数学百大经典例题-两平面垂直的判定和性质

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典型例题一

例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．

（１）如图1，已知l,Al．在内作PAl于A，在内作QAl于A．

（２）如图２，已知l,A,Al．作AP于P，在内作AQl于Q，连结PQ．

（３）已知l,A,A．作AP于P，AQ于Q，l平面PAQH，连结

PH、QH．

作图与证明在此省略．

说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．

典型例题二

例2. 如图，在立体图形DABC中，若ABCB,ADCD,E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）.

CA

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（A）平面ABC⊥平面ABD （B）平面ABD⊥平面BDC

（C）平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE （D）平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.

解：因为ABCB,且E是AC的中点，所以BEAC,同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.所以选C.

说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三

例３．如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．求证BCAC．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC内作ADPC，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，AD平面

PAC，且ADPC，所以AD平面PBC．又因为BC平面PBC，于是有ADBC①．另外PA

平面ABC，BC平面ABC，所以PABC．由①②及ADPAA，可知BC平面PAC．因为

AC平面PAC，所以BCAC．

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

典型例题四

例４．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．

证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上的点，所以有BCAC①． 因为PA平面ABC，BC平面ABC，则PABC②． 由①②及ACPAA，得BC平面PAC． 因为BC平面PBC，有平面PAC平面PBC．

说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线面垂直面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

典型例题五

例５．如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN的大小．





分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解． 解：在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面

所成的角，

BAH30．再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂

线定理的逆定理，HQMN，BQH为二面角MN的平面角．

设BQa，在RtBAQ中，BQA90,BAM45,AB

a,在Rt△BHQ中，

2a

BH22

, BHQ90,BQa,BHa,sinBQH

2BQa2BQH是锐角，BQH45,即二面角MN等于45．

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空

间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．

典型例题六

例６．如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角CADC．

（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；

（２）若二面角CADC是直二面角，求CC的长； （３）求AC与平面CCD所成的角；



（４）若二面角CADC的平面角为120，求二面角ACCD的平面角的正切值．

分析：根据问题及图形依次解决． 解：（１）ADBC,ADDC,ADDC,二面角CADC的面为ADC和面ADC，棱为AD，二面角的平面角为CDC．

（２）若CDC90，ACa,DCDC



12

a,CCa． 22

ADDC,ADDC,AD平面DCC，ACD为AC与平面CCD所成的角．在（３）

直角三角形ADC中，DCDC

1

AC,DAC30，于是ACD60． 2

（４）取CC的中点E，连结AE、DE，

DCDC,ACAC,AECC,DECC， AED为二面角ACCD的平面角．

11

CDC120,CDCDa,DEa,

24

3

aAD3

在直角三角形AED中，ADa,tanAED23．

DE2

a4

说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．

典型例题七

例7 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点．求二面角ABD1P的大小． 分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1．再过P作AD1的垂线PF，则PF面ABD1，过F作D1B的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．

解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EF． ∵AB面AD1，PF面AD1， ∴ABPF，

又PFAD1，∴PF面ABD1． 又∵PEBD1，∴EFBD1， ∴PEF为所求二面角的平面角． ∵RtAD1D∽PFA，∴

PFAP

． 

DD1AD1

而AP

12，DD11，AD． 12，∴PF24

在PBD1PB1中，PD

． 2

∵PEBD1，∴BE

13

． BD

22PB2BE2

2

， 2

在RtPEB中，PE

在RtPEF中，sinPEF∴PEF30．

PF1

， PE2

典型例题八

例8 在ABC所在平面外有一点S，已知SCAB，SC与底面ABC所成角为，二面角

SABC的大小为，且90．求二面角CSBA的大小．

分析：由题设易证SCSD，由已知得SC平面SAB，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角CSBA的平面角，那么可能会走弯路．

解：如图所示，作SO平面ABC于O，连结CO并延长交AB于D，连结SD． ∵SO平面ABC，

∴SCO是SC与平面ABC所成角，SCO． ∵SO平面ABC，SCAB， ∴ABCD，ABSD．

∴SDO是二面角SABC的平面角，SDO． ∵90，∴SCSD．

又∵SCAB，∴SC平面SAB， ∴平面SBC平面SAB，

∴二面角CSBA的大小为90． 说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB不满足第(3)条，不是二面角CSBA的平面角．

