谓词逻辑
一、选择题（每题3分）
1、设个体域A ={a , b }，则谓词公式∃x (F (x ) ∧G (x )) 消去量词后，可表示为为（ C ）
A 、(F (a ) ∧F (b )) ∨(G (a ) ∧G (b )) B 、(F (a ) ∨F (b )) ∧(G (a ) ∨G (b ))
C 、(F (a ) ∧G (a )) ∨(F (b ) ∧G (b )) D 、(F (a ) ∨G (a )) ∧(F (b ) ∨G (b ))
2、设个体域A ={a , b }，则谓词公式∀x ∃yR (x , y )去掉量词后，可表示为（ D ）
A 、R (a , a )∧R (a , b )∧R (b , a )∧R (b , b ) B 、R (a , a )∨R (a , b )∨R (b , a )∨R (b , b )
C 、R (a , a )∧R (a , b )∨R (b , a )∧R (b , b ) D 、(R (a , a )∨R (a , b ))∧(R (b , a )∨R (b , b )) 提示：原式⇔∃yR (a , y )∧∃yR (b , y )⇔R (a , a )∨R (a , b )∧R (b , a )∨R (b , b )
3、设个体域D ={a , b }，使谓词公式∀xP (x ) 的真值为1的谓词P 满足（ D ）
A 、P (a ) =0, P (b ) =0 B 、P (a ) =0, P (b ) =1C 、P (a ) =1, P (b ) =0D 、P (a ) =1, P (b ) =1
4、设个体域D ={2}，P (x ) ：x >3，Q (x ) ：x =4，则谓词公式∃x (P (x ) →Q (x )) 为( A )
A 、永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、无法判定
5、谓词公式F (x , y ) →(G (x , y ) →F (x , y )) 的真值（ D ）
A 、与谓词变元有关，与论述域无关 B 、与谓词变元无关，与论述域有关
C 、与谓词变元和论述域都有关 D 、与谓词变元和论述域都无关 提示：p →(q →p ) ⇔⌝p ∨(⌝q ∨p ) ⇔T .
6、谓词公式∃y ∀xP (x , y ) →∀x ∃yP (x , y ) 的真值（ D ）
A 、与谓词变元有关，与论述域无关 B 、与谓词变元无关，与论述域有关
C 、与谓词变元和论述域都有关 D 、与谓词变元和论述域都无关
7、谓词公式∀x (P (x ) ∨∃yR (y )) →Q (x ) 中的变元x （ C ）
A 、仅是自由的 B 、仅是约束的
C 、既是自由的也是约束的 D 、既不是自由的也不是约束的
8、设D ：全总个体域，H (x ) ：x 是人， P (x ) ：x 要死的，
则命题“人总是要死的”的逻辑符号化为（ D ）
A 、∃x (H (x ) ∧P (x )) B 、∃x (H (x ) →P (x )) C 、∀x (H (x ) ∧P (x )) D 、∀x (H (x ) →P (x ))
9、设D ：全总个体域，H (x ) ：x 是人， P (x ) ：x 犯错误，
则命题“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ D ）
A 、∃x (H (x ) ∧P (x )) B 、∃x (H (x ) →P (x )) C 、∀x (H (x ) ∧P (x )) D 、∀x (H (x ) →P (x ))
10、设D ：全总个体域，F (x ) ：x 是花，M (x ) ：x 是人，H (x , y ) ：x 喜欢y ， 则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ D ）
A 、∀x (M (x ) ∧∃y (F (y ) →H (x , y )) B 、∀x (M (x ) ∧∀y (F (y ) →H (x , y ))
C 、 ∃x (M (x ) ∧∃y (F (y ) →H (x , y )) D 、∃x (M (x ) ∧∀y (F (y ) →H (x , y ))
11、设D ：全总个体域，L (x ) ：x 是演员，J (x ) ：x 是老师，A (x , y ) ：x 钦佩y ， 则命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为( B )
A 、∀x (L (x ) →A (x , y )) B 、∀x (L (x ) →∃y (J (y ) ∧A (x , y )))
C 、 ∀x ∃y (L (x ) ∧J (y ) ∧A (x , y )) D 、∀x ∃y (L (x ) ∧J (y ) →A (x , y ))
12、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (A (x ) ∨P ) ⇔∀xA (x ) ∨P B 、∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇔∀xA (x ) ∨∀xB (x )
C 、 ∀x (A (x ) ∧P ) ⇒∀xA (x ) ∧P D 、∀x (A (x ) ∧B (x )) ⇔∀xA (x ) ∧∀xB (x )
13、设B 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (A (x ) ∨P ) ⇔∀xA (x ) ∨P B 、∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇔∀xA (x ) ∨∀xB (x )
C 、∃x (A (x ) ∨P ) ⇔∃xA (x ) ∨P D 、∃x (A (x ) ∨B (x )) ⇔∃xA (x ) ∨∃xB (x ) ()()()()
14、下列表达式错误的有( A )
A 、∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇒∀xA (x ) ∨∀xB (x ) B 、∀xA (x ) ∨∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) ∨B (x ))
C 、 ∀x (A (x ) ∧B (x )) ⇒∀xA (x ) ∧∀xB (x ) D 、∀xA (x ) ∧∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) ∧B (x ))
15、下列表达式错误的有( B )
A 、∃x (A (x ) ∧B (x )) ⇒∃xA (x ) ∧∃xB (x ) B 、∃xA (x ) ∧∃xB (x ) ⇒∃x (A (x ) ∧B (x ))
C 、∃x (A (x ) ∨B (x )) ⇒∃xA (x ) ∨∃xB (x ) D 、∃xA (x ) ∨∃xB (x ) ⇒∃x (A (x ) ∨B (x ))
