直线与直线方程复习

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题型1：直线的倾斜角与斜率

考点1：直线的倾斜角

例1、过点M(2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1, 则a的值为( )

A、1 B、4 C、1或3 D、1或4 变式1：已知点A(1,)、B(1,3)，则直线AB的倾斜角是（ ）

A、60 B、30 C、120 D、150

变式2：已知两点A3,2，B4,1，求过点C0,1的直线l与线段AB有公共点求直线l的斜率k的取值范围

考点2：直线的斜率及应用

斜率公式k

y2y1

与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同；

x2x1



是分界线，遇到斜率要特别谨慎 2

例1：已知R，则直线xsiny10的倾斜角的取值范围是（ ）

斜率变化分两段，

例2、三点共线——若三点A2,2、Ba,0、C0,b，ab0共线，则

A、0,30 B、150,180 C、0,30150,180 D、30,150

11

的值等于 ab

变式2：若A2,3、B3,2、C,m三点在同一直线上，则m的值为（ ）

A、2

B、2

C、

12

1 2

D、

1 2

考点3：两条直线的平行和垂直

对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1//l2k1k2，l1l2k1k21。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意

例、已知点M2,2，N5,2，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。 (1)MOPOPN(O是坐标原点)；(2) MPN是直角

题型2：直线方程

考点1：直线方程的求法

例1、下列四个命题中的真命题是（ ）

A、经过定点Px0、y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示

B、经过任意两个不同的点P1x1、y1和P2x2、y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1表示

xy

1表示 ab

D、经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示

C、不经过原点的直线都可以用方程

例2、若m4xm4m3y10表示直线，则（ ）

2

2



A、m2且m1，m3 B、m2 C、m1且m3 D、m可取任意实数 变式1：直线2x3y60在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）

A、a3,b2 B、a3,b2 C、a3,b2 D、a3,b2

变式2：过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ；在两轴上的截距相等的直线方程

变式3：过点P(2,1)，在x轴和y轴上的截距分别为a、b，且满足a3b的直线方程是 考点2：用一般式方程判定直线的位置关系

两条直线位置关系的判定，已知直线l1:A1xB1yC10 ，l2:A2xB2yC20，则

(1) l1//l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或(2) l1l2A1A2B1B20

(3) l1与l2重合A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或

A1B1C1

(A2、B2、C2均0) 

A2B2C2

A1B1C1

(A2、B2、C2均0) 

A2B2C2

(4) lA11与l2相交A1B2A2B10或记AB1

(A2、B2均0) 2B2

例1、已知直线mxny10平行于直线4x3y50，且在y轴上的截距为

1

3

，则m、n的值分别为（ A、4和3 B、4和3 C、4和3 D、4和3 变式1：直线l1:kxy20和l2:x2y30, 若l1//l2，则l1在两坐标轴上的截距的和（ ）

A、1 B、2 C、2 D、6 例2、已知直线axy2a0与直线2a1xaya0互相垂直，则a等于（ ）

A、1 B、0 C、1或0 D、1或1 变式2：两条直线mxyn0和xmy10互相平行的条件是（ ）

A、m1 B、m1 C、

m1n1 D、m1n1或m1

n1

变式3：两条直线x3ym0和3xyn0的位置关系是（ ）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、与m、n的取值有关 变式4：原点在直线l上的射影是P2,1，则直线l的方程为（ ）

A、x2y0 B、x2y40 C、2xy50 D、2xy30 例3、三条直线xy10、2xy40、axy20共有两个交点，则a的值为（ ）

A、1 B、2 C、1或2 D、1或2

变式5：直线3xk2yk50与直线kx2k3y20相交，则实数k的值为（ ）

A、k1或k9 B、k1或k9 C、k1且k9 D、k1且k9 变式6：直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为 ( )

