数学思想方法与初中数学教学——分类讨论专题
数学思想方法在初中数学教学中的重要性
在《初中数学课程标准》的总体目标中，明确地提出了：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，在数学课程标准中明确地提出来，这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。
什么是数学思想方法？数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是解决问题的手段和工具，是解决数学问题时的程序、途径，它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征，而数学方法具有实践性的特点，数学问题的解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。
在初中数学教学中，常见的数学思想有：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等；常见的数学方法有：待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比法等等。
在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。
在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。在初中数学教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。
我下面主要对分类讨论思想做一下分析
分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。
分类思想已渗透到中学数学的各个方面，如概念的定义、定理的证明、法则的推导等，也渗透
到问题的具体解决之中，如含有绝对值符号的代数式的处理、根式的化简、图形的讨论等，这些问题若不分类讨论，就会无从着手或顾此失彼，导致错误的发生。比如，在有关绝对值的概念中，当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于0，小于0，等于 0三种情况进行讨论；若已知=3，=2，求
因此，对于
时，
－5，即的值。在解这道题时，由=3，得到，或时，，由=2，得到的值为5；当，时，或，的值为。的取值，应分四种情况讨论，当，时，的值为1；当的值为－1；当的值为5；1；－1；－5。在解这个数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。
在渗透分类讨论思想的过程中，首要的是分类。教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如在研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的；在研究加、减、乘、除四种运算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在初中几何教学中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类；在函数教学中将函数图象分为开口方向向上、向下，自变量的增、减来进行研究；在圆的教学中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系进行了分类。从功能上看，这种分类讨论思想可以避免漏解、错解情况的出现，从学生的思维品质上看，分类讨论思想有利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。渗透分类讨论的思想方法，对培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力有积极促进作用。
下面我以冀教版九年级数学上册第27章第2节 “圆周角”的教学为例，谈一谈教学中的一些设计与感受。
1．教学背景分析
本节课是在学生掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识的基础上，重点研究圆周角的概念以及圆周角定理，圆周角不仅与圆心角之间关系十分密切，而且在进行角的有关计算、证明角相等、弧相等、弦相等、研究圆内接四边形、判定相似三角形等常见几何问题中具有重要的作用，尤其是利用完全归纳法探索圆周角定理的过程，对培养学生分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律具有促进作用。因此，我确定了本节课的教学重点是：圆周角的概念和圆周角定理。
我所任教的初三年级学生，从知识上看，已掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识，从思维上看，能够比较主动的进行观察、实验、比较、猜想、证明等数学思维活动，这对于本节课
的学习很有帮助，但由于圆周角定理的证明，需要分三种情况进行讨论逐一证明，这对于学生较为生疏，很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统，在教学中我力图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理，使学生逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。因此，我确定了本节课的教学难点是：圆周角定理的证明及其应用。
根据数学课程标准中关于“圆周角”的教学要求，和对教材、学生的分析，结合我班学生已有的经验和知识基础，我确定了本节课的教学目标：
⑴ 了解圆周角与圆心角之间的关系，理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算；
⑵ 经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论的数学思想方法以及从特殊到一般的认识规律；
⑶ 在合作交流活动中，享受自主探究发现知识的乐趣，在几何图形的运动变化中，感受变化美、动态美，培养学生勇于探索和勤于思考的精神。
2．教学过程的设计
⑴创设情境，导入新课
首先从学生已掌握的旧知识出发，提出问题：什么叫圆心角？图1中∠AOB的特点是什么？有哪些相关的性质？
学生思考后回答，师生共同纠正评价，进一步明确：顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界的图片，如图2，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。在学生理解题意后，向学生提问：你知道哪位同学的观赏角度最好吗？
学生结合图形大胆猜想，猜想的结果是否正确，并不给出明确的答案，而是设置一个悬念，并向学生说明：通过今天的学习，我们就可以解决这个问题，从而引入本节课的课题—圆周角。
⑵合作探究，学习新知
首先引导学生认识圆周角。
提出问题1：在图2中，∠AOB的顶点在圆心，∠AOB是圆心角；∠ACB、∠ADB和∠AEB这三个角有什么共同的特征吗？学生独立思考，回答问题后，师生共同纠正评价，明确共同的特征是：①角的顶点在圆周上；②角的两边都和圆相交。
提出问题2：你能尝试叙述一下“圆周角”的概念吗？学生通过类比回答问题，师生修改、补充、达成共识得到圆周角的概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
提出问题3：圆周角与圆心角的概念有什么区别、联系吗？学生独立思考进行回答，其他学生补充完善后，我利用多媒体课件指出圆周角与圆心角概念之间的区别、联系：
提出问题4:判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
学生独立思考后回答问题，图（3）（6）（8）中的角是圆周角。及时给予鼓励评价，并由学生总结强调：圆周角的概念中两个特征缺一不可：①顶点在圆上；②两边和圆相交。
