10数学通讯 2001年第20期
一类含绝对值函数图象的简便作法
张 颖
(乐亭一中, 河北 063600)
对于f =|+|a 22b n 象, 函数, 然后作分段函数的图象. 这一作法计算量大而繁锁, 下面介绍一种作这类函数图象的简便方法.
函数f (x ) =|a 1x +b 1|±|a 2x +b 2|±…±|
a n x +b n |中, 不妨设a i >0(i =1, 2, …, n ) . 又设|a i x +b i |=0的根为x i 且x 1
x 2
n P n N. 若点P 与点P 1重合, 在与
直线PP n 关于x =-
对称的直线上作射线A
P 1M ; 若P 与P n 重合, 则在与直线PP 1关
对称的直线上作射线P n N. 这样A
射线P 1M , P n N 和线段P 1P 2, P 2P 3, …,
于x =-P n -
1
P n 便构成函数y =f (x ) 的图象.
下面举例说明以上作法的具体过程. 例1 作f (x ) =|x +3|+|x -2|-|2x +2|的图象.
化成这种形式) . 令A =a 1±a 2±…±a n , B =b 1±b 2±…±b n , 那么作f (x ) 图象的方
法如下:
第一步:求点.
求出下列各点的坐标:P 1(x 1, f (x 1) ) ,
P 2(x 2, f (x 2) ) , …, P n (x n , f (x n ) ) 及A 不
图1 例1图 图2 例2图
等于0时P (-
, 0) . A
第二步:描点.
在平面直角坐标系内描出点P 1, P 2, …,
P n 及点P.
解 1) 求点:∵f (-3) =1, f (-1) =5, f (2) =-1, A =0, B =-1.
∴P 1(-3, 1) , P 2(-1, 5) , P 3(2, -1) . 2) 描点:在平面直角坐标系内描出点
P 1, P 2, P 3.
第三步:画线作图.
1) 连结P 1P 2, P 2P 3, …, P n -1P n . 2) ①若A =0, 在x ≤x 1和x ≥x n 两区
3) 画线作图:连结P 1P 2, P 2P 3, 作平行
域内分别过P 1, P n 点沿x 轴反向与正向作与x 轴平行的射线(或在x 轴上作射线)
P 1M 和P n N.
于x 轴的射线P 1M 与P 3N. 便得到原函数
的图象, 如图1所示折线.
例2 作f (x ) =|2x +4|+|x -5|-|2x -3|的图象.
②若A ≠0, 在区域x ≤x 1内沿直线
PP 1作射线P 1M , 在区域x ≥x n 内沿直线
2001年第20期 数学通讯11
例谈函数单调性的四大应用
徐永忠
(六合一中, 江苏 211500)
, , . 的单调性在解数学问题中的应用.
1 求函数的最值或值域
-
故f (x ) max =f (1) =-1. 2
+1, f (x ) min =f (-1) =2
例2 求函数f (x ) =域.
3
x +1-2-x 的值
例1 求函数f (x ) =arcsin x +x 的最值. 解 观察函数u (x ) =arcsin x 及v (x ) =x , 它们形式上没有直接联系, 因此, 直接做是困难的. 但注意到u (x ) 与v (x ) 在定义域[-1, 1]上都是增函数, ∴函数f (x ) 在[-1, 1]上也是增函数.
3
解 函数的定义域为[-1, 2].∵u (x ) =
2]上都是增函数,
x +1, v (x ) =-
-x 在[-1,
∴函数f (x ) 在[-1, 2]上是增函数. ∴f (x ) ∈[f (-1) , f (2) ].
解 1) 求点:∵f (-2) =0, f () =
2
, f (5) =7, A =1, B =2. 2
∴P 1(-2, 0) , P 2(
(-2, 0) .
, ) , P 3(5, 7) , P 22
段组成的折线段, 所以连结P 1, P 2, …, P n 点便可得到f (x ) 在区间[x 1, x n ]上的图象.
2) 当x ∈(-∞, x 1]时, f (x ) 可化为:f (x ) =-A x -B , 当x ∈(x n , +∞) 时, f (x ) 可化为f (x ) =A x +B.
所以, 若A =0, B =0, 可知f (x ) 在(-∞, x 1]与[x n , +∞) 上的图象是在x 轴上且方向相反的两条射线.
若A =0, B ≠0, 可知f (x ) 的图象是两条平行于x 轴且方向相反的射线.
若A ≠0, f (x ) 的图象也是两条射线, 由
, 可知这两条A
射线所在直线的交点P 的坐标为(-, 0) . A
且易知两条直线的对称轴方程就是x =
2) 在平面直角坐标系内描出点P 1, P 2,
P 3, P (其中P 与P 1点重合) .
3) 连结P 1P 2, P 2P 3, 在直线PP 3上作
射线P 3N , 过点P 1在与直线PP 3关于x =-2对称的直线上作射线P 1M , P 1P 2, P 2P 3
以及射线P 3N 与P 1M 便构成了原函数的图象. 如图2所示.
下面分析这种简便作法的理论依据. 因f (x ) 去掉绝对值符号后为分段表示的一次函数或常值函数, 故其图象为折线或直线且P 1, P 2, …P n , P 均在图象上.