16、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (A (x ) →P ) ⇔∃xA (x ) →P B 、∀x (A (x ) →B (x )) ⇔∃xA (x ) →∀xB (x )
C 、∃x (A (x ) →P ) ⇔∀xA (x ) →P D 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∀xA (x ) →∃xA (x )
17、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (P →B (x )) ⇔P →∀xB (x ) B 、∀x (A (x ) →B (x )) ⇔∃xA (x ) →∀xB (x )
C 、∃x (P →B (x )) ⇔P →∃xB (x ) D 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∀xA (x ) →∃xA (x )
18、下列表达式错误的有( A )
∀x (A (x ) →B (x )) ⇒∃xA (x ) →∀xB (x ) B 、∃xA (x ) →∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) →B (x )) A 、
C 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇒∀xA (x ) →∃xA (x ) D 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇒∀xA (x ) →∃xA (x )
19、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则∀xP (x ) ⇒P (y ) 可称为( A )
A 、US B 、ES C 、UG D 、EG
20、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则P (y ) ⇒∃xP (x ) 可称为( D )
A 、US B 、ES C 、UG D 、EG
二、填充题（每题4分）
1、若个体域D 仅包含一个元素，则谓词公式∃yP (y ) →∀xP (x ) 的真值为1．
2、若个体域D ={1,2}，指定谓词P 满足右表 则谓词公式∀x ∃yP (y , x ) 的真值为1．
3、若个体域D ={1,2}，指定谓词P 满足右表 则谓词公式∃y ∀xP (x , y ) 的真值为0．
4、设D ：全总个体域，W (x ) ：x 是女同志，J (x ) ：x 是教练员，L (x ) ：x 是运动员，则命题“有些女同志既是教练员又是运动员”的逻辑符号化为∃x (W (x ) ∧J (x ) ∧L (x )) ．
5、设个体域D ：实数域， S (x , y ) ：x =y ，则命题“存在着实数x ，对所有的实数y ，都有x =y ”的逻辑符号化为∃x ∀yS (x , y ) ．
6、设D ：全总个体域，R (x ) ：x 是实数， S (x , y ) ：x =y ，则命题“对所有的实数x ，都存着实数y ，使得x =y ”的逻辑符号化为∀x (R (x ) →∃y (R (y ) ∧S (x , y )) ．
7、设个体域D ：人类， G (x , y ) ：x 与y 一样高，则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为∀x ∀y ⌝G (x , y ) ．
8、设D ：全总个体域，A (x ) ：x 是人， G (x , y ) ：x 与y 一样高，
则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为∀x ∀y (R (x ) ∧R (y ) →⌝G (x , y )) ．
9、设D ：全总个体域，R (x ) ：x 是质数，B (x ) ：x 是奇数，C (x , y ) ：x ≠y ，
则命题“除2以外的所有质数都是奇数”的逻辑符号化为∀x (A (x ) ∧C (x ,2) →B (x )) ．
10、设D ：全总个体域，P (x ) ：x 是大象，Q (x ) ：x 是老鼠， R (x , y ) ：x 比y 重， 则命题“大象比老鼠重”的的逻辑符号化为∀x ∀y (P (x ) ∧Q (y ) →R (x , y )) ．
11、若已证∃xA (x ) 为真，则可假设某一确定的个体y 使A (y ) 为真，此推理规则被称为ES ．
12、令Γ是公理与前提的合取，Γ中无x 的自由出现，若从Γ可推出A (x ) ，则从Γ也可推出∀xA (x ) ，此推理规则被称为UG ．
三、问答题（每题6分）
1、设个体域D ：实数域，F (x , y ) ：x =y ，G (x , y ) ：x
说明谓词公式∀x ∀y (G (x , y ) →⌝F (x , y )) 的含义，并指出其真值.
答：对于任意两个实数x , y ，如果x
2、设D ：全总个体域，S (x ) ：x 是大学生，L (x ) ：x 是明星，H (x , y ) ：x 崇尚y ， 说明谓词公式∃x ∃y (S (x ) ∧L (y ) ∧⌝H (x , y )) 的含义，并指出其真值.
答： 有些大学生不崇尚某些明星；其真值为1.
3、若个体域D ={2,4}，H (x , y ) ：x >y ，则谓词公式∀x ∃yH (x , y ) 为真吗？为什么？ 答：为假；∀x ∃yH (x , y ) ⇔∃yH (2,y ) ∧∃yH (4,y )
⇔(H (2,2)∨H (2,4))∧(H (4,2)∨H (4,4))⇔(0∨0) ∧(1∨1) ⇔0.
4、若个体域D ={-1,3,6}，S (x ) ：x >3，Q (x ) ：x =5, a ：3，P :5>3， 则谓词公式∃x (S (x ) →Q (a )) ∧P 为真吗？为什么？
答：为真；
∃x (S (x ) →Q (a )) ∧P ⇔((S (-1) →Q (a )) ∨(S (3)→Q (a )) ∨(S (6)→Q (a ))) ∧1
⇔((0→0) ∨(0→0) ∨(1→0)) ∧1⇔(1∨1∨0) ∧1⇔1.
5、谓词公式∀x ∃yP (x , y ) →∃y ∀xP (x , y ) 为真吗？为什么？
答：不为真；设个体域D ：实数域，P (x , y ) ：x +y =0，
则∀x ∃yP (x , y ) →∃y ∀xP (x , y ) ⇔1→0⇔0.
6、谓词公式∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∀xA (x ) →∃xB (x ) 为真吗？为什么？
答：为真；
∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∃x (⌝A (x ) ∨B (x )) ⇔∃x ⌝A (x ) ∨∃xB (x ) .
⇔⌝∀xA (x ) ∨∃xB (x ) ⇔∀xA (x ) →∃xB (x ) .
