专题四 曲线运动
1. （15江苏卷）一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左，不计空气阻力，则小球
A ．做直线运动 B ．做曲线运动 C ．速率先减小后增大，D ．速率先增大后减小
【解析】小球受重力和电场力，合力方向左下，初速度与合力不在同一直线，所以小球做曲线运动。初阶段，合力与速度夹角为钝角，速率减小，后来，合力与速度夹角为锐角，速率增大，所以速率先减小后增大。
【答案】BC
【点评】本题考查曲线运动，难度：中等
2. （15江苏卷）一转动装置如图所示，四根轻杆OA 、OC 、AB 和CB 与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l ，球和环的质量均为m ，O 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O 与小环之间，原长为L ，装置静止时，弹簧长为3L ，转动该装2
置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g ，求：
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（1）弹簧的劲度系数k ；
（2）AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0
（3）弹簧长度从 ；31L 缓慢缩短为L 的过程中，外界对转动装置所做的功W 。 22
【解答】（1）装置静止时，设OA 、AB 杆中的弹力分别为F 1、T 1，OA 杆与转轴的夹角为θ1. 小环受到弹簧的弹力F 弹1=k ⋅L 2
小环受力平衡F 弹1=mg +2T 1cos θ1
小球受力平衡F 1cos θ1+T 1cos θ1=mg ；F 1sin θ1=T 1sin θ1 解得k =4mg L
(2) 设OA 、AB 杆中的弹力分别为F 2、T 2，OA 杆与转轴的夹角为θ2，弹簧长度为x 。 小环受到弹簧的弹力F 弹2=k (x -L )
小环受力平衡F 弹2=mg , 得x =5L 4
x 2l 2对小球F 2cos θ2=mg ；F 2sin θ2=m ω0l sin θ2；cos θ2=
解得：ω0=8g 5L
1L 时，设OA 、AB 杆中的弹力分别为F 3、T 3，OA 杆与转轴的夹角为θ3， 2（3）弹簧长度为
第2页
小环受到弹簧的弹力F 弹3=1kL 2
小环受力平衡F 弹3+mg =2T 3cos θ3，cos θ3=L 4l
2对小球F 3cos θ3=mg +T 3cos θ3；F 3sin θ3+T 3sin θ3=m ω3l sin θ3； 解得ω3=g L
整个过程弹簧弹性势能变化为0，则弹力做功为0，由动能定理
3131W -mg (L -L ) -2mg (L -L ) =2⨯2m (ω3l sin θ3) 2 2244
16mgl 2
解得W =mgL + L
【解析】
小球和小环位置示意图
【点评】本题考查圆周运动，弹簧等知识和力的分析，力的平衡，向心力等能力，综合性强，物理情景复杂。难度：难
3. （15福建卷）（19分）如图，质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，小车AB 段是半径为R 的四分之一圆弧光滑轨道，BC 段是长为L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B 点，一质量为m 的滑块在小车上从A 点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g 。
第3页
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；
（2）若不固定小车，滑块仍从A 点由静止下滑，然后滑入BC 轨道，最后从C 点滑出小车，已知滑块质量m =M , 在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑2
块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ，求：
① 滑块运动过程中，小车的最大速度v m ；
② 滑块从B 到C 运动过程中，小车的位移大小s 。
【答案】：（1）3mg （2）①v m =
【解析】
试题分析：（1）由图知，滑块运动到B 点时对小车的压力最大
从A 到B ，根据动能定理：mgR =
2v B 在B 点：F N -mg =m R 1gR ②s=L/3 312mv B -0 2
联立解得： F N =3mg ，根据牛顿第三定律得，滑块对小车的最大压力为3mg
（2）①若不固定小车， 滑块到达B 点时，小车的速度最大
根据动量守恒可得：m v '=Mv m
从A 到B ，根据能量守恒：mgR =112 m v '2+Mv m 22
联立解得：v m =1gR 3
②设滑块到C 处时小车的速度为v ，则滑块的速度为2v ，根据能量守恒：mgR =112m (2v )+Mv 2+μmgL 22
解得：v =11gR -μgL 33
第4页
小车的加速度：a =
2根据v m -v 2=2as μmg M =1μg 2解得：s=L/3
4. （15新课标1卷）
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专题四 曲线运动
1. （15江苏卷）一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左，不计空气阻力，则小球
