《鸡兔同笼》教学案例
姓名：宁红刚
单位：陕西省宝鸡市高新区磻溪中心小学
《鸡兔同笼》教学案例
宁红刚
【教材分析】：
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。
“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，因此教材先编排了例１，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决《孙子算经》中数据比较大的问题。
解决“鸡兔同笼”问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程，既猜测、列表、假设或列方程解。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。
配合“鸡兔同笼”问题，教材在“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，比如“龟鹤”问题，生活中的一些实际问题等，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，并巩固用“假设法”或方程的方法来解决这类问题。
【设计理念】：
“鸡兔同笼”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论，应用画图法、列表法、假设法、方程等方法，从多角度思考，运用多种方法解题，使学生在具体情境中，根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，并在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。
【教学目标】：
1、通过问题情境，了解“鸡兔同笼”的问题，感受古代数学的趣味性。
2、在探求解决问题方法的过程中，经历列表法、假设法、列方程解等方法的交流，体验
解决问题策略的多样化与策略的优化。
3、通过解决实际生活问题的练习，培养数学思考能力，发展思维能力。
【教学重点】： “鸡兔同笼”问题的解题方法。
【教学难点】：用假设法来解决鸡兔同笼问题。
【教学过程】：
课前准备：让学生诵读古诗。
一、创设情境，引出问题
1、师：从同学们刚才背得诗词中，让我们感受到我国古代文化的灿烂，然而这种文化的精髓不仅体现在语言文字中，在数学领域也有充分的体现。例如我们数学课上接触过的七巧板，九宫格填数等等，这些都起源于中国古代，不仅如此， 在数学领域还有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世。今天我们就一起来探究一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的趣味数学题“雉兔同笼”问题，这个“雉兔同笼”问题曾漂洋过海，传到日本、欧洲等国，对世界各国的文明发展起了很大的作用。
2、课件出示主题图和原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
师：你能说说这道题是什么意思吗？（说明：雉指鸡）
生：有鸡和兔子关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，问鸡和兔各有多少只？
出示题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？
3、揭示课题：这就是我们今天要研究的 “鸡兔同笼”的问题。（板书课题）
【设计意图：教学即对文化的传承与弘扬，数学教学也不例外，数学同样也是一种文化。利用我国古代数学名著《孙子算经》中的数学趣题直接导入新课学习，既让学生感受到了中国数学文化的悠久与魅力，同时激发了学生探究的兴趣和动机，明确了本节课学习的目的与要求，并为后面充分地探究学习争取了时间。】
二、自主探索，解决问题
（一）第一次探究学习
1、师：这个问题看似比较复杂，当我们面对复杂问题的时候我们要学会“退一步”，我们都听过“退一步海阔天空”，那我们就将头的个数，脚的只数变小来思考一下。
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只? 人教课程标准实验教科书六年级上册《鸡兔同笼》
师：大家动脑筋猜一猜，“从上面数，有3个头，从下面数，有8只脚，鸡兔各有几只？”
2、学生猜测。
提出要求：
（1）你是怎么猜的，说一说你猜的过程。
生：我猜有2只鸡和1只兔，因为2×2＋1×4=8，符合题目要求。
师：2×2＋1×4中的2和4分别代表什么？
生：2是鸡的脚的只数，4是兔脚的只数。（引导学生说出隐藏了条件：鸡有2只脚，兔有4只脚。）
师：原来这道题目里面隐藏了“鸡有2只脚，兔有4只脚”这两个条件。
(教师板书：鸡有2只脚，兔有4只脚)
（2）你能将你的猜测过程画出来吗？说说想法。
师：你会怎样画？怎样画方便？
（渗透符号的思想：用○来表示头，用 ▏来表示脚。）
生：用○来表示头，用 ▏来表示脚。
指名学生上台画，其他学生观察他画的过程，做出评价。
师提问：说说你先画的是头还是脚？
生：先画头。
师：为什么要先画头呢？