在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为90，反之亦然．

典型例题九

例9 如果，，a，那么a．

分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证a，只要证明直线a与平面内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明a的目的；(2)要证a，只要证明a平行于平面的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．

证法一：如图所示，设b，c， 过平面内一点P作PAb于A，作PBc于B．

∵，∴PA．

又a，∴PAa，同理可证PBa． ∵PAPBP且PA、PB，∴a． 证法二：如图所示，

设b，在平面内作直线l1b． ∵，∴l1．

设c，在平面内作直线l2c．同理可证l2a，因此l1//l2． 由于l1

，l2，∴l2//．

而l2，a，∴l2//a．

故由l2//a知，a． 证法三：如图所示

过直线a上一点P作直线a． ∵a，Pa，

∴P，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，

那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内）， ∴a'．同理可证a'，故a'

'

'

．

椐公理2可知，直线a与直线a重合．

∴a

说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．

(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．

典型例题十

例10 设由一点S发出三条射线SA、SB、SC，ASB，BSC，ASC，、、

均为锐角，且coscoscos．求证：平面ASB平面BSC．

分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．

证明：如图，任取点A，作ABSB于B，过B作BCSC于C，连结AC． ∵SBAScos，SCSBcos，

故SCAScoscos． 又由coscoscos，

则SCAScos，从而可得ACS90，

即ACSC，已作BCSC，故SC平面ACB， 即有ABSC，已作ABSB，从而AB平面BSC， 故平面ASB平面BSC． 说明：本题易犯错误是：作ABSB于B，作BCSC于C，连结AC，由三垂线定理得SCAC，∴SC平面ACB，∴ABSC，∴AB平面SBC．其错误原因是作ABSB后，将AB误认为是平面SBC的垂线．

此题的证明也可以作ABSB于B，ACSC于C，连结BC．在SBC中，由余弦定理及条件

coscoscos，证明SB2BC2SC2，从而SCBC，∴SC面ABC，∴ABSC．由此

进一步证明，平面ASB平面BSC．

典型例题十一

例11 如果二面角l的平面角是锐角，点P到、和棱l的距离分别为22、4、42，求二面角的大小．

分析：如果二面角l内部，也可能在外部，应区别处理．

解：如图甲是点P在二面角l的内部时， 乙是点P在二面角l的外部时． ∵PA，∴PAl． ∵ACl，∴面PACl． 同理，面PBCl，

而面PAC面PBCPC ∴面PAC与面PBC应重合，

即A、C、B、P在同一平面内， ACB是二面角的平面角． 在RtAPC中，sinACP

PA221，

PB422

∴ACP30．

在RtBPC中，sinBCP

PB42，

PC422

∴BCP45，

故ACB304575（图甲）或ACB453015（图乙）．

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．

典型例题十二

例12 P为120的二面角a内一点，P到和的距离均为10，求点P到棱a的距离． 分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．

解：如图，

过点P作PA于A，PB于B，

设相交直线PA、PB确定的平面为，aO，则OA，OB 连结PO，则APBP10 ∵PA，PB， ∴a，而PO平面，

∴aPO，

∴PO的长即为点P到直线a的距离． 又∵a，OA，OB

∴AOB是二面角a的平面角，即AOB120．

而四边形AOBP为一圆内接四边形，且PO为该四边形的外接圆直径．

∵四边形AOBP的外接圆半径等于由A、B、O、P中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO的长可利用APB．

在APB中，APBP10，APB60，∴AB10．

由正弦定理：PO2RAB3． sin603

说明：(1)该题寻找120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．

(2)充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形，∵PAOA，PBOB，∵PO即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．

典型例题十三

例13 如图，正方体的棱长为1，B1CBC1O，求：

(1)AO与A1C1所成的角；

(2)AO与平面AC所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成的角．

解：(1)∵A1C1//AC，

∴AO与A1C1所成的角就是OAC．

∵OCOB，AB平面BC1，

∴OCOA（三垂线定理）．

在RtAOC中，OC

∴OAC30．

(2)作OEBC，平面BC1平面AC．

∴OE平面AC，OAE为OA与平面AC所成的角．

在RtOAE中，OE2，AC2， 211，AE2()2． 222

∴tanOAEOE5． AE5

(3)∵OCOA，OCOB，∴OC平面AOB．

又∵OC平面AOC，∴平面AOB平面AOC．

说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角0,三种． 0,0,22

典型例题十四

例14 如图，矩形ABCD，PD平面ABCD，若PB2，PB与平面PCD所成的角为45，PB与平面ABD成30角，求：

(1)CD的长；

(2)求PB与CD所在的角；

(3)求二面角CPBD的余弦值．

分析：从图中可以看出，四面体PBCD是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC与平面BCD所成的二面角的余弦值为PDBC13，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何PCBD32体中．

