吉布斯现象的MATLAB实现重庆大学电子实验班课题

吉布斯现象的MATLAB实现

2011级电子实验班

1．吉布斯效应的定义

将具有不连续点的周期函数x(t)（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数N越多，在所合成的波形SN中出现的峰起越靠近原信号x(t)的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯现象（Gibbs-phenomena）. [1]

2．吉布斯现象的实现

2.1 周期方波

A,0tT/2

,式中，T为周期，可以展开为傅里叶级数： x(t)

A,T/2t0

4x(t)

n

sin(nt),n1,3,5,...其中，

n1



2

.这里假设方波周期为T=2，幅值A=1. T

2.1．1 Matlab源程序：

N=input('选取项数N='); %N表示要选取的项数 k=input('选取点的间距k='); %k表示变量t所需的点 t=-2*pi:k:2*pi; %创建自变量矩阵 s=SQUARE(t); plot(t,s,'r');

grid on;

axis([-8,8,-1.5,1.5]); xlabel('t');ylabel('x'); gtext('s=原方波'); hold on; y=0;

for n=1:2:N,

y=y+4/pi/n*sin(n*t); %傅里叶级数的前N项和 end plot(t,y); hold off;

title('gibbs现象——方波')

h=(max(y)-1)/2 %

峰起占总跳变值得比例，这里总跳变值为2.

2.1.2 Matlab分析图像：

1).标准方波：

2).N=,30,K=0.01时: h=0.0897,

3).N=300，K=0.01时：h=0.0884

4)N=3000，k=0.01时：h=0.0090,

5).N=30000,K=0.01时，h=0.0054

由图可以看出，同一k下，N越大，谐波叠加后越接近原方波。

同样，可以做出k=0.001,0.0001,…,时，N=30，300，3000的图像以及得到各种情况下的h.

比较。

由表格可以看出，间隔k越小，因为作图时会更精细，所以Gibbs现象会越呈现越明显的趋势。K=0.01时，N越大，h越小，应该是k的取值不够精细引起的。

2.2 周期锯齿波

以锯齿波最低点为原点做平面直角坐标系，这里假设周期T=2,绝对高度A=1.这样可以简化运算得到：

x(t)t/T,0tT. 经过傅里叶变换可得：

x(t)0.5

1

sin(nt) . n1n



又因为方波实验中应经验证，k的取值越精细越容易得到实验结果，所以实验中直接将k=0.0001.

2.2.1 Matlab源程序 N=input('选取项数N=');

t=-2*pi:0.0001:2*pi; %创建自变量矩阵 s=(SAWTOOTH(t)+1)/2; plot(t,s,'r');

axis([-8,8,-1.5,1.5]); grid on;

gtext('s=原锯齿波'); hold on; y0=0;

for n=1:1:N,

y0=y0+(-1)/pi/n*sin(n*t); %傅里叶级数的前N项和 end

y=0.5+y0; %加上直流分量 plot(t,y); hold off;

title('gibbs现象——锯齿波')

xlabel('t');ylabel('y');

h=max(y)-1 %峰起占总跳变值得比例 2.2.2 matlab图像分析 1).标准锯齿波：

2). N=30时，h=0.0733

3). N=300时，h=0.0878

4). N=3000时，h=0.891

由上述图可以看出，当k=0.0001(恒定)时，N越大，谐波叠加也就越接近原锯齿波；h也逐渐向0.09靠近。

3 .结语

(1) 当用有限项之和重现原信号(复杂周期信号)波形时,随着n 值的增大,合成的结果越接近原波形.

(2) 当n 值增大时,跳变峰向间断点靠近,但跳变峰幅值并未明显减小,跳变峰所包围的面积减小,Matlab 使这种吉布斯现象得到清楚的表现. [3]

(3) 通过本次实验，锻炼了发现问题，分析问题，解决问题的能力。为以后的学习提供了宝贵的经验和教训。 4.参考文献

[1] 郑君里,杨为理.信号与系统（第二版）.北京：高等教育出版社,2000(2009

重印) [2] 党宏社. 信号与系统实验(MATLAB版).西安：西安电子科技大学出版社,2007.1 [3] 三峡大学学报(自然科学版).2006.6