第二章 单自由度无阻尼系统的振动
单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。
2—1 自由振动
图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，mg =k δ，故有静位移
δ=mg/k （a ）
当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：
=-k (x +δ) +mg (b) m x
=d x /dt 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 m =-kx 即 x 式中: x
2
2
+kx =0 （2-1） m x
注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
+将（2-1）式改写成 x
k k
x =0，令=p 2 则得 m m
+p 2x =0 （2-2）x
这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。其解为
x =D 1cos pt +D 2sin pt （2-3） 式中两个积分常数D 1及D 2由初始条件确定。令t=0时，x(0)=x0 ，x (0) =x 0，得 D 1=x0，
0/p。将D 1、D 2值代入（2-3）式, 得 D 2=x
x =x 0cos pt +
0x
sin pt （2-4）
p
由式（2-4）可见，由初始条件引起的自由振动是按正弦、余弦函数变化的两个简谐运动组成的，这两个同频率的简谐运动仍可合成为一个简谐运动。 令：
A =
2
0/p ) 2 （2-5）x 0+(x
ϕ=tg -1
则式（2-4）可改写为
px 0
0x
(2-6)
x =A sin(pt +ϕ) （2-7）
上式表示无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图2-3所示。上式中A 称为振幅，φ
称
为初相角。p 称为振动系统振动的圆频率。其表达式为
p =k m （rad/s） （2-8）
每秒时间内的振动次数称为系统的振动频率，用f 表示。 f =P /2π=
1
2π
k m （HZ ） （2-9）
系统的振动重复一次所需要的时间间隔称为振动周期，用T 表示。
T =1/f =2πm k （s ） （2-10）
0的数值，这就是说A 由此可见，简谐振动的振幅A 与初相角φ的大小取决于p 、x 0、x
与φ不仅取决于系统的k 与m ，而且还随初始条件的不同而改变；而振动频率及周期只与系
统的本身性质（弹性与惯性）有关，而与初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为固有频率与固有周期。同样质量的两个系统，弹簧刚度小的系统固有频率低，弹簧刚度大的系统固有频率高；而刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。
系统的固有频率也可以从弹簧的静变形算出。由式（a ）可得k /m =g /δ，代入（2-9）式即得
f =
12π
g /δ （2-11）
[例2-1] 均匀悬臂梁长为L ，弯曲刚度为EJ ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，
如图2-4所示。试写出系统的振动微分方程，并求出固有频率。
解：将该系统简化为单自由度振动系统，悬臂梁相当 一根弹簧。由材料力学中悬臂梁的挠度公式知，当在梁的自由端作用一垂直力P 时，该点的静挠度为δ=pL /3EJ ，故悬臂梁的刚度k =p /δ=3EJ /L 。所以梁端物体的振动微分方程为
3
3
=-m y
+即 y
固有频率为 f =
3EJ
y 3L
3EJ
y =0 3
mL 12π
3EJ
。 mL 3
在振动系统中，常遇到多个弹簧以不同的方式连接的问题，其中常见的为弹簧的串联与并联，以下研究这两种连接方式下振动系统的固有频率及弹簧刚度。
1. 弹簧并联 设物块在重力m g 作用下作平移，其静变形为δst ，两个弹簧分别受力为F
1
和F 2（图2-5a 、b ），因弹簧变形量相同，因此 F 1=k 1δst ， F 2=k 2δst 在平衡时有
mg=F1+F2=(k1+k2) δSt
令
k eq =k1+k2 k eq 称为等效弹簧刚度系数，上式成为
mg= keq δST
或
δST = mg/keq
因此上述并联系统的固有频率为 p =
k eq m
=
k 1+k 2
m
由此可见，当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
2. 弹簧串联 图2-6所示两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为
δst 1=
两个弹簧总的静伸长
mg mg
， δS t 2= k 1k 2
δst =δst 1+δst 2=mg
⎛11⎫
+⎪⎪ k k 2⎭⎝1
若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为k eq ，则有δst =mg /k eq 比较上面两式得
111
=+ k eq k 1k 2
或 k eq =上述串联弹簧系统的固有频率为
k 1k 2
k 1+k 2
p =
k eq m
=
k 1k 2
m (k 1+k 2)
由此可见, 当两个弹簧串联时, 其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。
应注意，判断弹簧是并联还是串联，不能按表面形式来划分，而须从力和位移的分析来判断，一般，若各弹簧受力相等则为串联，而变形相等则为并联。
[例2-2] 图2-7所示并联弹簧系统，假定杆AB 为刚性杆，刚杆可以在图示平面内绕O 点偏转，求杆上O 点的等效弹簧刚度。
解：假定在O 点有作用力Q ，则A 、B 两点的作用力Q A 、Q B 分别为： Q A =
b a Q , Q B =Q a +b a +b
A、B 两点的弹簧变形δA , δB 分别为：
δA =
Qb
(a +b ) k 1Qa
(a +b ) k 2
δB =
点O 的位移为：
⎡Qa Qb Qb ⎤a Q a
δO =δA +(δB -δA ) =+⎢-=⎥
a +b (a +b ) k 1⎣(a +b ) k 2(a +b ) k 1⎦a +b (a +b ) 2
所以，等效弹簧刚度
⎛a 2b 2⎫ k +k ⎪⎪
1⎭⎝2
a 2b 2
k =Q /δO =(a +b ) /(+)
k 2k 1
2
当
a b =时, 即A 、B 、O 点的位移相等时，k=k1+k2。 k 2k 1
除弹簧与质量组成的振动系统外，工程中还有很多振动系统，如扭振系统、多体系统等，这些系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程却有相同的形式。
图2-8为一扭振系统，其中圆盘对于中心轴的转动惯性为Ⅰ，刚性圆盘固结在扭杆的一端。扭杆另一端固定，圆盘相对于固定端的扭转角度用ϕ表示，扭杆的扭转刚度系数为k t ，它表示使圆盘产生单位扭转角所需的力矩。根据刚体转动微分方程可建立圆盘转动的运动微分方程为
d 2ϕ
I 2=-k t ϕ dt
令ω=
2
k t
, 则上式可变为
I
d 2ϕ2
（2-12） +ωϕ=0 2
dt
此式与式（2-2）形式相同，其解亦类似，即其通解为
ϕ=A sin(pt +θ)
其固有频率、固有圆频率及周期分别为 f =
1z π