解：(1)∵PD平面ABCD，∴PDBC．

又BC平面PDC，

∴BPC为PB与平面PCD所在的角，

即BPC45．

同理：PBD即为PB与平面ABD所成的角，

∴PBD30，

在RtPBC中，∵PB2，∴BCPC2．

在RtPBD中，PBD30，∴PD1，BD3．

在RtBCD中，BC2，BD，∴CD1．

(2)∵AB//CD，∴PB与CD所成的角，

即为PB与AB所成的角，PBA即为PB与AB所成的角

∵PD平面ABCD，ADAB，∴PAAB（三垂线定理）．

在RtPAB中，ABCD1，PB2，∴PBA60．

(3)由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF．

∵PD平面ABCD，∴PDCE．

又CEBD，∴CE平面PBD，

CF为平面PBD的斜线，由于EFPB，

∴由三垂线定理：PBCF．

∴CEF为二面角CPBD的平面角

在RtBCD中，BC2，DC1，BD3， ∴CEBCCD6． BD3

在RtPCB中，BC2，PC2，PB2， ∴CFBCCP1， PB

∴sinCFECB6． CF3

， 3

． 3∴cosCFE∴二面角CPBD的余弦值为

说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；

另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．

典型例题十五

例15 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，BSC90，ASCASB60，若截取SASBSCa

(1)求证：平面ABC平面BSC；

(2)求S到平面ABC的距离．

分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．

(1)证明：∵SASBSCa，

又ASCASB60，

∴ASB和ASC都是等边三角形，

∴ABACa，

取BC的中点H，连结AH，∴AHBC．

在RtBSC中，BSCSa，

∴SHBC，BC

2222a， 2a222a22∴AHACCHa(，∴SH． a)222

a2a2

222在SHA中，∴AH，SH，SAa， 222

222∴SASHHA，∴AHSH，

∴AH平面SBC．

∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

或：∵SAACAB，

∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，

又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，

又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，

∴AH平面BSC．

∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

(2)解：由前所证：SHAH，SHBC，∴SH平面ABC，

∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，SHBC2a， 22

∴点S到平面ABC的距离为2a． 2

典型例题十六

例16 判断下列命题的真假

(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．

(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．

分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体A1C中，平面AC平面AD1，平面AC平面AD1AD，在AD上取点A，连结AB则AB1AD，即过棱上一点A的直线AB1，1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；

(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体A1C中，平面AD1平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且ABAD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；

(3)如上图，正方体A1C中，平面ADD1A1平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直．

说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．

典型例题十七

例17 如图，在60二面角a内有一点P，P到、的距离分别为3和5，求P到交线a的距离．

解：作PA于A，PB于B，

设PA，PB所确定的平面为，aQ，

连AQ，BQ，∵PA，

∴PAa．

同理PBa，∴a平面，

∴aPQ，则PQ是P到a的距离．

在四边形PAQB中，AB90，

∴PAQB是圆的内接四边形，且PQ2R．

又∵BQA60，BPA120， ∴AB5235cos1207，

PQ2RAB7214． sin6033

说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P、B、A、Q四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．

典型例题十八

例18 如图，四面体SABC中，ABC是等腰三角形，ABBC2a，ABC120，且SA平面ABC，SA3a．求点A到平面SBC的距离．

分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A到SBC的垂线，先确定一个过点A和平面SBC垂直的平面，∵SA平面ABC，故作ADBC于D，连结SD，则平面SAD平面SBC，平面SAD实际上就是二面角SBCA的平面角SDA所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角SBCA的平面角的作图过程完全相同．

解：作ADBC交BC于D，连结SD，

∵SA平面ABC，根据三垂线定理有SDBC，又SDADD，

∴BC平面SAD，又BC平面SBC，

∴平面SBC平面ADS，且平面SBC平面ADSSD，

∴过点A作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知：AH平面SBC．

在RtSAD中，SA3a，ADABsin60a， ∴AHSAAD

SA2AD23aa(a)2(3a)2

3a． 23a， 2即点A到平面SBC的距离为

说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．

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典型例题一

例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．

（１）如图1，已知l,Al．在内作PAl于A，在内作QAl于A．

（２）如图２，已知l,A,Al．作AP于P，在内作AQl于Q，连结PQ．

（３）已知l,A,A．作AP于P，AQ于Q，l平面PAQH，连结

PH、QH．

作图与证明在此省略．

说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．

典型例题二

例2. 如图，在立体图形DABC中，若ABCB,ADCD,E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）.