生：因为鸡有1个头，兔也有1个头，题目说有3个头，那就是有3只动物，所以要先画头。
师：为什么每个头下面要先画2只脚？
生：至少鸡有2只脚，所以先画2只脚。
师：那多出来的脚是一只一只的往头下面添吗？
生：不是一只一只的添，一只兔比一只鸡多2只脚，所以要两只两只的添。
师：这类问题我们还可以用画图的方式来解决，这种方法在数学上叫画图法。
【设计意图：将《孙子算经》中的原题中的数据由大变小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了转化的数学思想方法。将大数目的“鸡兔同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”问题后，使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为了可能，经历画图法的过程后，同时为后面假设法的学习做了准备。】
（二）第二次探究学习
师：我们刚才退一步将头的个数，脚的只数变小将问题解决了，那我们还要退中有进。
1、出示：笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？
师提问：这道题告诉了我们什么已知条件？
生：鸡和兔一共有8只，它们共有脚26只。
师：你怎么知道鸡和兔共有8只？
生：一共有8个头，所以一共有8只。
2、引导学生探求解决问题的方法，交流学习。
（1）列表法
师提问：鸡和兔一共有8只，那你能不能猜测一下鸡兔可能各有几只？课件
生：鸡8只，兔0只；鸡7只，兔1只；鸡6只，兔2只；鸡5只，兔3只；鸡4只，兔4只；鸡3只，兔5只；鸡2只，兔6只；鸡1只，兔7只；鸡0只，兔8只。
师：可能的情况是这几种吗？（课件出示可能的情况）
师：要想能够没有遗漏，没有重复的例举鸡和兔各有几只的可能情况，那我们就要像这样有序地来例举。
师：这位同学的猜测始终围绕着鸡和兔一共是几只在猜？
生：8只。
师：有这么多种可能，究竟哪种猜测是正确的呢？怎么才能知道哪种可能是正确的，鸡是几只，兔是几只？
生：验证。
师：验证？如何验证？就是算什么？
生：就是算鸡和兔脚的总只数。
师：有9种可能，那我们从哪里开始验证呢？
生：可以从鸡8只，兔0只开始，一个一个地验证脚的总只数。
师：这样验证可以，还可以从哪里开始验证呢？
生：可以从鸡4只，兔4只开始。4×2＋4×4=24
师：验证了鸡4只，兔4只它们脚的总只数后，再怎样验证？是往前验证，还是往后验证？为什么？
生：应该往后验证，因为鸡4只，兔4只它们脚的总只数是24，比26少，那说明兔的只数少了，所以要往后验证。
师：那你们觉得怎样验证好呢？好在哪里？
生：从中间开始验证好，能较快得到鸡兔的只数。
师：就按你们刚才说得办，把书翻到113页，完成书上的表格。
完成后，集体交流验证的过程。
生：从鸡4只，兔4只开始验证，它们脚的总只数是24只，比26少了2只，那就说明兔的只数要多一些，多1只兔少1只鸡，那么脚的总只数就会增加2只。所以鸡有3只，兔有5只。
师：刚才我们把鸡兔出现的可能一一列表，然后采用逐一验证的方法或从中间验证的方法，这样的方法在数学上叫列表法。（教师板书：列表法）
【设计意图：将各种可能的结果有序地列举在表格中，通过验证脚的总只数来确定鸡兔各有几只，让学生在验证的过程中不断调整思路，从而优化解决问题的策略。】
（2）列方程解
师：那这类有两个未知量的题目还可以怎样解答呢？
生：用方程来解答。
师：那我们该如何设未知数呢？
生：设鸡有x 只，那么兔有8－x 只。
师：还可以怎样设未知数？
生：设兔有x 只，那么鸡有8－x 只。
师：好，那我们就设兔有x 只，那么鸡有8－x 只，来列方程解答。
学生独立完成，集体交流。
指名学生演板。
师提问：4x 和2×(8－x) 分别表示什么？根据什么列方程？
生：4x 是兔脚的总只数，2×(8－x) 是鸡脚的总只数，根据鸡和兔共有26只脚列方程。4x+2×(8－x)=26
师：每次我们解答问题遇到困难的时候，方程总是会帮助我们解答，看来列方程解题还真是很好的解题方法。
【设计意图：列方程解题是学生在五年级已学过的方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，抓住其中的疑
难点设问，帮助学生真正理解过程、掌握方法、提升技能。同时让学生感受到了代数法解题的一般性。】
（3）假设法
师：解决鸡兔同笼问题，还有没有其它的方法呢？
生：还有假设法。
师：假设法是怎样的？如何用假设法来解答呢？
学生根据自己的经验来介绍假设法解题的过程。
师：假设笼子里都是鸡，脚的只数是几只？
生：16只。
师：只要有1只兔子学了鸡，脚的总只数就会怎样变化？
生：就会减少2只脚。
师：要是有4只兔子学鸡，脚的总只数又会怎样变化？
生：会减少8只脚。
师：要是脚的总只数减少了12只，想想有几只兔子学了鸡？
生：有6只。12÷2=6
师：现在笼子里都是鸡，脚有16只，跟26比少了26－16=10只脚，少的是谁的脚？兔子有几只呢？
生：少的是兔子的脚，兔子有5只。10÷2=5
师：兔有5只，鸡就有几只？
生：鸡有3只。8－5=3
师：哪位同学能将这个过程再说一遍。
