初一数学公式定理
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
判别式
b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根
b2-4ac
一元二次方程的解根与系数的关系
-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a
X1+X2=-b/aX1*X2=c/a（注：韦达定理） 三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
乘法与因式分解
a2-b 2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a 3-b 3=(a-b(a2+ab+b2)
某些数列前n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
其他常用数学公式
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理b 2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b ）是圆心坐标
圆的一般方程x 2+y2+Dx+Ey+F=0注：D 2+E2-4F>0
抛物线标准方程y 2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注：其中,S' 是直截面面积，L 是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h
初中数学图形与变换的定理与公式
图形与变换
图形的轴对称
轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；
等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；
图形的平移
图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等；
图形的旋转
图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；
平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 图形的相似 比例的基本性质：如果，则，如果，则 相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方； 相似多边形的性质：
①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例；
③相似多边形的面积之比等于相似比的平方；
图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形；
Rt△ABC中，∠C=
CotA= ，SinA=，cosA=, tanA=, 特殊角的三角函数值：
初中数学图形的认识定理与公式
图形的认识
(1)角
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
(2)相交线与平行线
同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等；
对顶角的性质：对顶角相等
垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；
平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；
平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行；
平行线的特征：
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补；
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
(3)三角形
三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；
三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；
三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 三角形的三条角平分线交于一点（内心）；
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；
三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 全等三角形的判定：
①边角边公理（SAS ）
②角边角公理（ASA ）
③角角边定理（AAS ）
④边边边公理（SSS ）
⑤斜边、直角边公理（HL ）
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形；
直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； ④直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形的判定：
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系
股定理的逆定理）。
(4)四边形
多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于
平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等；
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）
①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等；
矩形的判定：
①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形； 菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外）
①菱形的四边相等；
②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； （n≥3，n 是正整数）； ，那么这个三角形是直角三角形（勾
菱形的判定：
四边相等的四边形是菱形；
正方形的特征：
①正方形的四边相等；
②正方形的四个角都是直角；
③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
等腰梯形的特征:
①等腰梯形同一底边上的两个内角相等
②等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形的判定：
①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；
②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
平面图形的镶嵌：
任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；
(5)圆
点与圆的位置关系（设圆的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ）：
①点P 在圆上，则d=r，反之也成立；
②点P 在圆内，则d
③点P 在圆外，则d>r，反之也成立；
圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可以得到另外两组也相等；
圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆；
垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等；
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等；
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，反过来，的圆周角所对的弦是直径； 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角； 弧长计算公式：
扇形面积：形的弧长） 弓形面积 （R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，为弧长） 或（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，为扇
(6)尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）
作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；
(7)视图与投影
画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）；
基本几何体的展开图（除球外）、根据展开图判断和设别立体模型；
初中数学几何基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这
条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
初中数学定理口诀公式
有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。 恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。（a-b ）2n+1＝-（b - a）2n+1（a-b ）2n ＝（b - a）2n
平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）
单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间, 大小, 小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大（鱼）于（吃）取两边, 小（鱼）于（吃）取中间。
分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。
最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指（数）根指（数）要互质，幂指比根指小一点。
特殊点坐标特征:坐标平面点（x,y ）, 横在前来纵在后；（+,+）, （-,+）, （-,-）和（+,-）, 四个象限分前后；X 轴上y 为0,x 为0在Y 轴。
象限角的平分线:象限角的平分线, 坐标特征有特点，一、三横纵都相等, 二、四横纵确相反。 平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X 轴, 纵坐标相等横不同； 直线平行于Y 轴, 点的横坐标仍照旧。
对称点坐标:对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称y 相反, Y轴对称,x 前面添负号； 原点对称最好记, 横纵坐标变符号。
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理
一些平面几何的著名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2、射影定理（欧几里得定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点
8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足为L ，则AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，
11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上
12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）
圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s 为三角形周长的一半
14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD
18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上
19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
20、以任意三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC 、△CEA 、△AFB ，则△DEF 是正三角形，
21、爱尔可斯定理1：若△ABC 和△DEF 都是正三角形，则由线段AD 、BE 、CF 的中心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯定理2：若△ABC 、△DEF 、△GHI 都是正三角形，则由三角形△ADG 、△BEH 、△CFI 的重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有BPPC×CQQA×ARRB=1
24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）
25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q 、∠C 的平分线交边AB 于R ，、∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线
27、塞瓦定理：设△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S 连接面成的三条直线，分别与边BC 、CA 、AB 或它们的延长线交于点P 、Q 、R ，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.