顺势引导学生观察图（3）（6）（8）中三个圆周角的位置特征，继续提问：
问题5:圆心与圆周角之间存在几种不同的位置关系？
学生先独立思考，再与同桌交流，借助几何画板，从运动的观点引导学生观察归纳，师生达成共识后明确指出：圆心与圆周角之间存在三种位置关系。圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。为圆周角定理的分类证明做好铺垫，渗透分类讨论思想。
然后我引导学生探究圆周角的性质
观察实验，测量比较
同学们分成小组，先在学案纸上任意画同一条弧AB所对的圆心角和圆周角，再用量角器分别度量出这两个角的大小，填入表格中，并比较它们在度数之间有怎样的关系？
参与学生小组活动，对于发现规律的学习小组，给予及时的表扬，并鼓励他们用准确简练的语言，归纳概括提出猜想。
对于没有发现规律的小组，引导学生根据圆心与圆周角不同的位置关系，正确画出图形，渗透分类讨论思想，并测量比较圆心角和圆周角度数之间的关系，帮助他们发现规律。
提出猜想，直观验证
在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论的基础上，请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律，提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
适时地利用几何画板进行直观演示，验证学生提出的猜想。
拖动点C，观察到弧AB所对的圆周角虽然有无数个，但度量∠AOB和∠ACB的度数后，发现：圆周角∠ACB都等于它所对的圆心角∠AOB的一半。
拖动点A，改变弧AB的大小，观察发现上述规律不变，即∠ACB=∠AOB。
推理证明，归纳性质
在几何画板直观验证的基础上，让学生分小组进一步对猜想进行推理证明。
积极参与学生小组活动，对于能正确书写推理证明过程的学习小组，给予及时的鼓励
表扬，并引导学生反思总结：在证明过程中，你运用了哪些数学思想方法？
对于证明有困难的学习小组，分三步给予启发引导：
第一步：让学生结合图形正确写出已知和求证；
第二步：引导学生分三种情况进行讨论。从第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况
开始，利用“三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质”加以证明；
第三步：引导学生把其他两种一般情况“圆心在角的内部或外部”，通过添加直径这
条辅助线，转化为第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况来解决。
给予学生足够多的时间，让学生进行充分的讨论证明，然后请小组代表运用实物投影
进行展示交流，和学生共同进行修改、补充和完善，并用多媒体课件展示规范的推理证明过程，最后由学生总结概括得到圆周角定理，老师进行板书。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 已知：在⊙Ｏ中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB。 求证：
证明：① 如图1，圆心O在∠ACB的边上
∵ OC =OB，∴∠B =∠C
∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，
∴∠AOB = ∠C+ ∠B
∴∠AOB = 2∠ACB 即∠ACB =∠ AOB
∠
② 如图2，圆心O在∠ACB的内部 作直径CD，利用（1）的结果，有∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD ∴∠ACD + ∠BCD =（∠AOD +∠BOD） 即∠ACB =∠AOB ③ 如图3，圆心O在∠ACB的外部 作直径CD，利用（1）的结果，有 ∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD ∴∠BCD - ∠ACD =（∠BOD -∠AOD） 即∠ACB =∠AOB 在得到圆周角定理后，请学生结合图形写出推理形式，并由一名同学板演。符号语言：
∵在⊙o中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB， ∴
（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）。
在学生对圆周角定理的文字、图形、符号三种语言已有正确认识的基础上，进一步强调： ①定理的条件：是“一条弧”。
②定理的结论：为角的有关计算、角相等、弧相等、弦相等的有关证明提供了新的方法和依据。 ③定理的证明过程：使用完全归纳法进行证明，体现了分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律。
解决问题，反思感悟
在正确理解圆周角定理后，继续问学生：你现在能解决引例中提出的问题吗？
问题：在北京海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界。 如图，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。你知道哪位同学的观赏角度最好吗？
解：因为∠ACB、∠ADB和∠AEB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角，
所以∠ACB＝∠ADB＝∠AEB＝∠AOB。
因为的角度越大，观赏角度越佳，
所以站在点O的位置时观赏角度最好，站在点C、D、E的位置时观赏效果一样。
在解决问题后，引导学生小结，反思感悟到：正确掌握圆周角定理是解决问题的关键。
本阶段通过学生合作交流等活动，探究圆周角的概念和圆周角定理，逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。
⑶应用知识，培养能力
首先，安排了第一组练习：“比一比，谁最棒！”
①如图1，Ｃ是⊙o上的一点，如果∠Ｃ＝35°,那么∠AOB = ；
②如图2，AB、AC为⊙o的两条弦，延长CA到D，使AD = AB，如果∠ADB = 30º，那么∠BOC = ；
③如图3，已知A、C、B、D是⊙Ｏ上的点，如果∠AOB = 100°，那么∠ACB = ，∠ADB = ； ④如图4，A、B是⊙Ｏ上的两点，如果∠AOB=80°,C是⊙Ｏ上不与点A、B重合的任一点，那么∠ACB = 。
图1 图2 图3 图4
第①题是由圆周角直接求圆心角，第③题是由圆心角直接求圆周角，目的是使学生熟悉掌握圆周角定理；
第②题需要先利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质确定圆周角后，再求出圆心角，目的是使学生进一步掌握圆周角定理；
第④题点C在劣弧上还是在优弧上不确定，需要分类讨论求解，目的是使学生灵活掌握圆周角定理；
以上题目，采用课堂竞赛的形式组织学生完成，由学生独立思考后进行口答，其他学生补充、修改，我及时给予鼓励评价，本阶段通过“比一比，谁最棒”这个练习，激发学生学习积极性，使学生从不同的角度，逐步理解掌握圆周角定理，体会圆周角定理在计算中的重要应用。
接着，安排了第二组练习：“试一试，你能行！”
已知：如图，A、B、D、E为⊙o上的四个点，点E为DC延长线上的一点。
求证：①∠BCD+∠A=180°；∠ABC+∠ADC=180°；
②∠BCE=∠A。
此题先由学生独立思考，写出证明过程后，再分小组讨论交流，我有针对性地进行巡
视。
对于言之有理、落笔有据，书写规范的学生给予及时的鼓励表扬，并引导他们用简练的语言，归纳概括圆内接四边形的重要结论。
对于暂时没有发现解题思路的学生，我引导学生通过做半径，构造圆心角，使圆周角与同弧所对的圆心角联系起来，从而解决问题。
在学生小组讨论交流后，我利用投影有针对性地展示收集到的不同学生的证明过程，并给予评价指导。
然后我进一步向学生提问：你知道圆内接四边形有哪些性质吗？
在学生充分发言的基础上，师生共同修改完善、归纳总结、达成共识后得到：
