专题多边形的角与对角线

初中数学竞赛辅导专题讲座

多边形的角与对角线

1. ⑴n边形的内角和是n2180，外角和是3600(定值)。 0

⑵正n边形的每个内角的度数都是n21800

n，每个外角的度数都是360

n0。

⑶多边形的内角和一定能被1800整除, 且边数每增加一条,内角和就增加1800.

2. 任意凸多边形的所有内(外)角中最多有3个角是锐(钝)角。

3. 过n边形一个顶点有n3条对角线，这些对角线将三角形分成了n2个三角形，在n边形中共有

nn3

2条对角线。

BAG

F4. 一般地，多边形能镶嵌平面需要满足两个条件：

⑴拼接在同一个点的各个角的和恰好等于3600（周角）；

⑵相邻的多边形有公共边。

例1（2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题） CDE

如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ） (A)360° (B) 450°(C) 540° (D) 720°

例2（1988年“辽教杯”上海市初中数学竞赛）一个凸n边形中，除了一个内角外, 其余各内角的和为3290,

则这个内角的度数是( ) (A)140° (B) 130° (C) 120° (D) 110°

例3（1985年上海市初中数学竞赛）以三角形的三个顶点和它内部的7个点，共10 个点为顶点，能把原三角

形分割成小三角形的个数是（ ） (A)11 (B) 15 (C) 19 (D) 不能确定

例4（1988年上海市初三数学竞赛）（“希望杯”邀请赛培训题）若凸4n+2边形A1A2……A4n+2(n为自然数)的每个内

角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，则n的所有可能值是多少?

例5 (1995年湖北省黄冈地区初中数学竞赛)

⑴计算凸九边形所有对角线的条数,以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.

⑵在凸九边形每个顶点处任意写一个自然数,在⑴中的三角形中,若三个顶点所标三数之和为奇数,则称该三角形为奇三角形; 若三数之和为偶数,则称为偶三角形.试证明: 奇三角形个数必为偶数.

例6 (第七届日本数学奥林匹克竞赛试题)

把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍。请问：①原来的多边形是几边形？②把原来的多边形分割成了多少个多边形？

分析与解 已知n边形有n个顶点，过一个顶点的所有对角线把n边形分成（n－2）个三角形。因此，知道了一个多边形的边数或顶点数（n），就可以求出它的内角和（n－2）×180°，知道了一个多边形由多少个三角形（m）组成的，就可以求出它的边数或顶点数（m＋2）。

设原多边形是由a个三角形组成的，分割后的多边形共由b个三角形组成，a和b都是整数，根据题意有：1.3×a×180°＝b×180°，于是有1.3a=b。

由于b是整数，所以1.3a也是整数，a必是10的倍数，于是1.3a是13的倍数，b也是13的倍数。

（一）设a=10，则b=13，进而可知原多边形有12个顶点（12条边），而分割后的多边形有15个顶点

（15条边）。由于连结一个多边形的两顶点时，将一个多边形分成两个多边形后，顶点的数目不变，而分出的两个多边形比原来增多2条边。连结多边形的一个顶点与一边上一点时，顶点数目增多1个，而分出的两个多边形比原来增多3条边。连接两边上一点时，顶点数目增多2个，而边数比原来增多4条。要增多（15－12=）3个顶点，增多13条边，有两种连线方法。（见下图）

显然原多边形是12边形，两种连结方法都将12边形分成了6个多边形。

（二）如果a=20，则b＝26，原多边形有22个顶点，而分割后的多边形有28个顶点，增多了（28－22=）6个顶点，不论怎样连结都不能使分割后的多边形边数总和比原来的多边形增多13条边。因此原多边形不是22边形。如果a更大，则分割后增加的顶点个数更多，不论怎样连结都不符合题目要求。因此原多边形只能是12边形。

