基础知识
知识点一、一次函数的有关概念
1、一次函数：一般地，若y =kx +b k 、b 为实数；k ≠0，则称y 是x 的一次函数。其中k 为一次项系数，b 为常数项
()
2、正比例函数：当b =0时，y =kx (k ≠0)，则称y 是x 的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。
知识点二、一次函数的图像及其性质 1、作函数图像常用方法：五点作图法 2、一次函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标： -点。
3、一次函数y =kx +b 的图像与k 、b 的关系
⎛b ⎫
, 0⎪、(0, b )；正比例函数图像必经过原⎝k ⎭
知识点三：一次函数解析式的确定方法
1、待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列出方程或方程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法；其中的未知系数也称为待定系数。（在一次函数中，待定系数指：
2、用待定系数法求函数解析式步骤
①、设：设含有待定系数的解析式（看是正比例函数还是一次函数） ②、列：根据已知条件列出方程（组） ③、解：解方程（组）
④、还原：将求出来的待定系数带入所设的解析式，得所求的解析式。 知识点四：一次函数与方程（组）、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程
直线y =kx +b 与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx +b =0的解。
求直线y =kx +b 与x 轴交点的横坐标，可令y =0得方程kx +b =0，解得方程x =-
b
，k
-
b
是直线y =kx +b 与x 轴交点的横坐标。反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次k
方程的解。
2、一次函数与二元一次方程组
一次函数y =kx +b 图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx -y +b =0的解；以二元一次方程kx -y +b =0的解为坐标的点都在一次函数y =kx +b 的图像上。 3、一次函数与一元一次不等式
①、使得一次函数y =kx +b 的函数值y
②、用图像法求一元一次不等式kx +b 0, b >0)（例子）的解集步骤：
a 、设：设y =kx +b ，则求kx +b
c 、求：求出一次函数与x 轴的交点坐标
d 、解：根据直角坐标系特点，x 轴上方，y >0恒成立；反之，x 轴下方，y
故求kx +b
根据“点构成线”的性质，一次函数的平移即为一次函数上的点的平移。其平移后的函数的解析式可用“左加右减上加下减”直接算出，注意，其中“左加右减”是相对x 而言，“上加下减”是相对y 而言。具体证明如下：
知识点六：一次函数的实际应用 一次函数的实际应用题解题步骤：
1、分析：分析此题的类型：行程问题、销售问题„„
2、提取：提取题目中的已知条件，并标记：如行程问题，则跟速度、时间、路程有关，应标清楚是什么量。
3、设题：一般是求什么设什么，但部分题目应先考虑已知条件进行设题。 4、列：将2、3中的关系用数学式子表示清楚，列出式子。 5、解：解出式子中未知数的解即可 6、答：答题。 重点例题分析
例1：已知函数y =(5m -3)x
2-n
+(m +n ) 。
（1）当m 、n 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 、n 为何值时，此函数是正比例函数？
例2：(2014年四川资阳，第5题3分) 一次函数y =﹣2x +1的图象不经过下列哪个象限（ ） A ．第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
例3：（ 2014•广西贺州，第14题3分）已知P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是正比例函数y =x 的图象上的两点，则y 1 y 2（填“＞”或“＜”或“=”）．
例4：（2013山东模拟）函数y =ax +b ①和y =bx +a ②(ab ≠0)在同一坐标系中的图像可能是图9-1中的（ ）
例4：（2014•毕节地区，第14题3分）如图9-2，函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A
（m ，3），则不
等式2x ≥ax +4的解集为（ ） A. x ≥
32 B.x ≤3 C.x ≤3
2
D.x
≥3
例5：（ 2014•安徽省, 第20题10分）2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收
费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元． （1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
最小值=70×60+7200=11400（元）．
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．
例6：（ 2014•珠海，第16题7分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x （元）表示商品价格，y （元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y 关于x 的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
巩固提升
1、（2014年广东汕尾，第10题4分）已知直线y =kx +b ，若k +b =﹣5，kb =6，那么该直线不经过（ ） A ．第一象限 C ．第三象限
B ． 第二象限 D ．第四象限
2、（2014•温州，第7题4分）一次函数y =2x +4的图象与y 轴交点的坐标是（ ）
3、（2014•孝感，第11题3分）如图9-3，直线y =﹣x +m 与y =nx +4n （n ≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣x +m ＞nx +4n ＞0的整数解为（ ）
4、（2014年云南省，第11题3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y =kx （k ≠0）的解析式（关系式） ．
5、（2014•株洲，第15题，3分）直线y =k 1x +
b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围城的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于 ．
6、（2014•武汉，第14题3分）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y （米）与时间t （秒）之间的函数关系如图9-4，则这次越野跑的全程为 米．
7、（ 2014•福建泉州，第24题9分）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”
代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC 做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A ，B 出发，沿轨道到达C 处，在AC 上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t （分）后甲、乙两遥控车与B 处的距离分别为d 1，d 2，则d 1，d 2与t 的函数关系如图9-5，试根据图象解决下列问题：