圆内接四边形的对角互补, 一个外角等于它的内对角。
通过这个问题的解决，让学生进一步体会圆周角定理在证明中的重要应用。
最后，我安排了第三组练习：“做一做，夺金牌”
在2008年北京奥运会上，中国选手奋力拼搏，获得100枚奖牌，我校数学兴趣小组也要参加北京市的“OM”头脑奥林匹克比赛，比赛用的道具都是老师和同学自己动手制作的。一天，小明找到老师，他想在一块圆形纸板上画八个45º的角，组成一个美丽的图案（如图），希望可以提供一种比较简单的做法，你能帮助小明想个好办法吗？
通过这个问题的解决，让学生进一步感受到圆周角定理在实际生活中的广泛应用，从而激发学生的学习积极性。并进一步体会分类讨论思想。
⑷归纳总结，提升认识
为了使学生对本节课有一个整体的感知，教师和学生共同回顾了本节课的学习内容和重点。结
合学生发言，引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行反思归纳总结。
①顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
②“观察、实验、比较、分析、归纳、猜想、证明”是探究问题常用的策略；“从特殊到一般”是认识事物常用的数学方法；“分类讨论、转化”是解决问题常用的数学思想。
本节课重点研究圆周角的概念以及圆周角定理。主要采取引导发现、合作探究的教学方法。首先，让学生在实际生活中通过直观感受，抽象概括圆周角的特征，以准确的语言明确揭示圆周角的本质，并对圆周角的概念进行比较、辨析，深化理解圆周角的概念，从而逐步体会圆周角与圆心的三种位置关系，渗透分类讨论思想；然后引导学生经历观察、实验、分析、比较、归纳、猜想、证明探索圆周角定理的过程，并借助几何画板的直观演示，增强学生对圆周角定理的感性认识，体会几何图形运动变化中的不变性；通过分情况证明圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论、完全归纳法的数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律；通过选取由易到难不同层次的练习，从不同的角度，使学生熟练掌握圆周角定理，感受圆周角定理在计算、证明以及实际生活中的广泛应用；通过学生小结，回顾知识，培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力，从而进一步体会数学思想方法是解题的灵魂。
在初中数学教学中，通过分类讨论思想的渗透，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。掌握分类思想，有助于学生理解知识，整理知识、消化知识和独立获取知识，使学生学会一种分析问题和处理问题的思想方法，从而提高学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。
代数类
与数与式有关的分类讨论 化简：|x-1|+|x-2|
解析：①当x＜1时，x-1＜0，x-2＜0， ∴原式=-(x-1)-(x-2)=-2x+3。 ②当1≤x≤2时，x-1≥0，x-2≤0，∴原式=(x+1)-(x-2)=1
③当x＞2时， x-1＞0，x-2＞0，∴原式=(x-1)+(x-2)=2x-3 代数式
abab
的所有可能的值有（ ） ++
|a||b||ab|
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
解析：根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论。 （1）当a>0，b>0时，ab>0，原式等于3； （2）当a>0，b0时，ab0，原式等于-1。 因此，代数式所有可能的值为3、-1，故选A。
点拨：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。所以只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力。 与方程有关的分类讨论
3、已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根，求m的取值范围。
解析：（1）当m2=0时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1 （2）当m2≠0时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：
1
∆=(2m+1)2-4m2=4m+1≥0,即m≥-，且m2≠0
4
1
综（1）（2）得，m≥-
4
点拨：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略m2≠0的条件） 4、（2011武汉）
3ax4
+2=无解，求a=x-3x-9x+3
解：去分母，得：
3(x+3)+ax=4(x-3)⇒（a-1）x=-21
2121由已知-=-3或-=3或a-1=0
a-1a-1
∴a=8,a=-6.或者a=1
猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a=8或a=-6 函数部分
5、已知一次函数y=-
x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点3
P，使△PAB为等腰三角形。
分析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标(0，3)，A点坐标（9，0）。设P点坐标为
，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点
坐标有四解，分别为(-9，（不适合条件的解已舍去） 0)、(3，0)、(9+6，0)、(9-6，0)。 总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
6、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. (1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。
说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证． 解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。 易得： y=a(x+1)(x-3)再结合点B(0,3)在抛物线上∴y=-x2+2x+3 依题意得AB=，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)
以AQ为底，则有AB=QB,及=2+(y-3)2解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)
以BQ为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,-6) 以AB为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).
综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,) 、(1,-6) 几何类
与等腰三角形有关的分类讨论
与角有关的分类讨论
已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________ 与边有关的分类讨论
已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 与高有关的分类讨论
1.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度. 为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