A

FCBBEC

DE

A

EHDABIBEG

C

2.（2003年全国初中数学联赛试题第一试）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）A.0 B.1 C.3 D.5 3. (嵊州市2004年初一数学竞赛试题)在凸八边形的所有内角中，钝角至少有（ ）A.3个B.5 C.7 D.8个 4.（1985年上海市初中数学竞赛）设n为自然数且n4，又设凸n边形中出现锐角的最多个数为M，出现锐

角的最少个数为m，则Mm的值是（ ）(A)3 (B) 4 (C) 大于4 的一个自然数 (D) 不能确定 5.（1987年青岛市初中数学竞赛第一试）如果限定凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形的边数

最多是n，则n的值是（ ） (A)5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

6.（1987年苏州市初中数学竞赛模拟试题）平面上给出四点，其中没有三点在一条直线上，可组成四个三角形，

其中最多有几个锐角三角形（ ）(A)4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

7. 如果正n边形的一个外角不大于40°,则它的边数n满足 ( )A. n=8 B. n=9 C. n>9 D. n≥9 8.（中学数学教学参考2005年第三期 全国初中数学联赛模拟试题）

在凸2005边形中，不大于1100的内角最多有（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

9. (2002年全国初中数学联赛预赛暨2001年山东省初中数学竞赛试题)

在凸n边形中，小于1080的角最多可以有（B）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

10.（全国初中数学竞赛）一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）A.11 B.12 C.13 D.14

11. (1987年全国部分省市初中数学通讯赛)一个凸n边形，除去一个内角外，其余(n-1)个内角的和是2400°，

则n的值是( ).（A）15 （B）16 （C）17 （D）不能确定

12.（江苏省第十七届初中数学竞赛试题（初三年级））在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，

则这个多边形的边数为（ ）（A）12 （B）12或13 （C）14 （D）14或15

13.(嵊州市2004年初一数学竞赛试题)n边形的n个内角与某一个外角的总和为1500°，则n = ＿＿＿。 14.（1987年沈阳市初中数学邀请赛）凸n边形的对角线共有945条，则边数n= 。

15.（江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试）

一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形是_____边形．

16.已知m边形没有对角线，n边形有nmn条对角线，则22005 .

17.（1987年上海市初中数学竞赛）凸七边形的所有对角线把该七边形分割成许多不重叠的小凸多边形,其中边

数最多的小多边形的可能的边数是( ) (A)5 (B) 6 (C) 7 (D) 大于7的自然数

18.用同样大小的正多边形的瓷砖铺地，正好将地面没有重叠，没有空隙地铺满.这样的正多边形有_____

种，分别是______________________.

19.某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为ｘ、ｙ、ｚ，那么

1

x1

y1

z的值是 ．

20.（1987年江苏省初中数学竞赛）以三角形的三个顶点和它内部的九个点（共12个点）为顶点，能把原三角

形分割成小三角形的个数是（ ） (A)15 (B) 19 (C) 22 (D) 不能确定 21.（中学数学教学参考2005年第三期 全国初中数学联赛模拟试题）

在由△ABC内的2005个点P1，P2，…，P2005及△ABC的三个顶点A、B、C共2008个点所构成的三角形中，最多有 个三角形，它们恰好将△ABC完全分割成无任何重叠的三角形.

22.（1989年全国初中数学联赛第一试）在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形的3个顶点，共有6

个点。以这6个点为顶点作出所有不重叠的三角形，如果这六个点中没有三点共线，所作三角形的个数为n0，如果这六个点中有三点共线(但无四点共线)，所作三角形的个数为n１，如果这六个点中有四

点共线, 所作三角形的个数为n２，那么( )

(A)n0n1n2 (B) n0n1n2 (C) n0n1n2 (D) n0n1n2

23.设凸m边形内有n个点，则由这n个点和多边形顶点可连成 个不重叠的三角形。

24.（1995年安徽省部分地区初中数学竞赛试题）（1988年全国部分省市初中数学通讯赛）

正方形纸片内有100个点，连同正方形顶点共有104个点，在这104个点中任何三点都不共线，现将该正方形纸片全部剪成三角形，这些三角形的每个顶点都在这104 个点中选取，并且这104 个点都是这种三角形的顶点，若沿一条线段剪开算作一刀。试问，为剪成这些三角形共需要剪几刀，一共可剪成多少个三角形。