四、证明题（每题10分）
1、求证：∀x ∀y (A (x ) →B (y )) ⇔∃xA (x ) →∀yA (y ) ．
证明：左⇔∀x ∀y (⌝A (x ) ∨B (y )) ⇔∀x ⌝A (x ) ∨∀yB (y )
⇔⌝∃xA (x ) ∨∀yB (y ) ⇔∃xA (x ) →∀yA (y ) ⇔右．
2、设个体域D ={a , b , c }，求证：∀xA (x ) ∨∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) ∨B (x )) ．
证明：左⇔(A (a ) ∧A (b ) ∧A (c )) ∨(B (a ) ∧B (b ) ∧B (c ))
⇔(A (a ) ∨(B (a )) ∧(A (a ) ∨B (b )) ∧(A (a ) ∨B (c ))
∧(A (b ) ∨(B (a )) ∧(A (b ) ∨B (b )) ∧(A (b ) ∨B (c ))
∧(A (c ) ∨(B (a )) ∧(A (c ) ∨B (b )) ∧(A (c ) ∨B (c ))
⇒(A (a ) ∨(B (a )) ∧(A (b ) ∨B (b )) ∧(A (c ) ∨B (c ))
⇔∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇔右．
3、用逻辑推理规则证明：
∀x (P (x ) →(Q (x ) ∧R (x ))) , ⌝(Q (a ) ∧R (a )) , S (a ) , ∀x (S (x ) →G (x )) ⇒⌝P (a ) ∧G (a ). 证明：⑴∀xP (x ) →(Q (x ) ∧P (x )) P
⑵ P (a ) →(Q (a ) ∧P (a )) T ⑴（US ）
⑶ ⌝(Q (a ) ∧R (a )) P
⑷ ⌝P (a ) T ⑵，⑶（拒取式）
⑸∀x (S (x ) →G (x )) P
⑹S (a ) →G (a ) T ⑸（US ）
⑺ S (a ) P
⑻ G (a ) P ⑹，⑺（假言推理）
⑼ ⌝P (a ) ∧G (a ) T ⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明： ∀x (F (x ) →G (x )), ∀x (R (x ) →⌝G (x )) ⇒∀x (R (x ) →⌝F (x )) ．
P
T ⑴（US ） ⑵R (c ) →⌝G (c )
P ⑶∀x (F (x ) →G (x ))
T ⑶（US ） ⑷F (c ) →G (c )
T ⑷（逆反律） ⑸⌝G (c ) →⌝F (c )
T ⑵，⑸（假言三段论） ⑹R (c ) →⌝F (c )
T ⑹（UG ）⑺∀x (R (x ) →⌝F (x )) ．
5、用逻辑推理规则证明：∀x (F (x ) ∨G (x )), ∀x (G (x ) →⌝R (x )), ∀xR (x ) ⇒∀xF (x ) ．
P 证明：⑴∀xR (x )
T ⑴（US ） ⑵R (c )
P ⑶∀x (G (x ) →⌝R (x ))
T ⑶（US ） ⑷G (c ) →⌝R (c )
T ⑵，⑷（拒取式） ⑸⌝G (c )
P ⑹∀x (F (x ) ∨G (x ))
T ⑹（US ） ⑺F (c ) ∨G (c )
T ⑸，⑺（析取三段论） ⑻F (c )
T ⑻（UG ）⑼∀xF (x ) ． 证明：⑴∀x (R (x ) →⌝G (x ))
6、用逻辑推理规则证明：
∃x (F (x ) ∧I (x )) →∀y (M (y ) →N (y )), ∃y (M (y ) ∧⌝N (y )) ⇒∀x (F (x ) →⌝I (x )) ．
P 证明：⑴∃y (M (y ) ∧⌝N (y ))
T ⑴(德. 摩根律) ⑵∃y ⌝(⌝M (y ) ∨N (y ))
T ⑵(蕴含表达式) ⑶∃y ⌝(M (y ) →N (y ))
T ⑶(量词否定) ⑷⌝∀y (M (y ) →W (y ))
P ⑸∃x (F (x ) ∧I (x )) →∀y (M (y ) →N (y ))
⑹⌝∃x (F (x ) ∧I (x )) T ⑷，⑸（拒取式）
T ⑹(量词否定) ⑺∀x ⌝(F (x ) ∧I (x ))
T ⑺(德. 摩根律) ⑻∀x (⌝F (x ) ∨⌝I (x ))
T ⑻(蕴含表达式) ． ⑼∀x (F (x ) →⌝I (x ))
7、用逻辑推理规则证明：
∃xP (x ) →∀x ((P (x ) ∨Q (x )) →R (x )) , ∃xP (x ) , ∃xQ (x ) ⇒∃x ∃y (P (x ) ∧R (y )) ．
P 证明：⑴∃xP (x )
P ⑵∃xP (x ) →∀x ((P (x ) ∨Q (x )) →R (x ))
T ⑴，⑵（假言推理） ⑶∀x ((P (x ) ∨Q (x )) →R (x ))
T ⑴（ES ） ⑷P (e )
P ⑸∃xQ (x )
T ⑸（ES ） ⑹Q (d )
T ⑶（US ） ⑺(P (d ) ∨Q (d )) →R (d )
T ⑹（加法式） ⑻Q (d ) ∨P (d )
T ⑺，⑻（假言推理） ⑼R (d )
T ⑷，⑼（合取式） ⑽P (e ) ∧R (d )
T ⑽（EG ） ⑾∃y (P (e ) ∧R (y ))
T ⑾（EG ）⑿∃x ∃y (P (x ) ∧R (y )) ．
8、用逻辑推理规则证明：∃xF (x ) →∀y (F (y ) ∨G (y ) →R (y )), ∃xF (x ) ⇒∃xR (x ) ．
P
T ⑴（ES ） ⑵F (c )
P ⑶∃xF (x ) →∀y (F (y ) ∨G (y ) →R (y ))
T ⑴，⑶（假言推理） ⑷∀y (F (y ) ∨G (y ) →R (y ))
T ⑷（US ） ⑸F (c ) ∨G (c ) →R (c )
T ⑵（加法式） ⑹F (c ) ∨G (c )
T ⑸，⑹（假言推理） ⑺R (c )
T ⑺（EG ）⑻∃xR (x ) ．
9、用逻辑推理规则证明： ∀x (P (x ) →Q (x )) ⇒∃xP (x ) →∃xQ (x ) .