p =k t /I , T =2πI /k t （2-13） k t /I ，
=θ , 则 θ振幅A 和初相角θ也决定于扭转振动的初始条件。若t=0时，θ=θ0 ，0
2θθP
A =+02 φ=tg -10
P θ0
2
[例2-3] 可绕水平轴O 摆动的物体称为复摆（亦称物理摆），设物体的重量为W ，对轴O 的转动惯量为I O ，重心C 至轴O 的距离为a ，如图2-9所示。求复摆微幅振动的微分方程及固有频率。
解：以θ表示摆在任一瞬时偏离垂直平衡位置的角位移。此时，重心C 作圆弧运动，重力的切向分力Wsin θ将产生一个恢复力矩Wasin θ。根据刚体定轴转动的微分方程，可得复摆绕定轴o 转动的微分方程为
＝-Wasin θ I O θ
在θ微小时，可令sin θ=θ，于是上式可写为
+ θ
Wa
=0 I 0
wa
t +ϕ) ，固有圆频率为p =I o
这就是所求的振动微分方程。它的通解θ=A 固有频率为：
wa I o
，
f =
12π
wa I o
（2-14）
由于计算形式复杂的构件的转动惯量相当困难，方程（2-14）提供了一个用实验确定转
动惯量的方法。设物体的重量w 与距离a 均为已知，由微福摆动实验测出固有频率f 后，就
2
可由（2-14）式计算出转动惯量I 0，I o ＝wa/(2πf) . 也可再根据转动惯量的平行轴定量计算出物体绕重心点转动惯量，I C =I O -
w 2
a 。
g
2—2计算固有频率的能量法
能量法是从机械能守恒定律出发的，对于计算较复杂系统的固有频率往往更为方便。 在介绍能量法以前，先将有关动能与势能的计算结果简述如下： 1. 动能T
12
mv ； 2
1
2）定轴转动的刚体，在对转轴转动惯量为I ，角速度为ω时，T ＝I ω2；
2
12122
3) 平面运动的刚体，T=mv c +I C ω(式中υc 表示物体质心的速度，I C 表示物体通
22
1） 质量为m 的质点（或者平动刚体）在速度为v 时，T ＝
过质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量) 。
2. 势能U ： 1）弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程中所做的功。螺旋弹簧伸长（或缩短）x 时，U =
⎰
X
11
kxdx =2，转轴有扭角θ时，U =k t θ2；
22
2）刚体的重力势能，U=PZC (P 为重力，Z C 为从任意选定的某一基准位置量起重力P 的垂
直坐标，高出基准位置时Z C 为正值，反之为负值) 。
对于无阻尼自由振动来说，系统没有能量损失，振系在自由振动时的动能和势能之和（即机械能）保持常数，令T 和U 分别代表振系的动能和势能，有
T ＋U ＝常数 或
d
（2-15） (T +U ) =0
dt
利用（2-15）式，可建立保守系统的运动微分方程，进而可求系统的固有频率，如对于图2-2所示单自由度无阻尼系统，动能为T=
112
，势能为U=kx 2。代入（2-15）式得 m x
22
+kx ) x =0, 即 m +kx =0 (m x x
所得方程与用牛顿定律所得的结果相同。由此可求得固有频率。
系统的固有频率亦可用下述方法来计算。如系统作简谐振动，则质量通过静平衡位置时，U=O，T=Tmax ，而在到达最大位置时，质量的速度为零，即T=0，U=Umax 。这样系统反复运动时，其总能量交替地从动能转化为势能，再从势能转化为动能，因此势能的最大值应等于动能的最大值，即
T max =Umax (2-16)
由式（2-16）可直接求得系统的固有频率。
[例2-4] 细杆OA 可绕水平轴O 转动，如图2-10所示。在静平衡时成水平位置，杆端重物质量为m 。杆与弹簧的质量均可略去不计。求自由振动的微分方程及固有频率。
解：在杆有小偏角ϕ时，弹簧的伸长以及重物的位移与速度可以很近似的表示为a ϕ，b ϕ与b ϕ'。故振系的动能与势能可表示为：
T =
11
) 2，U =k (a ϕ) 2 m (b ϕ22
代入（2-15）式，有
d ⎡1122⎤ m (b ϕ) +k (a ϕ) ⎥=0 dt ⎢22⎣⎦
由此可得
+ϕ
圆频率 p =
k a 2
() ϕ=0 m b
a a k /m ， 固有频率 f =k /m 。 b 2πb
在前面讨论中，曾假定弹簧元件（弹簧、悬臂梁、扭轴等）的质量远小于振动物体的集
中质量，因而可以略去不计，这样使原有分布质量的振系简化为单自由度的振系，在不少工程中，这种方法所得的结果已经足够精确。但若弹簧本身的质量并不是远小于集中质量，此时若再忽略弹簧的质量就将使得计算出来的系统固有频率偏高。对这样的振系，可以把能量法加以引伸，既考虑分布质量的影响，又仍把问题简化为单自由度振系，从而求出相当准确的固有频率。这种方法称瑞利法。应用瑞利法时，必须先对系统的振动形式作出假定。而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值。实践证明，以系统的静变形曲线作为假定的振动形式，则所得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小的。
[例2-5] 在图2-11所示系统中，设弹簧在静平衡位置的长度为L ，弹簧的质量为m s ，用瑞利法求振系的固有频率。
解：用瑞利法求固有频率时，若计算变形，则不计弹性体质量，若计算能量，则应计及弹性体质量。
1．求系统动能；设弹簧变形仅受集中质量m 影响，最大值为X max ,
。因为计算变形不计弹簧质量，故弹簧上各点位移，最大速度为X max
速度与该点距固定端的距离成正比，据此，距固定端为ε处的弹簧微段
X m
d ε的速度为m ε，该微段d ε质量为s d ε，动能为
L L
22 2X X m s X 1m s 2L 1m s m m m
d ε(ε) ，整个弹簧动能T 1=⎰0() εd ε=， 2L L 2L L 32 21 2X X 12m =m (m +m s ) 。 +m X 系统动能T =m s m
32223
2．求系统势能：取势能O 点于m S ，m 共同作用下的平衡位置，则系统势能表达式中不出现重力势能项，故系统势能为U m =
K 2
X m 。
2
2 2X m s KX m m ax ax
3．令 Tm=Um 得： (m +) =
232
4．假定振型（按集中参数类型应有的振型假定） X =A sin(Pt +ϕ) 对简谐振动来说，上式即成为
m P 2K
(m +s ) = 232
由此可得系统的固有频率
p =
1K
， f =
2πm +(m s /3K
m +(m s /3)
上式中的m s /3通常称为“弹性的等效质量”。不同的振系，其弹簧的等效质量不同。
将上式与（2-9）式比较，可见弹簧质量对系统固有频率是有影响的。计算表明，对这样的系统，当需要考虑弹簧质量的影响时，只需要将弹簧的等效质量（m s /3）当作一个集中质量加到质量块上即可。这样的近似解在使用上是比较满意的。例如当m s =m/2时，上述近似值与准确相比误差约为0.5%，m s =m时，误差约为0.8%，而m s =2m时，误差也仅为3%。
[例2-6] 图2-12所示为一均质等截面悬臂梁。设悬臂梁单位长度质量为ρ，在梁端有一集中质量m ，求系统的固有频率。
解：由材料力学知，悬臂梁在梁端有集中载荷P （=mg）作用下的静挠度为f=PL /3EJ , 截面x 处的桡度
2
P 3Lx 2-x 33Lx 2-x 3
y =() =f ()
3EJ 2L 32L 3
把上式作为梁在自由振动过程中任一瞬时各截面的垂直位
移，亦即梁的振动形式。此时式中y 与f 都将随时间变化，因为是简谐运动，设
f =A sin(Pt +ϕ)
则
23