如图，在网格图中找格点M，使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.
综合应用
在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标
A
直角坐标系中，已知点P（－2，－1），点T（t，0）是x轴上的一个动点
.
求点P关于原点的对称点P'的坐标；（2）当t取何值时，△P'TO是等腰三角形？
与圆有关的分类讨论
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.
由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论
已知点P到⊙O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求⊙O的半径.
由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论
A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=136o，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是___________.
2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（ ） A. 7㎝ B. 8㎝ C. 7㎝或1㎝ D. 1㎝
由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论
已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度.
由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论
⊙O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=2，AD=3，求∠CAD的度数.
由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论
已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与x轴相切.
4
如图，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于点M，N
3
（1）求M，N两点的坐标； （2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，点P的坐标
.
124
为半径的圆与直线y=-x+4相切，求53
由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论
已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是 cm ．
2.若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为：
3如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移 个单位长后，⊙A与⊙B相切．
4如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_________．
5.
与直角三角形有关的分类讨论
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
与相似三角形有关的分类讨论 对应边不确定
如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻，动点M从
A点出发沿AB方向以1cm／s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm／s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A,.M,N为顶点的三角形与ΔACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
B
D
对应角不确定
如图1，∠A=500，∠B=600，一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点，当∠ADE为________度时，△ABC与△ADE相似.
图形的位置不确定
1. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图4(备用)
E B
图1
C
C F C
M
F C
图2
F C
图5(备用)
M
图3
N
C
综合类的分类讨论
课下巩固练习
一、填空题：
已知AB是圆的直径，AC是弦，AB＝2，AC＝2，弦AD＝1，则∠CAD＝ ． 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________． 等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．
在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_____.
二、选择题：
若等腰三角形的一个内角为500，则其他两个内角为 （ ）
A．500 ，80o B．650， 650 C．500 ，650 D．500，800或 650，650
若|a|=3,|b|=2,且a>b,则a+b=( )
A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1 等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定
若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500
若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.
21 a+b 2 B. a-b 2 C. a+ba-b或 22D. a+b或a-b
二、解答题：
在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），设BO＝x，ΔAOC的面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.
BOC
在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，
4），C（－1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MG＝BN.
（1）求点M的坐标.
（2）设ON＝t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.
（3）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴， 22
建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等．．．
腰三角形，求该抛物线的关系式．
在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)
已知A(-1，
m)与B(2，m+是反比例函数y=
（1）求k的值；
23 k图象上的两个点． x
0)，则在反比例函数y=（2）若点C(-1，k图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四x
点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.
(1)求直线AB的关系式;
(2)若S梯形OBCD
,求点C的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由
.