）

A、y

1111

x B、yx1 C、y3x3 D、yx1 3333

考点3：直线方程的应用

1、直线y3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线（ ）

A、 y

1111

x B、 yx1 C、 y3x3 D、 yx1 3333

2、直线方程ykxb中，当x3,4时，y8,13，此直线方程

1且分别与x、y轴正半轴交于A,B两点，O为坐标原点，(1)当AOB的面积最小时，求直线▲直线l过点M2，

l的方程；(2)当MAMB取得最小时，求直线l的方程；(3)当OAOB最小时，求直线l的方程。

考点4：直线方程的实际应用

例1、求直线2x5y100与坐标轴围成的三角形的面积

变式1：过点5,4且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是

例2、已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB面积的最小值？

题型3：直线的交点坐标与距离公式

考点1：三条直线交于一点问题

例1. 三条直线ax2y80，4x3y10和2xy10相交于一点，求a的值

考点2：求过交点的直线问题

例1. 求经过两直线2x3y30和xy30的交点且与直线5xy10平行的直线方程为

（注意平行直线系方程）

A、y1111x B、yx1 C、y3x3 D、yx1 3333

考点3：直线方程的应用

1、直线y3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线（ ）

A、 y1111x B、 yx1 C、 y3x3 D、 yx1 3333

2、直线方程ykxb中，当x3,4时，y8,13，此直线方程

1且分别与x、y轴正半轴交于A,B两点，O为坐标原点，(1)当AOB的面积最小时，求直线▲直线l过点M2，

l的方程；(2)当MAMB取得最小时，求直线l的方程；(3)当OAOB最小时，求直线l的方程。

考点4：直线方程的实际应用

例1、求直线2x5y100与坐标轴围成的三角形的面积

变式1：过点5,4且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是

例2、已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB面积的最小值？

题型3：直线的交点坐标与距离公式

考点1：三条直线交于一点问题

例1. 三条直线ax2y80，4x3y10和2xy10相交于一点，求a的值

考点2：求过交点的直线问题

例1. 求经过两直线2x3y30和xy30的交点且与直线5xy10平行的直线方程为

（注意平行直线系方程）

考点3：有关对称问题

(1)中心对称：①点-点-点对称——由中点坐标求得；②线-点-线对称——先找对称点，在根据l1//l2求得。

(2)轴对称：①点关于直线的对称——由中点坐标及k1k21求得；②直线关于直线的对称——转化到点关于直 线对称求得。

1、点4,0关于直线5x4y210对称的点是（ ）

A、6,8 B、8,6 C、6,8 D、6,8

2、已知点Pa,b和点Qb1,a1是关于直线l对称的两点，则直线l的方程为（ ）

A、xy0 B、xy0 C、xy10 D、xy10

3、如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）

A、2 B、6 C、33 D、2

4、过点M3,4且与A1,3、B2,2两点等距离的直线方程是

5、若直线axy10和直线4x2yb0关于点2,1对称，求a、b的值

6、求直线l1:y2x3关于直线l:yx1对称的直线l2的方程

考点4：有关最值问题

例1、设直线l过点P1,2，求当原点到此直线距离最大时，直线l的方程

变式1：已知A1,1、B1,1直线l:xy10，求直线上一点P，使得PAPB最小；求直线上一点P，使得PAPB最大

考点5：直线通过象限问题

例1、若AC0，BC0，则直线AxByC0不通过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

变式1：若直线3a2xy80不过第二象限，则实数a的取值范围是

变式2：若直线axbyc0过第一、二、三象限，则（ ）

A、ab0、bc0 B、ab0、bc0 C、ab0、bc0 D、ab0、bc0

变式3：直线ykxk1与kyx2k0交点在第一象限，则k的取值范围是（ ）

A、0k1 B、k1或1k0 C、k1或k0 D、k1或k

考点6：有关定点问题

1、若p、q满足p2q1，直线px3yq0必过一个定点，该定点坐标为

2、直线axby60与x2y0平行，并过直线4x3y100和2xy100的交点，则a ，b

3、无论m、n取何实数，直线3mnxm2nyn0都过一定点P，则P点坐标为（ ）

A、1,3 B、

考点7：有关距离问题

1、 若点2,2到直线3x4yc0的距离为3，求c的值 1 2131313, C、, D、, 225577

2、 求两平行值线l1:3x4y10和l2:3x4y15间的距离

3、过点P1,2的直线l与两点A2,3、B4,5的距离相等，则直线l的方程为（ ）

A、4xy60 B、x4y60 C、3x2y7或4xy6 D、2x3y7或x4y6

4、直线l1过点A3,0，直线l2过点B0,4，l1//l2，用d表示l1和l2的距离，则（ ）

A、d5 B、3d5 C、0d5 D、0d5

5.（构造“距离”求最值

）已知函数f(x)，求f(x)的最小值，并求取得最小值时

x的值

考点6：解析法（坐标法）应用——即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题

如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PMAB于M，PNAC于

N，证明PMPN为定值

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题型1：直线的倾斜角与斜率

考点1：直线的倾斜角

例1、过点M(2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1, 则a的值为( )