25.一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是25200，则原多边形的边数是 。若截角

时不过多边形的顶点，则原多边形的边数是 。

26.（1987年江苏省初中数学竞赛）

已知ABCDE是正五边形，O是平面上一点，DOE是等边三角形，则AOC的度数是 。

27.在一个五边形外，分别以它的边为边做三角形、凸四、五、六、七边形，那么这些所做的多边形的内

角中与原五边形没有邻边的角的和是 度。

28.以正n边形的边为边，在正n边形外作n个正方形，已知这n个正方形的外围2n个顶点恰好构成了一

个正2n边形，那么只有当n= 时，才有可能。

29.如果一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°，以后依次每一个内角比前

一个内角多50，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，那么这个多边形的边数为 .

0030.已知凸n边形A1A2Ann4的所有内角都是为15的整数倍，并且有A1A2A3285，

那么n= 。

31.（1987年天津市初二数学邀请赛）

一个凸n边形的最小内角为95，其它内角依次增加10，则n等于（ ）(A)6 (B)12 (C)4 (D) 10

32.如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的角度数，设最小的角是800，最

大的角是100，则多边形的边数为 。

33. (荆州市2002年初中数学竞赛暨2003年全国初中数学竞赛选拔赛)

一个凸n（n4）边形的每一个内角都相等，每个外角的度数均为奇数，则这样的凸多边形共有（ ）

(A)4个 (B)6个 (C)3个 (D) 2个

34.以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是 。

35.（1987年全国初中数学联赛）（1987年全国部分省市初中数学通讯赛）

有一个凸11边形，它是由若干个边长为1的等边三角形和边长为1 的正方形无重叠、无间隙拼成的，求此凸11边形各内角的大小，并画出一个这样的凸11边形的草图。 000

初中数学竞赛辅导专题讲座

多边形的角与对角线

1. ⑴n边形的内角和是n2180，外角和是3600(定值)。 0

⑵正n边形的每个内角的度数都是n21800

n，每个外角的度数都是360

n0。

⑶多边形的内角和一定能被1800整除, 且边数每增加一条,内角和就增加1800.

2. 任意凸多边形的所有内(外)角中最多有3个角是锐(钝)角。

3. 过n边形一个顶点有n3条对角线，这些对角线将三角形分成了n2个三角形，在n边形中共有

nn3

2条对角线。

BAG

F4. 一般地，多边形能镶嵌平面需要满足两个条件：

⑴拼接在同一个点的各个角的和恰好等于3600（周角）；

⑵相邻的多边形有公共边。

例1（2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题） CDE

如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ） (A)360° (B) 450°(C) 540° (D) 720°

例2（1988年“辽教杯”上海市初中数学竞赛）一个凸n边形中，除了一个内角外, 其余各内角的和为3290,

则这个内角的度数是( ) (A)140° (B) 130° (C) 120° (D) 110°

例3（1985年上海市初中数学竞赛）以三角形的三个顶点和它内部的7个点，共10 个点为顶点，能把原三角

形分割成小三角形的个数是（ ） (A)11 (B) 15 (C) 19 (D) 不能确定

例4（1988年上海市初三数学竞赛）（“希望杯”邀请赛培训题）若凸4n+2边形A1A2……A4n+2(n为自然数)的每个内

角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，则n的所有可能值是多少?

例5 (1995年湖北省黄冈地区初中数学竞赛)

⑴计算凸九边形所有对角线的条数,以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.

⑵在凸九边形每个顶点处任意写一个自然数,在⑴中的三角形中,若三个顶点所标三数之和为奇数,则称该三角形为奇三角形; 若三数之和为偶数,则称为偶三角形.试证明: 奇三角形个数必为偶数.

