与圆锥曲线有关的几个最值问题
平面解析几何是一门研究点的运动变化规律的学科，圆锥曲线中的范围问题或最值问题较为常见，所涉及的知识面也较为广泛，是教师和同学感觉较为棘手一个难点。下面就几个常见的最值问题谈几个常见的解决方法。
一、圆锥曲线上的任一点与圆锥曲线对称轴上某一定点的距离的最值问题：
求圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题，可借助“点在曲线上”实现变量统一，将横纵坐标两个变量中的一个用另一个表示，构造关于其中一个坐标的二次函数求最值。
x22
例1、（06全国高考题）设B是椭圆2+
y=1(a 1)a
的一个动点，求|BP|的最大值。
解：由题意，B点坐标为B(0,b)。设P(x0,y0)， 则|BP|=x0+(y0-b)，
2
2
2
2
x2222
因为P是椭圆上的点，所以02+y0=1(a 1)，则有x0=a(1-y0)，且-b≤y0≤b，
a
|BP|2=a2(1-y0)+(y0-b)2
所以
2
=-(a2-1)y0-2by0+a2+b2
b2a4-a2+a2b2
=-(a-1)(y0+2)+(-b≤y0≤b)
a-1a2-1
2
2
b2a4-a2+a2b2)+(-b≤y0≤b) 令f(y0)=-(a-1)(y0+2
2
a-1a-1
2
因为a>1，所以a2-1>0，则 若a-1=1，即a=
2
2，则当y0=-b时，(|BP|2)max=f(-b)=2b2+2；
2
2
若0
ba4-a2+a2b2b2
)=若a-1>1，即a>2，则当y0=-2时，(|BP|)max=f(-2。 2
a-1a-1a-1
2
综上：略。
说明：在圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题中，所给定点一般都是圆锥曲线的对称轴上的点，否则变量统一往往比较困难。
x2y2
-=1的焦点，点P在双曲线例2、（03上海理12）给出问题：F1,F2是双曲线
1620
上。若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。
某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|-|PF2||=8，即|9-|PF2||=8，得|PF2|=1或17。
该学生的解答是否正确？若正确，请写出他的解题依据；若不正确，请写出正确结果。
x2y2222
分析：利用例1的方法易证，双曲线2-2=1(a>0,b>0,c=a+b)上到其一
ab
焦点F的距离最近的点P是与这个焦点对应的一支的顶点A，即|PF|min=c-a。所以本例中|PF2|min=6-4=2，故|PF2|=17符合题意。
二、与圆锥曲线的定义所涉及的一些特殊点有关的最值问题：
求圆锥曲线上任一点与一个或几个定点的距离的最值问题中，如果所给定点与圆锥曲线定义有关，不妨利用定义中所蕴藏的内在关系解决问题。
x2y2
例3、（06江西高考题）P为双曲线C:-=1右支上一点，M,N分别是圆
916F1:(x+5)2+y2=4和F2(x-5)2+y2=1的点，则|PM|-|PN|的最大值
是 。
解：如图三，两定圆的圆心F1(-5,0)、F2(5,0)即双曲线C的左右焦点，由双曲线定义可
|a|PN|min=|PF2|-r2=|PF2|-1，知|PF1|-|PF2|=6。又|PMxm=|PF1|+r1=|PF1|+2，
所以(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=|PF1|-|PF2|+2+1=6+3=9。
（ 图二 ） （图三）
x2y2
+=1内的点，M是椭圆上的动点，求例4、已知A(4,0),B(2,2)是椭圆C:
259|MA|+|MB|的最大值与最小值。
解：由题意，点A即椭圆右焦点F2（如图三），设椭圆左焦点F1，则F
1(-4,0)，由椭
圆定义可知|MA|=2a-|MF1|=10-|MF1|，则|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1|，显然，当
M、F1、B三点共线时，||MA|-|MB||max=|BF1|=2，所以
(|MA|+|MB|)max=10+2，(|MA|+|MB|)min=10-2。
