三角形“四心”向量形式的充要条件应用(修正稿)
衡阳县三中 刘仲生
湖南祁东育贤中学 周友良 421600
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一．知识点总结 1）O 是∆ABC 的重心⇔++=;
若O 是∆ABC 的重心，则
S ∆BOC =S ∆AOC =S ∆AOB =
1
S ∆ABC 3
故++=;
PG =(PA +PB +PC ) ⇔G 为∆ABC 的重心.
2）O 是∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ; 若O 是∆ABC (非直角三角形) 的垂心，
tan B ：tan C 则S ∆BOC ：S ∆A OC ：S ∆A OB =tan A ：
故tan A OA +tan B OB +tan C OC =0
3）O 是∆ABC 的外心⇔||=||=||(或O A =O B =O C ) 若O 是∆ABC 的外心
2
2
2
：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin 2A :sin 2B :sin 2C 则S ∆BOC ：S ∆A OC ：S ∆A OB =sin ∠BOC
故sin 2A OA +sin 2B OB +sin 2C OC =0
4）O 是内心∆ABC 的充要条件是
⋅-
=⋅-
=⋅-
=0
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB , BC , CA 的单位向量为e 1, e 2, e 3，则刚
才
O
是
∆ABC
内心的充要条件可以写成
O ⋅(e 1+e 3) =O ⋅(e 1+e 2) =O ⋅(e 2+e 3) =0
O 是∆ABC 内心的充要条件也可以是a +b +c = 若O 是∆ABC 的内心，则S ∆BOC ：S ∆A OC ：S ∆A OB =a ：b ：c
故 a OA +b OB +c OC =0或sin A OA +sin B OB +sin C OC =0;
|AB |PC +|BC |PA +|CA |PB =0⇔P ∆ABC 的内心;
+)(λ≠0) 所在直线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直向量λ(|AB ||AC |
线) ；
二．范例
(一) ．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足
=+λ+
，λ∈[0, +∞)则P 点
的轨迹一定通过的（ ）
（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
解析：因为
是向量AB 的单位向量设
AB 与AC 方向上的单位向量分别为e 1和e 2， 又OP -OA =AP ，则原式可化为
AP =λ(e 1+e 2) ，由菱形的基本性质知AP 平分∠BAC ，那么在∆ABC
∠BAC ，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”
中AP 平分
个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二) 将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ⇔点H 是△ABC 的垂心.
由HA ⋅HB =HB ⋅HC ⇔HB ⋅(HC -HA ) =0⇔HB ⋅AC =0⇔HB ⊥AC , 同理HC ⊥AB ，⊥. 故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析:由⋅=⋅得⋅-⋅=0. 即⋅(-) =0, 即⋅=0
则PB ⊥CA , 同理PA ⊥BC , PC ⊥AB
所以P 为∆ABC 的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识. 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三) 将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G 是△ABC 所在平面内一点，++=0⇔点G 是△ABC 的重心.
证明 作图如右，图中+=
连结BE 和CE ，则CE=GB，BE=GC⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.
将GB +GC =GE 代入GA +GB +GC =0，
得GA +EG =0⇒GA =-GE =-2GD ，故G 是△ABC 的重心. （反之亦然（证略））
1
例5． P 是△ABC 所在平面内任一点. G 是△ABC 的重心⇔PG =(PA +PB +PC ) .
3
证明 PG =PA +AG =PB +BG =PC +CG ⇒3PG =(AG +BG +CG ) +(PA +PB +PC ) ∵G 是△ABC 的重心
∴++=0⇒++=0，即3=++ 1
由此可得=(++) . （反之亦然（证略））
3
例6若O 为∆ABC 内一点，OA +OB +OC =0 ，则O 是∆ABC 的（ ）
C
A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D
解析：由OA +OB +OC =0得OB +OC =-OA ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则
1
OB +OC =OD ，由平行四边形性质知OE =OD ，OA =2OE
2
性质，所以是重心，选D 。
，同理可证其它两边上的这个
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为λ=
2
。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平1
行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四) ．将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O 为∆ABC 内一点，OA =OB =OC
，则O 是∆ABC 的（ ）
A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心
解析：由向量模的定义知O 到∆ABC 的三顶点距离相等。故O 是∆ABC 的外心 ，选B 。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五) 将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量OP 1，OP 2，OP 3满足条件1+OP 2+OP 3=0，|OP 1|=|OP 2|=|OP 3|=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形. （《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知OP 1+OP 2=-OP 3，两边平方得OP 1·OP 2=- 同理 OP 2·OP 3=OP 3·OP 1=-
1
， 2
1， 2
∴|P 1P 2|=|P 2P 3|=|P 3P 1|=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.