生：假设笼子里都是鸡，就有8×2=16只脚，这样就多出26－16=10只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2=5只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
教师根据学生的回答板书解题过程。
师：还可以怎样假设呢？
生：假设都是兔。
师：假设都是兔，鸡怎么学兔呢？
生：鸡可以用它的两个翅膀当脚。
师：1只鸡学兔，脚的总只数怎样变化？
生：脚的总只数会增加2只。
师：3只鸡学鸡呢？
生：会增加6只。
师：要是脚的总只数增加了10只，想想有几只鸡学兔子？
生：有5只。10÷2=5
师：要是笼子里都是兔，共有几只脚？
生：有32只脚。
师：32比26多32－26=6只脚，多的是什么？
生：多的是鸡的翅膀。
师：鸡有几只？
生：鸡有3只。6÷2=3
师：哪位同学能将这个过程再说一遍。
生：假设笼子里都是兔，就有8×4=32只脚，这样就多出32－26=6只脚，一只鸡学兔就多2只脚，多的6只脚是鸡的翅膀，就有6÷2=3只鸡。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
教师根据学生的回答板书解题过程。
师：真好，这种假设的方法是数学中一种重要的思想方法。 假设的思想方法，我们不仅能解决鸡兔同笼问题，还能解决生活中的很多问题。
【设计意图：让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以师生互动为探究方式，以教师生动的肢体语言为探究辅助手段，逐一将难点突破，巧妙地将学生认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。】
3、小结交流，归纳方法
师：我们在解决“鸡兔同笼”的问题时，用到了哪些方法？比较这些方法，你喜欢用哪种？为什么？你认为哪种方法一般都能适用？
小结：解决这类问题的方法很多，用猜测、画图、列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐了。假设法和方程解就具有一般性，不管是数据较大时或数据较小时都可用到这两种方法。
【设计意图：在计算教学中，需要算法多样化，更需要算法的优化；同样，在解决问题教学中，需要策略多样化，更需要策略的优化。发散思维与收敛思维应该兼顾并进。但优化并不等于强加，优化也强调自主和需要过程。】
三、应用方法，解决问题
1、师：你能用假设法或者方程解来解答“孙子算经”里的问题吗？课件再出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？
2、学生交流介绍自己的算法，集体订正。
3、师：想知道古人在解答这道题时是怎么做的吗？
（让学生看课本第114页的“阅读资料”，了解“抬脚法”，在西方把这种方法叫做玻利亚跳舞法。）
【设计意图：解决《孙子算经》中的原题，让学生排除了开课的悬念；向学生介绍特殊而巧妙的古代“抬腿法”，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。】
四、汇报交流，总结归纳
通过本课的学习，你有什么收获？你有什么体会？
五、推广应用，形成技能
练一练：
1. 自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？
2. 有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？
【设计意图：通过解决生活中类似于鸡兔同笼的问题，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。】
六、板书设计：
鸡兔同笼
猜测：兔 1 2
鸡 2 1
2×2＋1×4=8
画图法： 列表法：
逐一验证 取中验证 列方程解： 假设法： 解：设兔有x 只，那① 假设全是鸡 么就有（8 -x ）只鸡。 4x+2×(8 -x)=26 ② 假设全是兔 2x+16=26 x=5 8－5=3（只） 答：兔有5只，鸡有35只。
教学反思：
本节课借助我国民间广为流传的数学趣题 “鸡兔同笼”这个题材，培养学生从多角度思考，运用多种方法解决问题的能力。因此本节课重在研究解决“鸡兔同笼”问题的方法和策略上。要让学生经历从多种角度思考，运用多种方法解决问题的过程，通过展开讨论，根据学生已有的经验，不断调整解题策略，逐步探讨出不同的方法，找到合理解决问题的策略；并在交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法，灵活运用该方法解决生活中的类似“鸡兔同笼”问题。
《孙子算经》中的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，于是我将的原题中的数据变小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了化“难”为“易”， 化“繁”为“简”的数学思想方法。将大数目的“鸡兔同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”问题我分了两个层次，第一个层次是“从上面数，有3个头，从下面数，有8只脚，鸡兔各有几只？”提供这样的数据，是为了激起学生大胆猜测的渴望，同时也使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为了可能，经历画图法的过程后，同时为后面假设法的学习做了准备。画图的思想方法已成为小学生学习数学的一种需要。学生在自己画图的活动中，能感