A、1 B、4 C、1或3 D、1或4 变式1：已知点A(1,)、B(1,3)，则直线AB的倾斜角是（ ）

A、60 B、30 C、120 D、150

变式2：已知两点A3,2，B4,1，求过点C0,1的直线l与线段AB有公共点求直线l的斜率k的取值范围

考点2：直线的斜率及应用

斜率公式k

y2y1

与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同；

x2x1



是分界线，遇到斜率要特别谨慎 2

例1：已知R，则直线xsiny10的倾斜角的取值范围是（ ）

斜率变化分两段，

例2、三点共线——若三点A2,2、Ba,0、C0,b，ab0共线，则

A、0,30 B、150,180 C、0,30150,180 D、30,150

11

的值等于 ab

变式2：若A2,3、B3,2、C,m三点在同一直线上，则m的值为（ ）

A、2

B、2

C、

12

1 2

D、

1 2

考点3：两条直线的平行和垂直

对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1//l2k1k2，l1l2k1k21。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意

例、已知点M2,2，N5,2，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。 (1)MOPOPN(O是坐标原点)；(2) MPN是直角

题型2：直线方程

考点1：直线方程的求法

例1、下列四个命题中的真命题是（ ）

A、经过定点Px0、y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示

B、经过任意两个不同的点P1x1、y1和P2x2、y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1表示

xy

1表示 ab

D、经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示

C、不经过原点的直线都可以用方程

例2、若m4xm4m3y10表示直线，则（ ）

2

2



A、m2且m1，m3 B、m2 C、m1且m3 D、m可取任意实数 变式1：直线2x3y60在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）

A、a3,b2 B、a3,b2 C、a3,b2 D、a3,b2

变式2：过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ；在两轴上的截距相等的直线方程

变式3：过点P(2,1)，在x轴和y轴上的截距分别为a、b，且满足a3b的直线方程是 考点2：用一般式方程判定直线的位置关系

两条直线位置关系的判定，已知直线l1:A1xB1yC10 ，l2:A2xB2yC20，则

(1) l1//l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或(2) l1l2A1A2B1B20

(3) l1与l2重合A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或

A1B1C1

(A2、B2、C2均0) 

A2B2C2

A1B1C1

(A2、B2、C2均0) 

A2B2C2

(4) lA11与l2相交A1B2A2B10或记AB1

(A2、B2均0) 2B2

例1、已知直线mxny10平行于直线4x3y50，且在y轴上的截距为

1

3

，则m、n的值分别为（ A、4和3 B、4和3 C、4和3 D、4和3 变式1：直线l1:kxy20和l2:x2y30, 若l1//l2，则l1在两坐标轴上的截距的和（ ）

A、1 B、2 C、2 D、6 例2、已知直线axy2a0与直线2a1xaya0互相垂直，则a等于（ ）

A、1 B、0 C、1或0 D、1或1 变式2：两条直线mxyn0和xmy10互相平行的条件是（ ）

A、m1 B、m1 C、

m1n1 D、m1n1或m1

n1

变式3：两条直线x3ym0和3xyn0的位置关系是（ ）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、与m、n的取值有关 变式4：原点在直线l上的射影是P2,1，则直线l的方程为（ ）

A、x2y0 B、x2y40 C、2xy50 D、2xy30 例3、三条直线xy10、2xy40、axy20共有两个交点，则a的值为（ ）

A、1 B、2 C、1或2 D、1或2

变式5：直线3xk2yk50与直线kx2k3y20相交，则实数k的值为（ ）

A、k1或k9 B、k1或k9 C、k1且k9 D、k1且k9 变式6：直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为 ( )