说明：三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，“两点之间线段最短”等平面几何中的一些重要结论是平面解析几何中求解最值问题的一些理论依据，问题在于如何将所要解决的最值问题转化成这些广为人知的数学模型。
三、圆锥曲线上的任意点到某一定直线的距离的最值问题：
求圆锥曲线上任一点到某一定直线的距离的最值，借助“点在曲线上”实现变量统一往往比较困难，这时可借助“切线平移法”实现变量统一或“三角代换”求最值。
例5、（06全国高考题）求抛物线y=-x上的点到直线l:4x+3y-8=0距离的最小值。 解法一：设抛物线y=-x上任一点P坐标为(x0,y0)，则点P到直线4x+3y-8=0的距离为d=
2
2
|4x0+3y0-8|4
，下面同例1解法易得dmin=。
35
解法二：（切线平移法）
设与直线l平行的直线l'的方程为：4x+3y+b=0， 则直线l'平移到与抛物线相切时的切点Q即抛物线上到 直线l最近的点，直线l与l'的距离即所求最小距离。
⎧4x+3y+b=042
⇒3x-4x-b=0由⎨，则由△。 =16+12b=0⇒b=-2
3y=-x⎩
4|-+8|
42则抛物线y=-x上的点到直线l:4x+3y-8=0距离的最小值为d==。
53
说明：在求椭圆或双曲线一支上的一点到一条定直线的距离的最值问题中，“变量统一”
很难做到，在这种情况下，“切线平移法”就显得较为方便。
x2
+y2=1上的点到直线l:x-y+3=0距离的最小值。 例6、求椭圆4
解法一：（切线平移法）设与直线l平行的直线l'的方程为：x-y+b=0，
⎧x-y+b=0⎪
⇒5x2+8bx+4b2-4=0，则由△=0⇒b=±， 由⎨x2
2
⎪+y=1⎩4
则l':x-y±=0，则dmax=
|+3|
2
=
6+|-3|6-,dmin==。
222
解法二：（三角代换法）
⎧x0=2cosαx2设P(x0,y0)为椭圆上任一点，因为，则点P到直+y2=1，所以可设⎨
4⎩y0=sinα
线l距离为d=
|2coαs-siαn+3|
2
=
|5siαn+(ϕ)+3|
2
,(ϕ=π-arct2)a，n则
dmax=
|5+3|
2
=
6+|5-3|6-,dmin==。 222
说明：与圆、椭圆或双曲线有关的最值问题中，利用三角比中的平方关系实现变量统一
也是平面解析几何中一种较为常见的方法。
通过前面几种常见最值问题的赘述可以看到，解析几何中的最值问题和以前所学过的知识是存在着一种紧密的内在联系的，只要我们能够深刻理解圆锥曲线的定义及方程所揭示的内涵，灵活运用数形结合的数学思想，就可以将问题转化为我们所熟悉的一些数学模型，将问题解决。
练习： 1、（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点O
为中心的双曲线的一条准线方程为x=
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点A
的坐标为(，B
是圆x+(y=1上的点，点
2
2
e= 5
M在双曲线右支上，求MA+MB的最小值，并求此时M点的坐标；
解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为
x2y2a2c=
，设，由准线方程为得，由-=1(a>0,b>
0)x=
=
22
5c5abe=
y2c2
得=
解得a=1,c= 从而b=2，∴该双曲线的方程为x-=1；
4a
（Ⅱ）设点D
的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，|MA|-|MD|=2a=2 所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD| ， B
是圆x+(y-=1上
2
2
||CD-|的点，其圆心
为C，半径为1，
故|BD≥|MA|+|M≥B|+2
|B+1 0
1
1+0 从
1而
当M,B在线段CD上时取等号，此时|MA|+
|MB|1
直线CD
的方程为y=-x+M在双曲线右支上，故x>0
22
⎧⎪4x-y=4
y=由方程组⎨
解得x= ⎪⎩y=-x+ 所以M
点的坐标为(
；
33
圆锥曲线中的恒成立问题
x2y2
结论一、以椭圆2+2=1(a>b>0)上的点P(x0,y
0)ab
连线PF为直径的圆必与圆x+y=a内切．
类比：
2
2
2
x2y2