28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中心M
29、塞瓦定理的逆定理：（略）
30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点
31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点。
32、西摩松定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线）
33、西摩松定理的逆定理：（略）
34、史坦纳定理：设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心。
35、史坦纳定理的应用定理：△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB
的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线。
36、波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).
37、波朗杰、腾下定理推论1：设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点，若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点，则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点
38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。
39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC 的外接圆上的一点P 的关于△ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点
40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB 引垂线，设垂足分别是D 、E 、F ，且设边BC 、CA 、AB 的中点分别是L 、M 、N ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上，这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点。
41、关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。
42、关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。
43、卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
44、奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线
45、清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线
46、他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 与边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别为ED 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）
47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。
48、九点圆定理：三角形三边的中点, 三高的垂足和三个欧拉点［连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点］九点共圆［通常称这个圆为九点圆［nine-point circle］, 或欧拉圆, 费尔巴哈圆.
49、一个圆周上有n 个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。
50、康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。
51、康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线。
52、康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点。这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点。
53、康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线。
54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。
55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和
D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点。
60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线。
初中函数定义与性质
初中函数定义与性质
形如y=kx(k为常数，且k 不等于0），y 就叫做x 的正比例函数。
图象做法:1。带定系数 2。描点 3。连线 图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点
性质:当k>0时，图象经过一，三象限，y 随x 的增大而增大 当k
反比例函数的图像为双曲线。它可以无限地接近坐标轴，但永不相交。
性质:当k>0时，图象在一，三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
当k0，b>O，则图象过1，2，3象限 k>0，b0，则图象过1，2，4象限k
二次函数：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a 不等于0）a>0开口向上 a0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac
顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a。
函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a，向右就是减，函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d，向下就是减。当a ＞0时，开口向上，抛物线在y 轴的上方(顶点在x 轴上) ，并向上无限延伸；当a ＜0时，开口向下，抛物线在x 轴下方(顶点在x 轴上) ，并向下无限延伸。｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大。
画抛物线y ＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x 值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式：
(1)一般式：y ＝ax2+bx+c (a，b ，c 为常数，a≠0)。
(2)顶点式：y ＝a(x-h)2+k(a，h ，k 为常数，a≠0)。
(3)两根式：y ＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0。
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k) ，h ＝0时，抛物线y ＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x
轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y ＝ax2+bx+c与x 轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和
x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，二次函数y ＝ax2+bx+c可转化为两根式y ＝a(x-x1)(x-x2)。
求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法：将解析式化为y ＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h，k) ，对称轴为直线x ＝h ，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，y 最小值＝k ，若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，y 最大值＝k 。
②公式法：直接利用顶点坐标公式(- ， ) ，求其顶点；对称轴是直线x ＝- ，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝- 时，y 最小值＝ ，若a ＜0，y 有最大值，当x ＝- 时，y 最大值＝ 。
二次函数y ＝ax2+bx+c的图像的画法，因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴.
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等).
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起.