3二次函数y=x2-x-1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. 2
（1）求△ABC的面积．；
（2）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在， 24
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
25
数学思想方法与初中数学教学——分类讨论专题
数学思想方法在初中数学教学中的重要性
在《初中数学课程标准》的总体目标中，明确地提出了：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，在数学课程标准中明确地提出来，这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。
什么是数学思想方法？数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是解决问题的手段和工具，是解决数学问题时的程序、途径，它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征，而数学方法具有实践性的特点，数学问题的解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。
在初中数学教学中，常见的数学思想有：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等；常见的数学方法有：待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比法等等。
在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。
在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。在初中数学教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。
我下面主要对分类讨论思想做一下分析
分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。
分类思想已渗透到中学数学的各个方面，如概念的定义、定理的证明、法则的推导等，也渗透
到问题的具体解决之中，如含有绝对值符号的代数式的处理、根式的化简、图形的讨论等，这些问题若不分类讨论，就会无从着手或顾此失彼，导致错误的发生。比如，在有关绝对值的概念中，当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于0，小于0，等于 0三种情况进行讨论；若已知=3，=2，求
因此，对于
时，
－5，即的值。在解这道题时，由=3，得到，或时，，由=2，得到的值为5；当，时，或，的值为。的取值，应分四种情况讨论，当，时，的值为1；当的值为－1；当的值为5；1；－1；－5。在解这个数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。
在渗透分类讨论思想的过程中，首要的是分类。教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如在研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的；在研究加、减、乘、除四种运算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在初中几何教学中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类；在函数教学中将函数图象分为开口方向向上、向下，自变量的增、减来进行研究；在圆的教学中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系进行了分类。从功能上看，这种分类讨论思想可以避免漏解、错解情况的出现，从学生的思维品质上看，分类讨论思想有利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。渗透分类讨论的思想方法，对培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力有积极促进作用。
下面我以冀教版九年级数学上册第27章第2节 “圆周角”的教学为例，谈一谈教学中的一些设计与感受。
1．教学背景分析
本节课是在学生掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识的基础上，重点研究圆周角的概念以及圆周角定理，圆周角不仅与圆心角之间关系十分密切，而且在进行角的有关计算、证明角相等、弧相等、弦相等、研究圆内接四边形、判定相似三角形等常见几何问题中具有重要的作用，尤其是利用完全归纳法探索圆周角定理的过程，对培养学生分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律具有促进作用。因此，我确定了本节课的教学重点是：圆周角的概念和圆周角定理。
我所任教的初三年级学生，从知识上看，已掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识，从思维上看，能够比较主动的进行观察、实验、比较、猜想、证明等数学思维活动，这对于本节课
的学习很有帮助，但由于圆周角定理的证明，需要分三种情况进行讨论逐一证明，这对于学生较为生疏，很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统，在教学中我力图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理，使学生逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。因此，我确定了本节课的教学难点是：圆周角定理的证明及其应用。
根据数学课程标准中关于“圆周角”的教学要求，和对教材、学生的分析，结合我班学生已有的经验和知识基础，我确定了本节课的教学目标：
⑴ 了解圆周角与圆心角之间的关系，理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算；
⑵ 经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论的数学思想方法以及从特殊到一般的认识规律；
⑶ 在合作交流活动中，享受自主探究发现知识的乐趣，在几何图形的运动变化中，感受变化美、动态美，培养学生勇于探索和勤于思考的精神。
2．教学过程的设计
⑴创设情境，导入新课
首先从学生已掌握的旧知识出发，提出问题：什么叫圆心角？图1中∠AOB的特点是什么？有哪些相关的性质？
学生思考后回答，师生共同纠正评价，进一步明确：顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界的图片，如图2，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。在学生理解题意后，向学生提问：你知道哪位同学的观赏角度最好吗？
学生结合图形大胆猜想，猜想的结果是否正确，并不给出明确的答案，而是设置一个悬念，并向学生说明：通过今天的学习，我们就可以解决这个问题，从而引入本节课的课题—圆周角。
⑵合作探究，学习新知
首先引导学生认识圆周角。
提出问题1：在图2中，∠AOB的顶点在圆心，∠AOB是圆心角；∠ACB、∠ADB和∠AEB这三个角有什么共同的特征吗？学生独立思考，回答问题后，师生共同纠正评价，明确共同的特征是：①角的顶点在圆周上；②角的两边都和圆相交。
提出问题2：你能尝试叙述一下“圆周角”的概念吗？学生通过类比回答问题，师生修改、补充、达成共识得到圆周角的概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
提出问题3：圆周角与圆心角的概念有什么区别、联系吗？学生独立思考进行回答，其他学生补充完善后，我利用多媒体课件指出圆周角与圆心角概念之间的区别、联系：
提出问题4:判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
