绝对值不等式

1.4绝对值三角不等式学案

☆预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；

2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;

3. ☆预习内容：



1．绝对值的定义：aR，|a| 



2. 绝对值的几何意义：

10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A

20. 两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，

那么|ab|的几何意义是 3.定理1的内容是什么？其证法有几种？

4.若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？

5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：

1、绝对值的定义的应用

例1 设函数f(x)x1x4．

1解不等式f(x)2；2求函数yf(x)的最值． 2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|ab|之间的关系. ①ab0时,如下图, 容易得：|ab|

②ab0时,如图, 容易得：|ab|

③ab0时,显然有：|ab|

定理1 如果a,bR, 那么|ab|

|a||b|.

|a||b|.

|a||b|.综上,得

|a||b|. 当且仅当, 等号成立.

在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b

,

则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:

|a||b|

向量a,b,ab构成三角形, 因此有|ab|

它的几何意义就是:

定理1的证明:

定理2 如果a,b,cR, 那么|ac|成立.

3、定理应用

例2 （1）a,bR证明abab， （2）已知

xa

cc

,yb，求证 22

|ab||bc|. 当且仅当 时, 等号

(xy)(ab)c.。

1.4绝对值三角不等式作业

1.当a、bR时，不等式

abab

1 成立的充要条件是

A．ab0 B．a2b20 C．ab0 D．ab0

2.对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是；

3.对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，则a的取值范围是

4.若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是 5.方程

x3x

2

x|x2的解集为 ,不等式2x|3x

x

2x

的解集是

6.已知方程|2x1||2x1|a1有实数解，则a的取值范围

为 。

7. 画出不等式xy1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不

等式

1、x1x1; 2、x2y1.

8.解不等式：1、2xx; 2、

x2

1; x1

3、xx23 ; 4、x2x130.

9. 1、已知x

aa

,y. 求证：2x3ya。 46

2、已知xa

cc

,yb.求证：2x3y2a3bc。 46

sss

3、已知 Aa,Bb,Cc. 求证： (ABC)(abc)s

333

10.1、已知 xa,ya.求证： xya.

2、已知 xch,yc0.求证：

x

h. y

§1.2.2含绝对值不等式的解法

学习目标： 1. 掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法;

2. 理解含绝对值不等式的解法思想：知识情景：

1．绝对值的定义：aR



，|a|



2. 绝对值的几何意义：

10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A 20. 两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，

那么|ab|的几何意是

3.绝对值三角不等式：

①ab0时, 如下图, 易得：|ab|

②ab0时, 如下图, 易得：|ab|

③ab0时,显然有：|ab|

|a||b|.

|a||b|.

|a||b|. 综上,得

|a||b|. 当且仅当时, 等号成定理1 如果a,bR, 那么|a立.

定理2 如果a,b,cR, 那么|ac|☻建构新知：含绝对值不等式的解法

|ab||bc|. 当且仅当时,等号成立.

1．设a为正数, 根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示.

2．设a为正数, 根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 它的几何意义就是数轴上 ，如图所示.

3．设a为正数, 则10.f(x)a 20.f(x)a

3.

;

;

设

ba0

.

, 则

af(x)b

4．10. f(x)≥g(x)；

2. f(x)g(x)

例1解不等式(1)3xx2; (2)3x2x.

例2 解不等式(1)2x3x25; (2)x2x5 .

例3 解不等式(1) |x2||x1|；(2)4|2x3|7 .

例4 (1)（03北京春）若不等式ax26的解集为1,2，则实数a等于( )

A. 8 B. 2 C. 4 D.

8

(2) 不等式 xx>a，对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是

例5 已知A{x2x3a}，B{xx≤10}，且AB，求实数a的范围.



§1.2.2含绝对值不等式的解法作业

1、 22x1. 2、43x10

3、32xx4. 4、 x2x.

5、x22x41

7、 xx24

9、 xx2

6、 x2

1x2.

8、 xx36. 10、 xx42.

