阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用

数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足PA,当PB0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为(1)的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为.

证 （以1为例） 设ABa,APAQ，则 PBQB

APaaaa,PB,AQ,BQ. 1111

由相交弦定理及勾股定理知

a22a2222BCPBBQ2,ACABBC2, 112

于是BCa21,ACACa. ,21BC

而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O上任意一点到A,B两点的距离之比恒为.

性质1.当1时，点B在圆O内，点A在圆O外；

当01时，点A在圆O内，点B在圆O外。

性质2.因ACAPAQ，过AC是圆O的一条切线。

若已知圆O及圆O外一点A，可以作出与之对应的点B,反之亦然。 2

2aa性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ2，面积为2. 1

性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点），则CP,CQ分别为ACB的内、外角平分线。 性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分EAF. 2

数学应用

1.（03北京春季）设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a(a0),求点P的轨迹.

2.（05江苏）圆O1和圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点），使得PM2PN，试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程.

3.（06四川）已知两定点A(2,0),B(1,0).如果动点P满足2PB，则点P的轨迹所围成的图形的面积是________________.

4.(08江苏)满足条件AB2,AC2BC的ABC面积的最大值是___________.

5.在等腰ABC中，ABAC,BD是腰AC上的中线，且BD3,则ABC面积的最大值是___________.

6.已知A(2,0),P是圆C:(x4)2y216上任意一点，问在平面上是否存在一点B，使得

变式：已知圆C:(x4)2y216，问在x轴上是否存在点A和点B，使得对于圆C上任意一点P，都有

7.在ABC中，AB2AC,AD是A的平分线，且ADkAC.

（1）求k的取值范围；

（2）若ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短.

PA1?若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由. PB2PA1?若存在，求出A,B坐标；若不存在，说明理由. PB2

阿波罗尼斯圆及其应用

数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足PA,当PB0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为(1)的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为.

证 （以1为例） 设ABa,APAQ，则 PBQB

APaaaa,PB,AQ,BQ. 1111

由相交弦定理及勾股定理知

a22a2222BCPBBQ2,ACABBC2, 112

于是BCa21,ACACa. ,21BC

而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O上任意一点到A,B两点的距离之比恒为.

性质1.当1时，点B在圆O内，点A在圆O外；

当01时，点A在圆O内，点B在圆O外。

性质2.因ACAPAQ，过AC是圆O的一条切线。

若已知圆O及圆O外一点A，可以作出与之对应的点B,反之亦然。 2

2aa性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ2，面积为2. 1

性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点），则CP,CQ分别为ACB的内、外角平分线。 性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分EAF. 2

数学应用

1.（03北京春季）设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a(a0),求点P的轨迹.

2.（05江苏）圆O1和圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点），使得PM2PN，试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程.

3.（06四川）已知两定点A(2,0),B(1,0).如果动点P满足2PB，则点P的轨迹所围成的图形的面积是________________.

4.(08江苏)满足条件AB2,AC2BC的ABC面积的最大值是___________.

5.在等腰ABC中，ABAC,BD是腰AC上的中线，且BD3,则ABC面积的最大值是___________.

6.已知A(2,0),P是圆C:(x4)2y216上任意一点，问在平面上是否存在一点B，使得

变式：已知圆C:(x4)2y216，问在x轴上是否存在点A和点B，使得对于圆C上任意一点P，都有

7.在ABC中，AB2AC,AD是A的平分线，且ADkAC.

（1）求k的取值范围；

（2）若ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短.

PA1?若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由. PB2PA1?若存在，求出A,B坐标；若不存在，说明理由. PB2