P （附加前提） 证明：⑴∃xP (x )
T ⑴（ES ） ⑵P (a )
P ⑶∀x (P (x ) →Q (x ))
T ⑶（US ） ⑷P (a ) →Q (a )
T ⑵，⑷（假言推理） ⑸Q (a )
T ⑸（EG ） ⑹∃xQ (x )
CP ． ⑺∃xP (x ) →∃xQ (x ) 证明：⑴∃xF (x )
10、用逻辑推理规则证明：
∀x (F (x ) →⌝G (x )), ∀x (G (x ) ∨R (x )) ⇒⌝∀xR (x ) →∃x ⌝F (x ) .
证明：⑴⌝∀xR (x )
⑵∃x ⌝R (x )
⑶⌝R (a )
⑷∀x (G (x ) ∨R (x ))
⑸G (a ) ∨R (a )
⑹G (a )
⑺∀x (F (x ) →⌝G (x ))
⑻F (a ) →⌝G (a )
⑼⌝F (a )
⑽∃x ⌝F (x )
⑾⌝∀xR (x ) →∃x ⌝F (x )
11、证明下列命题推得的结论有效：凡15的倍数都是3的倍数，凡15的倍数都是5的倍数，所以有些5的倍数是3的倍数.
证明：设个体域为整数集，D (x , y ) ： x 是y 的倍数. 该推理就是要证明： P （附加前提） T ⑴（量词否定） T ⑵（ES ） P T ⑷（US ） T ⑶，⑸（析取三段论） P ． T ⑺（US ） T ⑹，⑻（拒取式） T ⑼（ES ） CP ．
∀x (D (x ，15) →D (x ，3)) ，∀x (D (x ，15) →D (x ，5)) ，∃xD （x ，）15⇒∃x (D (x ，5) ∧D (x ，3))
15）⑴ ∃xD （x ， P
（a ，）15 T ⑴（ES ） ⑵ D
15) →D (x ，3)) P ⑶ ∀x (D (x ，
15) →D (a ，3) T ⑶（US ） ⑷D (a ，
⑸D (a ,3) T ⑵，⑷（假言推理）
15) →D (x ，5)) P ⑹∀x (D (x ，
15) →D (a ，5) T ⑹（US ） ⑺D (a ，
⑻D (a ,5) T ⑵，⑺（假言推理）
⑼D (a ,5) ∧D (a ,3) T ⑸，⑻（合取式）
⑽∃x (D (x , 5) ∧D (x , 3)) T ⑼（EG ）．
12、证明下列命题推得的结论有效：教师都上课，有一个人不上课，则该人一定不是教师. 证明：设个体域D ：人类，S (x ) :x 是教师，E (x ) :x 上课.
该推理就是要证明： ∀x (S (x ) →E (x )) ，∃x (⌝E (x )) ⇒∃x (⌝S (x )) .
⑴∃x (⌝E (x )) P
⑵⌝E (a ) T ⑴（ES ）
⑶∀x (S (x ) →E (x )) P
⑷S (a ) →E (a ) T ⑶（US ）
⑸⌝S (a ) T ⑵，⑷（拒取式）
⑹∃x (⌝S (x )) T ⑸（EG ）.
13、证明下列命题推得的结论有效：只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行，故若考试准时进行，那么天气就好. 证明：设个体域D ：所有考生, P ：今天天气好, Q ：考试准时进行, A (x ) ：x 提前进入考场. 该推理就是要证明：⌝P →∃x ⌝A (x ) , ∀xA (x ) Q ⇒Q →P .
⑴⌝P →∃x ⌝A (x ) P
⑵⌝P →⌝∀xA (x ) T ⑴（量词否定）
⑶∀xA (x ) →P T ⑵（逆反律）
⑷∀xA (x ) Q P
⑸(∀xA (x ) →Q ) ∧(Q →∀xA (x )) T ⑷（等值表达式）
⑹Q →∀xA (x ) T ⑸（简化式）
⑺Q →P T ⑹，⑶（假言三段论）.
14、证明下列命题推得的结论有效：舞者皆有风度，学生王华是舞者，则某些学生有风度. 证明：设D ：全总个体域, P (x ) ：x 是舞者, Q (x ) ：x 有风度, S (x ) ：x 是学生, a ：王华. 该推理就是要证明： ∀x (P (x ) →Q (x )) ，S (a ) ∧P (a ) ⇒∃x (S (x ) ∧Q (x )) .