初中数学函数与图像公式定理
第八章 函数与图像
1数轴
11 有向直线
在科学技术和日常生活中, 为了区别一条直线的两个不同方向, 可以规定其中一方向为正向, 另一方向为负相
规定了正方向的直线, 叫做有向直线, 读作有向直线l
12 数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数), 在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化 数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2 平面直角坐标系
21 平面的直角坐标化
在平面内任取一点o 为作为原点(基准点), 过o 引两条互相垂直的, 以o 为公共原点的数轴, 一般地, 两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x 轴叫横轴,y 轴叫纵轴, 它们都叫直角坐标系的坐标轴; 公共原点o 称为直角坐标系的原点; 我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分, 它们叫做四个象限
22 两点间的距离
23 中点公式
3 函数
31 常量, 变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量, 叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数, 叫做
常量或常数
一般地, 设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y, 如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与之对应, 那么就称y 是x 的函数,x 叫做自变量
1. 函数的定义域
2. 对应法则
(1) 解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数, 这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)
(2) 列表法
(3) 图像法
3 函数的值域
一般的, 当函数f(x)的自变量x 去定义域D 中的一个确定的值a, 函数有唯一确定的对应值这个对应值, 称为x=a时的函数值, 简称函数值, 记作:f(a)
32 函数的图像
若把自变量x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标, 可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F, 而集F 成为函数y=f(x)的图像 知道函数的解析式, 要画函数的图像, 一般分为列表, 描点, 连线三个步骤
4 正比例函数
41 正比例函数
一般地, 函数y=kx(k是不等于零的常数) 叫做正比例函数, 其中常数k 叫做变量y 与x 之间的比例函数确定了比例函数k, 就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx有下列性质:
(3) 当k>0时, 它的图像经过第一, 三象限,y 随着x 的值增大而增大; 当k
(2)随着比例函数的绝对值的增加, 函数图像渐渐离开x 轴而接近于y 轴, 因此, 比例系数k 和直线y=kx与x 轴正方向所成的角有关据此,k 叫做直线y=kx的斜率
42 反比例函数
一般地, 函数y=k/x(k是不等于0的常数) 叫做反比例函数
反比例函数y=k/x有下列性质:
(7) 当k>0时, 他的图像的两个分支分别位于第一, 三象限内, 在每一个象限内,y 随x 的值增大而减小; 当k
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴
5 一次函数及其图像
51 一次函数及其图像
如果k=0时, 函数变形为y=b,无论x 在其定义域内取何值,y 都有唯一确定的值b 与之对应, 这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y 轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y 轴上的截距, 简称纵截距 52 一次函数的性质
函数y=f(小), 在a 〈x 〈b 上, 如果函数值随着自变量x 的值增加而增加, 那么我们说函数f(x)在a 〈x
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像, 交点的坐标就是这个方程组的解, 这种求二元一次方程组的解法叫图像法
3. 3 一次函数的应用
第五章章 因式分解
1 因式分解
11 因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式, 除这个多项式本身和非零常数外, 再也没有其他的因式, 那么这个因式(即该多项式) 就叫做质因式
12 因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解 1 提取公因式法
2 运用公式法
3 分组分解法
4 十字相乘法
5 配方法
6 求根公式法
13 用待定系数法分解因式
2 余式定理及其应用
21 余式定理
f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)
如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a; 反过来, 如果f(x)含有因式x-a, 那么f(a)=0这个结论叫做因式定理
22 余式定理的应用
23 因式分解法解一元方程
24 根与系数的关系
如果x1,x2时二次三项式ax²+bx+c(a不等于)0的两个根, 那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
第七章 圆
1 圆的基本性质
1 1圆的定义
在平面内, 和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周, 简称为圆；其中定点叫做圆的圆心, 廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径
同圆的半径都相等
连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦, 通过圆心的弦叫做直径
圆上任意两点间的部分叫做弧
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧, 每一条弧都叫做半圆, 大于半圆的弧叫做优弧, 小于半圆的弧叫做劣弧
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等
半径相等的圆叫做等圆, 同圆或等圆的半径相等
1 2 不共线的三点确定一个圆
经过一点可以作无数个圆
经过两点也可以作无数个圆, 且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上 定理 过不共线的三个点, 可以作且只可以作一个圆
推论 三角形的三边垂直平分线相交于一点, 这个点就是三角形的外心
三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心
1．3 垂径定理
圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心
圆是周对称图形, 任一条通过圆心的直线都是它的对称轴
定理 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且评分弦所对的两条弧
推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
推论2 弦的垂直平分弦经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧
推论3 平分弦所对的一条弧的直径, 垂直评分弦, 并且平分弦所对的另一条弧
1.4 弧、弦和弦心距
定理 在同圆或等圆中, 相等的弧所对的弦相等, 所对的弦的弦心距相等
2 圆与直线的位置关系
2.1圆与直线的位置关系
如果一条直线和一个圆没有公共点, 我们就说这条直线和这个圆相离
如果一条直线和一个圆只有一个公共点, 我们就说这条直线和这个圆相切, 这条直线叫做圆的切线, 这个公共点叫做它们的切点
定理 经过圆的半径外端点, 并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
定理 圆的切线垂直经过切点的半径
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
如果一条直线和一个圆有两个公共点, 我们就说, 这条直线和这个圆相交, 这条直线叫这个圆的割线, 这两个公共点叫做它们的交点
直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种
2.2三角形的内切圆
如果一个多边形的各边所在的直线, 都和一个圆相切, 这个多边形叫做圆的外切多边形, 这个圆叫做多边形的内切圆
定理 三角形的三个内角平分线交于一点, 这点是三角形的内心
三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点, 这一点叫做三角形的旁心. 以
旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切, 所作的圆叫做三角形的旁切圆
2.3切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