1.以双曲线2-2=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)与双曲线的焦点
ab
连线PF为直径的圆必与圆x+y=a相切．
2
2
2
2.抛物线y=2px(p>0)的弦AB过焦点F，则以线段AB为直径的圆比与准线相切。以线段AF为直径的圆必与y轴相切．
2
x2y2
结论二、过椭圆2+2=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)与椭圆的长轴
ab
2
（或短轴）两个顶点连线PA、PB，则直线AB的斜率之积恒等于-类比：
b
． 2a
x2y2
过双曲线2-2=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)与实轴（或虚轴）两
ab
b2
个顶点连线两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于2．
ax2y2
结论三、椭圆2+2=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)与椭圆的两
ab
个焦点连线PF1、PF2，过焦点作三角形⊿PF1F2的外角平分线的垂线，垂足为M，则M恒在圆x+y=a上．
类比： 双曲线
2
2
2
xy-=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)a2b2
22
连线PF1、PF2，过焦点作三角形⊿PF1F2的角∠F1PF2垂足为M，则M恒在圆x+y=a上．
2
2
2
结论四、椭圆
xy
+=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)与椭圆22ab
22
的两个焦点连线PF1、PF2，三角形⊿PF1F2的旁切圆（与PF2
边相切，与PF1和F1F2的延长线相切）必与长轴相切于椭圆的顶点．
类比：
x2y2
双曲线2-2=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)与双曲线的两个焦点连线PF1、PF2，三角形
ab
⊿PF1F2的内切圆必与实轴相切于双曲线的顶点．
x2y2
结论五、已知A为椭圆2+2=1(a>b>0)的左顶点，过
ab
作两条相互垂直的弦AM,AN， 则直线MN过定点
(-
a(a-b)
,0)． 22
a+b
22
类比： x2y2
1. 已知A为双曲线2-2=1(a,b>0)的右顶点A，
aba(a2+b2)
弦AM,AN， 则直线MN过定点(2,0)． 2
a-b
2. 已知MN为抛物线y=2px(p>0)的弦，若OM⊥ON，则 直线MN过定点P(2p,0)．
2
x2y2
结论六、已知PQ为椭圆2+2=1(a>b>0)的弦，若
abOP⊥OQ，则原点O到弦PQ的距离为定值d=
类比：
已知MN为双曲线
．
xy-=1(b>a>0)的弦，若OM⊥ON，则原22ab
22
点O到弦PQ的距离为定值d=
．
x2y2
结论七、过椭圆2+2=1(a>b>0)上点P作椭圆的切线，
ab
椭圆的两焦点F1,F2到切线的距离之和为定值b2．
类比：
x2y2
过双曲线2-2=1(a>0,b>0)上点P作椭圆的切线，椭圆的
ab
两焦点F1,F2到切线的距离之和为定值b2．
x2y2
结论八、过椭圆2+2=1(a>b>0)左焦点F1作椭圆
ab
的弦AB，端点B关于x轴的对称点为B1，则直线AB1在
a2
x轴上截距为定值-．
c
类比： 1．过双曲线
xy-=1(a>0,b>0)右焦点P作椭圆的弦MN，端22ab
22
a2
点N关于x轴的对称点为N1，则直线MN1在x轴上截距为定值．
c
2．过作抛物线y=2px(p>0)焦点P作抛物线的弦MN，端点N关于x轴的对称点为N1，则直线MN1在x轴上截距为定值-
2
p． 2
x2y2
结论九、AB是椭圆2+2=1(a>b>0)的弦，端点B关
ab
于x轴的对称点为B1，则直线AB与直线AB1在x轴上截距之积为定值a2．
类比：
x2y2
1．MN是双曲线2-2=1(a>0,b>0)的弦，端点N关于x轴
ab
的对称点为N1，则直线AB与直线AB1在x轴上截距之积为定值
a2．
2. MN是抛物线y=2px(p>0)的弦，端点N关于x轴的对称点
为N1，则直线AB与直线AB1在x轴上截距互为相反数．
结论十、过椭圆
2