3LX -X =AP cos(Pt +ϕ) y ( =f f ) 3
2L
梁的动能为
T=
故整个系统的最大动能为
⎰
L
1 3Lx 2-x 32133ρ(f ) dx =(ρL ) f 2 3221402L
T m ax =
1 2133 2=1(m +33ρL ) f 2=1(m +33ρL ) A 2P 2 m f m ax +(ρL ) f m ax m ax [1**********]40
U m ax =
121
kf m ax =KA 2 22
3
而系统势能的最大值为
式中K 为梁的弹簧刚度，对于悬臂梁带有梁端集中质量时，K=3EJ/L 。由
T m ax =U m ax
得
1331(m +ρL ) A 2P 2=KA 2 21402
3EJ
(m +33ρL /140) L 3
P =
13EJ
f =
2π(m +33ρL /140) L 3
可见，悬臂梁的质量对振系固有频率的影响相当于在自由端处再加上梁的等效质量，即
梁质量（ρL ）的33/140。
2—3在简谐激扰力作用下的强迫振动
工程中的振动系统，常受外力作用而产生振动，称外加的力为激扰力或扰力，在扰力作用下的振动称为强迫振动。
工程中常见的扰力多是周期变化的，如一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等引起的扰力。简谐扰力是一种典型的周期变化的激扰力，简谐扰力F 与时间的关系为F=F0sin ωt 其中F 0称为力幅，在此扰力作用下的无阻尼振动系统的运动规律如下所求。 ω称为激扰频率。
设振动系统（见图2-13）物块质量为m ，弹簧刚度为k 。建立图示坐标系，坐标原点位于物块平衡位置处。
由质点运动微分方程，有
=-k (δ+x ) +mg +F （a ） m x
由于k δ＝mg ，所以上式可写成
+p x = x
式中p ＝k/m。
2
2
F 0
sin ωt （2-17） m
这是非齐次常系数二阶微分方程，其解由两部分组成： x （t ）＝x 1（t ）＋x 2（t ），其中x 1对应于方程（2-17）的齐次通解，x 2为方程（2-17）的特解。前已求得x 1为
x（＝D 1cospt ＋D 2sinpt=Asin(pt+ϕ) （b ） 1t ）现求特解x 2。由于微分方程（2-17）含有x 2以及它的二阶导数和另一正弦函数，故设特解为如下形式
x （＝Bsin ωt （c ） 2t ）
式中B 是未知常数，要求这个常数必须使假设解确实满足这个微分方程。为此把（c ）式代入方程（2-17），得
-B ω2sin ωt +Bp 2sin ωt =F 0sin ωt m
故 B =F 0/m F 01= （2-18） 222k 1-λp -ω
式中λ=ω/p 称为频率比。
由式（c ）可得
x 2=F 0F 011sin ωt =sin ωt （2-19） 222m p -ωk 1-k
因此微分方程（2-17）的通解为
x =D 1cos pt +D 2sin pt +F 01sin ωt (2-20) 2k 1-λ
式中D 1及D 2可由运动的初始条件确定。为此，先将（2-20）式对时间t 求导得
＝－D 1psinpt +D 2p cos pt +x F 0cos ωt (d) 1-λ2
0，代入到方程（2-20）及（d ）式，求出D 1及将物体在t ＝0时的初始位移x 0与初始速度x
D 2为
D 1=x0， D2＝ 0F 0λx - 2p k 1-λ
代回（2-20）式，即得
x =x O cos pt + 0x F 1ω sin pt +0(sinωt -sin pt ) （2-21）p K 1-λ2p
上式右端前两项所表示的是振系由初始条件引起的自由振动，其频率为P ，振幅决定于初始条件；第三项表示的是振系在正弦扰力作用下的强迫振动，其频率与扰力频率相同，而振幅与运动的初始条件无关；第四项表示的是由扰力引起的自由振动，频率为P 。如果初始条件
0=0，则上式可简化为 为 x 0=0、x
x =F 01ω（2-22） (sinωt -sin Pt ) K 1-λ2P
可见，扰力不仅激起强迫振动，同时还要引起自由振动，二者都是简谐运动，但二者频率不相等，它们之和不是一个简谐运动，只有当二者的频率成整数倍时，其和才是周期运动。对于振系在简谐激扰力作用下的运动，应重点研究的是强迫振动，这是由于经过若干个周期后，强迫振动将达到稳态而自由振动则因系统总有阻尼存在，会逐渐衰减下去的。由（2-18）式，令F/k＝B 0，B 0相当于静力F 0作用在弹簧上引起的静变形。将（2-18）式改写成
β=B /B 0=1/1-λ2 （2-23）
β=B /B 0是强迫振动的振幅与静变形之比，称为振幅比或振
幅放大因子，振幅比仅决定于频率比λ，B/B0与λ的关系可用图
2-14表示。从图中可以看出，当λ
即B ≈B 0，这时振幅几乎与激扰力幅值F 0静作用在弹簧上产生的静
变形B 0差不多，系统的静态特性是主要的；当λ逐渐增加，振幅
比B/B0亦随之增加，系统的振幅增大，当λ＝1（ω
幅比B/B0变成无穷大，即强迫振动振幅变成无穷大，这就是“共
振”现象。共振在振动问题中占有特别重要的地位，许多机器因振
动遭到破坏，其相当一部分原因是由于机器处于共振状态附近运转
所致。在λ＞1时，振幅比随λ的增加而减少，当λ＞＞1（ω＞＞P ）时，振幅比趋近于零。这就是说，当激扰频率ω远远超过系统的固有频率p 时，振
幅反而很小。
下面研究强迫振动位移与激扰力之间的相位关系，由
（2-23）式可见，当λ＜1（ω
强迫振动与激扰力相同，所以强迫振动与激扰力之间的相位
角ψ=0；当λ>1（ω>P）时，振幅比B/B0为负，强迫振动与
激扰力反相，ψ=π。在λ=1（ω=P）的前后，相位角ψ分别
是零和π。在ω=P时，ψ突然变化。图2-15表示了相位角ψ
与频率比λ之间的关系。
上面提到在共振情况下，即λ=1时，振幅趋于无穷大，事实上这是不可能的。首先，实际的振系不可能完全没有阻尼，而只要有微小的阻尼就足以限制振幅的无限扩大；其次，在列出微分方程（2-17）时，假定了弹簧力与变形x 成正比，这在微幅振动时一般是符合实际的，而在振幅加大后线性弹簧的假定已不再成立, 而且就是在完全没有阻尼、弹簧力始终与变形成正比的情形，当ω=P 时，方程（2-17）的特解也不再取（2-19）的形式，这时振动微分方程可改写成 +p 2x = x F 0 sin pt （2-24）m
特解则改写用x 2=Bt sin(pt -ψ) 的形式，将此式代入（2-24）中，定出常数
B=F0/2mp， ϕ=π/2
故特解为
x 2=F 0t F t π（2-25） sin(pt -) =-0cos pt 2mp 22mp
可见在共振时，强迫振动振幅随时间t 的增加
成比例增大，不管激扰力幅值F 0是多么小，只要时
间一直延续下去，系统的振幅可以达到无穷大，如
图2-16所示。但增大振幅也需要较长时间，所以，
如果机器的正常运转速度在固有频率以上，在越过
共振时，只要使它过渡得比较快一点即可。
如下研究当无阻尼强迫振动系统的频率比接
近1但又不等于1即激扰频率ω和系统固有频率p
近乎相等时所产生的“拍振”现象。
设系统固有频率P -ω=2ε，代入（2-22）
式，得
x =F 01ω(sinωt -sin pt ) K 1-λ2P
=
=F 0(p sin ωt -ωsin pt ) mp (p 2-ω
2) F 0p -ω⎡p +ω⎤(sinωt -sin pt ) +(sinωt +sin pt ) ⎥2mp (p 2-ω2) ⎢⎣2⎦
F 0p +ωp +ω⎡⎤(p +ω) sin εt ) t -2ε) t cos pt ⎥22mp (p 2-ω2) ⎢⎣⎦
=-
当ε很小时，可略去括号中后一项，并有p +ω≈p ，则 2