（1）填空：乙的速度v 2=米/分； （2）写出d 1与t 的函数关系式；
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？
8、(2014年天津市，第23题10分)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg ，如果一次购买2kg 以上的种子，超过2kg 部分的种子的价格打8折． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 购买种子的数量/kg 1.5 付款金额/元
7.5
2
3.5 16
4
… …
（Ⅱ）设购买种子数量为xkg ，付款金额为y 元，求y 关于x 的函数解析式； （Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．
9、(2014年天津市，第25题10分) 在平面直角坐标系中，O 为原点，直线l ：x =1，点A （2，0），点E ，点F ，点M 都在直线l 上，且点E 和点F 关于点M 对称，直线EA 与直线OF 交于点P ．
（Ⅰ）若点M 的坐标为（1，﹣1），
①当点F 的坐标为（1，1）时，如图9-6，求点P 的坐标；
②当点F 为直线l 上的动点时，记点P （x ，y ），求y 关于x 的函数解析式．
（Ⅱ）若点M （1，m ），点F （1，t ），其中t ≠0，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，当OQ =PQ 时，试用含t 的式子表示m ．
- 11 -
中考预测
1、一次函数y =kx +b 的图象如图9-7，则（ ）
111⎧⎧⎧
k =3k =-k =k =⎧⎪⎪⎪
A.⎨ D.⎨3 B.⎨3 C.⎨3
⎩b =1⎪⎪⎪b =-1b =1⎩⎩⎩b =-1
2、若一次函数y =(1-2k ) x -k 的函数值y 随x 的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则k 的取值范围是（ ）
A. k ＜
111
B. k ＞0 C. 0≤k ＜ D. k ＜0或k ＞ 222
3、如图9-8，已知直线l ：y =x ，过点M （1，0）作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 5的坐标为 ．
- 12 -
4、（2014•新疆，第23题12分）如图9-10，直线y =﹣x +8与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，动点P 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ≤3）． （1）写出A ，B 两点的坐标；
（2）设△AQP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时，△AQP 的面积最大？
（3）当t 为何值时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，并直接写出此时点Q 的坐标．
答案： 巩固提升 （1）
A
（2） B
（3） D
- 13 -
（4）
y=2x
（5）
4
（6）
2200
- 14 -
- 15 -
- 16 -
解得 m =或m =．
则m =或m =中考预测
即为所求．
- 17 -
- 18 -
- 19 -
基础知识
知识点一、一次函数的有关概念
1、一次函数：一般地，若y =kx +b k 、b 为实数；k ≠0，则称y 是x 的一次函数。其中k 为一次项系数，b 为常数项
()
2、正比例函数：当b =0时，y =kx (k ≠0)，则称y 是x 的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。
知识点二、一次函数的图像及其性质 1、作函数图像常用方法：五点作图法 2、一次函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标： -点。
3、一次函数y =kx +b 的图像与k 、b 的关系
⎛b ⎫
, 0⎪、(0, b )；正比例函数图像必经过原⎝k ⎭
知识点三：一次函数解析式的确定方法
1、待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列出方程或方程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法；其中的未知系数也称为待定系数。（在一次函数中，待定系数指：
2、用待定系数法求函数解析式步骤
①、设：设含有待定系数的解析式（看是正比例函数还是一次函数） ②、列：根据已知条件列出方程（组） ③、解：解方程（组）
④、还原：将求出来的待定系数带入所设的解析式，得所求的解析式。 知识点四：一次函数与方程（组）、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程
直线y =kx +b 与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx +b =0的解。
求直线y =kx +b 与x 轴交点的横坐标，可令y =0得方程kx +b =0，解得方程x =-
b
，k
-
b
是直线y =kx +b 与x 轴交点的横坐标。反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次k
方程的解。
2、一次函数与二元一次方程组
一次函数y =kx +b 图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx -y +b =0的解；以二元一次方程kx -y +b =0的解为坐标的点都在一次函数y =kx +b 的图像上。 3、一次函数与一元一次不等式
①、使得一次函数y =kx +b 的函数值y
②、用图像法求一元一次不等式kx +b 0, b >0)（例子）的解集步骤：
a 、设：设y =kx +b ，则求kx +b
c 、求：求出一次函数与x 轴的交点坐标
d 、解：根据直角坐标系特点，x 轴上方，y >0恒成立；反之，x 轴下方，y
故求kx +b
根据“点构成线”的性质，一次函数的平移即为一次函数上的点的平移。其平移后的函数的解析式可用“左加右减上加下减”直接算出，注意，其中“左加右减”是相对x 而言，“上加下减”是相对y 而言。具体证明如下：
知识点六：一次函数的实际应用 一次函数的实际应用题解题步骤：
1、分析：分析此题的类型：行程问题、销售问题„„
2、提取：提取题目中的已知条件，并标记：如行程问题，则跟速度、时间、路程有关，应标清楚是什么量。
3、设题：一般是求什么设什么，但部分题目应先考虑已知条件进行设题。 4、列：将2、3中的关系用数学式子表示清楚，列出式子。 5、解：解出式子中未知数的解即可 6、答：答题。 重点例题分析
例1：已知函数y =(5m -3)x
2-n
+(m +n ) 。
（1）当m 、n 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 、n 为何值时，此函数是正比例函数？
例2：(2014年四川资阳，第5题3分) 一次函数y =﹣2x +1的图象不经过下列哪个象限（ ） A ．第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