学生独立思考后回答问题，图（3）（6）（8）中的角是圆周角。及时给予鼓励评价，并由学生总结强调：圆周角的概念中两个特征缺一不可：①顶点在圆上；②两边和圆相交。
顺势引导学生观察图（3）（6）（8）中三个圆周角的位置特征，继续提问：
问题5:圆心与圆周角之间存在几种不同的位置关系？
学生先独立思考，再与同桌交流，借助几何画板，从运动的观点引导学生观察归纳，师生达成共识后明确指出：圆心与圆周角之间存在三种位置关系。圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。为圆周角定理的分类证明做好铺垫，渗透分类讨论思想。
然后我引导学生探究圆周角的性质
观察实验，测量比较
同学们分成小组，先在学案纸上任意画同一条弧AB所对的圆心角和圆周角，再用量角器分别度量出这两个角的大小，填入表格中，并比较它们在度数之间有怎样的关系？
参与学生小组活动，对于发现规律的学习小组，给予及时的表扬，并鼓励他们用准确简练的语言，归纳概括提出猜想。
对于没有发现规律的小组，引导学生根据圆心与圆周角不同的位置关系，正确画出图形，渗透分类讨论思想，并测量比较圆心角和圆周角度数之间的关系，帮助他们发现规律。
提出猜想，直观验证
在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论的基础上，请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律，提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
适时地利用几何画板进行直观演示，验证学生提出的猜想。
拖动点C，观察到弧AB所对的圆周角虽然有无数个，但度量∠AOB和∠ACB的度数后，发现：圆周角∠ACB都等于它所对的圆心角∠AOB的一半。
拖动点A，改变弧AB的大小，观察发现上述规律不变，即∠ACB=∠AOB。
推理证明，归纳性质
在几何画板直观验证的基础上，让学生分小组进一步对猜想进行推理证明。
积极参与学生小组活动，对于能正确书写推理证明过程的学习小组，给予及时的鼓励
表扬，并引导学生反思总结：在证明过程中，你运用了哪些数学思想方法？
对于证明有困难的学习小组，分三步给予启发引导：
第一步：让学生结合图形正确写出已知和求证；
第二步：引导学生分三种情况进行讨论。从第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况
开始，利用“三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质”加以证明；
第三步：引导学生把其他两种一般情况“圆心在角的内部或外部”，通过添加直径这
条辅助线，转化为第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况来解决。
给予学生足够多的时间，让学生进行充分的讨论证明，然后请小组代表运用实物投影
进行展示交流，和学生共同进行修改、补充和完善，并用多媒体课件展示规范的推理证明过程，最后由学生总结概括得到圆周角定理，老师进行板书。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 已知：在⊙Ｏ中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB。 求证：
证明：① 如图1，圆心O在∠ACB的边上
∵ OC =OB，∴∠B =∠C
∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，
∴∠AOB = ∠C+ ∠B
∴∠AOB = 2∠ACB 即∠ACB =∠ AOB
∠
② 如图2，圆心O在∠ACB的内部 作直径CD，利用（1）的结果，有∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD ∴∠ACD + ∠BCD =（∠AOD +∠BOD） 即∠ACB =∠AOB ③ 如图3，圆心O在∠ACB的外部 作直径CD，利用（1）的结果，有 ∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD ∴∠BCD - ∠ACD =（∠BOD -∠AOD） 即∠ACB =∠AOB 在得到圆周角定理后，请学生结合图形写出推理形式，并由一名同学板演。符号语言：
∵在⊙o中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB， ∴
（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）。
在学生对圆周角定理的文字、图形、符号三种语言已有正确认识的基础上，进一步强调： ①定理的条件：是“一条弧”。
②定理的结论：为角的有关计算、角相等、弧相等、弦相等的有关证明提供了新的方法和依据。 ③定理的证明过程：使用完全归纳法进行证明，体现了分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律。
解决问题，反思感悟
在正确理解圆周角定理后，继续问学生：你现在能解决引例中提出的问题吗？
问题：在北京海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界。 如图，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。你知道哪位同学的观赏角度最好吗？
解：因为∠ACB、∠ADB和∠AEB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角，
所以∠ACB＝∠ADB＝∠AEB＝∠AOB。
因为的角度越大，观赏角度越佳，
所以站在点O的位置时观赏角度最好，站在点C、D、E的位置时观赏效果一样。
在解决问题后，引导学生小结，反思感悟到：正确掌握圆周角定理是解决问题的关键。
本阶段通过学生合作交流等活动，探究圆周角的概念和圆周角定理，逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。
⑶应用知识，培养能力
首先，安排了第一组练习：“比一比，谁最棒！”
①如图1，Ｃ是⊙o上的一点，如果∠Ｃ＝35°,那么∠AOB = ；
②如图2，AB、AC为⊙o的两条弦，延长CA到D，使AD = AB，如果∠ADB = 30º，那么∠BOC = ；
③如图3，已知A、C、B、D是⊙Ｏ上的点，如果∠AOB = 100°，那么∠ACB = ，∠ADB = ； ④如图4，A、B是⊙Ｏ上的两点，如果∠AOB=80°,C是⊙Ｏ上不与点A、B重合的任一点，那么∠ACB = 。
图1 图2 图3 图4
第①题是由圆周角直接求圆心角，第③题是由圆心角直接求圆周角，目的是使学生熟悉掌握圆周角定理；
第②题需要先利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质确定圆周角后，再求出圆心角，目的是使学生进一步掌握圆周角定理；
第④题点C在劣弧上还是在优弧上不确定，需要分类讨论求解，目的是使学生灵活掌握圆周角定理；
以上题目，采用课堂竞赛的形式组织学生完成，由学生独立思考后进行口答，其他学生补充、修改，我及时给予鼓励评价，本阶段通过“比一比，谁最棒”这个练习，激发学生学习积极性，使学生从不同的角度，逐步理解掌握圆周角定理，体会圆周角定理在计算中的重要应用。
接着，安排了第二组练习：“试一试，你能行！”
已知：如图，A、B、D、E为⊙o上的四个点，点E为DC延长线上的一点。
求证：①∠BCD+∠A=180°；∠ABC+∠ADC=180°；
②∠BCE=∠A。
此题先由学生独立思考，写出证明过程后，再分小组讨论交流，我有针对性地进行巡
视。
对于言之有理、落笔有据，书写规范的学生给予及时的鼓励表扬，并引导他们用简练的语言，归纳概括圆内接四边形的重要结论。
对于暂时没有发现解题思路的学生，我引导学生通过做半径，构造圆心角，使圆周角与同弧所对的圆心角联系起来，从而解决问题。
在学生小组讨论交流后，我利用投影有针对性地展示收集到的不同学生的证明过程，并给予评价指导。
然后我进一步向学生提问：你知道圆内接四边形有哪些性质吗？
在学生充分发言的基础上，师生共同修改完善、归纳总结、达成共识后得到：