悟策略、发展思维、体会方法和获得思想。第二个层次是“从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？”让学生将各种可能的结果有序地列举在表格中，再通过验证脚的总只数来确定鸡兔各有几只，在验证失败的过程中学生逐步感受到“如果总脚数猜多了，就要多猜鸡少猜兔的只数；如果总脚数猜少了，要多猜兔少猜鸡的只数。”也正是在这样的过程中，学生参与探究的热情更高了，开展探究的勇气更大了，解决问题的思路更明了。学生通过列表验证，不断调整思路，从而优化解决问题的策略。列方程解题是学生在五年级已学过的方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，让学生感受到了代数法解题的一般性。让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以师生互动为探究方式，以教师生动的肢体语言为探究辅助手段，逐一将难点突破，巧妙地将学生认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。后来又向学生介绍特殊而巧妙的古代“抬腿法”，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。并通过解决生活中类似于鸡兔同笼的问题，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。
在教学中，我精心设计问题，引导学生先后运用猜测法、画图法、列表法、代数法、假设法等分析和解决问题，从而获得了分析问题和解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样性，发展了创新意识。在短短的四十分钟里，我只关注于解决问题策略的多样化，没有时间去解决策略的自主优化，让学生感知不同策略间的相互联系和影响，对比解决问题策略的局限性和一般性。
回过头来细细品味这节课上所渗透的数学思想方法，我在不禁感叹 “鸡兔同笼”问题中数学思想方法的多样、深刻与灵巧的同时也感觉到了“鸡兔同笼”问题的在教学上的挑战性。如何通过一节课的教学，有效提升学生对教学中渗透的数学思想方法的认识，是我要继续思考的问题。
《鸡兔同笼》教学案例
姓名：宁红刚
单位：陕西省宝鸡市高新区磻溪中心小学
《鸡兔同笼》教学案例
宁红刚
【教材分析】：
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。
“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，因此教材先编排了例１，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决《孙子算经》中数据比较大的问题。
解决“鸡兔同笼”问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程，既猜测、列表、假设或列方程解。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。
配合“鸡兔同笼”问题，教材在“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，比如“龟鹤”问题，生活中的一些实际问题等，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，并巩固用“假设法”或方程的方法来解决这类问题。
【设计理念】：
“鸡兔同笼”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论，应用画图法、列表法、假设法、方程等方法，从多角度思考，运用多种方法解题，使学生在具体情境中，根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，并在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。
【教学目标】：
1、通过问题情境，了解“鸡兔同笼”的问题，感受古代数学的趣味性。
2、在探求解决问题方法的过程中，经历列表法、假设法、列方程解等方法的交流，体验
解决问题策略的多样化与策略的优化。
3、通过解决实际生活问题的练习，培养数学思考能力，发展思维能力。
【教学重点】： “鸡兔同笼”问题的解题方法。
【教学难点】：用假设法来解决鸡兔同笼问题。
【教学过程】：
课前准备：让学生诵读古诗。
一、创设情境，引出问题