例3：（ 2014•广西贺州，第14题3分）已知P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是正比例函数y =x 的图象上的两点，则y 1 y 2（填“＞”或“＜”或“=”）．
例4：（2013山东模拟）函数y =ax +b ①和y =bx +a ②(ab ≠0)在同一坐标系中的图像可能是图9-1中的（ ）
例4：（2014•毕节地区，第14题3分）如图9-2，函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A
（m ，3），则不
等式2x ≥ax +4的解集为（ ） A. x ≥
32 B.x ≤3 C.x ≤3
2
D.x
≥3
例5：（ 2014•安徽省, 第20题10分）2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收
费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元． （1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
最小值=70×60+7200=11400（元）．
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．
例6：（ 2014•珠海，第16题7分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x （元）表示商品价格，y （元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y 关于x 的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
巩固提升
1、（2014年广东汕尾，第10题4分）已知直线y =kx +b ，若k +b =﹣5，kb =6，那么该直线不经过（ ） A ．第一象限 C ．第三象限
B ． 第二象限 D ．第四象限
2、（2014•温州，第7题4分）一次函数y =2x +4的图象与y 轴交点的坐标是（ ）
3、（2014•孝感，第11题3分）如图9-3，直线y =﹣x +m 与y =nx +4n （n ≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣x +m ＞nx +4n ＞0的整数解为（ ）
4、（2014年云南省，第11题3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y =kx （k ≠0）的解析式（关系式） ．
5、（2014•株洲，第15题，3分）直线y =k 1x +
b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围城的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于 ．
6、（2014•武汉，第14题3分）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y （米）与时间t （秒）之间的函数关系如图9-4，则这次越野跑的全程为 米．
7、（ 2014•福建泉州，第24题9分）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”
代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC 做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A ，B 出发，沿轨道到达C 处，在AC 上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t （分）后甲、乙两遥控车与B 处的距离分别为d 1，d 2，则d 1，d 2与t 的函数关系如图9-5，试根据图象解决下列问题：
（1）填空：乙的速度v 2=米/分； （2）写出d 1与t 的函数关系式；
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？
8、(2014年天津市，第23题10分)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg ，如果一次购买2kg 以上的种子，超过2kg 部分的种子的价格打8折． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 购买种子的数量/kg 1.5 付款金额/元
7.5
2
3.5 16
4
… …
（Ⅱ）设购买种子数量为xkg ，付款金额为y 元，求y 关于x 的函数解析式； （Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．
9、(2014年天津市，第25题10分) 在平面直角坐标系中，O 为原点，直线l ：x =1，点A （2，0），点E ，点F ，点M 都在直线l 上，且点E 和点F 关于点M 对称，直线EA 与直线OF 交于点P ．
（Ⅰ）若点M 的坐标为（1，﹣1），
①当点F 的坐标为（1，1）时，如图9-6，求点P 的坐标；
②当点F 为直线l 上的动点时，记点P （x ，y ），求y 关于x 的函数解析式．
（Ⅱ）若点M （1，m ），点F （1，t ），其中t ≠0，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，当OQ =PQ 时，试用含t 的式子表示m ．
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中考预测
1、一次函数y =kx +b 的图象如图9-7，则（ ）
111⎧⎧⎧
k =3k =-k =k =⎧⎪⎪⎪
A.⎨ D.⎨3 B.⎨3 C.⎨3
⎩b =1⎪⎪⎪b =-1b =1⎩⎩⎩b =-1
2、若一次函数y =(1-2k ) x -k 的函数值y 随x 的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则k 的取值范围是（ ）
A. k ＜
111
B. k ＞0 C. 0≤k ＜ D. k ＜0或k ＞ 222
3、如图9-8，已知直线l ：y =x ，过点M （1，0）作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 5的坐标为 ．
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4、（2014•新疆，第23题12分）如图9-10，直线y =﹣x +8与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，动点P 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ≤3）． （1）写出A ，B 两点的坐标；
（2）设△AQP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时，△AQP 的面积最大？
（3）当t 为何值时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，并直接写出此时点Q 的坐标．
答案： 巩固提升 （1）
A
（2） B
（3） D
- 13 -
（4）
y=2x
（5）
4
（6）
2200
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解得 m =或m =．
则m =或m =中考预测
即为所求．
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