反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有OP 1+OP 2+OP 3=0且|OP 1|=|OP 2|=|OP 3|.
即O 是△ABC 所在平面内一点，
OP 1+OP 2+OP 3=0且|OP 1|=|OP 2|=|OP 3|⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.
例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、
B （x 1,0）、C(x2,y 2) ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：
x 1x +x 2y 2x ,0) 、E (1, 、F (22222x
（1, y 3) 、H (x 2, y 4) 由题设可设Q 2
x +x 2y 2G (1, )
33 x x y ∴AH =(x 2, y 4) ，QF =(2-1, 2222
BC =(x 2-x 1, y 2)
AH ⊥BC
∴AH ∙BC =x 2(x 2-x 1) +y 2y 4= D （
x 2(x 2-x 1)
y 2
QF ⊥AC x x y
∴QF ∙AC =x 2(2-1) +y 2(2-y 3) =0
222
x (x -x 1) y 2
∴y 3=22+
2y 22∴y 4=-
x 2x -x 13x 2(x 2-x 1) y 2
∴QH =(x 2-1, y 4-y 3) =2, --)
222y 22
x +x x y 2x -x 1y 2x 2(x 2-x 1) y 21
∴QG =(2-1, 2-y 3) =（2, --323632y 222x 2-x 13x 2(x 2-x 1) y 212x -x 13x 2(x 2-x 1) y 2
, --=(2, -- 66y 26322y 22 1
=3
即QH =3QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2 =(
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
例10．若O 、H 分别是△
ABC 的外心和垂心.
求证 OH =OA +OB +OC .
证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .
∴AD ⊥AB ，CD ⊥BC . 又垂心为H ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，
∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，
∴四边形AHCD 为平行四边形，
∴==+，故=+=++.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.
1
求证 OG =OH
3
1
证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔OG =(OA +OB +OC )
3
按垂心定理 =++ 1
由此可得 =.
3
电子邮箱周友良 [email protected],手机号码[1**********]； 衡阳县三中 刘仲生
湖南祁东育贤中学 周友良 421600 补充练习
1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
111
= (++2), 则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ）
322
A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点（非重心） C. 重心 D. AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则+=2，由 =
111
( ++2) 322
可得3=3+2，∴=
2
，即点P 为三角形中AB 边上的中线的3
一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.
2222
2．在同一个平面上有∆ABC 及一点Ｏ满足关系式： O A ＋BC ＝OB ＋CA ＝
22＋ OC AB ，则Ｏ为∆ABC 的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：PA +PB +PC =0，则P 为∆ABC
的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
=+λ(+) ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：
PA ∙PC +PA ∙PB +PB ∙PC =0，则P 点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：a ⋅PA +b ⋅PB +c ∙PC =0，
则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CA =CB -2AB ∙CP ，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→1AB AC AB AC →→→
7. 已知非零向量AB 与AC 满足(+) ·BC =0且 =, 则△ABC 为( )
2→→→→|AB||AC||AB||AC|A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
2
2
AB AC +)·解析：非零向量与满足(=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又|AB ||AC |
πAB AC 1
cos A =⋅=2，∠A =，所以△ABC 为等边三角形，选D ．
3|AB ||AC |
8. ∆ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m (++) ，则实数m = 1
9. 点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是∆ABC 的（B ）
（A ）三个内角的角平分线的交点
（C ）三条中线的交点
（B ）三条边的垂直平分线的交点 （D ）三条高的交点
B
图1
N C
10. 如图1，已知点G 是∆ABC 的重心，过G 作直
线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM =xAB ，
11
AN =yAC ，则+=3。
x y
证 点G 是∆ABC 的重心，知GA +GB +GC =O ， 得-AG +(AB -AG ) +(AC -AG ) =O ，有AG =又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN 上），
于是存在λ, μ，使得AG =λAM +μAN (且λ+μ=1) ，
1
(AB +AC ) 。 3
1
有AG =λxAB +μyAC =(AB +AC ) ，
3
⎧λ+μ=1
11⎪
+=3。 得⎨，于是得1
x y λx =μy =⎪3⎩
三角形“四心”向量形式的充要条件应用(修正稿)
衡阳县三中 刘仲生
湖南祁东育贤中学 周友良 421600
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一．知识点总结 1）O 是∆ABC 的重心⇔++=;
若O 是∆ABC 的重心，则
S ∆BOC =S ∆AOC =S ∆AOB =
1
S ∆ABC 3
故++=;
PG =(PA +PB +PC ) ⇔G 为∆ABC 的重心.