圆内接四边形的对角互补, 一个外角等于它的内对角。
通过这个问题的解决，让学生进一步体会圆周角定理在证明中的重要应用。
最后，我安排了第三组练习：“做一做，夺金牌”
在2008年北京奥运会上，中国选手奋力拼搏，获得100枚奖牌，我校数学兴趣小组也要参加北京市的“OM”头脑奥林匹克比赛，比赛用的道具都是老师和同学自己动手制作的。一天，小明找到老师，他想在一块圆形纸板上画八个45º的角，组成一个美丽的图案（如图），希望可以提供一种比较简单的做法，你能帮助小明想个好办法吗？
通过这个问题的解决，让学生进一步感受到圆周角定理在实际生活中的广泛应用，从而激发学生的学习积极性。并进一步体会分类讨论思想。
⑷归纳总结，提升认识
为了使学生对本节课有一个整体的感知，教师和学生共同回顾了本节课的学习内容和重点。结
合学生发言，引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行反思归纳总结。
①顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
②“观察、实验、比较、分析、归纳、猜想、证明”是探究问题常用的策略；“从特殊到一般”是认识事物常用的数学方法；“分类讨论、转化”是解决问题常用的数学思想。
本节课重点研究圆周角的概念以及圆周角定理。主要采取引导发现、合作探究的教学方法。首先，让学生在实际生活中通过直观感受，抽象概括圆周角的特征，以准确的语言明确揭示圆周角的本质，并对圆周角的概念进行比较、辨析，深化理解圆周角的概念，从而逐步体会圆周角与圆心的三种位置关系，渗透分类讨论思想；然后引导学生经历观察、实验、分析、比较、归纳、猜想、证明探索圆周角定理的过程，并借助几何画板的直观演示，增强学生对圆周角定理的感性认识，体会几何图形运动变化中的不变性；通过分情况证明圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论、完全归纳法的数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律；通过选取由易到难不同层次的练习，从不同的角度，使学生熟练掌握圆周角定理，感受圆周角定理在计算、证明以及实际生活中的广泛应用；通过学生小结，回顾知识，培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力，从而进一步体会数学思想方法是解题的灵魂。
在初中数学教学中，通过分类讨论思想的渗透，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。掌握分类思想，有助于学生理解知识，整理知识、消化知识和独立获取知识，使学生学会一种分析问题和处理问题的思想方法，从而提高学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。
代数类
与数与式有关的分类讨论 化简：|x-1|+|x-2|
解析：①当x＜1时，x-1＜0，x-2＜0， ∴原式=-(x-1)-(x-2)=-2x+3。 ②当1≤x≤2时，x-1≥0，x-2≤0，∴原式=(x+1)-(x-2)=1
③当x＞2时， x-1＞0，x-2＞0，∴原式=(x-1)+(x-2)=2x-3 代数式
abab
的所有可能的值有（ ） ++
|a||b||ab|
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
解析：根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论。 （1）当a>0，b>0时，ab>0，原式等于3； （2）当a>0，b0时，ab0，原式等于-1。 因此，代数式所有可能的值为3、-1，故选A。
点拨：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。所以只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力。 与方程有关的分类讨论
3、已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根，求m的取值范围。
解析：（1）当m2=0时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1 （2）当m2≠0时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：
1
∆=(2m+1)2-4m2=4m+1≥0,即m≥-，且m2≠0
4
1
综（1）（2）得，m≥-
4
点拨：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略m2≠0的条件） 4、（2011武汉）
3ax4
+2=无解，求a=x-3x-9x+3
解：去分母，得：
3(x+3)+ax=4(x-3)⇒（a-1）x=-21
2121由已知-=-3或-=3或a-1=0
a-1a-1
∴a=8,a=-6.或者a=1
猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a=8或a=-6 函数部分
5、已知一次函数y=-
x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点3
P，使△PAB为等腰三角形。
分析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标(0，3)，A点坐标（9，0）。设P点坐标为
，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点
坐标有四解，分别为(-9，（不适合条件的解已舍去） 0)、(3，0)、(9+6，0)、(9-6，0)。 总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
6、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. (1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。
说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证． 解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。 易得： y=a(x+1)(x-3)再结合点B(0,3)在抛物线上∴y=-x2+2x+3 依题意得AB=，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)
以AQ为底，则有AB=QB,及=2+(y-3)2解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)
以BQ为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,-6) 以AB为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).
综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,) 、(1,-6) 几何类
与等腰三角形有关的分类讨论
与角有关的分类讨论
已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________ 与边有关的分类讨论
已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 与高有关的分类讨论
1.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度. 为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
如图，在网格图中找格点M，使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.
综合应用
在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标
A
直角坐标系中，已知点P（－2，－1），点T（t，0）是x轴上的一个动点
