三线段能构成锐(钝)角三角形的条件

三线段能构成锐（钝）角三角形的条件

江西省永丰中学高三（8）班（331500）王曦

指导教师：刘忠

本文发表于《中学数学研究》（江西）2016年第1期

一、问题的提出

先来看以下例题及其解法.

例1 （1）已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，求x的取值范围；

（2）已知钝角三角形的三边长分别为2，3，x ，求x的取值范围.

（1）解1因为三角形是锐角三角形，所以三个角均为锐角，由余弦定理知

2222232－x20,2x－320,3x－22同时成立20.

xx的取值范

围是. 23x,解2 由3x2,得1x5，即当x15，时长分别为2，3，x的三条线段能构成三角形. 2x3

222当3为最大边，即x

3时，2x－30,xx3;

222当x为最大边，即x

3时，23－x0,0x3x

因此，x

的取值范围是. 5综上，x的取值范围是

1，

＝. 困惑1 所谓“皮之不存，毛将焉附”. 边长分别为2，3，x的三角形能成为锐角（或钝角）三角形的前提条件是长分别2，3，x的线段能构成三角形. 第（1）题的解法2首先确定了长分别2，3，x的线段能作为三角形的边应满足的条件（x15，再通过分类讨论，得到三角形的内角，）

是锐角应满足的条件，虽然过程较长，但心里踏实. 解法1虽然简洁明快，却没有确定长分别2，3，x的线段能作为三角形的边应满足的条件，答案虽然一样，但感觉是巧合. 难道锐角三角形三边应满足的条件确实有这么简单？

困惑2 若（1）的解法1是正确的，类比此法，（2）中x的取值范围是不是｜2x2x2320

x｜2232x20x｜0xx呢？ 二、问题的解决

定理1 长度分别为a,b,c的三条线段能构成A为锐角的ABC（a,b,c分别为A,B,C的对b2c2a2

1. 边）的条件是0cosA2bc

A证明

cos220bca20b



a，即bca；