2）O 是∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ; 若O 是∆ABC (非直角三角形) 的垂心，
tan B ：tan C 则S ∆BOC ：S ∆A OC ：S ∆A OB =tan A ：
故tan A OA +tan B OB +tan C OC =0
3）O 是∆ABC 的外心⇔||=||=||(或O A =O B =O C ) 若O 是∆ABC 的外心
2
2
2
：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin 2A :sin 2B :sin 2C 则S ∆BOC ：S ∆A OC ：S ∆A OB =sin ∠BOC
故sin 2A OA +sin 2B OB +sin 2C OC =0
4）O 是内心∆ABC 的充要条件是
⋅-
=⋅-
=⋅-
=0
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB , BC , CA 的单位向量为e 1, e 2, e 3，则刚
才
O
是
∆ABC
内心的充要条件可以写成
O ⋅(e 1+e 3) =O ⋅(e 1+e 2) =O ⋅(e 2+e 3) =0
O 是∆ABC 内心的充要条件也可以是a +b +c = 若O 是∆ABC 的内心，则S ∆BOC ：S ∆A OC ：S ∆A OB =a ：b ：c
故 a OA +b OB +c OC =0或sin A OA +sin B OB +sin C OC =0;
|AB |PC +|BC |PA +|CA |PB =0⇔P ∆ABC 的内心;
+)(λ≠0) 所在直线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直向量λ(|AB ||AC |
线) ；
二．范例
(一) ．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足
=+λ+
，λ∈[0, +∞)则P 点
的轨迹一定通过的（ ）
（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
解析：因为
是向量AB 的单位向量设
AB 与AC 方向上的单位向量分别为e 1和e 2， 又OP -OA =AP ，则原式可化为
AP =λ(e 1+e 2) ，由菱形的基本性质知AP 平分∠BAC ，那么在∆ABC
∠BAC ，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”
中AP 平分
个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二) 将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ⇔点H 是△ABC 的垂心.
由HA ⋅HB =HB ⋅HC ⇔HB ⋅(HC -HA ) =0⇔HB ⋅AC =0⇔HB ⊥AC , 同理HC ⊥AB ，⊥. 故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析:由⋅=⋅得⋅-⋅=0. 即⋅(-) =0, 即⋅=0
则PB ⊥CA , 同理PA ⊥BC , PC ⊥AB
所以P 为∆ABC 的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识. 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三) 将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G 是△ABC 所在平面内一点，++=0⇔点G 是△ABC 的重心.
证明 作图如右，图中+=
连结BE 和CE ，则CE=GB，BE=GC⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.
将GB +GC =GE 代入GA +GB +GC =0，
得GA +EG =0⇒GA =-GE =-2GD ，故G 是△ABC 的重心. （反之亦然（证略））
1
例5． P 是△ABC 所在平面内任一点. G 是△ABC 的重心⇔PG =(PA +PB +PC ) .
3
证明 PG =PA +AG =PB +BG =PC +CG ⇒3PG =(AG +BG +CG ) +(PA +PB +PC ) ∵G 是△ABC 的重心
∴++=0⇒++=0，即3=++ 1
由此可得=(++) . （反之亦然（证略））
3
例6若O 为∆ABC 内一点，OA +OB +OC =0 ，则O 是∆ABC 的（ ）
C
A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D
解析：由OA +OB +OC =0得OB +OC =-OA ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则
1
OB +OC =OD ，由平行四边形性质知OE =OD ，OA =2OE
2
性质，所以是重心，选D 。
，同理可证其它两边上的这个
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为λ=
2
。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平1
行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四) ．将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O 为∆ABC 内一点，OA =OB =OC
，则O 是∆ABC 的（ ）
A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心
解析：由向量模的定义知O 到∆ABC 的三顶点距离相等。故O 是∆ABC 的外心 ，选B 。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五) 将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量OP 1，OP 2，OP 3满足条件1+OP 2+OP 3=0，|OP 1|=|OP 2|=|OP 3|=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形. （《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知OP 1+OP 2=-OP 3，两边平方得OP 1·OP 2=- 同理 OP 2·OP 3=OP 3·OP 1=-
1
， 2
1， 2
∴|P 1P 2|=|P 2P 3|=|P 3P 1|=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.