11. 已知不等式x2a(a0)的解集为xR|1xc，求a2c的值

12. 解关于x的不等式|x2a|a（aR）

13.（选作） 解关于x的不等式：① 2x31a(aR)

解关于x的不等式mx3；②

1.4绝对值三角不等式学案

☆预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；

2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;

3. ☆预习内容：



1．绝对值的定义：aR，|a| 



2. 绝对值的几何意义：

10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A

20. 两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，

那么|ab|的几何意义是 3.定理1的内容是什么？其证法有几种？

4.若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？

5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：

1、绝对值的定义的应用

例1 设函数f(x)x1x4．

1解不等式f(x)2；2求函数yf(x)的最值． 2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|ab|之间的关系. ①ab0时,如下图, 容易得：|ab|

②ab0时,如图, 容易得：|ab|

③ab0时,显然有：|ab|

定理1 如果a,bR, 那么|ab|

|a||b|.

|a||b|.

|a||b|.综上,得

|a||b|. 当且仅当, 等号成立.

在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b

,

则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:

|a||b|

向量a,b,ab构成三角形, 因此有|ab|

它的几何意义就是:

定理1的证明:

定理2 如果a,b,cR, 那么|ac|成立.

3、定理应用

例2 （1）a,bR证明abab， （2）已知

xa

cc

,yb，求证 22

|ab||bc|. 当且仅当 时, 等号

(xy)(ab)c.。

1.4绝对值三角不等式作业

1.当a、bR时，不等式

abab

1 成立的充要条件是

A．ab0 B．a2b20 C．ab0 D．ab0

2.对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是；

3.对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，则a的取值范围是

4.若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是 5.方程

x3x

2

x|x2的解集为 ,不等式2x|3x

x

2x

的解集是

6.已知方程|2x1||2x1|a1有实数解，则a的取值范围

为 。

7. 画出不等式xy1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不

等式

1、x1x1; 2、x2y1.

8.解不等式：1、2xx; 2、

x2

1; x1

3、xx23 ; 4、x2x130.

9. 1、已知x

aa

,y. 求证：2x3ya。 46

2、已知xa

cc

,yb.求证：2x3y2a3bc。 46

sss

3、已知 Aa,Bb,Cc. 求证： (ABC)(abc)s

333

10.1、已知 xa,ya.求证： xya.

2、已知 xch,yc0.求证：

x

h. y

§1.2.2含绝对值不等式的解法

学习目标： 1. 掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法;

2. 理解含绝对值不等式的解法思想：知识情景：

1．绝对值的定义：aR



，|a|



2. 绝对值的几何意义：

10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A 20. 两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，

那么|ab|的几何意是

3.绝对值三角不等式：

①ab0时, 如下图, 易得：|ab|

②ab0时, 如下图, 易得：|ab|

③ab0时,显然有：|ab|

|a||b|.

|a||b|.

|a||b|. 综上,得

|a||b|. 当且仅当时, 等号成定理1 如果a,bR, 那么|a立.

定理2 如果a,b,cR, 那么|ac|☻建构新知：含绝对值不等式的解法

|ab||bc|. 当且仅当时,等号成立.

1．设a为正数, 根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示.

2．设a为正数, 根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 它的几何意义就是数轴上 ，如图所示.

3．设a为正数, 则10.f(x)a 20.f(x)a

3.

;

;

设

ba0

.

, 则

af(x)b

4．10. f(x)≥g(x)；

2. f(x)g(x)

例1解不等式(1)3xx2; (2)3x2x.

例2 解不等式(1)2x3x25; (2)x2x5 .

例3 解不等式(1) |x2||x1|；(2)4|2x3|7 .

例4 (1)（03北京春）若不等式ax26的解集为1,2，则实数a等于( )

A. 8 B. 2 C. 4 D.

8

(2) 不等式 xx>a，对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是

例5 已知A{x2x3a}，B{xx≤10}，且AB，求实数a的范围.



§1.2.2含绝对值不等式的解法作业

1、 22x1. 2、43x10

3、32xx4. 4、 x2x.

5、x22x41

7、 xx24

9、 xx2

6、 x2

1x2.

8、 xx36. 10、 xx42.

11. 已知不等式x2a(a0)的解集为xR|1xc，求a2c的值

12. 解关于x的不等式|x2a|a（aR）

13.（选作） 解关于x的不等式：① 2x31a(aR)

解关于x的不等式mx3；②