P
P ⑵∀x (P (x ) →Q (x ))
T ⑵（US ） ⑶P (a ) →Q (a )
⑷ P (a ) T ⑴（简化式）
T ⑶，⑷（假言推理） ⑸ Q (a )
T ⑴（简化式） ⑹ S (a )
T ⑸，⑹（合取式） ⑺S (a ) ∧Q (a )
T ⑺（EG ）⑻∃x (S (x ) ∧Q (x ) ． ⑴S (a ) ∧P (a )
15、证明下列命题推得的结论有效：所有计算机都是电器，某些计算机是手提电脑，因此，某些手提电脑是电器．
证明：设D ：全总个体域，Q (x ) ：x 是计算机，R (x ) ：x 是电器，Z (x ) ：x 是手提电脑． 该推理就是要证明：∀x (Q (x ) →R (x )), ∃x (Q (x ) ∧Z (x )) ⇒ ∃x (R (x ) ∧Z (x )) ．
⑴∃x (Q (x ) ∧Z (x )) P
⑵ Q (a ) ∧Z (a ) T ⑴（ES ）
⑶ Q (a ) T ⑵（简化式）
⑷ ∀x (Q (x ) →R (x )) P
⑸ Q (a ) →R (a ) T ⑷（US ）
⑹ R (a ) T ⑶，⑸（假言推理）
⑺ Z (a ) T ⑵（简化式）
⑻ R (a ) ∧Z (a ) T ⑹，⑺（合取式）
⑼ ∃x (R (x ) ∧Z (x )) T ⑻（EG ）．
谓词逻辑
一、选择题（每题3分）
1、设个体域A ={a , b }，则谓词公式∃x (F (x ) ∧G (x )) 消去量词后，可表示为为（ C ）
A 、(F (a ) ∧F (b )) ∨(G (a ) ∧G (b )) B 、(F (a ) ∨F (b )) ∧(G (a ) ∨G (b ))
C 、(F (a ) ∧G (a )) ∨(F (b ) ∧G (b )) D 、(F (a ) ∨G (a )) ∧(F (b ) ∨G (b ))
2、设个体域A ={a , b }，则谓词公式∀x ∃yR (x , y )去掉量词后，可表示为（ D ）
A 、R (a , a )∧R (a , b )∧R (b , a )∧R (b , b ) B 、R (a , a )∨R (a , b )∨R (b , a )∨R (b , b )
C 、R (a , a )∧R (a , b )∨R (b , a )∧R (b , b ) D 、(R (a , a )∨R (a , b ))∧(R (b , a )∨R (b , b )) 提示：原式⇔∃yR (a , y )∧∃yR (b , y )⇔R (a , a )∨R (a , b )∧R (b , a )∨R (b , b )
3、设个体域D ={a , b }，使谓词公式∀xP (x ) 的真值为1的谓词P 满足（ D ）
A 、P (a ) =0, P (b ) =0 B 、P (a ) =0, P (b ) =1C 、P (a ) =1, P (b ) =0D 、P (a ) =1, P (b ) =1
4、设个体域D ={2}，P (x ) ：x >3，Q (x ) ：x =4，则谓词公式∃x (P (x ) →Q (x )) 为( A )
A 、永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、无法判定
5、谓词公式F (x , y ) →(G (x , y ) →F (x , y )) 的真值（ D ）
A 、与谓词变元有关，与论述域无关 B 、与谓词变元无关，与论述域有关
C 、与谓词变元和论述域都有关 D 、与谓词变元和论述域都无关 提示：p →(q →p ) ⇔⌝p ∨(⌝q ∨p ) ⇔T .
6、谓词公式∃y ∀xP (x , y ) →∀x ∃yP (x , y ) 的真值（ D ）
A 、与谓词变元有关，与论述域无关 B 、与谓词变元无关，与论述域有关
C 、与谓词变元和论述域都有关 D 、与谓词变元和论述域都无关
7、谓词公式∀x (P (x ) ∨∃yR (y )) →Q (x ) 中的变元x （ C ）
A 、仅是自由的 B 、仅是约束的
C 、既是自由的也是约束的 D 、既不是自由的也不是约束的
8、设D ：全总个体域，H (x ) ：x 是人， P (x ) ：x 要死的，
则命题“人总是要死的”的逻辑符号化为（ D ）
A 、∃x (H (x ) ∧P (x )) B 、∃x (H (x ) →P (x )) C 、∀x (H (x ) ∧P (x )) D 、∀x (H (x ) →P (x ))
9、设D ：全总个体域，H (x ) ：x 是人， P (x ) ：x 犯错误，
则命题“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ D ）
A 、∃x (H (x ) ∧P (x )) B 、∃x (H (x ) →P (x )) C 、∀x (H (x ) ∧P (x )) D 、∀x (H (x ) →P (x ))
10、设D ：全总个体域，F (x ) ：x 是花，M (x ) ：x 是人，H (x , y ) ：x 喜欢y ， 则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ D ）
A 、∀x (M (x ) ∧∃y (F (y ) →H (x , y )) B 、∀x (M (x ) ∧∀y (F (y ) →H (x , y ))
C 、 ∃x (M (x ) ∧∃y (F (y ) →H (x , y )) D 、∃x (M (x ) ∧∀y (F (y ) →H (x , y ))
11、设D ：全总个体域，L (x ) ：x 是演员，J (x ) ：x 是老师，A (x , y ) ：x 钦佩y ， 则命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为( B )
A 、∀x (L (x ) →A (x , y )) B 、∀x (L (x ) →∃y (J (y ) ∧A (x , y )))
C 、 ∀x ∃y (L (x ) ∧J (y ) ∧A (x , y )) D 、∀x ∃y (L (x ) ∧J (y ) →A (x , y ))
12、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (A (x ) ∨P ) ⇔∀xA (x ) ∨P B 、∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇔∀xA (x ) ∨∀xB (x )
C 、 ∀x (A (x ) ∧P ) ⇒∀xA (x ) ∧P D 、∀x (A (x ) ∧B (x )) ⇔∀xA (x ) ∧∀xB (x )
13、设B 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (A (x ) ∨P ) ⇔∀xA (x ) ∨P B 、∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇔∀xA (x ) ∨∀xB (x )
C 、∃x (A (x ) ∨P ) ⇔∃xA (x ) ∨P D 、∃x (A (x ) ∨B (x )) ⇔∃xA (x ) ∨∃xB (x ) ()()()()
14、下列表达式错误的有( A )
A 、∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇒∀xA (x ) ∨∀xB (x ) B 、∀xA (x ) ∨∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) ∨B (x ))
