抛物线综合应用
一、直线与抛物线的位置关系
1、判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0。若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数。
2、直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：（1）直线与抛物线的对称轴重合或平行；（2）直线与抛物线相切。
23、当直线的斜率k 存在且k ≠0时，弦长AB =+k x 1-x 2=+1y 1-y 2 k 2
〖典例分析〗
2例1、过抛物线y =2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB =25AF
则AF =。
例2、若直线l :y =(a +1) x -1与曲线C :y 2=ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合。
例3、已知抛物线C :y =2px (p >0) 的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且QF =25PQ 。 4
（1）求C 的方程；
（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ' 与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程。
例4、设点P (x , y )(y ≥0) 为平面直角坐标系xOy 内的一个动点（其中O 为坐标原点），点P 到定点M (0, ) 的距离比点P 到x 轴的距离大
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）若直线l :y =kx +1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且AB =26，求实数k 的值。
例5、设抛物线C :x =2py (p >0) 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
（1）若∠BFD =90 , ∆ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与Ｃ只有一个公共点，求坐标原点到m , n 的距离的比值。
2121。 2
二、抛物线中的取值范围与最值问题
1、利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；
2、利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决。
〖典例分析〗
例1、抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是。
例2、对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是 。
例3、已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的
距离之和的最小值是( )
A.2
例4 、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1) ，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA ，MA ·AB ＝MB ·BA ，M 点的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
2B.3 C. D.
例5、已知抛物线C 的顶点为O (0, 0) ，焦点为F (0, 1) 。
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l :y =x -2于M ，N 两点，求MN 的最小值。
三、定值、定点、定直线与存在性问题
例1、如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0, 2) 任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）。
（1）证明：动点D 在定直线上；
（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴），与直线y =2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：MN 2-MN 1为定值，并求此定值。
22
例2、已知点B (-1, 0) 和抛物线C :y 2=8x ，设不垂直于x 轴的直线l 与C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点。
例3、已知抛物线C :y =2px (p >0) 的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有=FD 。当点A 的横坐标为3时，∆ADF 为正三角形。
（1）求C 的方程；
（2）若直线l 1//l , 且l 1和C 有且只有一个公共点E ，证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标。
2
〖过手训练〗
1、已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0) 的焦点，点A (2, m ) 在抛物线E 上，且AF =3。
（1）求抛物线E 的方程；
（2）已知点G (-1, 0) ，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切。
2、过抛物线E :x 2=2py (p >0) 的焦点F 作斜率分别为k 1, k 2的两条不同直线l 1, l 2, 且k 1+k 2=2, l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l 。
（1）若k 1>0, k 2>0, 证明:⋅
（2）若点M 到直线l 的距离的最小值为
75，求抛物线E 的方程。 5
3、已知抛物线y =2px (p >0) 的焦点为F ，抛物线上横坐标为
离与其到准线的距离相等。
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点P (6, 0) 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程。
24、如图所示，抛物线C :y =2px (p >0) 与直线AB ：y =21的点到抛物线顶点的距21x +b 相切于点A 。 2
（1）求p , b 满足的关系式，并用p 表示点A 的坐标；
（2）设F 是抛物线的焦点，若以F 为直角顶点的Rt ∆AFB 的面积等于25，求抛物线C 的标准方程。
5、已知抛物线C 的顶点为O (0, 0) ，焦点为F (0, 1) 。
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点。若直线AO ，BO 分别交直线l :y =x -2于M ，N 两点，求MN 的最小值。
x 2y 22+2=1(00) 的焦4b 2
点在椭圆的顶点上。
（1）求抛物线C 2的方程；
（2）过M (-1, 0) 的直线l 与抛物线C 2交于P ，Q 两点，又过P ，Q 作抛物线C 2的切线l 1, l 2, 当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程。
抛物线综合应用
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抛物线综合应用
一、直线与抛物线的位置关系
1、判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0。若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数。
2、直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：（1）直线与抛物线的对称轴重合或平行；（2）直线与抛物线相切。
23、当直线的斜率k 存在且k ≠0时，弦长AB =+k x 1-x 2=+1y 1-y 2 k 2
〖典例分析〗
2例1、过抛物线y =2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB =25AF
则AF =。
例2、若直线l :y =(a +1) x -1与曲线C :y 2=ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合。
例3、已知抛物线C :y =2px (p >0) 的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且QF =25PQ 。 4
（1）求C 的方程；
（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ' 与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程。
例4、设点P (x , y )(y ≥0) 为平面直角坐标系xOy 内的一个动点（其中O 为坐标原点），点P 到定点M (0, ) 的距离比点P 到x 轴的距离大
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）若直线l :y =kx +1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且AB =26，求实数k 的值。
例5、设抛物线C :x =2py (p >0) 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
（1）若∠BFD =90 , ∆ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与Ｃ只有一个公共点，求坐标原点到m , n 的距离的比值。
2121。 2
二、抛物线中的取值范围与最值问题
1、利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；
2、利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决。
〖典例分析〗
例1、抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是。
例2、对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是 。
例3、已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的
距离之和的最小值是( )
A.2
例4 、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1) ，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA ，MA ·AB ＝MB ·BA ，M 点的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
2B.3 C. D.
例5、已知抛物线C 的顶点为O (0, 0) ，焦点为F (0, 1) 。
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l :y =x -2于M ，N 两点，求MN 的最小值。
三、定值、定点、定直线与存在性问题
例1、如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0, 2) 任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）。
（1）证明：动点D 在定直线上；
（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴），与直线y =2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：MN 2-MN 1为定值，并求此定值。
22
例2、已知点B (-1, 0) 和抛物线C :y 2=8x ，设不垂直于x 轴的直线l 与C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点。
例3、已知抛物线C :y =2px (p >0) 的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有=FD 。当点A 的横坐标为3时，∆ADF 为正三角形。
（1）求C 的方程；
（2）若直线l 1//l , 且l 1和C 有且只有一个公共点E ，证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标。
2
〖过手训练〗
1、已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0) 的焦点，点A (2, m ) 在抛物线E 上，且AF =3。
（1）求抛物线E 的方程；
（2）已知点G (-1, 0) ，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切。
2、过抛物线E :x 2=2py (p >0) 的焦点F 作斜率分别为k 1, k 2的两条不同直线l 1, l 2, 且k 1+k 2=2, l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l 。
（1）若k 1>0, k 2>0, 证明:⋅
（2）若点M 到直线l 的距离的最小值为
75，求抛物线E 的方程。 5
3、已知抛物线y =2px (p >0) 的焦点为F ，抛物线上横坐标为
离与其到准线的距离相等。
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点P (6, 0) 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程。
24、如图所示，抛物线C :y =2px (p >0) 与直线AB ：y =21的点到抛物线顶点的距21x +b 相切于点A 。 2
（1）求p , b 满足的关系式，并用p 表示点A 的坐标；
（2）设F 是抛物线的焦点，若以F 为直角顶点的Rt ∆AFB 的面积等于25，求抛物线C 的标准方程。
5、已知抛物线C 的顶点为O (0, 0) ，焦点为F (0, 1) 。
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点。若直线AO ，BO 分别交直线l :y =x -2于M ，N 两点，求MN 的最小值。
x 2y 22+2=1(00) 的焦4b 2
点在椭圆的顶点上。
（1）求抛物线C 2的方程；
（2）过M (-1, 0) 的直线l 与抛物线C 2交于P ，Q 两点，又过P ，Q 作抛物线C 2的切线l 1, l 2, 当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程。
抛物线综合应用
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