x ≈-F 0sin εt cos pt （2-26）
2m εp
这可看成振幅按F 0/m ，如图sin εt 变化，频率为P 的振动。这种特殊振动的现象称为“拍”2εp
2-17 所示。拍的周期为2π/ε，最大振幅为F 0/2mpε，由于ε很小，振幅按sin εt 变化得很慢，周期也较长。在实验过程中很慢地调频到接近共振时，系统的振幅有时出现周期性忽大忽小的变化，就是因为产生拍的现象。若ω→p ，则ε→0，拍的振幅和周期都将逐渐变成无穷大，这就是共振现象。
[例2-9] 如图2-13所示的振系，设质量m=20牛顿·秒2/厘米，弹簧刚度k=80牛顿/厘
0=0, x 0=0; 求此后的运动。 米，扰力F=40cost牛顿，在运动开始时有x
+80x =40c o t 解：运动微分方程为 20 x s ，即
+4x =2cos t x
可见，系统固有频率 p ＝2，扰力频率ω=1，齐次解为
x 1=D 1cos 2t +D 2sin 2t
特解为 x 2=Bcost
其中振幅 B =F 01112== （cm ） 2K 1-(ω/P ) 21-1/43
2cos t 3
2 =-2D 1sin 2t +2D 2cos 2t -sin t 对时间求导，得 x 3故通解为 x =D 1cos 2t +D 2sin 2t +
以初始条件代入，可得 D 1=-2/3, D 2=0
故所求的运动方程为 x =2(cost -cos 2t ) （cm ） 3
[例2-10] 如图2-18 a ）所示的振系。均质钢性杆重为W ，杆长为b ，铰接在A 点，在离杆端A 为a 处用弹簧刚度为K 的线性弹簧支承，并在杆端B 受到激扰力F=F0sin ωt 的作用。假设杆的平衡位置处于水平，求振动微分方程及其响应。
解：类似于图2-13振系的分析，这里用转角θ为坐标，考虑微幅振动，用定轴转动微分方程建立该系统振动微分方程为
=-K (a sin θ-δ) a -Wb /2+F b sin ωt I A θ0
上式中δ为弹簧的静变形，I A =W 2b ，为3g
杆对A 轴的转动惯量。由平衡条件 Wb/2=k
δa, 而 sin θ≈θ, 故
=-Ka 2θ+F b sin ωt I A θ0
即
23F 0g 3Kga +θθ=sin ωt 2Wb Wb
方程的齐次解为
θ1(t ) =D 1cos pt +D 2sin pt ，
特解为
θ2(t ) =B sin ωt 。
式中固有频率
将特解代入微分方程，求得 p =Ka 2g /Wb 2
B =
于是方程通解为 3F 0g /Wb 。 22p -ω
θ(t ) =D 1cos pt +D 2sin pt +
式中D 1、、D 2可由运动的初始条件决定。
3F 0g /Wb sin ωt p 2-ω2
习 题
2-1 弹簧不受力时原长为L 0=65厘米，下
端挂上重10牛顿的物体后，弹簧长度增大到
85厘米。设用手把物体托住，使弹簧回到原
来长度L 0时，突然释放，试求物体运动方程、
振幅、频率以及弹簧力的最大值。
答： x =-20cos 7t ， A=20cm，
f =7
2πHZ ，
F m ax =20N 。
2-2 如题2-2图所示，一小车重为P ，在斜面上自高h 处滑下与缓冲器相撞后随同缓冲器弹簧一起作自由振动。弹簧刚度为k ，斜面倾角为α，小车与斜面之间的摩擦力忽略不计。求小车的振动周期与振幅。
答： T =2πP /gk
A =P P (sin 2α+2h ) k k
2-3 如题2-3图所示，重P=2⨯104N 的重物在吊索上以匀速V=5m/s下降。当下降时由于吊索嵌入滑轮侧面的缝隙，吊索上端被卡住，突然停止不动，重物P 即作上下自由振动。如不计吊索重量，已知吊索在重物p 静力作用下伸长5mm 。求重物振动的频率和吊索中的最大张力。
答： f=7.046HZ， N max =2.753x104N 。
2-4 如题2-4图所示，质量为m 的物体用弹簧悬挂，处于静平衡状态。突然有质量为m 1的物体从高度h 落下，撞到m 后不再回跳，求此后的运动。
答： x =m 1m g 2gh k k sin t -1cos t k (m +m 1) m +m 1k m +m 1
2-5 一均匀等直杆AB ，重为W ，长为b ，用两根长为h 的铅垂线挂成水平位置，两线相距为a 。如题2-5图所示。试求此杆绕通过重心的垂线轴oo 作微幅振动的固有频率。 答：f =1b 3g 2πa h
2-6如题图所示的系统，设OA 为均质钢性杆，质量为m 。试求系统微幅振动的固有频率。 答： f =1
4πk g +2 m L
2-7 如题2-7图所示的系统，轴的直径为d ，两端固定。圆盘固定于轴上，对轴的转动惯性为I ，圆盘至轴两端的距离分别为a 和b 。求系统扭转振动的固有频率。
1答： f =4ππd 4G (a +b ) 32abI
2-8 求题2-8图所示系统的等效刚度，悬臂梁端点的刚度分别为k 1、、k 3。 、、
答： K =k 1k 3k 4+k 2k 3k 4+k 1k 2k 4 k 1k 3+k 2k 3+k 1k 2+k 1k 4+k 2k 4
2-9 一刚性直杆AB ，长度为b ，杆一端铰支，另一端由刚度为k 的弹簧支承。在离铰支端为a 处有一集中质量m ，如题2-9图所示。忽略刚性杆质量，试求系统的固有频率。
答： f =1
b
2πa k m
2-10 由三根长度均为L ，重量均为W 的匀质杆，用铰链连接成机构如题2-10图所示。求此机构作微摆动时的固有频率。
答： f =1
2πg /5L
2-11 一刚性直杆AB ，长度为b ，A 端铰支，离铰支端a 处用一刚度为k 1的弹簧悬挂，在B 端用一刚度为k 2的弹簧悬挂一质量m ，如题2-11图所示。忽略杆本身的质量，求系统的固有频率。
答： f =a
2πk 1k 2 22(a k 1+b k 2) m
2-12 如图2-12图所示系统，轮子可绕水平轴O 转动，对转轴的转动惯量为I 0
，轮缘
绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由刚度为k 的水平弹簧维持平衡。半径R 与a 均已知。求微幅振动的周期。
I 0+(PR 2/g ) 答： T =2π 2ka
2-13 等截面水平梁，两端筒支，长度为L ，截面抗弯刚度为EJ ，在梁的中点处载有重量为P 的重物。（a ）不计梁的本身质量，求系统的固有频率。（b ）设梁单位长度的质量为ρ，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率。假定在振动中，梁的振型曲线与梁在中点受集中载荷时的静挠度曲线具有同一形式，既有y (x ) =y 0[3
梁中点振幅。
答：（a f =x X L -4() 3],(0＜X ＜＝, 其中y 0为L L 21
2π（b ）梁的等效质量为0.486ρL 。 48EIg /PL 3；
2-14 已知一弹簧质量系统，挂在弹簧下端的物体重为4.9N ，弹簧刚度为2N/cm，求在铅垂扰力F=2.3sin8πt （N ）作用下强迫振动规律。
答： x=-2sinπt
2-15 已知一弹簧质量系统，物体重W=1960N，弹簧刚度K ＝200N/cm，作用在物体上的扰力F=160sin19t(N)，阻尼忽略不计，求物体的位移和放大因子。
答： x =-0. 306sin 19t （cm ）； β＝0.383。
2-16 如题2-16图所示系统，轴的直径d=2厘米，L=40厘米，
剪切弹性模量G=8*105牛顿/厘米2。圆盘绕对称轴的转动贯量为
I=1*104牛顿·厘米·秒2，并在M=5000πsin2πt （牛顿·厘米）的
力矩作用下扭振。求振幅之值。
答： B=0.0673（弧度）
