学思共融相得益彰
——《解简易方程》教学案例
【案例背景】
本案例的课题是《解简易方程》（义务教育课程实验教材（人教版）五年级上册第p57－58），学习的内容既包括方程的概念和解方程所依据的原理（等式基本性质），又包括方程的解法和应用。这些内容之间的逻辑联系如下图所示。
概念：方程 方程的解 解方程
原理：等式的基本性质
长期以来，在小学教学解简易方程，是依据加减运算的关系或乘除运算之间的关系，这实际上是用算术的思路求未知数。根据新课标的要求，人教版实验教材从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法，使学生摆脱算术思维方法中的局限性，有利于加强中小学的知识衔接。
执教者是一位年轻的教师，上课有激情，善于利用多媒体信息技术辅助教学。本课曾经参加学区的说课研讨，在片区优质课评选活动中获得第一名。
执教的班级是由来自四面八方的插班生组成的特殊团体，基础知识和探究能力存在较大的差异，但他们生动活泼，思维活跃，知识面广，上课敢想敢说敢问，课堂学习积极性高。根据本班的实际情况和学生已有的学习基础，本案例研究的主要问题是如何利用多媒体课件创设学习情景，帮助学生理解运用等式的基本性质来解方程的方法。
【教学流程】
(一) 动态感知，建立表象：通过课件演示，让生感悟，天平的左右两边同时加上或减去相同的重量，天平左右两边仍然相等。
(二) 尝试练习，方法多样：在天平的左边往一个未知重量的杯子里倒入100g 的水，然后在天平的右边放上250g 砝码，天平平衡。引出方程χ＋100＝250，并多种方法得到χ＝150。通过验证χ＝150是否正确，让学生理解什么是方程的解。
(三) 引导探究、提炼方法：课件演示为了求得的杯子的重量，把天平左边杯子里面的水倒掉，为了使天平平衡，天平的的右边也拿走100g 的砝码，引导生学生根据等式的基本性质写出解方程的过程。
(四) 观察对比，发现规律：通过课堂专项练习，由填写运算符号到填写数字，再到独立解方程，体验用等式的基本性质来解方程的方法。
(五) 看书质疑，拓展升华。
【片段与评析】
教学片段[1]——用等式表示天平两边的关系
师：厦门人热情好客，以茶会友，刘老师把茶具也带来了，想借助茶具和天平一起来研究数学问题。 课件出示：（如图）
师：仔细观察屏幕，你有什么发现？
同学们纷纷举起了小手，个个跃跃欲试。
生1：有天平。
生2：有茶杯，还有茶壶。
生3：天平处于平衡状态。
生4：我发现一个茶壶的重量等于两个茶杯的重量。
师：同学们观察得真仔细。
师在天平两边再各放上一个茶杯。
师：现在天平发生什么变化？
生1：天平左右两边仍然平衡。
生2：一个茶壶+一个茶杯=两个茶杯+一个茶杯。
师：在天平的左边再放上5个茶杯，这时天平还会平衡吗？
生（齐答）：不平衡，右边也要加5个同样的茶杯，天平才能平衡。
师：如果在天平的右边加上100个这样的茶杯，怎么做才能使天平保持平衡？
生：在左边也要放上100个这样的茶杯，天平才会平衡。
屏幕出示：
1个茶壶 =2个茶杯
1个茶壶+1个茶杯=2个茶杯+1个茶杯
1个茶壶+5个茶杯=2个茶杯+5个茶杯
1个茶壶+100个茶杯=2个茶杯+100个茶杯
师：从上往下观察这些等式，你发现什么规律？
生1：天平两边同时增加同样个数的杯子，天平仍然平衡。
生2：在等式两边同时加上相同的数，等式仍然成立。
师：说得真好！再看，那从下往上观察呢？
生：等式的两边同时减去相同的数，等式仍然成立。
师：谁能用一句话把刚才这些同学说的概括起来？
生：等式的两边同时加上或减去一个相等的数，天平仍然平衡。
师：概括得真好，请把这个发现和你的同桌互相说一说。（15秒后）
师用鼠标拖动屏幕上的茶壶，说道：如果把茶壶拿下来，天平仍然要平衡，怎么办？
生：天平的右边也要拿掉两个茶杯。