2.4圆的外切四边形
定理 圆的外切四边形的两组对边的和相等
定理 如果四边形两组对边的和相等, 那么它必有内切圆
3 圆与圆的位置关系
3.1两圆的位置关系
在平面内, 不重合的两圆. 它们的位置关系, 有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切
经过两个圆的圆心的直线, 叫做两圆的连心线, 两个圆心之间的距离叫做圆心距
定理 两圆的连心线是两圆的对称轴, 并且两圆相切时, 它们切点在连心线上
（1）两圆外离 d>R+r
（2）两圆外切 d=R+r
（3）两圆相交 R-rr)
（4）两圆内切 d=R-r (R>r)
（5）两圆内含 dr)
特殊情况, 两圆是同心圆 d=0
3.2两圆的公切线
定理 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等
初一数学公式定理
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
判别式
b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根
b2-4ac
一元二次方程的解根与系数的关系
-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a
X1+X2=-b/aX1*X2=c/a（注：韦达定理） 三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
乘法与因式分解
a2-b 2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a 3-b 3=(a-b(a2+ab+b2)
某些数列前n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
其他常用数学公式
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理b 2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b ）是圆心坐标
圆的一般方程x 2+y2+Dx+Ey+F=0注：D 2+E2-4F>0
抛物线标准方程y 2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注：其中,S' 是直截面面积，L 是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h
初中数学图形与变换的定理与公式
图形与变换
图形的轴对称
轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；
等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；
图形的平移
图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等；
图形的旋转
图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；
平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 图形的相似 比例的基本性质：如果，则，如果，则 相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方； 相似多边形的性质：
①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例；
③相似多边形的面积之比等于相似比的平方；
图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形；
Rt△ABC中，∠C=
CotA= ，SinA=，cosA=, tanA=, 特殊角的三角函数值：
初中数学图形的认识定理与公式
图形的认识
(1)角
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
(2)相交线与平行线
同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等；
对顶角的性质：对顶角相等
垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；
平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；
平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行；
平行线的特征：
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补；
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
(3)三角形
三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；
三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；
三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 三角形的三条角平分线交于一点（内心）；
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；
三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 全等三角形的判定：
①边角边公理（SAS ）
②角边角公理（ASA ）
③角角边定理（AAS ）
④边边边公理（SSS ）
⑤斜边、直角边公理（HL ）
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形；
直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； ④直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形的判定：
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系
股定理的逆定理）。
(4)四边形
多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于
平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等；
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）
①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等；
矩形的判定：
①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形； 菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外）
①菱形的四边相等；
②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； （n≥3，n 是正整数）； ，那么这个三角形是直角三角形（勾
菱形的判定：
四边相等的四边形是菱形；
正方形的特征：
①正方形的四边相等；
②正方形的四个角都是直角；
③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
等腰梯形的特征:
①等腰梯形同一底边上的两个内角相等
②等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形的判定：
①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；
②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
平面图形的镶嵌：
任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；
(5)圆
点与圆的位置关系（设圆的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ）：
①点P 在圆上，则d=r，反之也成立；
②点P 在圆内，则d
③点P 在圆外，则d>r，反之也成立；
圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可以得到另外两组也相等；
圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆；
垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等；
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等；
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，反过来，的圆周角所对的弦是直径； 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角； 弧长计算公式：
扇形面积：形的弧长） 弓形面积 （R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，为弧长） 或（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，为扇