CA

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（A）平面ABC⊥平面ABD （B）平面ABD⊥平面BDC

（C）平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE （D）平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.

解：因为ABCB,且E是AC的中点，所以BEAC,同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.所以选C.

说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三

例３．如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．求证BCAC．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC内作ADPC，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，AD平面

PAC，且ADPC，所以AD平面PBC．又因为BC平面PBC，于是有ADBC①．另外PA

平面ABC，BC平面ABC，所以PABC．由①②及ADPAA，可知BC平面PAC．因为

AC平面PAC，所以BCAC．

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

典型例题四

例４．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．

证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上的点，所以有BCAC①． 因为PA平面ABC，BC平面ABC，则PABC②． 由①②及ACPAA，得BC平面PAC． 因为BC平面PBC，有平面PAC平面PBC．

说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线面垂直面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

典型例题五

例５．如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN的大小．





分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解． 解：在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面

所成的角，

BAH30．再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂

线定理的逆定理，HQMN，BQH为二面角MN的平面角．

设BQa，在RtBAQ中，BQA90,BAM45,AB

a,在Rt△BHQ中，

2a

BH22

, BHQ90,BQa,BHa,sinBQH

2BQa2BQH是锐角，BQH45,即二面角MN等于45．

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空

间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．

典型例题六

例６．如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角CADC．

（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；

（２）若二面角CADC是直二面角，求CC的长； （３）求AC与平面CCD所成的角；



（４）若二面角CADC的平面角为120，求二面角ACCD的平面角的正切值．

分析：根据问题及图形依次解决． 解：（１）ADBC,ADDC,ADDC,二面角CADC的面为ADC和面ADC，棱为AD，二面角的平面角为CDC．

（２）若CDC90，ACa,DCDC



12

a,CCa． 22

ADDC,ADDC,AD平面DCC，ACD为AC与平面CCD所成的角．在（３）

直角三角形ADC中，DCDC

1

AC,DAC30，于是ACD60． 2

（４）取CC的中点E，连结AE、DE，

DCDC,ACAC,AECC,DECC， AED为二面角ACCD的平面角．

11

CDC120,CDCDa,DEa,

24

3

aAD3

在直角三角形AED中，ADa,tanAED23．

DE2

a4

说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．

典型例题七

例7 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点．求二面角ABD1P的大小． 分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1．再过P作AD1的垂线PF，则PF面ABD1，过F作D1B的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．

解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EF． ∵AB面AD1，PF面AD1， ∴ABPF，

又PFAD1，∴PF面ABD1． 又∵PEBD1，∴EFBD1， ∴PEF为所求二面角的平面角． ∵RtAD1D∽PFA，∴

PFAP

． 

DD1AD1

而AP

12，DD11，AD． 12，∴PF24

在PBD1PB1中，PD

． 2

∵PEBD1，∴BE

13

． BD

22PB2BE2

2

， 2

在RtPEB中，PE

在RtPEF中，sinPEF∴PEF30．

PF1

， PE2

典型例题八

例8 在ABC所在平面外有一点S，已知SCAB，SC与底面ABC所成角为，二面角

SABC的大小为，且90．求二面角CSBA的大小．

分析：由题设易证SCSD，由已知得SC平面SAB，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角CSBA的平面角，那么可能会走弯路．

解：如图所示，作SO平面ABC于O，连结CO并延长交AB于D，连结SD． ∵SO平面ABC，

∴SCO是SC与平面ABC所成角，SCO． ∵SO平面ABC，SCAB， ∴ABCD，ABSD．

∴SDO是二面角SABC的平面角，SDO． ∵90，∴SCSD．

又∵SCAB，∴SC平面SAB， ∴平面SBC平面SAB，

∴二面角CSBA的大小为90． 说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB不满足第(3)条，不是二面角CSBA的平面角．