[同行点评：教师结合学生思维特点和本节课的教学难点，通过多媒体课件，把原来枯燥的数学变得鲜活，生动起来，学生眼中数学不再是简单的计算，而是富有情感，贴近生活，具有活力的东西，“等式原理”对于小学生来说是比较抽象，如果只靠教师讲解，无法真正理解，因此教师巧妙地运用信息技术辅助教学，让学生在动态操作中感受天平的平衡原理。促进知识的正迁移。为全课的教学活动的展开创造良好的开端。]
教学片段[2]——猜一猜这个χ的值是多少
师：你能用方程来表示天平现在的状态吗？
生1：χ+100=250
生2：250-χ=100
生3：250-100=χ
（生口头列出方程，师板书：χ+100=250）
师：哪个方程是根据图来列的？
生：χ+100=250，因为方程的左边表示杯子和水，右边表示250克砝码。
师：猜一猜这个χ的值是多少？
生（争着回答）：χ=150。
师：你是怎么想的？
举手的同学争先恐后。
生1：250-100=150，所以χ=150。
生2（自信地说）：因为100+150=250，所以χ=150。
生3（迫不及待）：因为天平的右边是250克的砝码，天平的左边是100克的水加杯子的重量，所以杯子的重量应该是150。
生4：这个χ的值就是杯子的重量，把100g 水倒掉，天平的右边也拿走100克的砝码。剩下的150克就是杯子的重量。所以χ=150……
师：同学们的方法比老师知道的还要多，真了不起。
[同行点评：教师为学生创设独立思考、解决问题的机会，学生利用已有知识，求出X+100=250χ的值，此时教师并没有总结最优方法，而是肯定学生的各种想法。让学生初步感知解方程，方法的多样性，为进一步学习解方程作孕伏。]
教学片段[3]——学生共同参与知识的构建
师：老师也想到一种方法，你们想知道吗？只要你认真观察，便会发现老师的想法。
课件演示：把水倒掉——天平失去平衡——移去砝码——天平再次平衡（如下图）
师：你猜到了吗？说给你同桌听一听。
生1：先把天平右边杯子里面的水倒掉，天平失去了平衡，再从天平左边拿走100克的砝码，天平再次平衡，右边150克砝码等于茶杯的重量。
师：你们能把这个变化过程用方程来表示吗？试一试，请你写在纸上。
师巡视。
师：请结合天平来说一说你写的方程？
生（边动手操作，边说过程）：χ+100－100 =250－100
师：χ+100－100 =250－100，这个方程两边为什么都要减去100？
生：……
师(指着方程的左边) ：χ＋100－100表示什么？
生：χ＋100表示杯子和100g 的水，把水倒掉了，就是减去100。
师：为什么方程的右边也要减去100？减去50行吗？
生1（自信）：不行！因为天平左边减去了100g 的水，天平的左边也要减去100g 砝码，这样天平才会平衡。
师：你的回答很自信，也很棒。方程左边剩下χ，右边结果是150。所以χ=150。解方程的每一步都是得到等式，所以等号要对齐来。
师边说边板书：χ＝150
师：从χ+100－100=250－100到χ＝150这个过程就是我们今天要研究的“解方程”。
师板书课题：解方程。
师：“方程的解”和“解方程”是一回事吗？
生（齐答）：不是。
生1：方程的解就是χ的值。
生2：方程的解是得数，解方程是一个过程，所以不一样。
生3：解方程就是计算过程。
生4：方程的解是最后得数。
师：同学们说得真好，解方程是一个过程，方程的解是一个得数。
[同行点评：通过引导学生观察动态的课件演示：从平衡——不平衡——平衡的过程中自己发现在天平两边同时减少相同的重量，天平仍然保持平衡，让学生感悟到可以借助天平的平衡来求未知数χ的值。有效地避免解方程时的机械模仿和死记硬背，降低学生思维难度，同时有效突破学习难点，与中学带有负数的方程教学衔接，培养了学生的观察能力。]
教学片段[4] ——老师真为你高兴
课件出示两道例题：
χ＋100=250 χ－3＝9
χ＋100－100=250－100 χ-3＋3＝9+3
χ= 150 χ＝12
师：请你观察这两道解方程的过程，你发现了什么？
全班沉默，没有人举手，大家都认真地观察。
生1：我发现一道是加法，一道是减法。