xy+=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)作两条倾斜22ab
bx0
． 2
ay0
2
22
角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于
类比： 1.过双曲线
xy-=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)作两条倾斜角互22ab
22
b2x0
补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于-2．
ay0
2.过抛物线y=2px(p>0)上的点P(x0,y0)作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于-
2
p． y0
x2y2
结论十一、弦AB过椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点F(c,0)，则
ab112a
+=2恒成立． |FA||FB|b
类比：
x2y21.弦AB过双曲线2-2=1(a,b>0)的焦点F(c,0)交双曲线
ab
112a
+=2恒成立． |FA||FB|b
2.弦AB过抛物线y=2px(p>0)的焦点F(
结论十二、过点P作椭圆
2
2
112p
+=恒成立． ,0)，则
|FA||FB|p2
xy
+=1(a>b>
0)22ab
2
2
2
22
相互垂直，则点在定圆x+y=a+b上． 类比：
1.过点P作双曲线
xy
若两条切+=1(
a>b>0)的切线，22
ab
2
2
2
2
22
线相互垂直，则点在定圆x+y
=a-b上．
2.
过点P作抛物线y=2px(p>0)2
p
则点在定直线x=-上．
2
x2y2
结论十三、过点P作椭圆2+2=1(a>b>0)的切线，交直
ab
a2
线x=于点Q，则以线段PQ为直径的圆恒过右焦点F2．
c
类比： 1.过双曲线
2
xy-=1(a,b>0)右支上点M作双曲线的切线，交直线22ab
22
x=
a
于点Q，则以线段MQ为直径的圆恒过右焦点F2． c
2.过点M作抛物线y=2px(p>0)的切线，交准线x=-以线段MP为直径的圆恒过焦点F．
2
p
于M，则2
与圆锥曲线有关的几个最值问题
平面解析几何是一门研究点的运动变化规律的学科，圆锥曲线中的范围问题或最值问题较为常见，所涉及的知识面也较为广泛，是教师和同学感觉较为棘手一个难点。下面就几个常见的最值问题谈几个常见的解决方法。
一、圆锥曲线上的任一点与圆锥曲线对称轴上某一定点的距离的最值问题：
求圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题，可借助“点在曲线上”实现变量统一，将横纵坐标两个变量中的一个用另一个表示，构造关于其中一个坐标的二次函数求最值。
x22
例1、（06全国高考题）设B是椭圆2+
y=1(a 1)a
的一个动点，求|BP|的最大值。
解：由题意，B点坐标为B(0,b)。设P(x0,y0)， 则|BP|=x0+(y0-b)，
2
2
2
2
x2222
因为P是椭圆上的点，所以02+y0=1(a 1)，则有x0=a(1-y0)，且-b≤y0≤b，
a
|BP|2=a2(1-y0)+(y0-b)2
所以
2
=-(a2-1)y0-2by0+a2+b2
b2a4-a2+a2b2
=-(a-1)(y0+2)+(-b≤y0≤b)
a-1a2-1
2
2
b2a4-a2+a2b2)+(-b≤y0≤b) 令f(y0)=-(a-1)(y0+2
2
a-1a-1
2
因为a>1，所以a2-1>0，则 若a-1=1，即a=
2
2，则当y0=-b时，(|BP|2)max=f(-b)=2b2+2；
2
2
若0
ba4-a2+a2b2b2
)=若a-1>1，即a>2，则当y0=-2时，(|BP|)max=f(-2。 2
a-1a-1a-1
2
综上：略。
说明：在圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题中，所给定点一般都是圆锥曲线的对称轴上的点，否则变量统一往往比较困难。
x2y2
-=1的焦点，点P在双曲线例2、（03上海理12）给出问题：F1,F2是双曲线
1620
上。若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。