A ．做直线运动 B ．做曲线运动 C ．速率先减小后增大，D ．速率先增大后减小
【解析】小球受重力和电场力，合力方向左下，初速度与合力不在同一直线，所以小球做曲线运动。初阶段，合力与速度夹角为钝角，速率减小，后来，合力与速度夹角为锐角，速率增大，所以速率先减小后增大。
【答案】BC
【点评】本题考查曲线运动，难度：中等
2. （15江苏卷）一转动装置如图所示，四根轻杆OA 、OC 、AB 和CB 与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l ，球和环的质量均为m ，O 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O 与小环之间，原长为L ，装置静止时，弹簧长为3L ，转动该装2
置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g ，求：
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（1）弹簧的劲度系数k ；
（2）AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0
（3）弹簧长度从 ；31L 缓慢缩短为L 的过程中，外界对转动装置所做的功W 。 22
【解答】（1）装置静止时，设OA 、AB 杆中的弹力分别为F 1、T 1，OA 杆与转轴的夹角为θ1. 小环受到弹簧的弹力F 弹1=k ⋅L 2
小环受力平衡F 弹1=mg +2T 1cos θ1
小球受力平衡F 1cos θ1+T 1cos θ1=mg ；F 1sin θ1=T 1sin θ1 解得k =4mg L
(2) 设OA 、AB 杆中的弹力分别为F 2、T 2，OA 杆与转轴的夹角为θ2，弹簧长度为x 。 小环受到弹簧的弹力F 弹2=k (x -L )
小环受力平衡F 弹2=mg , 得x =5L 4
x 2l 2对小球F 2cos θ2=mg ；F 2sin θ2=m ω0l sin θ2；cos θ2=
解得：ω0=8g 5L
1L 时，设OA 、AB 杆中的弹力分别为F 3、T 3，OA 杆与转轴的夹角为θ3， 2（3）弹簧长度为
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小环受到弹簧的弹力F 弹3=1kL 2
小环受力平衡F 弹3+mg =2T 3cos θ3，cos θ3=L 4l
2对小球F 3cos θ3=mg +T 3cos θ3；F 3sin θ3+T 3sin θ3=m ω3l sin θ3； 解得ω3=g L
整个过程弹簧弹性势能变化为0，则弹力做功为0，由动能定理
3131W -mg (L -L ) -2mg (L -L ) =2⨯2m (ω3l sin θ3) 2 2244
16mgl 2
解得W =mgL + L
【解析】
小球和小环位置示意图
【点评】本题考查圆周运动，弹簧等知识和力的分析，力的平衡，向心力等能力，综合性强，物理情景复杂。难度：难
3. （15福建卷）（19分）如图，质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，小车AB 段是半径为R 的四分之一圆弧光滑轨道，BC 段是长为L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B 点，一质量为m 的滑块在小车上从A 点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g 。
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（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；
（2）若不固定小车，滑块仍从A 点由静止下滑，然后滑入BC 轨道，最后从C 点滑出小车，已知滑块质量m =M , 在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑2
块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ，求：
① 滑块运动过程中，小车的最大速度v m ；
② 滑块从B 到C 运动过程中，小车的位移大小s 。
【答案】：（1）3mg （2）①v m =
【解析】
试题分析：（1）由图知，滑块运动到B 点时对小车的压力最大
从A 到B ，根据动能定理：mgR =
2v B 在B 点：F N -mg =m R 1gR ②s=L/3 312mv B -0 2
联立解得： F N =3mg ，根据牛顿第三定律得，滑块对小车的最大压力为3mg
（2）①若不固定小车， 滑块到达B 点时，小车的速度最大
根据动量守恒可得：m v '=Mv m
从A 到B ，根据能量守恒：mgR =112 m v '2+Mv m 22
联立解得：v m =1gR 3
②设滑块到C 处时小车的速度为v ，则滑块的速度为2v ，根据能量守恒：mgR =112m (2v )+Mv 2+μmgL 22
解得：v =11gR -μgL 33
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小车的加速度：a =
2根据v m -v 2=2as μmg M =1μg 2解得：s=L/3
4. （15新课标1卷）
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