1、师：从同学们刚才背得诗词中，让我们感受到我国古代文化的灿烂，然而这种文化的精髓不仅体现在语言文字中，在数学领域也有充分的体现。例如我们数学课上接触过的七巧板，九宫格填数等等，这些都起源于中国古代，不仅如此， 在数学领域还有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世。今天我们就一起来探究一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的趣味数学题“雉兔同笼”问题，这个“雉兔同笼”问题曾漂洋过海，传到日本、欧洲等国，对世界各国的文明发展起了很大的作用。
2、课件出示主题图和原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
师：你能说说这道题是什么意思吗？（说明：雉指鸡）
生：有鸡和兔子关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，问鸡和兔各有多少只？
出示题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？
3、揭示课题：这就是我们今天要研究的 “鸡兔同笼”的问题。（板书课题）
【设计意图：教学即对文化的传承与弘扬，数学教学也不例外，数学同样也是一种文化。利用我国古代数学名著《孙子算经》中的数学趣题直接导入新课学习，既让学生感受到了中国数学文化的悠久与魅力，同时激发了学生探究的兴趣和动机，明确了本节课学习的目的与要求，并为后面充分地探究学习争取了时间。】
二、自主探索，解决问题
（一）第一次探究学习
1、师：这个问题看似比较复杂，当我们面对复杂问题的时候我们要学会“退一步”，我们都听过“退一步海阔天空”，那我们就将头的个数，脚的只数变小来思考一下。
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只? 人教课程标准实验教科书六年级上册《鸡兔同笼》
师：大家动脑筋猜一猜，“从上面数，有3个头，从下面数，有8只脚，鸡兔各有几只？”
2、学生猜测。
提出要求：
（1）你是怎么猜的，说一说你猜的过程。
生：我猜有2只鸡和1只兔，因为2×2＋1×4=8，符合题目要求。
师：2×2＋1×4中的2和4分别代表什么？
生：2是鸡的脚的只数，4是兔脚的只数。（引导学生说出隐藏了条件：鸡有2只脚，兔有4只脚。）
师：原来这道题目里面隐藏了“鸡有2只脚，兔有4只脚”这两个条件。
(教师板书：鸡有2只脚，兔有4只脚)
（2）你能将你的猜测过程画出来吗？说说想法。
师：你会怎样画？怎样画方便？
（渗透符号的思想：用○来表示头，用 ▏来表示脚。）
生：用○来表示头，用 ▏来表示脚。
指名学生上台画，其他学生观察他画的过程，做出评价。
师提问：说说你先画的是头还是脚？
生：先画头。
师：为什么要先画头呢？
生：因为鸡有1个头，兔也有1个头，题目说有3个头，那就是有3只动物，所以要先画头。
师：为什么每个头下面要先画2只脚？
生：至少鸡有2只脚，所以先画2只脚。
师：那多出来的脚是一只一只的往头下面添吗？
生：不是一只一只的添，一只兔比一只鸡多2只脚，所以要两只两只的添。
师：这类问题我们还可以用画图的方式来解决，这种方法在数学上叫画图法。
【设计意图：将《孙子算经》中的原题中的数据由大变小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了转化的数学思想方法。将大数目的“鸡兔同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”问题后，使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为了可能，经历画图法的过程后，同时为后面假设法的学习做了准备。】
（二）第二次探究学习
师：我们刚才退一步将头的个数，脚的只数变小将问题解决了，那我们还要退中有进。
1、出示：笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？
师提问：这道题告诉了我们什么已知条件？
生：鸡和兔一共有8只，它们共有脚26只。
师：你怎么知道鸡和兔共有8只？
生：一共有8个头，所以一共有8只。
2、引导学生探求解决问题的方法，交流学习。
（1）列表法
师提问：鸡和兔一共有8只，那你能不能猜测一下鸡兔可能各有几只？课件
生：鸡8只，兔0只；鸡7只，兔1只；鸡6只，兔2只；鸡5只，兔3只；鸡4只，兔4只；鸡3只，兔5只；鸡2只，兔6只；鸡1只，兔7只；鸡0只，兔8只。
师：可能的情况是这几种吗？（课件出示可能的情况）
师：要想能够没有遗漏，没有重复的例举鸡和兔各有几只的可能情况，那我们就要像这样有序地来例举。
师：这位同学的猜测始终围绕着鸡和兔一共是几只在猜？
生：8只。
师：有这么多种可能，究竟哪种猜测是正确的呢？怎么才能知道哪种可能是正确的，鸡是几只，兔是几只？
生：验证。
师：验证？如何验证？就是算什么？
生：就是算鸡和兔脚的总只数。
师：有9种可能，那我们从哪里开始验证呢？
生：可以从鸡8只，兔0只开始，一个一个地验证脚的总只数。
师：这样验证可以，还可以从哪里开始验证呢？
生：可以从鸡4只，兔4只开始。4×2＋4×4=24
师：验证了鸡4只，兔4只它们脚的总只数后，再怎样验证？是往前验证，还是往后验证？为什么？
生：应该往后验证，因为鸡4只，兔4只它们脚的总只数是24，比26少，那说明兔的只数少了，所以要往后验证。