某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|-|PF2||=8，即|9-|PF2||=8，得|PF2|=1或17。
该学生的解答是否正确？若正确，请写出他的解题依据；若不正确，请写出正确结果。
x2y2222
分析：利用例1的方法易证，双曲线2-2=1(a>0,b>0,c=a+b)上到其一
ab
焦点F的距离最近的点P是与这个焦点对应的一支的顶点A，即|PF|min=c-a。所以本例中|PF2|min=6-4=2，故|PF2|=17符合题意。
二、与圆锥曲线的定义所涉及的一些特殊点有关的最值问题：
求圆锥曲线上任一点与一个或几个定点的距离的最值问题中，如果所给定点与圆锥曲线定义有关，不妨利用定义中所蕴藏的内在关系解决问题。
x2y2
例3、（06江西高考题）P为双曲线C:-=1右支上一点，M,N分别是圆
916F1:(x+5)2+y2=4和F2(x-5)2+y2=1的点，则|PM|-|PN|的最大值
是 。
解：如图三，两定圆的圆心F1(-5,0)、F2(5,0)即双曲线C的左右焦点，由双曲线定义可
|a|PN|min=|PF2|-r2=|PF2|-1，知|PF1|-|PF2|=6。又|PMxm=|PF1|+r1=|PF1|+2，
所以(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=|PF1|-|PF2|+2+1=6+3=9。
（ 图二 ） （图三）
x2y2
+=1内的点，M是椭圆上的动点，求例4、已知A(4,0),B(2,2)是椭圆C:
259|MA|+|MB|的最大值与最小值。
解：由题意，点A即椭圆右焦点F2（如图三），设椭圆左焦点F1，则F
1(-4,0)，由椭
圆定义可知|MA|=2a-|MF1|=10-|MF1|，则|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1|，显然，当
M、F1、B三点共线时，||MA|-|MB||max=|BF1|=2，所以
(|MA|+|MB|)max=10+2，(|MA|+|MB|)min=10-2。
说明：三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，“两点之间线段最短”等平面几何中的一些重要结论是平面解析几何中求解最值问题的一些理论依据，问题在于如何将所要解决的最值问题转化成这些广为人知的数学模型。
三、圆锥曲线上的任意点到某一定直线的距离的最值问题：
求圆锥曲线上任一点到某一定直线的距离的最值，借助“点在曲线上”实现变量统一往往比较困难，这时可借助“切线平移法”实现变量统一或“三角代换”求最值。
例5、（06全国高考题）求抛物线y=-x上的点到直线l:4x+3y-8=0距离的最小值。 解法一：设抛物线y=-x上任一点P坐标为(x0,y0)，则点P到直线4x+3y-8=0的距离为d=
2
2
|4x0+3y0-8|4
，下面同例1解法易得dmin=。
35
解法二：（切线平移法）
设与直线l平行的直线l'的方程为：4x+3y+b=0， 则直线l'平移到与抛物线相切时的切点Q即抛物线上到 直线l最近的点，直线l与l'的距离即所求最小距离。
⎧4x+3y+b=042
⇒3x-4x-b=0由⎨，则由△。 =16+12b=0⇒b=-2
3y=-x⎩
4|-+8|
42则抛物线y=-x上的点到直线l:4x+3y-8=0距离的最小值为d==。
53
说明：在求椭圆或双曲线一支上的一点到一条定直线的距离的最值问题中，“变量统一”
很难做到，在这种情况下，“切线平移法”就显得较为方便。
x2
+y2=1上的点到直线l:x-y+3=0距离的最小值。 例6、求椭圆4
解法一：（切线平移法）设与直线l平行的直线l'的方程为：x-y+b=0，
⎧x-y+b=0⎪
⇒5x2+8bx+4b2-4=0，则由△=0⇒b=±， 由⎨x2
2
⎪+y=1⎩4
则l':x-y±=0，则dmax=
|+3|
2
=
6+|-3|6-,dmin==。
222
解法二：（三角代换法）
⎧x0=2cosαx2设P(x0,y0)为椭圆上任一点，因为，则点P到直+y2=1，所以可设⎨
4⎩y0=sinα
线l距离为d=
|2coαs-siαn+3|
2
=
|5siαn+(ϕ)+3|
2
,(ϕ=π-arct2)a，n则
dmax=
