===============================================================
文章编号:()1002-5634200201-0068-04
第23卷第1期2002年3月
华北水利水电学院学报
JournalofNorthChinaInstituteofWaterConservancandHdroelectricPoweryy
Vol.23No.1①
Mar.2001
确定隶属函数的统计分析法
王石青1,邱
林1,王志良2,韩晓军1
(河南郑州4;四川成都6)1华北水利水电学院信息系,500452四川大学水电学院,10064
摘要:梯形隶属函数形式简单,对数据信息要求低,因此被广泛使用,但是它的缺点是不能较好地反映客观
在含有数据信息的基础上,用统计方法给出一种隶属函数,弥补了梯形隶属函数的不足,并致梯形隶属实际.
算例表明,此隶属函数较好地反映了客观实际.函数为此隶属函数的特例.
关键词:梯形隶属函数;样本均值;样本方差;极差中图分类号:O159.2
文献标识码:A
模糊集理论应用的核心是如何合理的确定隶属函数.由于工程实际问题往往资料缺乏或收集困难,确定隶属函数很困难,因此广泛使用梯形或三角形
隶属函数.这种隶属函数具有形式简单,对数据信息要求低的优点.但同时也存在问题,即没有利用实际问题中的信息.而任何1个工程实际问题,或多或少都含有数据信息,应该加以充分利用.不问工程问题的客观实际,一味使用梯形隶属函数,会造成客观信息的流失,其结果必然导致与客观实际相差甚远.
10≤x≤60
()3
(x)60
170
1梯形隶属函数的合理性分析
为讨论问题方便起见,采用文献[]的实例,用1
优、良、差3个等级来评价学生成绩,取论域UE[,],优、良、差分别表示为U上的3个模糊集:0100
它们的隶属函数规定如下A,B,C,
0≤x≤80
()1
(x)80
190
0≤x≤600
60
10
(x)70
80
10090
①
()2
6
收稿日期:;修订日期:2001-09-082001-11-03
基金项目:河南省杰出青年科学基金资助项目()9923
作者简介:王石青(,男,河北武安人,华北水利水电学院信息系副教授,主要从事风险分析与决策研究.1955-)
第23卷第1期
王石青等:确定隶属函数的统计分析法
69
,,86-60E2686-80E690-86E4就是说乙的成绩到模糊集B的距离最短,丙的成绩到A的距离最短,这一点很直观,隶属函数(1)~()式将简单问题复杂化了.3
在()()式中,结点6,,,2.1~30708090是前定的,它没有反映客观实际.显然,如果学生成绩都在那么9反之,成绩都在790分以上,0分就是差的;0
分以下,那么7因此符合客观实际的0分就是优的.标准模式应采用后定结点.
等个数划分两区间,设有
x()≤x()≤x()≤x()1234
则结点aEx]()()+x3
22
设有x()≤x()≤x()≤x()≤x()12345则结点aEx]()()+x23
2
]()()+xaEx342
-或
3.在结点确定后,(60,65)中数据较少而(65,0)中数据较多时,交点65应右移,否则应左移,如图2所示,(80,85)和(85,90)也如此.这就是说,类应随着数据分布作调整,才符合实际
.
n
n∑xi(5)iE
1n
样本方差σ2E∑(x-
2ni-x)(6)iE1
极差
REx(n)-x(1)(7)得到两个区间
[x(1
),x(n)](8
)[x--3σ,x-
+3σ](9
)显然论域U包含区间(8
),但当论域U为有限区间时未必包含区间(9),此时可采用区间[aa[x--3σ,x-
1,2]
E+3σ]⋂U(10)确定结点的方法很多,仅给出下列几种方法.
1.用距离划分区间(8)或(10).
例如用等距划分成5个区间的距离间隔为5或5
.
2.用观察值个数划分区间(8)或(10).
例如采用3.用样本均值划分区间(8)或(10).由x得到区间[x--
-]
,其余区间再由方法划分xE
1或2.
4.主客观综合划分区间(8)或(10).由于区间(8)或(10)较好地反映了总体数据的分布范围,故方法1~4总比(1)~(3)式的前定结点好.上述方法各有利弊,可根据实际情况综合使用.