生2：我发现方程左边χ加100就要减100，χ减3就要加3。
师（好奇）：你真了不起，能把你的发现再向大家再介绍一下吗？
生2到讲台上讲解，师在边上问：加100减100这样做的目的是什么？
生2：加100减100相互抵消，方程的左边就只剩下χ了。
生3：我发现，方程的左边减100，右边就要减100，这样两边才会平衡。
生4：方程的左边加3，右边也要加3。
师：掌声送给这个伟大的发现。谁能够把他说的用一句话来概括？
生1：方程的两边同时加上或减去一个数，方程两边相等？
生2：方程的两边同时加上或减去相同的数，方程两边相等。
屏幕出示：方程的两边同时加上或减去相同的数。
师：今天我们学习的内容就在课本P58，请同学们再仔细阅读。
全班同学专注地看书。
陈韬（急切地举手）：刘老师，我发现课本上写的“方程的两边同时减去一个数，左右两边仍然相等”不完整。
生2：没有错啊！
生3错在哪里？
周围的同学都转过身，等待他的解释。
陈韬（得意）：如果一边减去3，一边减去5，左右两边还会相等吗？
听他这么一说，其他学生也好象发现新大陆一样，恍然大悟。
姚建达（不服气）：你举的例子不是减一个数，3和5是两个数……
课堂上不用老师组织，同学们已经讨论开了。
师：说得好，老师真为你的聪明，勇敢而高兴。
[同行点评：教师通过两道练习题，启发学生观察，比较，寻找不同点与相同点，让每个学生都有充分发表自己见解的机会，体现了课标倡导的自主探索与合作学习是学生学习数学的重要方式的理念。通过自学、质疑、争论、达成共识，真正理解可以运用天平的平衡原理来解方程的依据。初步掌握解简易方程的基本方法。]
【问题探讨】
1、老师的提问技巧有助于学生思考吗？
2、为保持学生在学习过程中的参与，教师做了哪些推动？
3、这是学生第一次接触解方程，在书写格式上与四则混合运算有明显的不同，教师应该特别的强调。
4、本节课的教学思路是：复习引入->新课学习->巩固学习->课堂小结，但一堂探究性的课一定要遵循此思路吗？如果不是又如何设计。
学思共融相得益彰
——《解简易方程》教学案例
【案例背景】
本案例的课题是《解简易方程》（义务教育课程实验教材（人教版）五年级上册第p57－58），学习的内容既包括方程的概念和解方程所依据的原理（等式基本性质），又包括方程的解法和应用。这些内容之间的逻辑联系如下图所示。
概念：方程 方程的解 解方程
原理：等式的基本性质
长期以来，在小学教学解简易方程，是依据加减运算的关系或乘除运算之间的关系，这实际上是用算术的思路求未知数。根据新课标的要求，人教版实验教材从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法，使学生摆脱算术思维方法中的局限性，有利于加强中小学的知识衔接。
执教者是一位年轻的教师，上课有激情，善于利用多媒体信息技术辅助教学。本课曾经参加学区的说课研讨，在片区优质课评选活动中获得第一名。
执教的班级是由来自四面八方的插班生组成的特殊团体，基础知识和探究能力存在较大的差异，但他们生动活泼，思维活跃，知识面广，上课敢想敢说敢问，课堂学习积极性高。根据本班的实际情况和学生已有的学习基础，本案例研究的主要问题是如何利用多媒体课件创设学习情景，帮助学生理解运用等式的基本性质来解方程的方法。
【教学流程】
(一) 动态感知，建立表象：通过课件演示，让生感悟，天平的左右两边同时加上或减去相同的重量，天平左右两边仍然相等。
(二) 尝试练习，方法多样：在天平的左边往一个未知重量的杯子里倒入100g 的水，然后在天平的右边放上250g 砝码，天平平衡。引出方程χ＋100＝250，并多种方法得到χ＝150。通过验证χ＝150是否正确，让学生理解什么是方程的解。
(三) 引导探究、提炼方法：课件演示为了求得的杯子的重量，把天平左边杯子里面的水倒掉，为了使天平平衡，天平的的右边也拿走100g 的砝码，引导生学生根据等式的基本性质写出解方程的过程。