C 、 ∀x (A (x ) ∧B (x )) ⇒∀xA (x ) ∧∀xB (x ) D 、∀xA (x ) ∧∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) ∧B (x ))
15、下列表达式错误的有( B )
A 、∃x (A (x ) ∧B (x )) ⇒∃xA (x ) ∧∃xB (x ) B 、∃xA (x ) ∧∃xB (x ) ⇒∃x (A (x ) ∧B (x ))
C 、∃x (A (x ) ∨B (x )) ⇒∃xA (x ) ∨∃xB (x ) D 、∃xA (x ) ∨∃xB (x ) ⇒∃x (A (x ) ∨B (x ))
16、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (A (x ) →P ) ⇔∃xA (x ) →P B 、∀x (A (x ) →B (x )) ⇔∃xA (x ) →∀xB (x )
C 、∃x (A (x ) →P ) ⇔∀xA (x ) →P D 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∀xA (x ) →∃xA (x )
17、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )
A 、∀x (P →B (x )) ⇔P →∀xB (x ) B 、∀x (A (x ) →B (x )) ⇔∃xA (x ) →∀xB (x )
C 、∃x (P →B (x )) ⇔P →∃xB (x ) D 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∀xA (x ) →∃xA (x )
18、下列表达式错误的有( A )
∀x (A (x ) →B (x )) ⇒∃xA (x ) →∀xB (x ) B 、∃xA (x ) →∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) →B (x )) A 、
C 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇒∀xA (x ) →∃xA (x ) D 、∃x (A (x ) →B (x )) ⇒∀xA (x ) →∃xA (x )
19、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则∀xP (x ) ⇒P (y ) 可称为( A )
A 、US B 、ES C 、UG D 、EG
20、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则P (y ) ⇒∃xP (x ) 可称为( D )
A 、US B 、ES C 、UG D 、EG
二、填充题（每题4分）
1、若个体域D 仅包含一个元素，则谓词公式∃yP (y ) →∀xP (x ) 的真值为1．
2、若个体域D ={1,2}，指定谓词P 满足右表 则谓词公式∀x ∃yP (y , x ) 的真值为1．
3、若个体域D ={1,2}，指定谓词P 满足右表 则谓词公式∃y ∀xP (x , y ) 的真值为0．
4、设D ：全总个体域，W (x ) ：x 是女同志，J (x ) ：x 是教练员，L (x ) ：x 是运动员，则命题“有些女同志既是教练员又是运动员”的逻辑符号化为∃x (W (x ) ∧J (x ) ∧L (x )) ．
5、设个体域D ：实数域， S (x , y ) ：x =y ，则命题“存在着实数x ，对所有的实数y ，都有x =y ”的逻辑符号化为∃x ∀yS (x , y ) ．
6、设D ：全总个体域，R (x ) ：x 是实数， S (x , y ) ：x =y ，则命题“对所有的实数x ，都存着实数y ，使得x =y ”的逻辑符号化为∀x (R (x ) →∃y (R (y ) ∧S (x , y )) ．
7、设个体域D ：人类， G (x , y ) ：x 与y 一样高，则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为∀x ∀y ⌝G (x , y ) ．
8、设D ：全总个体域，A (x ) ：x 是人， G (x , y ) ：x 与y 一样高，
则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为∀x ∀y (R (x ) ∧R (y ) →⌝G (x , y )) ．
9、设D ：全总个体域，R (x ) ：x 是质数，B (x ) ：x 是奇数，C (x , y ) ：x ≠y ，
则命题“除2以外的所有质数都是奇数”的逻辑符号化为∀x (A (x ) ∧C (x ,2) →B (x )) ．
10、设D ：全总个体域，P (x ) ：x 是大象，Q (x ) ：x 是老鼠， R (x , y ) ：x 比y 重， 则命题“大象比老鼠重”的的逻辑符号化为∀x ∀y (P (x ) ∧Q (y ) →R (x , y )) ．
11、若已证∃xA (x ) 为真，则可假设某一确定的个体y 使A (y ) 为真，此推理规则被称为ES ．
12、令Γ是公理与前提的合取，Γ中无x 的自由出现，若从Γ可推出A (x ) ，则从Γ也可推出∀xA (x ) ，此推理规则被称为UG ．
三、问答题（每题6分）
1、设个体域D ：实数域，F (x , y ) ：x =y ，G (x , y ) ：x
说明谓词公式∀x ∀y (G (x , y ) →⌝F (x , y )) 的含义，并指出其真值.
答：对于任意两个实数x , y ，如果x
2、设D ：全总个体域，S (x ) ：x 是大学生，L (x ) ：x 是明星，H (x , y ) ：x 崇尚y ， 说明谓词公式∃x ∃y (S (x ) ∧L (y ) ∧⌝H (x , y )) 的含义，并指出其真值.
答： 有些大学生不崇尚某些明星；其真值为1.
3、若个体域D ={2,4}，H (x , y ) ：x >y ，则谓词公式∀x ∃yH (x , y ) 为真吗？为什么？ 答：为假；∀x ∃yH (x , y ) ⇔∃yH (2,y ) ∧∃yH (4,y )
⇔(H (2,2)∨H (2,4))∧(H (4,2)∨H (4,4))⇔(0∨0) ∧(1∨1) ⇔0.
4、若个体域D ={-1,3,6}，S (x ) ：x >3，Q (x ) ：x =5, a ：3，P :5>3， 则谓词公式∃x (S (x ) →Q (a )) ∧P 为真吗？为什么？
答：为真；
∃x (S (x ) →Q (a )) ∧P ⇔((S (-1) →Q (a )) ∨(S (3)→Q (a )) ∨(S (6)→Q (a ))) ∧1
⇔((0→0) ∨(0→0) ∨(1→0)) ∧1⇔(1∨1∨0) ∧1⇔1.
5、谓词公式∀x ∃yP (x , y ) →∃y ∀xP (x , y ) 为真吗？为什么？
答：不为真；设个体域D ：实数域，P (x , y ) ：x +y =0，
则∀x ∃yP (x , y ) →∃y ∀xP (x , y ) ⇔1→0⇔0.
6、谓词公式∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∀xA (x ) →∃xB (x ) 为真吗？为什么？
答：为真；
∃x (A (x ) →B (x )) ⇔∃x (⌝A (x ) ∨B (x )) ⇔∃x ⌝A (x ) ∨∃xB (x ) .
⇔⌝∀xA (x ) ∨∃xB (x ) ⇔∀xA (x ) →∃xB (x ) .