第二章 单自由度无阻尼系统的振动
单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。
2—1 自由振动
图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，mg =k δ，故有静位移
δ=mg/k （a ）
当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：
=-k (x +δ) +mg (b) m x
=d x /dt 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 m =-kx 即 x 式中: x
2
2
+kx =0 （2-1） m x
注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
+将（2-1）式改写成 x
k k
x =0，令=p 2 则得 m m
+p 2x =0 （2-2）x
这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。其解为
x =D 1cos pt +D 2sin pt （2-3） 式中两个积分常数D 1及D 2由初始条件确定。令t=0时，x(0)=x0 ，x (0) =x 0，得 D 1=x0，
0/p。将D 1、D 2值代入（2-3）式, 得 D 2=x
x =x 0cos pt +
0x
sin pt （2-4）
p
由式（2-4）可见，由初始条件引起的自由振动是按正弦、余弦函数变化的两个简谐运动组成的，这两个同频率的简谐运动仍可合成为一个简谐运动。 令：
A =
2
0/p ) 2 （2-5）x 0+(x
ϕ=tg -1
则式（2-4）可改写为
px 0
0x
(2-6)
x =A sin(pt +ϕ) （2-7）
上式表示无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图2-3所示。上式中A 称为振幅，φ
称
为初相角。p 称为振动系统振动的圆频率。其表达式为
p =k m （rad/s） （2-8）
每秒时间内的振动次数称为系统的振动频率，用f 表示。 f =P /2π=
1
2π
k m （HZ ） （2-9）
系统的振动重复一次所需要的时间间隔称为振动周期，用T 表示。
T =1/f =2πm k （s ） （2-10）
0的数值，这就是说A 由此可见，简谐振动的振幅A 与初相角φ的大小取决于p 、x 0、x
与φ不仅取决于系统的k 与m ，而且还随初始条件的不同而改变；而振动频率及周期只与系
统的本身性质（弹性与惯性）有关，而与初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为固有频率与固有周期。同样质量的两个系统，弹簧刚度小的系统固有频率低，弹簧刚度大的系统固有频率高；而刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。
系统的固有频率也可以从弹簧的静变形算出。由式（a ）可得k /m =g /δ，代入（2-9）式即得
f =
12π
g /δ （2-11）
[例2-1] 均匀悬臂梁长为L ，弯曲刚度为EJ ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，
如图2-4所示。试写出系统的振动微分方程，并求出固有频率。
解：将该系统简化为单自由度振动系统，悬臂梁相当 一根弹簧。由材料力学中悬臂梁的挠度公式知，当在梁的自由端作用一垂直力P 时，该点的静挠度为δ=pL /3EJ ，故悬臂梁的刚度k =p /δ=3EJ /L 。所以梁端物体的振动微分方程为
3
3
=-m y
+即 y
固有频率为 f =
3EJ
y 3L
3EJ
y =0 3
mL 12π
3EJ
。 mL 3
在振动系统中，常遇到多个弹簧以不同的方式连接的问题，其中常见的为弹簧的串联与并联，以下研究这两种连接方式下振动系统的固有频率及弹簧刚度。
1. 弹簧并联 设物块在重力m g 作用下作平移，其静变形为δst ，两个弹簧分别受力为F
1
和F 2（图2-5a 、b ），因弹簧变形量相同，因此 F 1=k 1δst ， F 2=k 2δst 在平衡时有
mg=F1+F2=(k1+k2) δSt
令
k eq =k1+k2 k eq 称为等效弹簧刚度系数，上式成为
mg= keq δST
或
δST = mg/keq
因此上述并联系统的固有频率为 p =
k eq m
=
k 1+k 2
m
由此可见，当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
2. 弹簧串联 图2-6所示两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为
δst 1=
两个弹簧总的静伸长
mg mg
， δS t 2= k 1k 2
δst =δst 1+δst 2=mg
⎛11⎫
+⎪⎪ k k 2⎭⎝1
若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为k eq ，则有δst =mg /k eq 比较上面两式得
111
=+ k eq k 1k 2
或 k eq =上述串联弹簧系统的固有频率为
k 1k 2
k 1+k 2
p =
k eq m
=
k 1k 2
m (k 1+k 2)
由此可见, 当两个弹簧串联时, 其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。
应注意，判断弹簧是并联还是串联，不能按表面形式来划分，而须从力和位移的分析来判断，一般，若各弹簧受力相等则为串联，而变形相等则为并联。
[例2-2] 图2-7所示并联弹簧系统，假定杆AB 为刚性杆，刚杆可以在图示平面内绕O 点偏转，求杆上O 点的等效弹簧刚度。
解：假定在O 点有作用力Q ，则A 、B 两点的作用力Q A 、Q B 分别为： Q A =
b a Q , Q B =Q a +b a +b
A、B 两点的弹簧变形δA , δB 分别为：
δA =
Qb
(a +b ) k 1Qa
(a +b ) k 2
δB =
点O 的位移为：
⎡Qa Qb Qb ⎤a Q a
δO =δA +(δB -δA ) =+⎢-=⎥
a +b (a +b ) k 1⎣(a +b ) k 2(a +b ) k 1⎦a +b (a +b ) 2
所以，等效弹簧刚度
⎛a 2b 2⎫ k +k ⎪⎪
1⎭⎝2
a 2b 2
k =Q /δO =(a +b ) /(+)
k 2k 1
2
当
a b =时, 即A 、B 、O 点的位移相等时，k=k1+k2。 k 2k 1
除弹簧与质量组成的振动系统外，工程中还有很多振动系统，如扭振系统、多体系统等，这些系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程却有相同的形式。
图2-8为一扭振系统，其中圆盘对于中心轴的转动惯性为Ⅰ，刚性圆盘固结在扭杆的一端。扭杆另一端固定，圆盘相对于固定端的扭转角度用ϕ表示，扭杆的扭转刚度系数为k t ，它表示使圆盘产生单位扭转角所需的力矩。根据刚体转动微分方程可建立圆盘转动的运动微分方程为
d 2ϕ
I 2=-k t ϕ dt
令ω=
2
k t
, 则上式可变为
I
d 2ϕ2
（2-12） +ωϕ=0 2
dt
此式与式（2-2）形式相同，其解亦类似，即其通解为
ϕ=A sin(pt +θ)
其固有频率、固有圆频率及周期分别为 f =
1z π
