《函数的单调性》说
彭阳县第三中学 祁瑞萍
各位领导、老师你们好！我今天说课的内容是《函数的单调性》。以下我从六个方面来汇报我是如何研究教材、备课和设计教学过程的。
一、教材分析
我选用的教材是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修一）第一章1.3.1第一节《函数的单调性》。本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的其它性质出现。它既是在学生学过函数概念图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。也是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．
二、学情分析
高一学生已学习了函数的概念等知识，并且接触了一些特殊的单调函数，因此学生已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决问题。但我所教学生数学基础较薄弱，理解力不够强，只能利用数形结合解决简单问题，归纳转化的能力还有待进一步提高，观察讨论能力有待进一步的加强。根据上述教学内容的地位和作用，结合教学大纲和学生的实际，确定了以下的教学目标和教学重点和难点：
确定教学目标的依据：
确定以上教学目标，不仅仅是新课程标准的要求，同时也符合高一学生的认知特点。高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。以上教学目标是根据教学大纲、教学内容及学生的学习心理和认知结构来确定的
教学的重点﹑难点﹑关键及成因
教学重点：函数单调性的概念与判断并证明函数的单调性。
教学难点：
知识教学方面：简单函数单调性的判定。如何启发学生自己构思出函数单调性的判定方案。
情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围，以激发学生的创造力，增强学生知难而进的决心。
关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程．
三、目标分析
新课程倡导课堂教学要实现多维目标：知识与能力，过程与方法，情感、态度与价值观。
知识与能力，既是课堂教学的出发点，又是课堂教学的归宿。教与学，都是通过知识与能力来体现的。在本节课中我确定如下知识目标：让学生理解增函数和减函数的定义，并能根据定义证明函数的单调性；让学生了解函数的单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学思想，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法。
过程与方法，既是课堂教学的目标之一，又是课堂教学的操作系统。新课程倡导对学与教的过程的体验、方法的选择，是在知识与能力目标基础上对教学目标的进一步开发。在本节课中我把“培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、类比的方法思想去分析和处理问题，以提高学生的思维品质，通过函数的单调性的学习，掌握自变量和因变量的关系。通过多媒体手段激发学生学习兴趣，培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。”
情感、态度与价值观，既是课堂教学的目标之一，又是课堂教学的动力系统。新倡导对学与教的情感体验、态度形成、价值观的体现，是在知识与能力、过程与方法目标基础上对教学目标深层次的开拓。
情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲。
思想目标：在引导学生观察、发现、归纳的过程中，渗透“数形结合”、“从特殊到一般”等数学思想方法，在得出数学概念、推理、论证数学结论的过程中培养学生的逻辑推理能力和创新意识，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析的良好思维习惯，引导学生形成学以致用的意识。同时，培养学生对数学美的艺术体验。
四、教法学法分设计
新课程标准认为课堂教学不仅仅是教师的教，更是学生主动参与、对知识自主建构的过程。这里我从教法、学法和教学手段三个方面进行说明：
（一）教学方法
本节课采用问答式教学法、探究式教学法，教师在课堂中只起着带路人向导作用，让学生在教师的提问中自觉的发现新知，探究新知。并且加入激励性的语言提高学生的积极性，提高学生参与知识形成的全过程。
在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教
材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数，学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。根据以上分析，本节课教学方法以在多媒体辅问答式教学法、探究式教学法为主。其基调为：自主探索、合作交流、归纳总结、练习巩固，注重“引、思、探、练”的结合。
（二）学习方法
建构主义理论认为：知识不是被动接受的, 而是认知主体积极主动建构的。现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的 。在本节课中，对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理。因而：自我探索、自我思考总结、归纳，自我感悟，合作交流，成为本节课学生学习的主要方式。
五、教学过程设计
本节课的教学过程包括：提出问题，引入新课、探索新知，讲授新课、例题讲解，巩固新知、课堂练习，升华新知、归纳总结，布置作业、板书设计共六个板块。这里分别就其过程和设计意图一一分析。
（一）提出问题，引入新课：
函数是刻画两个变量之间的数学模型，在我们生活中刻画两个变量的数据模型是很多的，比如说股票的涨跌、降雨量等等。本节课设计了一个生活背景图片：“某一天温度的变化图象”，激发学生的学习兴趣和求知欲望，为学习函数的单调性做好铺垫。同时提出问题引入新课。
问题1、设计意图：让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。并引出新课的课题——函数的单调性。
（二）新知探究，讲授新课
让学生观察函数的对应值表，发现自变量变化时，函数值是如何变化的?