(四) 观察对比，发现规律：通过课堂专项练习，由填写运算符号到填写数字，再到独立解方程，体验用等式的基本性质来解方程的方法。
(五) 看书质疑，拓展升华。
【片段与评析】
教学片段[1]——用等式表示天平两边的关系
师：厦门人热情好客，以茶会友，刘老师把茶具也带来了，想借助茶具和天平一起来研究数学问题。 课件出示：（如图）
师：仔细观察屏幕，你有什么发现？
同学们纷纷举起了小手，个个跃跃欲试。
生1：有天平。
生2：有茶杯，还有茶壶。
生3：天平处于平衡状态。
生4：我发现一个茶壶的重量等于两个茶杯的重量。
师：同学们观察得真仔细。
师在天平两边再各放上一个茶杯。
师：现在天平发生什么变化？
生1：天平左右两边仍然平衡。
生2：一个茶壶+一个茶杯=两个茶杯+一个茶杯。
师：在天平的左边再放上5个茶杯，这时天平还会平衡吗？
生（齐答）：不平衡，右边也要加5个同样的茶杯，天平才能平衡。
师：如果在天平的右边加上100个这样的茶杯，怎么做才能使天平保持平衡？
生：在左边也要放上100个这样的茶杯，天平才会平衡。
屏幕出示：
1个茶壶 =2个茶杯
1个茶壶+1个茶杯=2个茶杯+1个茶杯
1个茶壶+5个茶杯=2个茶杯+5个茶杯
1个茶壶+100个茶杯=2个茶杯+100个茶杯
师：从上往下观察这些等式，你发现什么规律？
生1：天平两边同时增加同样个数的杯子，天平仍然平衡。
生2：在等式两边同时加上相同的数，等式仍然成立。
师：说得真好！再看，那从下往上观察呢？
生：等式的两边同时减去相同的数，等式仍然成立。
师：谁能用一句话把刚才这些同学说的概括起来？
生：等式的两边同时加上或减去一个相等的数，天平仍然平衡。
师：概括得真好，请把这个发现和你的同桌互相说一说。（15秒后）
师用鼠标拖动屏幕上的茶壶，说道：如果把茶壶拿下来，天平仍然要平衡，怎么办？
生：天平的右边也要拿掉两个茶杯。
[同行点评：教师结合学生思维特点和本节课的教学难点，通过多媒体课件，把原来枯燥的数学变得鲜活，生动起来，学生眼中数学不再是简单的计算，而是富有情感，贴近生活，具有活力的东西，“等式原理”对于小学生来说是比较抽象，如果只靠教师讲解，无法真正理解，因此教师巧妙地运用信息技术辅助教学，让学生在动态操作中感受天平的平衡原理。促进知识的正迁移。为全课的教学活动的展开创造良好的开端。]
教学片段[2]——猜一猜这个χ的值是多少
师：你能用方程来表示天平现在的状态吗？
生1：χ+100=250
生2：250-χ=100
生3：250-100=χ
（生口头列出方程，师板书：χ+100=250）
师：哪个方程是根据图来列的？
生：χ+100=250，因为方程的左边表示杯子和水，右边表示250克砝码。
师：猜一猜这个χ的值是多少？
生（争着回答）：χ=150。
师：你是怎么想的？
举手的同学争先恐后。
生1：250-100=150，所以χ=150。
生2（自信地说）：因为100+150=250，所以χ=150。
生3（迫不及待）：因为天平的右边是250克的砝码，天平的左边是100克的水加杯子的重量，所以杯子的重量应该是150。
生4：这个χ的值就是杯子的重量，把100g 水倒掉，天平的右边也拿走100克的砝码。剩下的150克就是杯子的重量。所以χ=150……
师：同学们的方法比老师知道的还要多，真了不起。
[同行点评：教师为学生创设独立思考、解决问题的机会，学生利用已有知识，求出X+100=250χ的值，此时教师并没有总结最优方法，而是肯定学生的各种想法。让学生初步感知解方程，方法的多样性，为进一步学习解方程作孕伏。]
教学片段[3]——学生共同参与知识的构建
师：老师也想到一种方法，你们想知道吗？只要你认真观察，便会发现老师的想法。
课件演示：把水倒掉——天平失去平衡——移去砝码——天平再次平衡（如下图）
师：你猜到了吗？说给你同桌听一听。
生1：先把天平右边杯子里面的水倒掉，天平失去了平衡，再从天平左边拿走100克的砝码，天平再次平衡，右边150克砝码等于茶杯的重量。
师：你们能把这个变化过程用方程来表示吗？试一试，请你写在纸上。