四、证明题（每题10分）
1、求证：∀x ∀y (A (x ) →B (y )) ⇔∃xA (x ) →∀yA (y ) ．
证明：左⇔∀x ∀y (⌝A (x ) ∨B (y )) ⇔∀x ⌝A (x ) ∨∀yB (y )
⇔⌝∃xA (x ) ∨∀yB (y ) ⇔∃xA (x ) →∀yA (y ) ⇔右．
2、设个体域D ={a , b , c }，求证：∀xA (x ) ∨∀xB (x ) ⇒∀x (A (x ) ∨B (x )) ．
证明：左⇔(A (a ) ∧A (b ) ∧A (c )) ∨(B (a ) ∧B (b ) ∧B (c ))
⇔(A (a ) ∨(B (a )) ∧(A (a ) ∨B (b )) ∧(A (a ) ∨B (c ))
∧(A (b ) ∨(B (a )) ∧(A (b ) ∨B (b )) ∧(A (b ) ∨B (c ))
∧(A (c ) ∨(B (a )) ∧(A (c ) ∨B (b )) ∧(A (c ) ∨B (c ))
⇒(A (a ) ∨(B (a )) ∧(A (b ) ∨B (b )) ∧(A (c ) ∨B (c ))
⇔∀x (A (x ) ∨B (x )) ⇔右．
3、用逻辑推理规则证明：
∀x (P (x ) →(Q (x ) ∧R (x ))) , ⌝(Q (a ) ∧R (a )) , S (a ) , ∀x (S (x ) →G (x )) ⇒⌝P (a ) ∧G (a ). 证明：⑴∀xP (x ) →(Q (x ) ∧P (x )) P
⑵ P (a ) →(Q (a ) ∧P (a )) T ⑴（US ）
⑶ ⌝(Q (a ) ∧R (a )) P
⑷ ⌝P (a ) T ⑵，⑶（拒取式）
⑸∀x (S (x ) →G (x )) P
⑹S (a ) →G (a ) T ⑸（US ）
⑺ S (a ) P
⑻ G (a ) P ⑹，⑺（假言推理）
⑼ ⌝P (a ) ∧G (a ) T ⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明： ∀x (F (x ) →G (x )), ∀x (R (x ) →⌝G (x )) ⇒∀x (R (x ) →⌝F (x )) ．
P
T ⑴（US ） ⑵R (c ) →⌝G (c )
P ⑶∀x (F (x ) →G (x ))
T ⑶（US ） ⑷F (c ) →G (c )
T ⑷（逆反律） ⑸⌝G (c ) →⌝F (c )
T ⑵，⑸（假言三段论） ⑹R (c ) →⌝F (c )
T ⑹（UG ）⑺∀x (R (x ) →⌝F (x )) ．
5、用逻辑推理规则证明：∀x (F (x ) ∨G (x )), ∀x (G (x ) →⌝R (x )), ∀xR (x ) ⇒∀xF (x ) ．
P 证明：⑴∀xR (x )
T ⑴（US ） ⑵R (c )
P ⑶∀x (G (x ) →⌝R (x ))
T ⑶（US ） ⑷G (c ) →⌝R (c )
T ⑵，⑷（拒取式） ⑸⌝G (c )
P ⑹∀x (F (x ) ∨G (x ))
T ⑹（US ） ⑺F (c ) ∨G (c )
T ⑸，⑺（析取三段论） ⑻F (c )
T ⑻（UG ）⑼∀xF (x ) ． 证明：⑴∀x (R (x ) →⌝G (x ))
6、用逻辑推理规则证明：
∃x (F (x ) ∧I (x )) →∀y (M (y ) →N (y )), ∃y (M (y ) ∧⌝N (y )) ⇒∀x (F (x ) →⌝I (x )) ．
P 证明：⑴∃y (M (y ) ∧⌝N (y ))
T ⑴(德. 摩根律) ⑵∃y ⌝(⌝M (y ) ∨N (y ))
T ⑵(蕴含表达式) ⑶∃y ⌝(M (y ) →N (y ))
T ⑶(量词否定) ⑷⌝∀y (M (y ) →W (y ))
P ⑸∃x (F (x ) ∧I (x )) →∀y (M (y ) →N (y ))
⑹⌝∃x (F (x ) ∧I (x )) T ⑷，⑸（拒取式）
T ⑹(量词否定) ⑺∀x ⌝(F (x ) ∧I (x ))
T ⑺(德. 摩根律) ⑻∀x (⌝F (x ) ∨⌝I (x ))
T ⑻(蕴含表达式) ． ⑼∀x (F (x ) →⌝I (x ))
7、用逻辑推理规则证明：
∃xP (x ) →∀x ((P (x ) ∨Q (x )) →R (x )) , ∃xP (x ) , ∃xQ (x ) ⇒∃x ∃y (P (x ) ∧R (y )) ．
P 证明：⑴∃xP (x )
P ⑵∃xP (x ) →∀x ((P (x ) ∨Q (x )) →R (x ))
T ⑴，⑵（假言推理） ⑶∀x ((P (x ) ∨Q (x )) →R (x ))
T ⑴（ES ） ⑷P (e )
P ⑸∃xQ (x )
T ⑸（ES ） ⑹Q (d )
T ⑶（US ） ⑺(P (d ) ∨Q (d )) →R (d )
T ⑹（加法式） ⑻Q (d ) ∨P (d )
T ⑺，⑻（假言推理） ⑼R (d )
T ⑷，⑼（合取式） ⑽P (e ) ∧R (d )
T ⑽（EG ） ⑾∃y (P (e ) ∧R (y ))
T ⑾（EG ）⑿∃x ∃y (P (x ) ∧R (y )) ．
8、用逻辑推理规则证明：∃xF (x ) →∀y (F (y ) ∨G (y ) →R (y )), ∃xF (x ) ⇒∃xR (x ) ．
P
T ⑴（ES ） ⑵F (c )
P ⑶∃xF (x ) →∀y (F (y ) ∨G (y ) →R (y ))
T ⑴，⑶（假言推理） ⑷∀y (F (y ) ∨G (y ) →R (y ))
T ⑷（US ） ⑸F (c ) ∨G (c ) →R (c )
T ⑵（加法式） ⑹F (c ) ∨G (c )
T ⑸，⑹（假言推理） ⑺R (c )
T ⑺（EG ）⑻∃xR (x ) ．
9、用逻辑推理规则证明： ∀x (P (x ) →Q (x )) ⇒∃xP (x ) →∃xQ (x ) .