反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有OP 1+OP 2+OP 3=0且|OP 1|=|OP 2|=|OP 3|.
即O 是△ABC 所在平面内一点，
OP 1+OP 2+OP 3=0且|OP 1|=|OP 2|=|OP 3|⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.
例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、
B （x 1,0）、C(x2,y 2) ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：
x 1x +x 2y 2x ,0) 、E (1, 、F (22222x
（1, y 3) 、H (x 2, y 4) 由题设可设Q 2
x +x 2y 2G (1, )
33 x x y ∴AH =(x 2, y 4) ，QF =(2-1, 2222
BC =(x 2-x 1, y 2)
AH ⊥BC
∴AH ∙BC =x 2(x 2-x 1) +y 2y 4= D （
x 2(x 2-x 1)
y 2
QF ⊥AC x x y
∴QF ∙AC =x 2(2-1) +y 2(2-y 3) =0
222
x (x -x 1) y 2
∴y 3=22+
2y 22∴y 4=-
x 2x -x 13x 2(x 2-x 1) y 2
∴QH =(x 2-1, y 4-y 3) =2, --)
222y 22
x +x x y 2x -x 1y 2x 2(x 2-x 1) y 21
∴QG =(2-1, 2-y 3) =（2, --323632y 222x 2-x 13x 2(x 2-x 1) y 212x -x 13x 2(x 2-x 1) y 2
, --=(2, -- 66y 26322y 22 1
=3
即QH =3QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2 =(
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
例10．若O 、H 分别是△
ABC 的外心和垂心.
求证 OH =OA +OB +OC .
证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .
∴AD ⊥AB ，CD ⊥BC . 又垂心为H ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，
∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，
∴四边形AHCD 为平行四边形，
∴==+，故=+=++.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.
1
求证 OG =OH
3
1
证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔OG =(OA +OB +OC )
3
按垂心定理 =++ 1
由此可得 =.
3
电子邮箱周友良 [email protected],手机号码[1**********]； 衡阳县三中 刘仲生
湖南祁东育贤中学 周友良 421600 补充练习
1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
111
= (++2), 则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ）
322
A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点（非重心） C. 重心 D. AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则+=2，由 =
111
( ++2) 322
可得3=3+2，∴=
2
，即点P 为三角形中AB 边上的中线的3
一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.
2222
2．在同一个平面上有∆ABC 及一点Ｏ满足关系式： O A ＋BC ＝OB ＋CA ＝
22＋ OC AB ，则Ｏ为∆ABC 的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：PA +PB +PC =0，则P 为∆ABC
的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
=+λ(+) ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：
PA ∙PC +PA ∙PB +PB ∙PC =0，则P 点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：a ⋅PA +b ⋅PB +c ∙PC =0，
则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CA =CB -2AB ∙CP ，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→1AB AC AB AC →→→
7. 已知非零向量AB 与AC 满足(+) ·BC =0且 =, 则△ABC 为( )
2→→→→|AB||AC||AB||AC|A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
2
2
AB AC +)·解析：非零向量与满足(=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又|AB ||AC |
πAB AC 1
cos A =⋅=2，∠A =，所以△ABC 为等边三角形，选D ．
3|AB ||AC |
8. ∆ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m (++) ，则实数m = 1
9. 点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是∆ABC 的（B ）
（A ）三个内角的角平分线的交点
（C ）三条中线的交点
（B ）三条边的垂直平分线的交点 （D ）三条高的交点
B
图1
N C
10. 如图1，已知点G 是∆ABC 的重心，过G 作直
线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM =xAB ，
11
AN =yAC ，则+=3。
x y
证 点G 是∆ABC 的重心，知GA +GB +GC =O ， 得-AG +(AB -AG ) +(AC -AG ) =O ，有AG =又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN 上），
于是存在λ, μ，使得AG =λAM +μAN (且λ+μ=1) ，
1
(AB +AC ) 。 3
1
有AG =λxAB +μyAC =(AB +AC ) ，
3
⎧λ+μ=1
11⎪
+=3。 得⎨，于是得1
x y λx =μy =⎪3⎩