问题2、设计意图：
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。目的突出重点、突破难点。
问题3、通过函数的图象和函数值表很容易判断函数的单调性，但是如果只给出函数的解析式时如何来判断函数的单调性？
设计意图：引起学生的认知冲突，把学生的注意力从图表上转到解析式上，让学生体会从解析式上研究函数单调性的必要性。
问题
4
设计意图
用具体的例子将学生对函数的单调性的认识从函数图表过渡到函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，从而得出函数单调性的定义。
抽象思维形成概念：
本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。教学中，引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义. 然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念, 对定义中关键的地方进行强调。
设计意图：体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。培养学生的观察能力和用运动变化的观点看问题，同时渗透了数形结合和类比的思想，加深学生对定义的理解。
（三）例题讲解，巩固新知
设计意图：例1旨在让学生学会通过函数图象来判断函数的单调区间及函数在各区间的单调性；并加深对单调性是局部性质的理解。
例2设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函数单调性的理解。
（四）课堂练习，升华新知
启发学生利用图象和单调性概念解决相关实际的问题。目的是加深学生对定义的理解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同时为导数的教学作准备。
（五）归纳总结，布置作业
目的是加深学生对定义的理解，而思考题使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程，体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性，加深对数形结合的认识。
（六）板书设计
六：评价分析
现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：
（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”．
（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
建构主义理论认为：知识不是被动接受的, 而是认知主体积极主动建构的. 本课的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程, 体验参与数学知识的发生、发展过程 ，发展“用数学”的意识和能力, 成为积极主动的建构者 。在本节课中，根据学生能力的高低，学生是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题. 在解决问题中，能否既独立思考又与他人交流与合作，能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善，在设计本教案时，增加了教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程. 与此同时，教师应不失时机地鼓励、肯定和表扬学生，调动课堂学习氛围，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，实践新的教育理念.
总之：在本节课中，围绕着教学的重点，针对教学目标，利用多媒体技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。以上是我对本节课教学设计的一些肤浅的认识，不到之处，望多指正。
《函数的单调性》说
彭阳县第三中学 祁瑞萍
各位领导、老师你们好！我今天说课的内容是《函数的单调性》。以下我从六个方面来汇报我是如何研究教材、备课和设计教学过程的。
一、教材分析
我选用的教材是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修一）第一章1.3.1第一节《函数的单调性》。本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的其它性质出现。它既是在学生学过函数概念图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。也是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．
二、学情分析
高一学生已学习了函数的概念等知识，并且接触了一些特殊的单调函数，因此学生已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决问题。但我所教学生数学基础较薄弱，理解力不够强，只能利用数形结合解决简单问题，归纳转化的能力还有待进一步提高，观察讨论能力有待进一步的加强。根据上述教学内容的地位和作用，结合教学大纲和学生的实际，确定了以下的教学目标和教学重点和难点：
确定教学目标的依据：
确定以上教学目标，不仅仅是新课程标准的要求，同时也符合高一学生的认知特点。高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。以上教学目标是根据教学大纲、教学内容及学生的学习心理和认知结构来确定的
教学的重点﹑难点﹑关键及成因
教学重点：函数单调性的概念与判断并证明函数的单调性。
教学难点：
知识教学方面：简单函数单调性的判定。如何启发学生自己构思出函数单调性的判定方案。
情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围，以激发学生的创造力，增强学生知难而进的决心。
关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程．
三、目标分析
新课程倡导课堂教学要实现多维目标：知识与能力，过程与方法，情感、态度与价值观。
知识与能力，既是课堂教学的出发点，又是课堂教学的归宿。教与学，都是通过知识与能力来体现的。在本节课中我确定如下知识目标：让学生理解增函数和减函数的定义，并能根据定义证明函数的单调性；让学生了解函数的单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学思想，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法。
过程与方法，既是课堂教学的目标之一，又是课堂教学的操作系统。新课程倡导对学与教的过程的体验、方法的选择，是在知识与能力目标基础上对教学目标的进一步开发。在本节课中我把“培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、类比的方法思想去分析和处理问题，以提高学生的思维品质，通过函数的单调性的学习，掌握自变量和因变量的关系。通过多媒体手段激发学生学习兴趣，培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。”
