【探索规律面积的变化】
学生在《比例》这个单元里，初步知道图形放大或缩小时，形状没有改变，所有边的长度都按相同的比变化。事实上，图形放大，它的面积变大了；图形缩小，它的面积变小了。本次探索规律，专题研究图形放大后，它的面积是怎样变化的。通过图形放大，它面积变化的倍数和边长变化的倍数不同，进一步加强图形放大的概念。也为计算放大后图形的面积，找到一种方便的算法。
教材分四段编写：提出问题——探索实践——总结规律——回顾反思。
（一） 提出问题这一段，重点引导学生弄清要研究什么
教材先呈现一个小长方形和按比例放大后的大长方形，通过测量得到小长方形的长3厘米、宽1厘米，大长方形的长9厘米、宽3厘米。分别写出大长方形与小长方形长的比和宽的比，得出小长方形是按3∶1的比放大的。接着要求估计大长方形和小长方形面积的比是几比几，并分别算出两个长方形的面积，验证估计是否正确。学生观察大、小两个长方形，能够看出大长方形有9个小长方形那么大，估计它们的面积比是9∶1。如果利用两个长方形的长和宽，算出它们的面积，也能得到大、小长方形的面积比是9∶1。于是发现一个现象：长方形按3∶1的比放大，放大后长方形每条边的长度是原来长方形的3倍，面积却是原来长方形的9倍。简单些说，长方形按比例放大，边长变化的比和面积变化的比不同。由此联想“其他平面图形放大，面积的比又会怎样呢？”这就形成了新的研究课题。这一段教材组织学生联系熟悉的知识，开展熟悉的活动，从中发现和提出新的数学问题，接受和理解新的学习任务，以积极的心态参与探索规律的活动。
（二） 探索实践这一段，研究不同的平面图形按不同的比放大，放大后的面积是原来图形的几倍
像这样的举例研究是小学生能够进行的。如果研究的实例有较大的覆盖面，得出的结论会有较强的说服力。为此，教材呈现了正方形按3∶1放大、三角形按2∶1放大、圆按4∶1放大的过程，选择了三种不同的图形、三个不同的比，具有一定的代表性。让学生测量各个图形放大后与放大前有关对应边的长度，说出图形是按几比几放大的；算出各个图形放大后的面积和放大前的面积，得出放大后与放大前图形面积的比；把量出的长度，算出的面积、得出的比都填入教材的表格里，发现每个图形放大后与放大前的长度比不等于面积比，但却是有联系的两种比。
只要测量与计算不发生意外，能够得到正方形放大后与放大前的边长比3∶1，面积比9∶1；三角形放大后与放大前底（高）的长度比2∶1，面积比4∶1；圆放大后与放大前半径的长度比4∶1，面积比16∶1。这些实例证实了平面图形按比例放大，放大后与放大前的面积比和对应边的长度比是不一样的。这一段教材组织学生看图形、
量长度、算面积、写出比，给了他们很大的活动空间，有利于他们用丰富的现实材料感受图形放大前、后面积的变化情况。
（三） 在总结规律这一段，要做三件事情：说说自己发现的规律，用含有字母的比表达面积的变化规律，放大平行四边形验证规律
表达图形面积的变化规律，需要对各种图形按不同的比放大，面积也随着变化的现象进行概括，把共同的特征用一种简便的形式表示出来。寻找面积变化的共同点，应比较每个图形放大后与放大前边长和面积的变化，看到正方形的边长按3∶1变化、面积按9∶1变化，三角形的底（高）按2∶1变化、面积按4∶1变化，圆的半径按4∶1变化、面积按16∶1变化。不难发现，面积变化的倍数是边长变化倍数的平方。这就是图形放大，面积随之变化规律。表达规律有多种形式，可以像“萝卜”卡通那样，列举“长度比是2∶1，面积比是4∶1；长度比是3∶1，面积比是9∶1；长度比是4∶1，面积比是16∶1„„”可以像“辣椒”卡通那样，用比较概括的语言讲述规律“（长度比和面积比）两个比的后项都是1，面积比的前项是长度比前项的平方。”如果用含有字母的比n∶1（n是大于1的自然数，下同）表示图形的放大，那么放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。这也是一种表示形式。教材鼓励学生先用自己的话说说规律，加深对规律的认识，再用含有字母的比表示规律，提升数学化程度，发展符号意识。
从正方形、三角形、圆放大的实际例子中发现面积的变化规律，进行的是归纳推理。教材要求学生用平行四边形验证面积变化的规律，丰富对规律的感知，充实对规律的信心。可以引导他们在方格纸上任意画一个平行四边形，并把它按比例放大；分别测量放大后与放大前平行四边形的底和高，算出放大后与放大前平行四边形的面积；分别组成放大后与放大前的长度比和面积比，观察面积比与长度比之间是不是存在上面概括的规律。这些活动在前面已多次进行，学生有能力独立完成。想办法验证发现的规律，是探索规律过程中的重要一步，是科学精神、严谨态度的具体表现，应该得到重视和落实。
（四） 回顾探索规律的过程与方法，积累数学活动经验
可以组织学生说说发现了什么规律，是怎样发现的；列举了哪些例子，想想还能举出其他例子吗；长方体、正方体是否能按比例放大，体积比和长度比之间是否也有规律等等，只要帮助他们打开话题，应该有许多话要说。