师巡视。
师：请结合天平来说一说你写的方程？
生（边动手操作，边说过程）：χ+100－100 =250－100
师：χ+100－100 =250－100，这个方程两边为什么都要减去100？
生：……
师(指着方程的左边) ：χ＋100－100表示什么？
生：χ＋100表示杯子和100g 的水，把水倒掉了，就是减去100。
师：为什么方程的右边也要减去100？减去50行吗？
生1（自信）：不行！因为天平左边减去了100g 的水，天平的左边也要减去100g 砝码，这样天平才会平衡。
师：你的回答很自信，也很棒。方程左边剩下χ，右边结果是150。所以χ=150。解方程的每一步都是得到等式，所以等号要对齐来。
师边说边板书：χ＝150
师：从χ+100－100=250－100到χ＝150这个过程就是我们今天要研究的“解方程”。
师板书课题：解方程。
师：“方程的解”和“解方程”是一回事吗？
生（齐答）：不是。
生1：方程的解就是χ的值。
生2：方程的解是得数，解方程是一个过程，所以不一样。
生3：解方程就是计算过程。
生4：方程的解是最后得数。
师：同学们说得真好，解方程是一个过程，方程的解是一个得数。
[同行点评：通过引导学生观察动态的课件演示：从平衡——不平衡——平衡的过程中自己发现在天平两边同时减少相同的重量，天平仍然保持平衡，让学生感悟到可以借助天平的平衡来求未知数χ的值。有效地避免解方程时的机械模仿和死记硬背，降低学生思维难度，同时有效突破学习难点，与中学带有负数的方程教学衔接，培养了学生的观察能力。]
教学片段[4] ——老师真为你高兴
课件出示两道例题：
χ＋100=250 χ－3＝9
χ＋100－100=250－100 χ-3＋3＝9+3
χ= 150 χ＝12
师：请你观察这两道解方程的过程，你发现了什么？
全班沉默，没有人举手，大家都认真地观察。
生1：我发现一道是加法，一道是减法。
生2：我发现方程左边χ加100就要减100，χ减3就要加3。
师（好奇）：你真了不起，能把你的发现再向大家再介绍一下吗？
生2到讲台上讲解，师在边上问：加100减100这样做的目的是什么？
生2：加100减100相互抵消，方程的左边就只剩下χ了。
生3：我发现，方程的左边减100，右边就要减100，这样两边才会平衡。
生4：方程的左边加3，右边也要加3。
师：掌声送给这个伟大的发现。谁能够把他说的用一句话来概括？
生1：方程的两边同时加上或减去一个数，方程两边相等？
生2：方程的两边同时加上或减去相同的数，方程两边相等。
屏幕出示：方程的两边同时加上或减去相同的数。
师：今天我们学习的内容就在课本P58，请同学们再仔细阅读。
全班同学专注地看书。
陈韬（急切地举手）：刘老师，我发现课本上写的“方程的两边同时减去一个数，左右两边仍然相等”不完整。
生2：没有错啊！
生3错在哪里？
周围的同学都转过身，等待他的解释。
陈韬（得意）：如果一边减去3，一边减去5，左右两边还会相等吗？
听他这么一说，其他学生也好象发现新大陆一样，恍然大悟。
姚建达（不服气）：你举的例子不是减一个数，3和5是两个数……
课堂上不用老师组织，同学们已经讨论开了。
师：说得好，老师真为你的聪明，勇敢而高兴。
[同行点评：教师通过两道练习题，启发学生观察，比较，寻找不同点与相同点，让每个学生都有充分发表自己见解的机会，体现了课标倡导的自主探索与合作学习是学生学习数学的重要方式的理念。通过自学、质疑、争论、达成共识，真正理解可以运用天平的平衡原理来解方程的依据。初步掌握解简易方程的基本方法。]
【问题探讨】
1、老师的提问技巧有助于学生思考吗？
2、为保持学生在学习过程中的参与，教师做了哪些推动？
3、这是学生第一次接触解方程，在书写格式上与四则混合运算有明显的不同，教师应该特别的强调。
4、本节课的教学思路是：复习引入->新课学习->巩固学习->课堂小结，但一堂探究性的课一定要遵循此思路吗？如果不是又如何设计。