(6)尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）
作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；
(7)视图与投影
画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）；
基本几何体的展开图（除球外）、根据展开图判断和设别立体模型；
初中数学几何基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这
条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
初中数学定理口诀公式
有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。 恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。（a-b ）2n+1＝-（b - a）2n+1（a-b ）2n ＝（b - a）2n
平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）
单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间, 大小, 小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大（鱼）于（吃）取两边, 小（鱼）于（吃）取中间。
分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。
最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指（数）根指（数）要互质，幂指比根指小一点。
特殊点坐标特征:坐标平面点（x,y ）, 横在前来纵在后；（+,+）, （-,+）, （-,-）和（+,-）, 四个象限分前后；X 轴上y 为0,x 为0在Y 轴。
象限角的平分线:象限角的平分线, 坐标特征有特点，一、三横纵都相等, 二、四横纵确相反。 平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X 轴, 纵坐标相等横不同； 直线平行于Y 轴, 点的横坐标仍照旧。
对称点坐标:对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称y 相反, Y轴对称,x 前面添负号； 原点对称最好记, 横纵坐标变符号。
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理
一些平面几何的著名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2、射影定理（欧几里得定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点
8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足为L ，则AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，
11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上
12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）
圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s 为三角形周长的一半
14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD
18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上
19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
20、以任意三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC 、△CEA 、△AFB ，则△DEF 是正三角形，
21、爱尔可斯定理1：若△ABC 和△DEF 都是正三角形，则由线段AD 、BE 、CF 的中心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯定理2：若△ABC 、△DEF 、△GHI 都是正三角形，则由三角形△ADG 、△BEH 、△CFI 的重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有BPPC×CQQA×ARRB=1
24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）
25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q 、∠C 的平分线交边AB 于R ，、∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线
27、塞瓦定理：设△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S 连接面成的三条直线，分别与边BC 、CA 、AB 或它们的延长线交于点P 、Q 、R ，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.
28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中心M
29、塞瓦定理的逆定理：（略）
30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点
31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点。
32、西摩松定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线）
33、西摩松定理的逆定理：（略）
34、史坦纳定理：设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心。
35、史坦纳定理的应用定理：△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB
的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线。
36、波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).
37、波朗杰、腾下定理推论1：设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点，若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点，则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点
38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。
39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC 的外接圆上的一点P 的关于△ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点
40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB 引垂线，设垂足分别是D 、E 、F ，且设边BC 、CA 、AB 的中点分别是L 、M 、N ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上，这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点。
41、关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。
42、关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。
43、卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
44、奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线
45、清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线
46、他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 与边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别为ED 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）
47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。
48、九点圆定理：三角形三边的中点, 三高的垂足和三个欧拉点［连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点］九点共圆［通常称这个圆为九点圆［nine-point circle］, 或欧拉圆, 费尔巴哈圆.