|5+3|
2
=
6+|5-3|6-,dmin==。 222
说明：与圆、椭圆或双曲线有关的最值问题中，利用三角比中的平方关系实现变量统一
也是平面解析几何中一种较为常见的方法。
通过前面几种常见最值问题的赘述可以看到，解析几何中的最值问题和以前所学过的知识是存在着一种紧密的内在联系的，只要我们能够深刻理解圆锥曲线的定义及方程所揭示的内涵，灵活运用数形结合的数学思想，就可以将问题转化为我们所熟悉的一些数学模型，将问题解决。
练习： 1、（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点O
为中心的双曲线的一条准线方程为x=
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点A
的坐标为(，B
是圆x+(y=1上的点，点
2
2
e= 5
M在双曲线右支上，求MA+MB的最小值，并求此时M点的坐标；
解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为
x2y2a2c=
，设，由准线方程为得，由-=1(a>0,b>
0)x=
=
22
5c5abe=
y2c2
得=
解得a=1,c= 从而b=2，∴该双曲线的方程为x-=1；
4a
（Ⅱ）设点D
的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，|MA|-|MD|=2a=2 所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD| ， B
是圆x+(y-=1上
2
2
||CD-|的点，其圆心
为C，半径为1，
故|BD≥|MA|+|M≥B|+2
|B+1 0
1
1+0 从
1而
当M,B在线段CD上时取等号，此时|MA|+
|MB|1
直线CD
的方程为y=-x+M在双曲线右支上，故x>0
22
⎧⎪4x-y=4
y=由方程组⎨
解得x= ⎪⎩y=-x+ 所以M
点的坐标为(
；
33
圆锥曲线中的恒成立问题
x2y2
结论一、以椭圆2+2=1(a>b>0)上的点P(x0,y
0)ab
连线PF为直径的圆必与圆x+y=a内切．
类比：
2
2
2
x2y2
1.以双曲线2-2=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)与双曲线的焦点
ab
连线PF为直径的圆必与圆x+y=a相切．
2
2
2
2.抛物线y=2px(p>0)的弦AB过焦点F，则以线段AB为直径的圆比与准线相切。以线段AF为直径的圆必与y轴相切．
2
x2y2
结论二、过椭圆2+2=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)与椭圆的长轴
ab
2
（或短轴）两个顶点连线PA、PB，则直线AB的斜率之积恒等于-类比：
b
． 2a
x2y2
过双曲线2-2=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)与实轴（或虚轴）两
ab
b2
个顶点连线两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于2．
ax2y2
结论三、椭圆2+2=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)与椭圆的两
ab
个焦点连线PF1、PF2，过焦点作三角形⊿PF1F2的外角平分线的垂线，垂足为M，则M恒在圆x+y=a上．
类比： 双曲线
2
2
2
xy-=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)a2b2
22
连线PF1、PF2，过焦点作三角形⊿PF1F2的角∠F1PF2垂足为M，则M恒在圆x+y=a上．
2
2
2
结论四、椭圆
xy
+=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)与椭圆22ab
22
的两个焦点连线PF1、PF2，三角形⊿PF1F2的旁切圆（与PF2
边相切，与PF1和F1F2的延长线相切）必与长轴相切于椭圆的顶点．
类比：
x2y2
双曲线2-2=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)与双曲线的两个焦点连线PF1、PF2，三角形