设隶属函数为降型
1
x≤aμ
A(x)E(1x)a
)0b
中间型
x≤a(μxE2x
)a
)3
d
升型
x≤cμ
C(x)E(4x)c
)1d
这里结点a,b,c,d已确定,F(2x),F(4x)为增函数,F(1x),F(3
x)为减函数.先求F2(x).考虑(4)式中数据在开区间a,2)(2
,b)中的分布情况设有y(1),y(2
)…,y(s
)∈(a2)(14)z(1),z(2
)…,z(t
)∈(2
,
b)(15
)得到如下比值
s+t,s+t≤n,s,t≥0(16
)经过(a,0),(2s+t
)
,(b,1)3点的抛物
线是唯一的,它满足如下等式
a2
x1+ax2+x3E0
7(
70
华北水利水电学院学报
2002年3月
2x1+2+x3E22s+t()17╰2
bxx1+b2+x3E1解三元一次方程组()式17
2得F()p,()a
2其中()((19hEb-a)s+t)
()
pE2
(t-s)(20
)qEa(s-3t)+b(3s-t)(21)rEa2(s+t)+a
b(t-3s)(22)s—
——(a2
)
中数据个数(23)t———(2
,b)中数据个数(24
)当sEt时
F(2x)Eb-a
(25
)这是(2
)式对应的线性函数.当s>t时,F(2x)在(a,b]上是凸的.当s
F(1x)E1-F(2x
)E-h
px2
+qx+r-h)a
(26
)同理F(4x)Eh1
p1x2+q1x+r1
)c
(27
)F(3x)E-h1
p1x2+q1x+r1-h1)c
(19)~(22)式计算,只需将a,b,,t换成c,d,s1,t1.其中
s(1———(c29)2
)
中数据个数t1
———(,d)中数据个数(30
)2
如图3所示,随着(a,b)(,c,d)
中数据分布的实际情况,F(1x)~F(4x)的交点左移或右移.仅当F(1x)~F(4x)为线性函数时,交点在正中,这时隶属函数为(1)~(3)式.若无数据信息,只能认为数据均匀分布,相当于sEt,s1Et1
.
名学生成绩表
[***********][***********][***********][***********][***********]43
表246个数据从小到大排列表
[***********][***********][***********][***********]
[***********]97
计算得
-E76,σE12.87,x(1)E43,x(46
)E97,RE54用方法3和1(方法3和2所得结果相近)划分
区间[43,97
],得到结点为aE56.7,bE70.3,cE81.7,dE89.4
(31)sE1,tE5,s1E2,t1E1
0hE1109.76,pE8(32
)qE-9
34.4,rE27261,3h1E711.48,p1E16,q1E-2645.2,r1E109314.6(33
)2800名学生成绩的隶属函数为
1
x≤a
μA(x)E-h
px2+qx+r-h)a
b
(34
)Fxhs
期王石青等:确定隶属函数的统计分析法
2xx+r)+qph
x≤aa
(x)EBμ
1
2)c
d
()35
0x≤c2)c
1
d
()36
()()式中各数据由()()式确定
.34~3631~33
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文章编号:()1002-5634200201-0068-04
第23卷第1期2002年3月
华北水利水电学院学报
JournalofNorthChinaInstituteofWaterConservancandHdroelectricPoweryy
Vol.23No.1①
Mar.2001
确定隶属函数的统计分析法
王石青1,邱
林1,王志良2,韩晓军1
(河南郑州4;四川成都6)1华北水利水电学院信息系,500452四川大学水电学院,10064
摘要:梯形隶属函数形式简单,对数据信息要求低,因此被广泛使用,但是它的缺点是不能较好地反映客观
在含有数据信息的基础上,用统计方法给出一种隶属函数,弥补了梯形隶属函数的不足,并致梯形隶属实际.
算例表明,此隶属函数较好地反映了客观实际.函数为此隶属函数的特例.
关键词:梯形隶属函数;样本均值;样本方差;极差中图分类号:O159.2
文献标识码:A
模糊集理论应用的核心是如何合理的确定隶属函数.由于工程实际问题往往资料缺乏或收集困难,确定隶属函数很困难,因此广泛使用梯形或三角形
隶属函数.这种隶属函数具有形式简单,对数据信息要求低的优点.但同时也存在问题,即没有利用实际问题中的信息.而任何1个工程实际问题,或多或少都含有数据信息,应该加以充分利用.不问工程问题的客观实际,一味使用梯形隶属函数,会造成客观信息的流失,其结果必然导致与客观实际相差甚远.
10≤x≤60
()3
(x)60
170
1梯形隶属函数的合理性分析
为讨论问题方便起见,采用文献[]的实例,用1
优、良、差3个等级来评价学生成绩,取论域UE[,],优、良、差分别表示为U上的3个模糊集:0100
它们的隶属函数规定如下A,B,C,
0≤x≤80
()1
(x)80
190
0≤x≤600
60
10
(x)70
80
10090
①
()2
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收稿日期:;修订日期:2001-09-082001-11-03
基金项目:河南省杰出青年科学基金资助项目()9923
作者简介:王石青(,男,河北武安人,华北水利水电学院信息系副教授,主要从事风险分析与决策研究.1955-)
第23卷第1期
王石青等:确定隶属函数的统计分析法
69
,,86-60E2686-80E690-86E4就是说乙的成绩到模糊集B的距离最短,丙的成绩到A的距离最短,这一点很直观,隶属函数(1)~()式将简单问题复杂化了.3
在()()式中,结点6,,,2.1~30708090是前定的,它没有反映客观实际.显然,如果学生成绩都在那么9反之,成绩都在790分以上,0分就是差的;0
分以下,那么7因此符合客观实际的0分就是优的.标准模式应采用后定结点.