）

A、y

1111

x B、yx1 C、y3x3 D、yx1 3333

考点3：直线方程的应用

1、直线y3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线（ ）

A、 y

1111

x B、 yx1 C、 y3x3 D、 yx1 3333

2、直线方程ykxb中，当x3,4时，y8,13，此直线方程

1且分别与x、y轴正半轴交于A,B两点，O为坐标原点，(1)当AOB的面积最小时，求直线▲直线l过点M2，

l的方程；(2)当MAMB取得最小时，求直线l的方程；(3)当OAOB最小时，求直线l的方程。

考点4：直线方程的实际应用

例1、求直线2x5y100与坐标轴围成的三角形的面积

变式1：过点5,4且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是

例2、已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB面积的最小值？

题型3：直线的交点坐标与距离公式

考点1：三条直线交于一点问题

例1. 三条直线ax2y80，4x3y10和2xy10相交于一点，求a的值

考点2：求过交点的直线问题

例1. 求经过两直线2x3y30和xy30的交点且与直线5xy10平行的直线方程为

（注意平行直线系方程）

A、y1111x B、yx1 C、y3x3 D、yx1 3333

考点3：直线方程的应用

1、直线y3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线（ ）

A、 y1111x B、 yx1 C、 y3x3 D、 yx1 3333

2、直线方程ykxb中，当x3,4时，y8,13，此直线方程

1且分别与x、y轴正半轴交于A,B两点，O为坐标原点，(1)当AOB的面积最小时，求直线▲直线l过点M2，

l的方程；(2)当MAMB取得最小时，求直线l的方程；(3)当OAOB最小时，求直线l的方程。

考点4：直线方程的实际应用

例1、求直线2x5y100与坐标轴围成的三角形的面积

变式1：过点5,4且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是

例2、已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB面积的最小值？

题型3：直线的交点坐标与距离公式

考点1：三条直线交于一点问题

例1. 三条直线ax2y80，4x3y10和2xy10相交于一点，求a的值

考点2：求过交点的直线问题

例1. 求经过两直线2x3y30和xy30的交点且与直线5xy10平行的直线方程为

（注意平行直线系方程）

考点3：有关对称问题

(1)中心对称：①点-点-点对称——由中点坐标求得；②线-点-线对称——先找对称点，在根据l1//l2求得。

(2)轴对称：①点关于直线的对称——由中点坐标及k1k21求得；②直线关于直线的对称——转化到点关于直 线对称求得。

1、点4,0关于直线5x4y210对称的点是（ ）

A、6,8 B、8,6 C、6,8 D、6,8

2、已知点Pa,b和点Qb1,a1是关于直线l对称的两点，则直线l的方程为（ ）

A、xy0 B、xy0 C、xy10 D、xy10

3、如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）

A、2 B、6 C、33 D、2

4、过点M3,4且与A1,3、B2,2两点等距离的直线方程是

5、若直线axy10和直线4x2yb0关于点2,1对称，求a、b的值

6、求直线l1:y2x3关于直线l:yx1对称的直线l2的方程

考点4：有关最值问题

例1、设直线l过点P1,2，求当原点到此直线距离最大时，直线l的方程

变式1：已知A1,1、B1,1直线l:xy10，求直线上一点P，使得PAPB最小；求直线上一点P，使得PAPB最大

考点5：直线通过象限问题

例1、若AC0，BC0，则直线AxByC0不通过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

变式1：若直线3a2xy80不过第二象限，则实数a的取值范围是

变式2：若直线axbyc0过第一、二、三象限，则（ ）

A、ab0、bc0 B、ab0、bc0 C、ab0、bc0 D、ab0、bc0

变式3：直线ykxk1与kyx2k0交点在第一象限，则k的取值范围是（ ）

A、0k1 B、k1或1k0 C、k1或k0 D、k1或k

考点6：有关定点问题

1、若p、q满足p2q1，直线px3yq0必过一个定点，该定点坐标为

2、直线axby60与x2y0平行，并过直线4x3y100和2xy100的交点，则a ，b

3、无论m、n取何实数，直线3mnxm2nyn0都过一定点P，则P点坐标为（ ）

A、1,3 B、

考点7：有关距离问题

1、 若点2,2到直线3x4yc0的距离为3，求c的值 1 2131313, C、, D、, 225577

2、 求两平行值线l1:3x4y10和l2:3x4y15间的距离

3、过点P1,2的直线l与两点A2,3、B4,5的距离相等，则直线l的方程为（ ）

A、4xy60 B、x4y60 C、3x2y7或4xy6 D、2x3y7或x4y6

4、直线l1过点A3,0，直线l2过点B0,4，l1//l2，用d表示l1和l2的距离，则（ ）

A、d5 B、3d5 C、0d5 D、0d5

5.（构造“距离”求最值

）已知函数f(x)，求f(x)的最小值，并求取得最小值时

x的值

考点6：解析法（坐标法）应用——即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题

如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PMAB于M，PNAC于

N，证明PMPN为定值