49、一个圆周上有n 个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。
50、康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。
51、康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线。
52、康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点。这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点。
53、康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线。
54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。
55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和
D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点。
60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线。
初中函数定义与性质
初中函数定义与性质
形如y=kx(k为常数，且k 不等于0），y 就叫做x 的正比例函数。
图象做法:1。带定系数 2。描点 3。连线 图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点
性质:当k>0时，图象经过一，三象限，y 随x 的增大而增大 当k
反比例函数的图像为双曲线。它可以无限地接近坐标轴，但永不相交。
性质:当k>0时，图象在一，三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
当k0，b>O，则图象过1，2，3象限 k>0，b0，则图象过1，2，4象限k
二次函数：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a 不等于0）a>0开口向上 a0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac
顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a。
函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a，向右就是减，函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d，向下就是减。当a ＞0时，开口向上，抛物线在y 轴的上方(顶点在x 轴上) ，并向上无限延伸；当a ＜0时，开口向下，抛物线在x 轴下方(顶点在x 轴上) ，并向下无限延伸。｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大。
画抛物线y ＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x 值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式：
(1)一般式：y ＝ax2+bx+c (a，b ，c 为常数，a≠0)。
(2)顶点式：y ＝a(x-h)2+k(a，h ，k 为常数，a≠0)。
(3)两根式：y ＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0。
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k) ，h ＝0时，抛物线y ＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x
轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y ＝ax2+bx+c与x 轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和
x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，二次函数y ＝ax2+bx+c可转化为两根式y ＝a(x-x1)(x-x2)。
求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法：将解析式化为y ＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h，k) ，对称轴为直线x ＝h ，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，y 最小值＝k ，若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，y 最大值＝k 。
②公式法：直接利用顶点坐标公式(- ， ) ，求其顶点；对称轴是直线x ＝- ，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝- 时，y 最小值＝ ，若a ＜0，y 有最大值，当x ＝- 时，y 最大值＝ 。
二次函数y ＝ax2+bx+c的图像的画法，因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴.
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等).
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起.
初中数学函数与图像公式定理
第八章 函数与图像
1数轴
11 有向直线
在科学技术和日常生活中, 为了区别一条直线的两个不同方向, 可以规定其中一方向为正向, 另一方向为负相
规定了正方向的直线, 叫做有向直线, 读作有向直线l
12 数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数), 在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化 数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2 平面直角坐标系
21 平面的直角坐标化
在平面内任取一点o 为作为原点(基准点), 过o 引两条互相垂直的, 以o 为公共原点的数轴, 一般地, 两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x 轴叫横轴,y 轴叫纵轴, 它们都叫直角坐标系的坐标轴; 公共原点o 称为直角坐标系的原点; 我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分, 它们叫做四个象限
22 两点间的距离
23 中点公式
3 函数
31 常量, 变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量, 叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数, 叫做
常量或常数
一般地, 设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y, 如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与之对应, 那么就称y 是x 的函数,x 叫做自变量
1. 函数的定义域
2. 对应法则
(1) 解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数, 这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)
(2) 列表法
(3) 图像法
3 函数的值域
一般的, 当函数f(x)的自变量x 去定义域D 中的一个确定的值a, 函数有唯一确定的对应值这个对应值, 称为x=a时的函数值, 简称函数值, 记作:f(a)