师：那你们觉得怎样验证好呢？好在哪里？
生：从中间开始验证好，能较快得到鸡兔的只数。
师：就按你们刚才说得办，把书翻到113页，完成书上的表格。
完成后，集体交流验证的过程。
生：从鸡4只，兔4只开始验证，它们脚的总只数是24只，比26少了2只，那就说明兔的只数要多一些，多1只兔少1只鸡，那么脚的总只数就会增加2只。所以鸡有3只，兔有5只。
师：刚才我们把鸡兔出现的可能一一列表，然后采用逐一验证的方法或从中间验证的方法，这样的方法在数学上叫列表法。（教师板书：列表法）
【设计意图：将各种可能的结果有序地列举在表格中，通过验证脚的总只数来确定鸡兔各有几只，让学生在验证的过程中不断调整思路，从而优化解决问题的策略。】
（2）列方程解
师：那这类有两个未知量的题目还可以怎样解答呢？
生：用方程来解答。
师：那我们该如何设未知数呢？
生：设鸡有x 只，那么兔有8－x 只。
师：还可以怎样设未知数？
生：设兔有x 只，那么鸡有8－x 只。
师：好，那我们就设兔有x 只，那么鸡有8－x 只，来列方程解答。
学生独立完成，集体交流。
指名学生演板。
师提问：4x 和2×(8－x) 分别表示什么？根据什么列方程？
生：4x 是兔脚的总只数，2×(8－x) 是鸡脚的总只数，根据鸡和兔共有26只脚列方程。4x+2×(8－x)=26
师：每次我们解答问题遇到困难的时候，方程总是会帮助我们解答，看来列方程解题还真是很好的解题方法。
【设计意图：列方程解题是学生在五年级已学过的方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，抓住其中的疑
难点设问，帮助学生真正理解过程、掌握方法、提升技能。同时让学生感受到了代数法解题的一般性。】
（3）假设法
师：解决鸡兔同笼问题，还有没有其它的方法呢？
生：还有假设法。
师：假设法是怎样的？如何用假设法来解答呢？
学生根据自己的经验来介绍假设法解题的过程。
师：假设笼子里都是鸡，脚的只数是几只？
生：16只。
师：只要有1只兔子学了鸡，脚的总只数就会怎样变化？
生：就会减少2只脚。
师：要是有4只兔子学鸡，脚的总只数又会怎样变化？
生：会减少8只脚。
师：要是脚的总只数减少了12只，想想有几只兔子学了鸡？
生：有6只。12÷2=6
师：现在笼子里都是鸡，脚有16只，跟26比少了26－16=10只脚，少的是谁的脚？兔子有几只呢？
生：少的是兔子的脚，兔子有5只。10÷2=5
师：兔有5只，鸡就有几只？
生：鸡有3只。8－5=3
师：哪位同学能将这个过程再说一遍。
生：假设笼子里都是鸡，就有8×2=16只脚，这样就多出26－16=10只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2=5只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
教师根据学生的回答板书解题过程。
师：还可以怎样假设呢？
生：假设都是兔。
师：假设都是兔，鸡怎么学兔呢？
生：鸡可以用它的两个翅膀当脚。
师：1只鸡学兔，脚的总只数怎样变化？
生：脚的总只数会增加2只。
师：3只鸡学鸡呢？
生：会增加6只。
师：要是脚的总只数增加了10只，想想有几只鸡学兔子？
生：有5只。10÷2=5
师：要是笼子里都是兔，共有几只脚？
生：有32只脚。
师：32比26多32－26=6只脚，多的是什么？
生：多的是鸡的翅膀。
师：鸡有几只？
生：鸡有3只。6÷2=3
师：哪位同学能将这个过程再说一遍。
生：假设笼子里都是兔，就有8×4=32只脚，这样就多出32－26=6只脚，一只鸡学兔就多2只脚，多的6只脚是鸡的翅膀，就有6÷2=3只鸡。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
教师根据学生的回答板书解题过程。
师：真好，这种假设的方法是数学中一种重要的思想方法。 假设的思想方法，我们不仅能解决鸡兔同笼问题，还能解决生活中的很多问题。
【设计意图：让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以师生互动为探究方式，以教师生动的肢体语言为探究辅助手段，逐一将难点突破，巧妙地将学生认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。】
3、小结交流，归纳方法
师：我们在解决“鸡兔同笼”的问题时，用到了哪些方法？比较这些方法，你喜欢用哪种？为什么？你认为哪种方法一般都能适用？
小结：解决这类问题的方法很多，用猜测、画图、列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐了。假设法和方程解就具有一般性，不管是数据较大时或数据较小时都可用到这两种方法。
【设计意图：在计算教学中，需要算法多样化，更需要算法的优化；同样，在解决问题教学中，需要策略多样化，更需要策略的优化。发散思维与收敛思维应该兼顾并进。但优化并不等于强加，优化也强调自主和需要过程。】
三、应用方法，解决问题
1、师：你能用假设法或者方程解来解答“孙子算经”里的问题吗？课件再出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？