在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为90，反之亦然．

典型例题九

例9 如果，，a，那么a．

分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证a，只要证明直线a与平面内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明a的目的；(2)要证a，只要证明a平行于平面的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．

证法一：如图所示，设b，c， 过平面内一点P作PAb于A，作PBc于B．

∵，∴PA．

又a，∴PAa，同理可证PBa． ∵PAPBP且PA、PB，∴a． 证法二：如图所示，

设b，在平面内作直线l1b． ∵，∴l1．

设c，在平面内作直线l2c．同理可证l2a，因此l1//l2． 由于l1

，l2，∴l2//．

而l2，a，∴l2//a．

故由l2//a知，a． 证法三：如图所示

过直线a上一点P作直线a． ∵a，Pa，

∴P，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，

那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内）， ∴a'．同理可证a'，故a'

'

'

．

椐公理2可知，直线a与直线a重合．

∴a

说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．

(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．

典型例题十

例10 设由一点S发出三条射线SA、SB、SC，ASB，BSC，ASC，、、

均为锐角，且coscoscos．求证：平面ASB平面BSC．

分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．

证明：如图，任取点A，作ABSB于B，过B作BCSC于C，连结AC． ∵SBAScos，SCSBcos，

故SCAScoscos． 又由coscoscos，

则SCAScos，从而可得ACS90，

即ACSC，已作BCSC，故SC平面ACB， 即有ABSC，已作ABSB，从而AB平面BSC， 故平面ASB平面BSC． 说明：本题易犯错误是：作ABSB于B，作BCSC于C，连结AC，由三垂线定理得SCAC，∴SC平面ACB，∴ABSC，∴AB平面SBC．其错误原因是作ABSB后，将AB误认为是平面SBC的垂线．

此题的证明也可以作ABSB于B，ACSC于C，连结BC．在SBC中，由余弦定理及条件

coscoscos，证明SB2BC2SC2，从而SCBC，∴SC面ABC，∴ABSC．由此

进一步证明，平面ASB平面BSC．

典型例题十一

例11 如果二面角l的平面角是锐角，点P到、和棱l的距离分别为22、4、42，求二面角的大小．

分析：如果二面角l内部，也可能在外部，应区别处理．

解：如图甲是点P在二面角l的内部时， 乙是点P在二面角l的外部时． ∵PA，∴PAl． ∵ACl，∴面PACl． 同理，面PBCl，

而面PAC面PBCPC ∴面PAC与面PBC应重合，

即A、C、B、P在同一平面内， ACB是二面角的平面角． 在RtAPC中，sinACP

PA221，

PB422

∴ACP30．

在RtBPC中，sinBCP

PB42，

PC422

∴BCP45，

故ACB304575（图甲）或ACB453015（图乙）．

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．

典型例题十二

例12 P为120的二面角a内一点，P到和的距离均为10，求点P到棱a的距离． 分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．

解：如图，

过点P作PA于A，PB于B，

设相交直线PA、PB确定的平面为，aO，则OA，OB 连结PO，则APBP10 ∵PA，PB， ∴a，而PO平面，

∴aPO，

∴PO的长即为点P到直线a的距离． 又∵a，OA，OB

∴AOB是二面角a的平面角，即AOB120．

而四边形AOBP为一圆内接四边形，且PO为该四边形的外接圆直径．

∵四边形AOBP的外接圆半径等于由A、B、O、P中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO的长可利用APB．

在APB中，APBP10，APB60，∴AB10．

由正弦定理：PO2RAB3． sin603

说明：(1)该题寻找120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．

(2)充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形，∵PAOA，PBOB，∵PO即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．

典型例题十三

例13 如图，正方体的棱长为1，B1CBC1O，求：

(1)AO与A1C1所成的角；

(2)AO与平面AC所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成的角．

解：(1)∵A1C1//AC，

∴AO与A1C1所成的角就是OAC．

∵OCOB，AB平面BC1，

∴OCOA（三垂线定理）．

在RtAOC中，OC

∴OAC30．

(2)作OEBC，平面BC1平面AC．

∴OE平面AC，OAE为OA与平面AC所成的角．

在RtOAE中，OE2，AC2， 211，AE2()2． 222

∴tanOAEOE5． AE5

(3)∵OCOA，OCOB，∴OC平面AOB．

又∵OC平面AOC，∴平面AOB平面AOC．

说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角0,三种． 0,0,22

典型例题十四

例14 如图，矩形ABCD，PD平面ABCD，若PB2，PB与平面PCD所成的角为45，PB与平面ABD成30角，求：

(1)CD的长；

(2)求PB与CD所在的角；

(3)求二面角CPBD的余弦值．

分析：从图中可以看出，四面体PBCD是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC与平面BCD所成的二面角的余弦值为PDBC13，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何PCBD32体中．