【探索规律面积的变化】
学生在《比例》这个单元里，初步知道图形放大或缩小时，形状没有改变，所有边的长度都按相同的比变化。事实上，图形放大，它的面积变大了；图形缩小，它的面积变小了。本次探索规律，专题研究图形放大后，它的面积是怎样变化的。通过图形放大，它面积变化的倍数和边长变化的倍数不同，进一步加强图形放大的概念。也为计算放大后图形的面积，找到一种方便的算法。
教材分四段编写：提出问题——探索实践——总结规律——回顾反思。
（一） 提出问题这一段，重点引导学生弄清要研究什么
教材先呈现一个小长方形和按比例放大后的大长方形，通过测量得到小长方形的长3厘米、宽1厘米，大长方形的长9厘米、宽3厘米。分别写出大长方形与小长方形长的比和宽的比，得出小长方形是按3∶1的比放大的。接着要求估计大长方形和小长方形面积的比是几比几，并分别算出两个长方形的面积，验证估计是否正确。学生观察大、小两个长方形，能够看出大长方形有9个小长方形那么大，估计它们的面积比是9∶1。如果利用两个长方形的长和宽，算出它们的面积，也能得到大、小长方形的面积比是9∶1。于是发现一个现象：长方形按3∶1的比放大，放大后长方形每条边的长度是原来长方形的3倍，面积却是原来长方形的9倍。简单些说，长方形按比例放大，边长变化的比和面积变化的比不同。由此联想“其他平面图形放大，面积的比又会怎样呢？”这就形成了新的研究课题。这一段教材组织学生联系熟悉的知识，开展熟悉的活动，从中发现和提出新的数学问题，接受和理解新的学习任务，以积极的心态参与探索规律的活动。
（二） 探索实践这一段，研究不同的平面图形按不同的比放大，放大后的面积是原来图形的几倍
像这样的举例研究是小学生能够进行的。如果研究的实例有较大的覆盖面，得出的结论会有较强的说服力。为此，教材呈现了正方形按3∶1放大、三角形按2∶1放大、圆按4∶1放大的过程，选择了三种不同的图形、三个不同的比，具有一定的代表性。让学生测量各个图形放大后与放大前有关对应边的长度，说出图形是按几比几放大的；算出各个图形放大后的面积和放大前的面积，得出放大后与放大前图形面积的比；把量出的长度，算出的面积、得出的比都填入教材的表格里，发现每个图形放大后与放大前的长度比不等于面积比，但却是有联系的两种比。
只要测量与计算不发生意外，能够得到正方形放大后与放大前的边长比3∶1，面积比9∶1；三角形放大后与放大前底（高）的长度比2∶1，面积比4∶1；圆放大后与放大前半径的长度比4∶1，面积比16∶1。这些实例证实了平面图形按比例放大，放大后与放大前的面积比和对应边的长度比是不一样的。这一段教材组织学生看图形、
量长度、算面积、写出比，给了他们很大的活动空间，有利于他们用丰富的现实材料感受图形放大前、后面积的变化情况。
（三） 在总结规律这一段，要做三件事情：说说自己发现的规律，用含有字母的比表达面积的变化规律，放大平行四边形验证规律
表达图形面积的变化规律，需要对各种图形按不同的比放大，面积也随着变化的现象进行概括，把共同的特征用一种简便的形式表示出来。寻找面积变化的共同点，应比较每个图形放大后与放大前边长和面积的变化，看到正方形的边长按3∶1变化、面积按9∶1变化，三角形的底（高）按2∶1变化、面积按4∶1变化，圆的半径按4∶1变化、面积按16∶1变化。不难发现，面积变化的倍数是边长变化倍数的平方。这就是图形放大，面积随之变化规律。表达规律有多种形式，可以像“萝卜”卡通那样，列举“长度比是2∶1，面积比是4∶1；长度比是3∶1，面积比是9∶1；长度比是4∶1，面积比是16∶1„„”可以像“辣椒”卡通那样，用比较概括的语言讲述规律“（长度比和面积比）两个比的后项都是1，面积比的前项是长度比前项的平方。”如果用含有字母的比n∶1（n是大于1的自然数，下同）表示图形的放大，那么放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。这也是一种表示形式。教材鼓励学生先用自己的话说说规律，加深对规律的认识，再用含有字母的比表示规律，提升数学化程度，发展符号意识。
从正方形、三角形、圆放大的实际例子中发现面积的变化规律，进行的是归纳推理。教材要求学生用平行四边形验证面积变化的规律，丰富对规律的感知，充实对规律的信心。可以引导他们在方格纸上任意画一个平行四边形，并把它按比例放大；分别测量放大后与放大前平行四边形的底和高，算出放大后与放大前平行四边形的面积；分别组成放大后与放大前的长度比和面积比，观察面积比与长度比之间是不是存在上面概括的规律。这些活动在前面已多次进行，学生有能力独立完成。想办法验证发现的规律，是探索规律过程中的重要一步，是科学精神、严谨态度的具体表现，应该得到重视和落实。
（四） 回顾探索规律的过程与方法，积累数学活动经验
可以组织学生说说发现了什么规律，是怎样发现的；列举了哪些例子，想想还能举出其他例子吗；长方体、正方体是否能按比例放大，体积比和长度比之间是否也有规律等等，只要帮助他们打开话题，应该有许多话要说。