32 函数的图像
若把自变量x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标, 可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F, 而集F 成为函数y=f(x)的图像 知道函数的解析式, 要画函数的图像, 一般分为列表, 描点, 连线三个步骤
4 正比例函数
41 正比例函数
一般地, 函数y=kx(k是不等于零的常数) 叫做正比例函数, 其中常数k 叫做变量y 与x 之间的比例函数确定了比例函数k, 就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx有下列性质:
(3) 当k>0时, 它的图像经过第一, 三象限,y 随着x 的值增大而增大; 当k
(2)随着比例函数的绝对值的增加, 函数图像渐渐离开x 轴而接近于y 轴, 因此, 比例系数k 和直线y=kx与x 轴正方向所成的角有关据此,k 叫做直线y=kx的斜率
42 反比例函数
一般地, 函数y=k/x(k是不等于0的常数) 叫做反比例函数
反比例函数y=k/x有下列性质:
(7) 当k>0时, 他的图像的两个分支分别位于第一, 三象限内, 在每一个象限内,y 随x 的值增大而减小; 当k
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴
5 一次函数及其图像
51 一次函数及其图像
如果k=0时, 函数变形为y=b,无论x 在其定义域内取何值,y 都有唯一确定的值b 与之对应, 这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y 轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y 轴上的截距, 简称纵截距 52 一次函数的性质
函数y=f(小), 在a 〈x 〈b 上, 如果函数值随着自变量x 的值增加而增加, 那么我们说函数f(x)在a 〈x
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像, 交点的坐标就是这个方程组的解, 这种求二元一次方程组的解法叫图像法
3. 3 一次函数的应用
第五章章 因式分解
1 因式分解
11 因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式, 除这个多项式本身和非零常数外, 再也没有其他的因式, 那么这个因式(即该多项式) 就叫做质因式
12 因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解 1 提取公因式法
2 运用公式法
3 分组分解法
4 十字相乘法
5 配方法
6 求根公式法
13 用待定系数法分解因式
2 余式定理及其应用
21 余式定理
f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)
如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a; 反过来, 如果f(x)含有因式x-a, 那么f(a)=0这个结论叫做因式定理
22 余式定理的应用
23 因式分解法解一元方程
24 根与系数的关系
如果x1,x2时二次三项式ax²+bx+c(a不等于)0的两个根, 那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
第七章 圆
1 圆的基本性质
1 1圆的定义
在平面内, 和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周, 简称为圆；其中定点叫做圆的圆心, 廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径
同圆的半径都相等
连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦, 通过圆心的弦叫做直径
圆上任意两点间的部分叫做弧
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧, 每一条弧都叫做半圆, 大于半圆的弧叫做优弧, 小于半圆的弧叫做劣弧
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等
半径相等的圆叫做等圆, 同圆或等圆的半径相等
1 2 不共线的三点确定一个圆
经过一点可以作无数个圆
经过两点也可以作无数个圆, 且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上 定理 过不共线的三个点, 可以作且只可以作一个圆
推论 三角形的三边垂直平分线相交于一点, 这个点就是三角形的外心
三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心
1．3 垂径定理
圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心
圆是周对称图形, 任一条通过圆心的直线都是它的对称轴
定理 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且评分弦所对的两条弧
推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
推论2 弦的垂直平分弦经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧
推论3 平分弦所对的一条弧的直径, 垂直评分弦, 并且平分弦所对的另一条弧
1.4 弧、弦和弦心距
定理 在同圆或等圆中, 相等的弧所对的弦相等, 所对的弦的弦心距相等
2 圆与直线的位置关系
2.1圆与直线的位置关系
如果一条直线和一个圆没有公共点, 我们就说这条直线和这个圆相离
如果一条直线和一个圆只有一个公共点, 我们就说这条直线和这个圆相切, 这条直线叫做圆的切线, 这个公共点叫做它们的切点
定理 经过圆的半径外端点, 并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
定理 圆的切线垂直经过切点的半径
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
如果一条直线和一个圆有两个公共点, 我们就说, 这条直线和这个圆相交, 这条直线叫这个圆的割线, 这两个公共点叫做它们的交点
直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种
2.2三角形的内切圆
如果一个多边形的各边所在的直线, 都和一个圆相切, 这个多边形叫做圆的外切多边形, 这个圆叫做多边形的内切圆
定理 三角形的三个内角平分线交于一点, 这点是三角形的内心
三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点, 这一点叫做三角形的旁心. 以
旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切, 所作的圆叫做三角形的旁切圆
2.3切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
2.4圆的外切四边形
定理 圆的外切四边形的两组对边的和相等
定理 如果四边形两组对边的和相等, 那么它必有内切圆
3 圆与圆的位置关系
3.1两圆的位置关系
在平面内, 不重合的两圆. 它们的位置关系, 有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切
经过两个圆的圆心的直线, 叫做两圆的连心线, 两个圆心之间的距离叫做圆心距
定理 两圆的连心线是两圆的对称轴, 并且两圆相切时, 它们切点在连心线上
（1）两圆外离 d>R+r
（2）两圆外切 d=R+r
（3）两圆相交 R-rr)
（4）两圆内切 d=R-r (R>r)
（5）两圆内含 dr)
特殊情况, 两圆是同心圆 d=0
3.2两圆的公切线
定理 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等