P （附加前提） 证明：⑴∃xP (x )
T ⑴（ES ） ⑵P (a )
P ⑶∀x (P (x ) →Q (x ))
T ⑶（US ） ⑷P (a ) →Q (a )
T ⑵，⑷（假言推理） ⑸Q (a )
T ⑸（EG ） ⑹∃xQ (x )
CP ． ⑺∃xP (x ) →∃xQ (x ) 证明：⑴∃xF (x )
10、用逻辑推理规则证明：
∀x (F (x ) →⌝G (x )), ∀x (G (x ) ∨R (x )) ⇒⌝∀xR (x ) →∃x ⌝F (x ) .
证明：⑴⌝∀xR (x )
⑵∃x ⌝R (x )
⑶⌝R (a )
⑷∀x (G (x ) ∨R (x ))
⑸G (a ) ∨R (a )
⑹G (a )
⑺∀x (F (x ) →⌝G (x ))
⑻F (a ) →⌝G (a )
⑼⌝F (a )
⑽∃x ⌝F (x )
⑾⌝∀xR (x ) →∃x ⌝F (x )
11、证明下列命题推得的结论有效：凡15的倍数都是3的倍数，凡15的倍数都是5的倍数，所以有些5的倍数是3的倍数.
证明：设个体域为整数集，D (x , y ) ： x 是y 的倍数. 该推理就是要证明： P （附加前提） T ⑴（量词否定） T ⑵（ES ） P T ⑷（US ） T ⑶，⑸（析取三段论） P ． T ⑺（US ） T ⑹，⑻（拒取式） T ⑼（ES ） CP ．
∀x (D (x ，15) →D (x ，3)) ，∀x (D (x ，15) →D (x ，5)) ，∃xD （x ，）15⇒∃x (D (x ，5) ∧D (x ，3))
15）⑴ ∃xD （x ， P
（a ，）15 T ⑴（ES ） ⑵ D
15) →D (x ，3)) P ⑶ ∀x (D (x ，
15) →D (a ，3) T ⑶（US ） ⑷D (a ，
⑸D (a ,3) T ⑵，⑷（假言推理）
15) →D (x ，5)) P ⑹∀x (D (x ，
15) →D (a ，5) T ⑹（US ） ⑺D (a ，
⑻D (a ,5) T ⑵，⑺（假言推理）
⑼D (a ,5) ∧D (a ,3) T ⑸，⑻（合取式）
⑽∃x (D (x , 5) ∧D (x , 3)) T ⑼（EG ）．
12、证明下列命题推得的结论有效：教师都上课，有一个人不上课，则该人一定不是教师. 证明：设个体域D ：人类，S (x ) :x 是教师，E (x ) :x 上课.
该推理就是要证明： ∀x (S (x ) →E (x )) ，∃x (⌝E (x )) ⇒∃x (⌝S (x )) .
⑴∃x (⌝E (x )) P
⑵⌝E (a ) T ⑴（ES ）
⑶∀x (S (x ) →E (x )) P
⑷S (a ) →E (a ) T ⑶（US ）
⑸⌝S (a ) T ⑵，⑷（拒取式）
⑹∃x (⌝S (x )) T ⑸（EG ）.
13、证明下列命题推得的结论有效：只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行，故若考试准时进行，那么天气就好. 证明：设个体域D ：所有考生, P ：今天天气好, Q ：考试准时进行, A (x ) ：x 提前进入考场. 该推理就是要证明：⌝P →∃x ⌝A (x ) , ∀xA (x ) Q ⇒Q →P .
⑴⌝P →∃x ⌝A (x ) P
⑵⌝P →⌝∀xA (x ) T ⑴（量词否定）
⑶∀xA (x ) →P T ⑵（逆反律）
⑷∀xA (x ) Q P
⑸(∀xA (x ) →Q ) ∧(Q →∀xA (x )) T ⑷（等值表达式）
⑹Q →∀xA (x ) T ⑸（简化式）
⑺Q →P T ⑹，⑶（假言三段论）.
14、证明下列命题推得的结论有效：舞者皆有风度，学生王华是舞者，则某些学生有风度. 证明：设D ：全总个体域, P (x ) ：x 是舞者, Q (x ) ：x 有风度, S (x ) ：x 是学生, a ：王华. 该推理就是要证明： ∀x (P (x ) →Q (x )) ，S (a ) ∧P (a ) ⇒∃x (S (x ) ∧Q (x )) .
P
P ⑵∀x (P (x ) →Q (x ))
T ⑵（US ） ⑶P (a ) →Q (a )
⑷ P (a ) T ⑴（简化式）
T ⑶，⑷（假言推理） ⑸ Q (a )
T ⑴（简化式） ⑹ S (a )
T ⑸，⑹（合取式） ⑺S (a ) ∧Q (a )
T ⑺（EG ）⑻∃x (S (x ) ∧Q (x ) ． ⑴S (a ) ∧P (a )
15、证明下列命题推得的结论有效：所有计算机都是电器，某些计算机是手提电脑，因此，某些手提电脑是电器．
证明：设D ：全总个体域，Q (x ) ：x 是计算机，R (x ) ：x 是电器，Z (x ) ：x 是手提电脑． 该推理就是要证明：∀x (Q (x ) →R (x )), ∃x (Q (x ) ∧Z (x )) ⇒ ∃x (R (x ) ∧Z (x )) ．
⑴∃x (Q (x ) ∧Z (x )) P
⑵ Q (a ) ∧Z (a ) T ⑴（ES ）
⑶ Q (a ) T ⑵（简化式）
⑷ ∀x (Q (x ) →R (x )) P
⑸ Q (a ) →R (a ) T ⑷（US ）
⑹ R (a ) T ⑶，⑸（假言推理）
⑺ Z (a ) T ⑵（简化式）
⑻ R (a ) ∧Z (a ) T ⑹，⑺（合取式）
⑼ ∃x (R (x ) ∧Z (x )) T ⑻（EG ）．