例6 (第七届日本数学奥林匹克竞赛试题)

把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍。请问：①原来的多边形是几边形？②把原来的多边形分割成了多少个多边形？

分析与解 已知n边形有n个顶点，过一个顶点的所有对角线把n边形分成（n－2）个三角形。因此，知道了一个多边形的边数或顶点数（n），就可以求出它的内角和（n－2）×180°，知道了一个多边形由多少个三角形（m）组成的，就可以求出它的边数或顶点数（m＋2）。

设原多边形是由a个三角形组成的，分割后的多边形共由b个三角形组成，a和b都是整数，根据题意有：1.3×a×180°＝b×180°，于是有1.3a=b。

由于b是整数，所以1.3a也是整数，a必是10的倍数，于是1.3a是13的倍数，b也是13的倍数。

（一）设a=10，则b=13，进而可知原多边形有12个顶点（12条边），而分割后的多边形有15个顶点

（15条边）。由于连结一个多边形的两顶点时，将一个多边形分成两个多边形后，顶点的数目不变，而分出的两个多边形比原来增多2条边。连结多边形的一个顶点与一边上一点时，顶点数目增多1个，而分出的两个多边形比原来增多3条边。连接两边上一点时，顶点数目增多2个，而边数比原来增多4条。要增多（15－12=）3个顶点，增多13条边，有两种连线方法。（见下图）

显然原多边形是12边形，两种连结方法都将12边形分成了6个多边形。

（二）如果a=20，则b＝26，原多边形有22个顶点，而分割后的多边形有28个顶点，增多了（28－22=）6个顶点，不论怎样连结都不能使分割后的多边形边数总和比原来的多边形增多13条边。因此原多边形不是22边形。如果a更大，则分割后增加的顶点个数更多，不论怎样连结都不符合题目要求。因此原多边形只能是12边形。

A

FCBBEC

DE

A

EHDABIBEG

C

2.（2003年全国初中数学联赛试题第一试）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）A.0 B.1 C.3 D.5 3. (嵊州市2004年初一数学竞赛试题)在凸八边形的所有内角中，钝角至少有（ ）A.3个B.5 C.7 D.8个 4.（1985年上海市初中数学竞赛）设n为自然数且n4，又设凸n边形中出现锐角的最多个数为M，出现锐

角的最少个数为m，则Mm的值是（ ）(A)3 (B) 4 (C) 大于4 的一个自然数 (D) 不能确定 5.（1987年青岛市初中数学竞赛第一试）如果限定凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形的边数

最多是n，则n的值是（ ） (A)5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

6.（1987年苏州市初中数学竞赛模拟试题）平面上给出四点，其中没有三点在一条直线上，可组成四个三角形，

其中最多有几个锐角三角形（ ）(A)4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

7. 如果正n边形的一个外角不大于40°,则它的边数n满足 ( )A. n=8 B. n=9 C. n>9 D. n≥9 8.（中学数学教学参考2005年第三期 全国初中数学联赛模拟试题）

在凸2005边形中，不大于1100的内角最多有（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

9. (2002年全国初中数学联赛预赛暨2001年山东省初中数学竞赛试题)

在凸n边形中，小于1080的角最多可以有（B）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

10.（全国初中数学竞赛）一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）A.11 B.12 C.13 D.14

11. (1987年全国部分省市初中数学通讯赛)一个凸n边形，除去一个内角外，其余(n-1)个内角的和是2400°，

则n的值是( ).（A）15 （B）16 （C）17 （D）不能确定

12.（江苏省第十七届初中数学竞赛试题（初三年级））在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，

则这个多边形的边数为（ ）（A）12 （B）12或13 （C）14 （D）14或15

13.(嵊州市2004年初一数学竞赛试题)n边形的n个内角与某一个外角的总和为1500°，则n = ＿＿＿。 14.（1987年沈阳市初中数学邀请赛）凸n边形的对角线共有945条，则边数n= 。

15.（江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试）

一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形是_____边形．

16.已知m边形没有对角线，n边形有nmn条对角线，则22005 .

