 2=a -2a ⋅b +b 。其中正确的是______
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对
于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，
两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向
量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约) ；（2）
向量的“乘法”不满足结合律，即(∙) ≠(∙) ，为什么？
八．向量平行(共线) 的充要条件： 2 2a //b ⇔a =λb ⇔(a ⋅b ) =(|a ||b |)⇔x 1y 2-y 1x 2＝0。如 (1)若向量a =(x ,1), b =(4,x ) ，当x ＝_____时a 与b 共线且方
向相同 （2）已知a =(1,1),b =(4,x ) ，u =a +2b ，v =2a +b ，且u //v ，
则x ＝______
（3）设PA =(k ,12), PB =(4,5),PC =(10,k ＝_____时，k ，则)
A,B,C 共线 0⇔|a +b ||=a -|九．向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ⋅b = b AB AC AB AC ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 特别地(+) ⊥(-) 。如 AB AC AB AC
2 2a a
(1)已知OA =(-1,2), OB =(3,m ) ，若OA ⊥OB ，则m =
（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，
∠B =90︒，则点B 的坐标是________ （3）已知n =(a , b ), 向量n ⊥m ，且n =m ，则m 的坐标是
________
十．向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注
意运用； b 同向或有（2）||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |，特别地，当a 、 0⇔|a +b |=|a |+|b | a 、 b ；当反向或有≥||a |-|b ||=|a -b | 0⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |；当a 、 b 不共线 ⇔||a |-|b ||
（3）在∆ABC 中，①若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3)，则其⎛x +x +x y +y +y 3⎫重心的坐标为G 123, 12⎪。如 33⎝⎭
若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），
则⊿ABC 的重心的坐标为_______
②PG =(PA +PB +PC ) ⇔G 为∆ABC 的重心，特别地
3 PA +PB +PC =0⇔P 为∆ABC 的重心； ③PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为∆ABC 的垂心； +)(λ≠0) 所在直线过∆ABC 的内心(是④向量λ(|AB ||AC |
∠BAC 的角平分线所在直线) ； （4）向量PA 、 PB 、 PC 中三终点A 、B 、C 共线⇔存在实数 α、β使得PA =αPB +βPC 且α+β=1. 如
O 为坐标原点，平面直角坐标系中，已知两点A (3, 1) , B (-1, 3) ,
若点C 满足OC =λ1OA +λ2OB , 其中λ1, λ2∈R 且λ1+λ2=1, 则
点C 的轨迹是_______
四：同步练习 −−→−−→−−→
2012年高考文科数学解析分类汇编：平面向量
一、选择题
1 ．（2012年高考（重庆文））设x ∈R ,向量a =(x ,1), b =(1, -2), 且a ⊥b ,
则|a +b |=
A
B
C
． （ ） D ．10
3 ．（2012年高考（天津文））在∆ABC 中, ∠A =90︒, AB =1, 设
点P , Q 满足A P =λ . 若A , B =A (Q 1-λ) λA , ∈C R
BQ ⋅CP =-2, 则λ=
（ ） 24 C ． D ．2 33
4 ．（2012年高考（四川文））设a 、b 都是非零向量, 下列四个条件中, 使A ．B ．1 3
a b =成立的充分条件是 |a ||b |（ ）
A ．|a |=|b |且a //b B ．a =-b C ．a //b D ．a =2b
5 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b =
1, 则x =
A ．—1 B ．—（ ） 1 2C ．1 2D ．1
6 ．（2012年高考（广东文））对任意两个非零的平面向量α和β, 定义
α⋅β=α⋅β, 若平面向量a 、b 满足a ≥b >0, a 与b 的夹角β⋅β
⎩2（ ） ⎧n ⎫⎛π⎫θ∈ 0, ⎪, 且a b 和b a 都在集合⎨n ∈Z ⎬中, 则a b = 4⎝⎭⎭
A ．1 2B ．1 C ．35D ． 2 2
7 ．（2012年高考（广东文））(向量) 若向量 AB =(1,2), BC =(3,4), 则 AC =
A ．(4,6) B ．(-4, -6) C ．(-2, -2) D ．(2,2) 9 ．（2012年高考（大纲文））∆ABC 中, AB 边的高为CD , 若
CB = a , CA = b , a ⋅ b =0, | a |=1, | b |=2, 则 AD =
A ．1 2 2
3a -1
3b B 3a -3b C 3
5a -3
5b D 4 a -4b
55
二、填空题
10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则
AB ⋅ AC =________.
12．（2012年高考（课标文））已知向量a , b 夹角为450, 且
|a |=1,|2a -b
则|b |=_______.
14．（2012年高考（湖南文））如图4, 在平行四边形ABCD 中 ,AP⊥BD, 垂足
为P, AP =3且 AP AC = _____.
15．（2012年高考（湖北文））已知向量 a =(1,0), b =(1,1) , 则
(Ⅰ) 与2 a + b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ) 向量b -3 a 与向量 a 夹角的余弦值为____________. 16．（2012年高考（北京文））已知正方形ABCD 的边长为1, 点E 是AB 边上
的动点, 则 DE ⋅ CB 的值为________.
（ ） （ ）
17．（2012年高考（安徽文））设向量a =(1,2m ), b =(m +1,1), c =(2,m ) ,
若(a +c ) ⊥b , 则a =_____.