情感、态度与价值观，既是课堂教学的目标之一，又是课堂教学的动力系统。新倡导对学与教的情感体验、态度形成、价值观的体现，是在知识与能力、过程与方法目标基础上对教学目标深层次的开拓。
情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲。
思想目标：在引导学生观察、发现、归纳的过程中，渗透“数形结合”、“从特殊到一般”等数学思想方法，在得出数学概念、推理、论证数学结论的过程中培养学生的逻辑推理能力和创新意识，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析的良好思维习惯，引导学生形成学以致用的意识。同时，培养学生对数学美的艺术体验。
四、教法学法分设计
新课程标准认为课堂教学不仅仅是教师的教，更是学生主动参与、对知识自主建构的过程。这里我从教法、学法和教学手段三个方面进行说明：
（一）教学方法
本节课采用问答式教学法、探究式教学法，教师在课堂中只起着带路人向导作用，让学生在教师的提问中自觉的发现新知，探究新知。并且加入激励性的语言提高学生的积极性，提高学生参与知识形成的全过程。
在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教
材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数，学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。根据以上分析，本节课教学方法以在多媒体辅问答式教学法、探究式教学法为主。其基调为：自主探索、合作交流、归纳总结、练习巩固，注重“引、思、探、练”的结合。
（二）学习方法
建构主义理论认为：知识不是被动接受的, 而是认知主体积极主动建构的。现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的 。在本节课中，对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理。因而：自我探索、自我思考总结、归纳，自我感悟，合作交流，成为本节课学生学习的主要方式。
五、教学过程设计
本节课的教学过程包括：提出问题，引入新课、探索新知，讲授新课、例题讲解，巩固新知、课堂练习，升华新知、归纳总结，布置作业、板书设计共六个板块。这里分别就其过程和设计意图一一分析。
（一）提出问题，引入新课：
函数是刻画两个变量之间的数学模型，在我们生活中刻画两个变量的数据模型是很多的，比如说股票的涨跌、降雨量等等。本节课设计了一个生活背景图片：“某一天温度的变化图象”，激发学生的学习兴趣和求知欲望，为学习函数的单调性做好铺垫。同时提出问题引入新课。
问题1、设计意图：让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。并引出新课的课题——函数的单调性。
（二）新知探究，讲授新课
让学生观察函数的对应值表，发现自变量变化时，函数值是如何变化的?
问题2、设计意图：
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。目的突出重点、突破难点。
问题3、通过函数的图象和函数值表很容易判断函数的单调性，但是如果只给出函数的解析式时如何来判断函数的单调性？
设计意图：引起学生的认知冲突，把学生的注意力从图表上转到解析式上，让学生体会从解析式上研究函数单调性的必要性。
问题
4
设计意图
用具体的例子将学生对函数的单调性的认识从函数图表过渡到函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，从而得出函数单调性的定义。
抽象思维形成概念：
本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。教学中，引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义. 然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念, 对定义中关键的地方进行强调。
设计意图：体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。培养学生的观察能力和用运动变化的观点看问题，同时渗透了数形结合和类比的思想，加深学生对定义的理解。
（三）例题讲解，巩固新知
设计意图：例1旨在让学生学会通过函数图象来判断函数的单调区间及函数在各区间的单调性；并加深对单调性是局部性质的理解。
例2设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函数单调性的理解。
（四）课堂练习，升华新知
启发学生利用图象和单调性概念解决相关实际的问题。目的是加深学生对定义的理解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同时为导数的教学作准备。
（五）归纳总结，布置作业
目的是加深学生对定义的理解，而思考题使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程，体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性，加深对数形结合的认识。
（六）板书设计
六：评价分析
现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：
（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”．
（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。
建构主义理论认为：知识不是被动接受的, 而是认知主体积极主动建构的. 本课的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程, 体验参与数学知识的发生、发展过程 ，发展“用数学”的意识和能力, 成为积极主动的建构者 。在本节课中，根据学生能力的高低，学生是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题. 在解决问题中，能否既独立思考又与他人交流与合作，能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善，在设计本教案时，增加了教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程. 与此同时，教师应不失时机地鼓励、肯定和表扬学生，调动课堂学习氛围，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，实践新的教育理念.
总之：在本节课中，围绕着教学的重点，针对教学目标，利用多媒体技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。以上是我对本节课教学设计的一些肤浅的认识，不到之处，望多指正。