等个数划分两区间,设有
x()≤x()≤x()≤x()1234
则结点aEx]()()+x3
22
设有x()≤x()≤x()≤x()≤x()12345则结点aEx]()()+x23
2
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-或
3.在结点确定后,(60,65)中数据较少而(65,0)中数据较多时,交点65应右移,否则应左移,如图2所示,(80,85)和(85,90)也如此.这就是说,类应随着数据分布作调整,才符合实际
.
n
n∑xi(5)iE
1n
样本方差σ2E∑(x-
2ni-x)(6)iE1
极差
REx(n)-x(1)(7)得到两个区间
[x(1
),x(n)](8
)[x--3σ,x-
+3σ](9
)显然论域U包含区间(8
),但当论域U为有限区间时未必包含区间(9),此时可采用区间[aa[x--3σ,x-
1,2]
E+3σ]⋂U(10)确定结点的方法很多,仅给出下列几种方法.
1.用距离划分区间(8)或(10).
例如用等距划分成5个区间的距离间隔为5或5
.
2.用观察值个数划分区间(8)或(10).
例如采用3.用样本均值划分区间(8)或(10).由x得到区间[x--
-]
,其余区间再由方法划分xE
1或2.
4.主客观综合划分区间(8)或(10).由于区间(8)或(10)较好地反映了总体数据的分布范围,故方法1~4总比(1)~(3)式的前定结点好.上述方法各有利弊,可根据实际情况综合使用.
设隶属函数为降型
1
x≤aμ
A(x)E(1x)a
)0b
中间型
x≤a(μxE2x
)a
)3
d
升型
x≤cμ
C(x)E(4x)c
)1d
这里结点a,b,c,d已确定,F(2x),F(4x)为增函数,F(1x),F(3
x)为减函数.先求F2(x).考虑(4)式中数据在开区间a,2)(2
,b)中的分布情况设有y(1),y(2
)…,y(s
)∈(a2)(14)z(1),z(2
)…,z(t
)∈(2
,
b)(15
)得到如下比值
s+t,s+t≤n,s,t≥0(16
)经过(a,0),(2s+t
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,(b,1)3点的抛物
线是唯一的,它满足如下等式
a2
x1+ax2+x3E0
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70
华北水利水电学院学报
2002年3月
2x1+2+x3E22s+t()17╰2
bxx1+b2+x3E1解三元一次方程组()式17
2得F()p,()a
2其中()((19hEb-a)s+t)
()
pE2
(t-s)(20
)qEa(s-3t)+b(3s-t)(21)rEa2(s+t)+a
b(t-3s)(22)s—
——(a2
)
中数据个数(23)t———(2
,b)中数据个数(24
)当sEt时
F(2x)Eb-a
(25
)这是(2
)式对应的线性函数.当s>t时,F(2x)在(a,b]上是凸的.当s
F(1x)E1-F(2x
)E-h
px2
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(26
)同理F(4x)Eh1
p1x2+q1x+r1
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(27
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(19)~(22)式计算,只需将a,b,,t换成c,d,s1,t1.其中
s(1———(c29)2
)
中数据个数t1
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如图3所示,随着(a,b)(,c,d)
中数据分布的实际情况,F(1x)~F(4x)的交点左移或右移.仅当F(1x)~F(4x)为线性函数时,交点在正中,这时隶属函数为(1)~(3)式.若无数据信息,只能认为数据均匀分布,相当于sEt,s1Et1
.
名学生成绩表
[***********][***********][***********][***********][***********]43
表246个数据从小到大排列表
[***********][***********][***********][***********]
[***********]97
计算得
-E76,σE12.87,x(1)E43,x(46
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区间[43,97
],得到结点为aE56.7,bE70.3,cE81.7,dE89.4
(31)sE1,tE5,s1E2,t1E1
0hE1109.76,pE8(32
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34.4,rE27261,3h1E711.48,p1E16,q1E-2645.2,r1E109314.6(33
)2800名学生成绩的隶属函数为
1
x≤a
μA(x)E-h
px2+qx+r-h)a
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(34
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期王石青等:确定隶属函数的统计分析法
2xx+r)+qph
x≤aa
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