17.（1987年上海市初中数学竞赛）凸七边形的所有对角线把该七边形分割成许多不重叠的小凸多边形,其中边

数最多的小多边形的可能的边数是( ) (A)5 (B) 6 (C) 7 (D) 大于7的自然数

18.用同样大小的正多边形的瓷砖铺地，正好将地面没有重叠，没有空隙地铺满.这样的正多边形有_____

种，分别是______________________.

19.某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为ｘ、ｙ、ｚ，那么

1

x1

y1

z的值是 ．

20.（1987年江苏省初中数学竞赛）以三角形的三个顶点和它内部的九个点（共12个点）为顶点，能把原三角

形分割成小三角形的个数是（ ） (A)15 (B) 19 (C) 22 (D) 不能确定 21.（中学数学教学参考2005年第三期 全国初中数学联赛模拟试题）

在由△ABC内的2005个点P1，P2，…，P2005及△ABC的三个顶点A、B、C共2008个点所构成的三角形中，最多有 个三角形，它们恰好将△ABC完全分割成无任何重叠的三角形.

22.（1989年全国初中数学联赛第一试）在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形的3个顶点，共有6

个点。以这6个点为顶点作出所有不重叠的三角形，如果这六个点中没有三点共线，所作三角形的个数为n0，如果这六个点中有三点共线(但无四点共线)，所作三角形的个数为n１，如果这六个点中有四

点共线, 所作三角形的个数为n２，那么( )

(A)n0n1n2 (B) n0n1n2 (C) n0n1n2 (D) n0n1n2

23.设凸m边形内有n个点，则由这n个点和多边形顶点可连成 个不重叠的三角形。

24.（1995年安徽省部分地区初中数学竞赛试题）（1988年全国部分省市初中数学通讯赛）

正方形纸片内有100个点，连同正方形顶点共有104个点，在这104个点中任何三点都不共线，现将该正方形纸片全部剪成三角形，这些三角形的每个顶点都在这104 个点中选取，并且这104 个点都是这种三角形的顶点，若沿一条线段剪开算作一刀。试问，为剪成这些三角形共需要剪几刀，一共可剪成多少个三角形。

25.一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是25200，则原多边形的边数是 。若截角

时不过多边形的顶点，则原多边形的边数是 。

26.（1987年江苏省初中数学竞赛）

已知ABCDE是正五边形，O是平面上一点，DOE是等边三角形，则AOC的度数是 。

27.在一个五边形外，分别以它的边为边做三角形、凸四、五、六、七边形，那么这些所做的多边形的内

角中与原五边形没有邻边的角的和是 度。

28.以正n边形的边为边，在正n边形外作n个正方形，已知这n个正方形的外围2n个顶点恰好构成了一

个正2n边形，那么只有当n= 时，才有可能。

29.如果一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°，以后依次每一个内角比前

一个内角多50，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，那么这个多边形的边数为 .

0030.已知凸n边形A1A2Ann4的所有内角都是为15的整数倍，并且有A1A2A3285，

那么n= 。

31.（1987年天津市初二数学邀请赛）

一个凸n边形的最小内角为95，其它内角依次增加10，则n等于（ ）(A)6 (B)12 (C)4 (D) 10

32.如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的角度数，设最小的角是800，最

大的角是100，则多边形的边数为 。

33. (荆州市2002年初中数学竞赛暨2003年全国初中数学竞赛选拔赛)

一个凸n（n4）边形的每一个内角都相等，每个外角的度数均为奇数，则这样的凸多边形共有（ ）

(A)4个 (B)6个 (C)3个 (D) 2个

34.以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是 。

35.（1987年全国初中数学联赛）（1987年全国部分省市初中数学通讯赛）

有一个凸11边形，它是由若干个边长为1的等边三角形和边长为1 的正方形无重叠、无间隙拼成的，求此凸11边形各内角的大小，并画出一个这样的凸11边形的草图。 000