.
求点P关于原点的对称点P'的坐标；（2）当t取何值时，△P'TO是等腰三角形？
与圆有关的分类讨论
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.
由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论
已知点P到⊙O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求⊙O的半径.
由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论
A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=136o，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是___________.
2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（ ） A. 7㎝ B. 8㎝ C. 7㎝或1㎝ D. 1㎝
由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论
已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度.
由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论
⊙O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=2，AD=3，求∠CAD的度数.
由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论
已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与x轴相切.
4
如图，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于点M，N
3
（1）求M，N两点的坐标； （2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，点P的坐标
.
124
为半径的圆与直线y=-x+4相切，求53
由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论
已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是 cm ．
2.若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为：
3如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移 个单位长后，⊙A与⊙B相切．
4如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_________．
5.
与直角三角形有关的分类讨论
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
与相似三角形有关的分类讨论 对应边不确定
如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻，动点M从
A点出发沿AB方向以1cm／s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm／s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A,.M,N为顶点的三角形与ΔACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
B
D
对应角不确定
如图1，∠A=500，∠B=600，一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点，当∠ADE为________度时，△ABC与△ADE相似.
图形的位置不确定
1. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图4(备用)
E B
图1
C
C F C
M
F C
图2
F C
图5(备用)
M
图3
N
C
综合类的分类讨论
课下巩固练习
一、填空题：
已知AB是圆的直径，AC是弦，AB＝2，AC＝2，弦AD＝1，则∠CAD＝ ． 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________． 等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．
在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_____.
二、选择题：
若等腰三角形的一个内角为500，则其他两个内角为 （ ）
A．500 ，80o B．650， 650 C．500 ，650 D．500，800或 650，650
若|a|=3,|b|=2,且a>b,则a+b=( )
A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1 等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定
若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500
若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.
21 a+b 2 B. a-b 2 C. a+ba-b或 22D. a+b或a-b
二、解答题：
在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），设BO＝x，ΔAOC的面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.
BOC
在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，
4），C（－1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MG＝BN.
（1）求点M的坐标.
（2）设ON＝t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.
（3）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴， 22
建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等．．．
腰三角形，求该抛物线的关系式．
在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)
已知A(-1，
m)与B(2，m+是反比例函数y=
（1）求k的值；
23 k图象上的两个点． x
0)，则在反比例函数y=（2）若点C(-1，k图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四x
点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.
(1)求直线AB的关系式;
(2)若S梯形OBCD
,求点C的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由
.
3二次函数y=x2-x-1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. 2
（1）求△ABC的面积．；
（2）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在， 24
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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