p =k t /I , T =2πI /k t （2-13） k t /I ，
=θ , 则 θ振幅A 和初相角θ也决定于扭转振动的初始条件。若t=0时，θ=θ0 ，0
2θθP
A =+02 φ=tg -10
P θ0
2
[例2-3] 可绕水平轴O 摆动的物体称为复摆（亦称物理摆），设物体的重量为W ，对轴O 的转动惯量为I O ，重心C 至轴O 的距离为a ，如图2-9所示。求复摆微幅振动的微分方程及固有频率。
解：以θ表示摆在任一瞬时偏离垂直平衡位置的角位移。此时，重心C 作圆弧运动，重力的切向分力Wsin θ将产生一个恢复力矩Wasin θ。根据刚体定轴转动的微分方程，可得复摆绕定轴o 转动的微分方程为
＝-Wasin θ I O θ
在θ微小时，可令sin θ=θ，于是上式可写为
+ θ
Wa
=0 I 0
wa
t +ϕ) ，固有圆频率为p =I o
这就是所求的振动微分方程。它的通解θ=A 固有频率为：
wa I o
，
f =
12π
wa I o
（2-14）
由于计算形式复杂的构件的转动惯量相当困难，方程（2-14）提供了一个用实验确定转
动惯量的方法。设物体的重量w 与距离a 均为已知，由微福摆动实验测出固有频率f 后，就
2
可由（2-14）式计算出转动惯量I 0，I o ＝wa/(2πf) . 也可再根据转动惯量的平行轴定量计算出物体绕重心点转动惯量，I C =I O -
w 2
a 。
g
2—2计算固有频率的能量法
能量法是从机械能守恒定律出发的，对于计算较复杂系统的固有频率往往更为方便。 在介绍能量法以前，先将有关动能与势能的计算结果简述如下： 1. 动能T
12
mv ； 2
1
2）定轴转动的刚体，在对转轴转动惯量为I ，角速度为ω时，T ＝I ω2；
2
12122
3) 平面运动的刚体，T=mv c +I C ω(式中υc 表示物体质心的速度，I C 表示物体通
22
1） 质量为m 的质点（或者平动刚体）在速度为v 时，T ＝
过质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量) 。
2. 势能U ： 1）弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程中所做的功。螺旋弹簧伸长（或缩短）x 时，U =
⎰
X
11
kxdx =2，转轴有扭角θ时，U =k t θ2；
22
2）刚体的重力势能，U=PZC (P 为重力，Z C 为从任意选定的某一基准位置量起重力P 的垂
直坐标，高出基准位置时Z C 为正值，反之为负值) 。
对于无阻尼自由振动来说，系统没有能量损失，振系在自由振动时的动能和势能之和（即机械能）保持常数，令T 和U 分别代表振系的动能和势能，有
T ＋U ＝常数 或
d
（2-15） (T +U ) =0
dt
利用（2-15）式，可建立保守系统的运动微分方程，进而可求系统的固有频率，如对于图2-2所示单自由度无阻尼系统，动能为T=
112
，势能为U=kx 2。代入（2-15）式得 m x
22
+kx ) x =0, 即 m +kx =0 (m x x
所得方程与用牛顿定律所得的结果相同。由此可求得固有频率。
系统的固有频率亦可用下述方法来计算。如系统作简谐振动，则质量通过静平衡位置时，U=O，T=Tmax ，而在到达最大位置时，质量的速度为零，即T=0，U=Umax 。这样系统反复运动时，其总能量交替地从动能转化为势能，再从势能转化为动能，因此势能的最大值应等于动能的最大值，即
T max =Umax (2-16)
由式（2-16）可直接求得系统的固有频率。
[例2-4] 细杆OA 可绕水平轴O 转动，如图2-10所示。在静平衡时成水平位置，杆端重物质量为m 。杆与弹簧的质量均可略去不计。求自由振动的微分方程及固有频率。
解：在杆有小偏角ϕ时，弹簧的伸长以及重物的位移与速度可以很近似的表示为a ϕ，b ϕ与b ϕ'。故振系的动能与势能可表示为：
T =
11
) 2，U =k (a ϕ) 2 m (b ϕ22
代入（2-15）式，有
d ⎡1122⎤ m (b ϕ) +k (a ϕ) ⎥=0 dt ⎢22⎣⎦
由此可得
+ϕ
圆频率 p =
k a 2
() ϕ=0 m b
a a k /m ， 固有频率 f =k /m 。 b 2πb
在前面讨论中，曾假定弹簧元件（弹簧、悬臂梁、扭轴等）的质量远小于振动物体的集
中质量，因而可以略去不计，这样使原有分布质量的振系简化为单自由度的振系，在不少工程中，这种方法所得的结果已经足够精确。但若弹簧本身的质量并不是远小于集中质量，此时若再忽略弹簧的质量就将使得计算出来的系统固有频率偏高。对这样的振系，可以把能量法加以引伸，既考虑分布质量的影响，又仍把问题简化为单自由度振系，从而求出相当准确的固有频率。这种方法称瑞利法。应用瑞利法时，必须先对系统的振动形式作出假定。而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值。实践证明，以系统的静变形曲线作为假定的振动形式，则所得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小的。
[例2-5] 在图2-11所示系统中，设弹簧在静平衡位置的长度为L ，弹簧的质量为m s ，用瑞利法求振系的固有频率。
解：用瑞利法求固有频率时，若计算变形，则不计弹性体质量，若计算能量，则应计及弹性体质量。
1．求系统动能；设弹簧变形仅受集中质量m 影响，最大值为X max ,
。因为计算变形不计弹簧质量，故弹簧上各点位移，最大速度为X max
速度与该点距固定端的距离成正比，据此，距固定端为ε处的弹簧微段
X m
d ε的速度为m ε，该微段d ε质量为s d ε，动能为
L L
22 2X X m s X 1m s 2L 1m s m m m
d ε(ε) ，整个弹簧动能T 1=⎰0() εd ε=， 2L L 2L L 32 21 2X X 12m =m (m +m s ) 。 +m X 系统动能T =m s m
32223
2．求系统势能：取势能O 点于m S ，m 共同作用下的平衡位置，则系统势能表达式中不出现重力势能项，故系统势能为U m =
K 2
X m 。
2
2 2X m s KX m m ax ax
3．令 Tm=Um 得： (m +) =
232
4．假定振型（按集中参数类型应有的振型假定） X =A sin(Pt +ϕ) 对简谐振动来说，上式即成为
m P 2K
(m +s ) = 232
由此可得系统的固有频率
p =
1K
， f =
2πm +(m s /3K
m +(m s /3)
上式中的m s /3通常称为“弹性的等效质量”。不同的振系，其弹簧的等效质量不同。
将上式与（2-9）式比较，可见弹簧质量对系统固有频率是有影响的。计算表明，对这样的系统，当需要考虑弹簧质量的影响时，只需要将弹簧的等效质量（m s /3）当作一个集中质量加到质量块上即可。这样的近似解在使用上是比较满意的。例如当m s =m/2时，上述近似值与准确相比误差约为0.5%，m s =m时，误差约为0.8%，而m s =2m时，误差也仅为3%。
[例2-6] 图2-12所示为一均质等截面悬臂梁。设悬臂梁单位长度质量为ρ，在梁端有一集中质量m ，求系统的固有频率。
解：由材料力学知，悬臂梁在梁端有集中载荷P （=mg）作用下的静挠度为f=PL /3EJ , 截面x 处的桡度
2
P 3Lx 2-x 33Lx 2-x 3
y =() =f ()
3EJ 2L 32L 3
把上式作为梁在自由振动过程中任一瞬时各截面的垂直位
移，亦即梁的振动形式。此时式中y 与f 都将随时间变化，因为是简谐运动，设
f =A sin(Pt +ϕ)
则
23