2、学生交流介绍自己的算法，集体订正。
3、师：想知道古人在解答这道题时是怎么做的吗？
（让学生看课本第114页的“阅读资料”，了解“抬脚法”，在西方把这种方法叫做玻利亚跳舞法。）
【设计意图：解决《孙子算经》中的原题，让学生排除了开课的悬念；向学生介绍特殊而巧妙的古代“抬腿法”，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。】
四、汇报交流，总结归纳
通过本课的学习，你有什么收获？你有什么体会？
五、推广应用，形成技能
练一练：
1. 自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？
2. 有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？
【设计意图：通过解决生活中类似于鸡兔同笼的问题，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。】
六、板书设计：
鸡兔同笼
猜测：兔 1 2
鸡 2 1
2×2＋1×4=8
画图法： 列表法：
逐一验证 取中验证 列方程解： 假设法： 解：设兔有x 只，那① 假设全是鸡 么就有（8 -x ）只鸡。 4x+2×(8 -x)=26 ② 假设全是兔 2x+16=26 x=5 8－5=3（只） 答：兔有5只，鸡有35只。
教学反思：
本节课借助我国民间广为流传的数学趣题 “鸡兔同笼”这个题材，培养学生从多角度思考，运用多种方法解决问题的能力。因此本节课重在研究解决“鸡兔同笼”问题的方法和策略上。要让学生经历从多种角度思考，运用多种方法解决问题的过程，通过展开讨论，根据学生已有的经验，不断调整解题策略，逐步探讨出不同的方法，找到合理解决问题的策略；并在交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法，灵活运用该方法解决生活中的类似“鸡兔同笼”问题。
《孙子算经》中的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，于是我将的原题中的数据变小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了化“难”为“易”， 化“繁”为“简”的数学思想方法。将大数目的“鸡兔同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”问题我分了两个层次，第一个层次是“从上面数，有3个头，从下面数，有8只脚，鸡兔各有几只？”提供这样的数据，是为了激起学生大胆猜测的渴望，同时也使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为了可能，经历画图法的过程后，同时为后面假设法的学习做了准备。画图的思想方法已成为小学生学习数学的一种需要。学生在自己画图的活动中，能感
悟策略、发展思维、体会方法和获得思想。第二个层次是“从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？”让学生将各种可能的结果有序地列举在表格中，再通过验证脚的总只数来确定鸡兔各有几只，在验证失败的过程中学生逐步感受到“如果总脚数猜多了，就要多猜鸡少猜兔的只数；如果总脚数猜少了，要多猜兔少猜鸡的只数。”也正是在这样的过程中，学生参与探究的热情更高了，开展探究的勇气更大了，解决问题的思路更明了。学生通过列表验证，不断调整思路，从而优化解决问题的策略。列方程解题是学生在五年级已学过的方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，让学生感受到了代数法解题的一般性。让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以师生互动为探究方式，以教师生动的肢体语言为探究辅助手段，逐一将难点突破，巧妙地将学生认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。后来又向学生介绍特殊而巧妙的古代“抬腿法”，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。并通过解决生活中类似于鸡兔同笼的问题，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。
在教学中，我精心设计问题，引导学生先后运用猜测法、画图法、列表法、代数法、假设法等分析和解决问题，从而获得了分析问题和解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样性，发展了创新意识。在短短的四十分钟里，我只关注于解决问题策略的多样化，没有时间去解决策略的自主优化，让学生感知不同策略间的相互联系和影响，对比解决问题策略的局限性和一般性。
回过头来细细品味这节课上所渗透的数学思想方法，我在不禁感叹 “鸡兔同笼”问题中数学思想方法的多样、深刻与灵巧的同时也感觉到了“鸡兔同笼”问题的在教学上的挑战性。如何通过一节课的教学，有效提升学生对教学中渗透的数学思想方法的认识，是我要继续思考的问题。