解：(1)∵PD平面ABCD，∴PDBC．

又BC平面PDC，

∴BPC为PB与平面PCD所在的角，

即BPC45．

同理：PBD即为PB与平面ABD所成的角，

∴PBD30，

在RtPBC中，∵PB2，∴BCPC2．

在RtPBD中，PBD30，∴PD1，BD3．

在RtBCD中，BC2，BD，∴CD1．

(2)∵AB//CD，∴PB与CD所成的角，

即为PB与AB所成的角，PBA即为PB与AB所成的角

∵PD平面ABCD，ADAB，∴PAAB（三垂线定理）．

在RtPAB中，ABCD1，PB2，∴PBA60．

(3)由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF．

∵PD平面ABCD，∴PDCE．

又CEBD，∴CE平面PBD，

CF为平面PBD的斜线，由于EFPB，

∴由三垂线定理：PBCF．

∴CEF为二面角CPBD的平面角

在RtBCD中，BC2，DC1，BD3， ∴CEBCCD6． BD3

在RtPCB中，BC2，PC2，PB2， ∴CFBCCP1， PB

∴sinCFECB6． CF3

， 3

． 3∴cosCFE∴二面角CPBD的余弦值为

说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；

另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．

典型例题十五

例15 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，BSC90，ASCASB60，若截取SASBSCa

(1)求证：平面ABC平面BSC；

(2)求S到平面ABC的距离．

分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．

(1)证明：∵SASBSCa，

又ASCASB60，

∴ASB和ASC都是等边三角形，

∴ABACa，

取BC的中点H，连结AH，∴AHBC．

在RtBSC中，BSCSa，

∴SHBC，BC

2222a， 2a222a22∴AHACCHa(，∴SH． a)222

a2a2

222在SHA中，∴AH，SH，SAa， 222

222∴SASHHA，∴AHSH，

∴AH平面SBC．

∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

或：∵SAACAB，

∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，

又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，

又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，

∴AH平面BSC．

∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

(2)解：由前所证：SHAH，SHBC，∴SH平面ABC，

∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，SHBC2a， 22

∴点S到平面ABC的距离为2a． 2

典型例题十六

例16 判断下列命题的真假

(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．

(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．

分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体A1C中，平面AC平面AD1，平面AC平面AD1AD，在AD上取点A，连结AB则AB1AD，即过棱上一点A的直线AB1，1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；

(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体A1C中，平面AD1平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且ABAD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；

(3)如上图，正方体A1C中，平面ADD1A1平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直．

说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．

典型例题十七

例17 如图，在60二面角a内有一点P，P到、的距离分别为3和5，求P到交线a的距离．

解：作PA于A，PB于B，

设PA，PB所确定的平面为，aQ，

连AQ，BQ，∵PA，

∴PAa．

同理PBa，∴a平面，

∴aPQ，则PQ是P到a的距离．

在四边形PAQB中，AB90，

∴PAQB是圆的内接四边形，且PQ2R．

又∵BQA60，BPA120， ∴AB5235cos1207，

PQ2RAB7214． sin6033

说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P、B、A、Q四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．

典型例题十八

例18 如图，四面体SABC中，ABC是等腰三角形，ABBC2a，ABC120，且SA平面ABC，SA3a．求点A到平面SBC的距离．

分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A到SBC的垂线，先确定一个过点A和平面SBC垂直的平面，∵SA平面ABC，故作ADBC于D，连结SD，则平面SAD平面SBC，平面SAD实际上就是二面角SBCA的平面角SDA所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角SBCA的平面角的作图过程完全相同．

解：作ADBC交BC于D，连结SD，

∵SA平面ABC，根据三垂线定理有SDBC，又SDADD，

∴BC平面SAD，又BC平面SBC，

∴平面SBC平面ADS，且平面SBC平面ADSSD，

∴过点A作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知：AH平面SBC．

在RtSAD中，SA3a，ADABsin60a， ∴AHSAAD

SA2AD23aa(a)2(3a)2

3a． 23a， 2即点A到平面SBC的距离为

说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．