3LX -X =AP cos(Pt +ϕ) y ( =f f ) 3
2L
梁的动能为
T=
故整个系统的最大动能为
⎰
L
1 3Lx 2-x 32133ρ(f ) dx =(ρL ) f 2 3221402L
T m ax =
1 2133 2=1(m +33ρL ) f 2=1(m +33ρL ) A 2P 2 m f m ax +(ρL ) f m ax m ax [1**********]40
U m ax =
121
kf m ax =KA 2 22
3
而系统势能的最大值为
式中K 为梁的弹簧刚度，对于悬臂梁带有梁端集中质量时，K=3EJ/L 。由
T m ax =U m ax
得
1331(m +ρL ) A 2P 2=KA 2 21402
3EJ
(m +33ρL /140) L 3
P =
13EJ
f =
2π(m +33ρL /140) L 3
可见，悬臂梁的质量对振系固有频率的影响相当于在自由端处再加上梁的等效质量，即
梁质量（ρL ）的33/140。
2—3在简谐激扰力作用下的强迫振动
工程中的振动系统，常受外力作用而产生振动，称外加的力为激扰力或扰力，在扰力作用下的振动称为强迫振动。
工程中常见的扰力多是周期变化的，如一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等引起的扰力。简谐扰力是一种典型的周期变化的激扰力，简谐扰力F 与时间的关系为F=F0sin ωt 其中F 0称为力幅，在此扰力作用下的无阻尼振动系统的运动规律如下所求。 ω称为激扰频率。
设振动系统（见图2-13）物块质量为m ，弹簧刚度为k 。建立图示坐标系，坐标原点位于物块平衡位置处。
由质点运动微分方程，有
=-k (δ+x ) +mg +F （a ） m x
由于k δ＝mg ，所以上式可写成
+p x = x
式中p ＝k/m。
2
2
F 0
sin ωt （2-17） m
这是非齐次常系数二阶微分方程，其解由两部分组成： x （t ）＝x 1（t ）＋x 2（t ），其中x 1对应于方程（2-17）的齐次通解，x 2为方程（2-17）的特解。前已求得x 1为
x（＝D 1cospt ＋D 2sinpt=Asin(pt+ϕ) （b ） 1t ）现求特解x 2。由于微分方程（2-17）含有x 2以及它的二阶导数和另一正弦函数，故设特解为如下形式
x （＝Bsin ωt （c ） 2t ）
式中B 是未知常数，要求这个常数必须使假设解确实满足这个微分方程。为此把（c ）式代入方程（2-17），得
-B ω2sin ωt +Bp 2sin ωt =F 0sin ωt m
故 B =F 0/m F 01= （2-18） 222k 1-λp -ω
式中λ=ω/p 称为频率比。
由式（c ）可得
x 2=F 0F 011sin ωt =sin ωt （2-19） 222m p -ωk 1-k
因此微分方程（2-17）的通解为
x =D 1cos pt +D 2sin pt +F 01sin ωt (2-20) 2k 1-λ
式中D 1及D 2可由运动的初始条件确定。为此，先将（2-20）式对时间t 求导得
＝－D 1psinpt +D 2p cos pt +x F 0cos ωt (d) 1-λ2
0，代入到方程（2-20）及（d ）式，求出D 1及将物体在t ＝0时的初始位移x 0与初始速度x
D 2为
D 1=x0， D2＝ 0F 0λx - 2p k 1-λ
代回（2-20）式，即得
x =x O cos pt + 0x F 1ω sin pt +0(sinωt -sin pt ) （2-21）p K 1-λ2p
上式右端前两项所表示的是振系由初始条件引起的自由振动，其频率为P ，振幅决定于初始条件；第三项表示的是振系在正弦扰力作用下的强迫振动，其频率与扰力频率相同，而振幅与运动的初始条件无关；第四项表示的是由扰力引起的自由振动，频率为P 。如果初始条件
0=0，则上式可简化为 为 x 0=0、x
x =F 01ω（2-22） (sinωt -sin Pt ) K 1-λ2P
可见，扰力不仅激起强迫振动，同时还要引起自由振动，二者都是简谐运动，但二者频率不相等，它们之和不是一个简谐运动，只有当二者的频率成整数倍时，其和才是周期运动。对于振系在简谐激扰力作用下的运动，应重点研究的是强迫振动，这是由于经过若干个周期后，强迫振动将达到稳态而自由振动则因系统总有阻尼存在，会逐渐衰减下去的。由（2-18）式，令F/k＝B 0，B 0相当于静力F 0作用在弹簧上引起的静变形。将（2-18）式改写成
β=B /B 0=1/1-λ2 （2-23）
β=B /B 0是强迫振动的振幅与静变形之比，称为振幅比或振
幅放大因子，振幅比仅决定于频率比λ，B/B0与λ的关系可用图
2-14表示。从图中可以看出，当λ
即B ≈B 0，这时振幅几乎与激扰力幅值F 0静作用在弹簧上产生的静
变形B 0差不多，系统的静态特性是主要的；当λ逐渐增加，振幅
比B/B0亦随之增加，系统的振幅增大，当λ＝1（ω
幅比B/B0变成无穷大，即强迫振动振幅变成无穷大，这就是“共
振”现象。共振在振动问题中占有特别重要的地位，许多机器因振
动遭到破坏，其相当一部分原因是由于机器处于共振状态附近运转
所致。在λ＞1时，振幅比随λ的增加而减少，当λ＞＞1（ω＞＞P ）时，振幅比趋近于零。这就是说，当激扰频率ω远远超过系统的固有频率p 时，振
幅反而很小。
下面研究强迫振动位移与激扰力之间的相位关系，由
（2-23）式可见，当λ＜1（ω
强迫振动与激扰力相同，所以强迫振动与激扰力之间的相位
角ψ=0；当λ>1（ω>P）时，振幅比B/B0为负，强迫振动与
激扰力反相，ψ=π。在λ=1（ω=P）的前后，相位角ψ分别
是零和π。在ω=P时，ψ突然变化。图2-15表示了相位角ψ
与频率比λ之间的关系。
上面提到在共振情况下，即λ=1时，振幅趋于无穷大，事实上这是不可能的。首先，实际的振系不可能完全没有阻尼，而只要有微小的阻尼就足以限制振幅的无限扩大；其次，在列出微分方程（2-17）时，假定了弹簧力与变形x 成正比，这在微幅振动时一般是符合实际的，而在振幅加大后线性弹簧的假定已不再成立, 而且就是在完全没有阻尼、弹簧力始终与变形成正比的情形，当ω=P 时，方程（2-17）的特解也不再取（2-19）的形式，这时振动微分方程可改写成 +p 2x = x F 0 sin pt （2-24）m
特解则改写用x 2=Bt sin(pt -ψ) 的形式，将此式代入（2-24）中，定出常数
B=F0/2mp， ϕ=π/2
故特解为
x 2=F 0t F t π（2-25） sin(pt -) =-0cos pt 2mp 22mp
可见在共振时，强迫振动振幅随时间t 的增加
成比例增大，不管激扰力幅值F 0是多么小，只要时
间一直延续下去，系统的振幅可以达到无穷大，如
图2-16所示。但增大振幅也需要较长时间，所以，
如果机器的正常运转速度在固有频率以上，在越过
共振时，只要使它过渡得比较快一点即可。
如下研究当无阻尼强迫振动系统的频率比接
近1但又不等于1即激扰频率ω和系统固有频率p
近乎相等时所产生的“拍振”现象。
设系统固有频率P -ω=2ε，代入（2-22）
式，得
x =F 01ω(sinωt -sin pt ) K 1-λ2P
=
=F 0(p sin ωt -ωsin pt ) mp (p 2-ω
2) F 0p -ω⎡p +ω⎤(sinωt -sin pt ) +(sinωt +sin pt ) ⎥2mp (p 2-ω2) ⎢⎣2⎦
F 0p +ωp +ω⎡⎤(p +ω) sin εt ) t -2ε) t cos pt ⎥22mp (p 2-ω2) ⎢⎣⎦
=-
当ε很小时，可略去括号中后一项，并有p +ω≈p ，则 2