ab
⊿PF1F2的内切圆必与实轴相切于双曲线的顶点．
x2y2
结论五、已知A为椭圆2+2=1(a>b>0)的左顶点，过
ab
作两条相互垂直的弦AM,AN， 则直线MN过定点
(-
a(a-b)
,0)． 22
a+b
22
类比： x2y2
1. 已知A为双曲线2-2=1(a,b>0)的右顶点A，
aba(a2+b2)
弦AM,AN， 则直线MN过定点(2,0)． 2
a-b
2. 已知MN为抛物线y=2px(p>0)的弦，若OM⊥ON，则 直线MN过定点P(2p,0)．
2
x2y2
结论六、已知PQ为椭圆2+2=1(a>b>0)的弦，若
abOP⊥OQ，则原点O到弦PQ的距离为定值d=
类比：
已知MN为双曲线
．
xy-=1(b>a>0)的弦，若OM⊥ON，则原22ab
22
点O到弦PQ的距离为定值d=
．
x2y2
结论七、过椭圆2+2=1(a>b>0)上点P作椭圆的切线，
ab
椭圆的两焦点F1,F2到切线的距离之和为定值b2．
类比：
x2y2
过双曲线2-2=1(a>0,b>0)上点P作椭圆的切线，椭圆的
ab
两焦点F1,F2到切线的距离之和为定值b2．
x2y2
结论八、过椭圆2+2=1(a>b>0)左焦点F1作椭圆
ab
的弦AB，端点B关于x轴的对称点为B1，则直线AB1在
a2
x轴上截距为定值-．
c
类比： 1．过双曲线
xy-=1(a>0,b>0)右焦点P作椭圆的弦MN，端22ab
22
a2
点N关于x轴的对称点为N1，则直线MN1在x轴上截距为定值．
c
2．过作抛物线y=2px(p>0)焦点P作抛物线的弦MN，端点N关于x轴的对称点为N1，则直线MN1在x轴上截距为定值-
2
p． 2
x2y2
结论九、AB是椭圆2+2=1(a>b>0)的弦，端点B关
ab
于x轴的对称点为B1，则直线AB与直线AB1在x轴上截距之积为定值a2．
类比：
x2y2
1．MN是双曲线2-2=1(a>0,b>0)的弦，端点N关于x轴
ab
的对称点为N1，则直线AB与直线AB1在x轴上截距之积为定值
a2．
2. MN是抛物线y=2px(p>0)的弦，端点N关于x轴的对称点
为N1，则直线AB与直线AB1在x轴上截距互为相反数．
结论十、过椭圆
2
xy+=1(a>b>0)上的点P(x0,y0)作两条倾斜22ab
bx0
． 2
ay0
2
22
角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于
类比： 1.过双曲线
xy-=1(a,b>0)上的点P(x0,y0)作两条倾斜角互22ab
22
b2x0
补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于-2．
ay0
2.过抛物线y=2px(p>0)上的点P(x0,y0)作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于-
2
p． y0
x2y2
结论十一、弦AB过椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点F(c,0)，则
ab112a
+=2恒成立． |FA||FB|b
类比：
x2y21.弦AB过双曲线2-2=1(a,b>0)的焦点F(c,0)交双曲线
ab
112a
+=2恒成立． |FA||FB|b
2.弦AB过抛物线y=2px(p>0)的焦点F(
结论十二、过点P作椭圆
2
2
112p
+=恒成立． ,0)，则
|FA||FB|p2
xy
+=1(a>b>
0)22ab
2
2
2
22
相互垂直，则点在定圆x+y=a+b上． 类比：
1.过点P作双曲线
xy
若两条切+=1(
a>b>0)的切线，22
ab
2
2
2
2
22
线相互垂直，则点在定圆x+y
=a-b上．
2.
过点P作抛物线y=2px(p>0)2
p
则点在定直线x=-上．
2
x2y2
结论十三、过点P作椭圆2+2=1(a>b>0)的切线，交直
ab
a2
线x=于点Q，则以线段PQ为直径的圆恒过右焦点F2．
c
类比： 1.过双曲线
2
xy-=1(a,b>0)右支上点M作双曲线的切线，交直线22ab
22
x=
a
于点Q，则以线段MQ为直径的圆恒过右焦点F2． c
2.过点M作抛物线y=2px(p>0)的切线，交准线x=-以线段MP为直径的圆恒过焦点F．
2
p
于M，则2