1) 当x ∈[x 1, x n ]时, f (x ) 的图象是由过P 1, P 2…, P n 点且顺次首尾相接的几条线
-A x -B =A x +B 得x =-
-
. A
(收稿日期:2001-05-08)
10数学通讯 2001年第20期
一类含绝对值函数图象的简便作法
张 颖
(乐亭一中, 河北 063600)
对于f =|+|a 22b n 象, 函数, 然后作分段函数的图象. 这一作法计算量大而繁锁, 下面介绍一种作这类函数图象的简便方法.
函数f (x ) =|a 1x +b 1|±|a 2x +b 2|±…±|
a n x +b n |中, 不妨设a i >0(i =1, 2, …, n ) . 又设|a i x +b i |=0的根为x i 且x 1
x 2
n P n N. 若点P 与点P 1重合, 在与
直线PP n 关于x =-
对称的直线上作射线A
P 1M ; 若P 与P n 重合, 则在与直线PP 1关
对称的直线上作射线P n N. 这样A
射线P 1M , P n N 和线段P 1P 2, P 2P 3, …,
于x =-P n -
1
P n 便构成函数y =f (x ) 的图象.
下面举例说明以上作法的具体过程. 例1 作f (x ) =|x +3|+|x -2|-|2x +2|的图象.
化成这种形式) . 令A =a 1±a 2±…±a n , B =b 1±b 2±…±b n , 那么作f (x ) 图象的方
法如下:
第一步:求点.
求出下列各点的坐标:P 1(x 1, f (x 1) ) ,
P 2(x 2, f (x 2) ) , …, P n (x n , f (x n ) ) 及A 不
图1 例1图 图2 例2图
等于0时P (-
, 0) . A
第二步:描点.
在平面直角坐标系内描出点P 1, P 2, …,
P n 及点P.
解 1) 求点:∵f (-3) =1, f (-1) =5, f (2) =-1, A =0, B =-1.
∴P 1(-3, 1) , P 2(-1, 5) , P 3(2, -1) . 2) 描点:在平面直角坐标系内描出点
P 1, P 2, P 3.
第三步:画线作图.
1) 连结P 1P 2, P 2P 3, …, P n -1P n . 2) ①若A =0, 在x ≤x 1和x ≥x n 两区
3) 画线作图:连结P 1P 2, P 2P 3, 作平行
域内分别过P 1, P n 点沿x 轴反向与正向作与x 轴平行的射线(或在x 轴上作射线)
P 1M 和P n N.
于x 轴的射线P 1M 与P 3N. 便得到原函数
的图象, 如图1所示折线.
例2 作f (x ) =|2x +4|+|x -5|-|2x -3|的图象.
②若A ≠0, 在区域x ≤x 1内沿直线
PP 1作射线P 1M , 在区域x ≥x n 内沿直线
2001年第20期 数学通讯11
例谈函数单调性的四大应用
徐永忠
(六合一中, 江苏 211500)
, , . 的单调性在解数学问题中的应用.
1 求函数的最值或值域
-
故f (x ) max =f (1) =-1. 2
+1, f (x ) min =f (-1) =2
例2 求函数f (x ) =域.
3
x +1-2-x 的值
例1 求函数f (x ) =arcsin x +x 的最值. 解 观察函数u (x ) =arcsin x 及v (x ) =x , 它们形式上没有直接联系, 因此, 直接做是困难的. 但注意到u (x ) 与v (x ) 在定义域[-1, 1]上都是增函数, ∴函数f (x ) 在[-1, 1]上也是增函数.
3
解 函数的定义域为[-1, 2].∵u (x ) =
2]上都是增函数,
x +1, v (x ) =-
-x 在[-1,
∴函数f (x ) 在[-1, 2]上是增函数. ∴f (x ) ∈[f (-1) , f (2) ].
解 1) 求点:∵f (-2) =0, f () =
2
, f (5) =7, A =1, B =2. 2
∴P 1(-2, 0) , P 2(
(-2, 0) .
, ) , P 3(5, 7) , P 22
段组成的折线段, 所以连结P 1, P 2, …, P n 点便可得到f (x ) 在区间[x 1, x n ]上的图象.
2) 当x ∈(-∞, x 1]时, f (x ) 可化为:f (x ) =-A x -B , 当x ∈(x n , +∞) 时, f (x ) 可化为f (x ) =A x +B.
所以, 若A =0, B =0, 可知f (x ) 在(-∞, x 1]与[x n , +∞) 上的图象是在x 轴上且方向相反的两条射线.
若A =0, B ≠0, 可知f (x ) 的图象是两条平行于x 轴且方向相反的射线.
若A ≠0, f (x ) 的图象也是两条射线, 由
, 可知这两条A
射线所在直线的交点P 的坐标为(-, 0) . A
且易知两条直线的对称轴方程就是x =
2) 在平面直角坐标系内描出点P 1, P 2,
P 3, P (其中P 与P 1点重合) .
3) 连结P 1P 2, P 2P 3, 在直线PP 3上作
射线P 3N , 过点P 1在与直线PP 3关于x =-2对称的直线上作射线P 1M , P 1P 2, P 2P 3
以及射线P 3N 与P 1M 便构成了原函数的图象. 如图2所示.
下面分析这种简便作法的理论依据. 因f (x ) 去掉绝对值符号后为分段表示的一次函数或常值函数, 故其图象为折线或直线且P 1, P 2, …P n , P 均在图象上.
1) 当x ∈[x 1, x n ]时, f (x ) 的图象是由过P 1, P 2…, P n 点且顺次首尾相接的几条线
-A x -B =A x +B 得x =-
-
. A
(收稿日期:2001-05-08)