x ≈-F 0sin εt cos pt （2-26）
2m εp
这可看成振幅按F 0/m ，如图sin εt 变化，频率为P 的振动。这种特殊振动的现象称为“拍”2εp
2-17 所示。拍的周期为2π/ε，最大振幅为F 0/2mpε，由于ε很小，振幅按sin εt 变化得很慢，周期也较长。在实验过程中很慢地调频到接近共振时，系统的振幅有时出现周期性忽大忽小的变化，就是因为产生拍的现象。若ω→p ，则ε→0，拍的振幅和周期都将逐渐变成无穷大，这就是共振现象。
[例2-9] 如图2-13所示的振系，设质量m=20牛顿·秒2/厘米，弹簧刚度k=80牛顿/厘
0=0, x 0=0; 求此后的运动。 米，扰力F=40cost牛顿，在运动开始时有x
+80x =40c o t 解：运动微分方程为 20 x s ，即
+4x =2cos t x
可见，系统固有频率 p ＝2，扰力频率ω=1，齐次解为
x 1=D 1cos 2t +D 2sin 2t
特解为 x 2=Bcost
其中振幅 B =F 01112== （cm ） 2K 1-(ω/P ) 21-1/43
2cos t 3
2 =-2D 1sin 2t +2D 2cos 2t -sin t 对时间求导，得 x 3故通解为 x =D 1cos 2t +D 2sin 2t +
以初始条件代入，可得 D 1=-2/3, D 2=0
故所求的运动方程为 x =2(cost -cos 2t ) （cm ） 3
[例2-10] 如图2-18 a ）所示的振系。均质钢性杆重为W ，杆长为b ，铰接在A 点，在离杆端A 为a 处用弹簧刚度为K 的线性弹簧支承，并在杆端B 受到激扰力F=F0sin ωt 的作用。假设杆的平衡位置处于水平，求振动微分方程及其响应。
解：类似于图2-13振系的分析，这里用转角θ为坐标，考虑微幅振动，用定轴转动微分方程建立该系统振动微分方程为
=-K (a sin θ-δ) a -Wb /2+F b sin ωt I A θ0
上式中δ为弹簧的静变形，I A =W 2b ，为3g
杆对A 轴的转动惯量。由平衡条件 Wb/2=k
δa, 而 sin θ≈θ, 故
=-Ka 2θ+F b sin ωt I A θ0
即
23F 0g 3Kga +θθ=sin ωt 2Wb Wb
方程的齐次解为
θ1(t ) =D 1cos pt +D 2sin pt ，
特解为
θ2(t ) =B sin ωt 。
式中固有频率
将特解代入微分方程，求得 p =Ka 2g /Wb 2
B =
于是方程通解为 3F 0g /Wb 。 22p -ω
θ(t ) =D 1cos pt +D 2sin pt +
式中D 1、、D 2可由运动的初始条件决定。
3F 0g /Wb sin ωt p 2-ω2
习 题
2-1 弹簧不受力时原长为L 0=65厘米，下
端挂上重10牛顿的物体后，弹簧长度增大到
85厘米。设用手把物体托住，使弹簧回到原
来长度L 0时，突然释放，试求物体运动方程、
振幅、频率以及弹簧力的最大值。
答： x =-20cos 7t ， A=20cm，
f =7
2πHZ ，
F m ax =20N 。
2-2 如题2-2图所示，一小车重为P ，在斜面上自高h 处滑下与缓冲器相撞后随同缓冲器弹簧一起作自由振动。弹簧刚度为k ，斜面倾角为α，小车与斜面之间的摩擦力忽略不计。求小车的振动周期与振幅。
答： T =2πP /gk
A =P P (sin 2α+2h ) k k
2-3 如题2-3图所示，重P=2⨯104N 的重物在吊索上以匀速V=5m/s下降。当下降时由于吊索嵌入滑轮侧面的缝隙，吊索上端被卡住，突然停止不动，重物P 即作上下自由振动。如不计吊索重量，已知吊索在重物p 静力作用下伸长5mm 。求重物振动的频率和吊索中的最大张力。
答： f=7.046HZ， N max =2.753x104N 。
2-4 如题2-4图所示，质量为m 的物体用弹簧悬挂，处于静平衡状态。突然有质量为m 1的物体从高度h 落下，撞到m 后不再回跳，求此后的运动。
答： x =m 1m g 2gh k k sin t -1cos t k (m +m 1) m +m 1k m +m 1
2-5 一均匀等直杆AB ，重为W ，长为b ，用两根长为h 的铅垂线挂成水平位置，两线相距为a 。如题2-5图所示。试求此杆绕通过重心的垂线轴oo 作微幅振动的固有频率。 答：f =1b 3g 2πa h
2-6如题图所示的系统，设OA 为均质钢性杆，质量为m 。试求系统微幅振动的固有频率。 答： f =1
4πk g +2 m L
2-7 如题2-7图所示的系统，轴的直径为d ，两端固定。圆盘固定于轴上，对轴的转动惯性为I ，圆盘至轴两端的距离分别为a 和b 。求系统扭转振动的固有频率。
1答： f =4ππd 4G (a +b ) 32abI
2-8 求题2-8图所示系统的等效刚度，悬臂梁端点的刚度分别为k 1、、k 3。 、、
答： K =k 1k 3k 4+k 2k 3k 4+k 1k 2k 4 k 1k 3+k 2k 3+k 1k 2+k 1k 4+k 2k 4
2-9 一刚性直杆AB ，长度为b ，杆一端铰支，另一端由刚度为k 的弹簧支承。在离铰支端为a 处有一集中质量m ，如题2-9图所示。忽略刚性杆质量，试求系统的固有频率。
答： f =1
b
2πa k m
2-10 由三根长度均为L ，重量均为W 的匀质杆，用铰链连接成机构如题2-10图所示。求此机构作微摆动时的固有频率。
答： f =1
2πg /5L
2-11 一刚性直杆AB ，长度为b ，A 端铰支，离铰支端a 处用一刚度为k 1的弹簧悬挂，在B 端用一刚度为k 2的弹簧悬挂一质量m ，如题2-11图所示。忽略杆本身的质量，求系统的固有频率。
答： f =a
2πk 1k 2 22(a k 1+b k 2) m
2-12 如图2-12图所示系统，轮子可绕水平轴O 转动，对转轴的转动惯量为I 0
，轮缘
绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由刚度为k 的水平弹簧维持平衡。半径R 与a 均已知。求微幅振动的周期。
I 0+(PR 2/g ) 答： T =2π 2ka
2-13 等截面水平梁，两端筒支，长度为L ，截面抗弯刚度为EJ ，在梁的中点处载有重量为P 的重物。（a ）不计梁的本身质量，求系统的固有频率。（b ）设梁单位长度的质量为ρ，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率。假定在振动中，梁的振型曲线与梁在中点受集中载荷时的静挠度曲线具有同一形式，既有y (x ) =y 0[3
梁中点振幅。
答：（a f =x X L -4() 3],(0＜X ＜＝, 其中y 0为L L 21
2π（b ）梁的等效质量为0.486ρL 。 48EIg /PL 3；
2-14 已知一弹簧质量系统，挂在弹簧下端的物体重为4.9N ，弹簧刚度为2N/cm，求在铅垂扰力F=2.3sin8πt （N ）作用下强迫振动规律。
答： x=-2sinπt
2-15 已知一弹簧质量系统，物体重W=1960N，弹簧刚度K ＝200N/cm，作用在物体上的扰力F=160sin19t(N)，阻尼忽略不计，求物体的位移和放大因子。
答： x =-0. 306sin 19t （cm ）； β＝0.383。
2-16 如题2-16图所示系统，轴的直径d=2厘米，L=40厘米，
剪切弹性模量G=8*105牛顿/厘米2。圆盘绕对称轴的转动贯量为
I=1*104牛顿·厘米·秒2，并在M=5000πsin2πt （牛顿·厘米）的
力矩作用下扭振。求振幅之值。
答： B=0.0673（弧度）