2016秋工科高等代数期末考试题A

2016—2017学年第一学期期末考试

考试统一用答题册

考试课程工科高等代数 A 班级学号姓名成绩

2017-1-5

姓名______________学号 _________ A

一. 选择题 (每题2分，共22分）

1. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，若B =E +AB ，C =A +CA ，则B -C 为（ a ）

a ．E ; b ．-E ; c ．A ; d ．-A 2. 若3阶方阵A =(α1 α2 α3) 的行列式|A |=1, 则|α1 α2 3⋅α3-α1|=（ c ） a ．2 ; b ． 1; c ． 3 ; d ． -1

3. 设A 是4⨯3的矩阵，η1, η2, η3是非齐次方程组Ax =β的3个线性无关解，k 1, k 2

为任意常数，则Ax =β的通解为（ c ） a ．

+k 2(η2-η1) ;

22η+η3η-η

+k 1(η3-η1) +k 2(η2-η1) ; d ．13+k 1(η2-η1) +k 2(η3-η1) c ．2

η1+η2

+k 1(η2-η1) ; b ．

η2-η3

4. 若A 是n 阶实方阵，x 是R n 中的列向量, 则 x T A T Ax =（ d ） a ．长度|Ax |； b ．正数; c ．长度|x|; d ．|Ax |2

⎛2-1-1⎫⎛1⎫

⎪，B = 1⎪，则A 与B ( b ) -12-15. 设A = ⎪ ⎪

-1-12⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭

a ．既相合又相似; b ．相合但不相似; c. 不相合但相似; d ．既不相合也不相似

6. 设A 为n 阶方阵矩阵, 则A 可逆等价于( b )

a ．det(A ) =0; b ．R(A ) =n ; c. A T 不可逆; d ．A 有零特征值 7. 设A 为m ⨯n 阶矩阵，令W ={x ∈R n |Ax =0}，则dim(W ) +R(A ) =( c ). a ．n -1; b ．m -n ; c ．m ; d ．n

8. 设A 和B 为满足AB =O 的任意两个非零矩阵，则必有（ a ） a. A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关; b. A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关; c. A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关; d. A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 9. 实对称阵A 为正定阵的充分必要条件是( d )

a ．A 满秩； b ．A 可逆； c ．|A |为正； d ．A 的全体特征根为正数

10. 设A 为n 阶正交阵，下列说法正确的是( a )

a ．A T =A *(伴随阵); b A -1=A T ．; c ．|A |=-1; d ．|A |=1 11. 设A 和B 为n 阶方阵，且A 2=A ，B 2=B ，E -A -B 可逆，则（ c ）

a. 秩R(A ) >R(B ) ； b. R(A )

⎛0-10⎫

⎪= 1001. ⎪

001⎪⎝⎭

⎛1-11⎫

⎪，则αT α= -11-12. 设α是3维列向量，若ααT = ⎪

1-11⎪⎝⎭

3. 若3阶方阵A 满足|A -E |=|A -2E |=|A +E |=0，则|A 2+3E |= 4. 设A 是n 阶实正交阵，α1, α2, , αn 为n 维列向量且线性无关，若(A +E ) α1,

(A +E ) α2, ,(A +E ) αn 也线性无关，则|A |三. 判断题 (每题1分，共11分) (正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“Х”) 1. 任意线性变换都可以把线性空间的一组基映为一组基. ( t ) 2. 初等列变换不改变矩阵的秩. ( t )

3. 若方阵A 可对角化，则属于A 的不同特征值的特征子空间彼此正交. ( f ) 4. 若方阵A , B 相合，则A , B 有相同的特征值. ( t ) 5. 正交变换在任意一组基下的矩阵都是正交阵. ( t ) 6. 任意n 阶方阵A 与B ，AB 和BA 具有相同的迹. ( t ) 7. 设A 为实m ⨯n 矩阵，则秩R(A T A ) =R(A ) . ( t )

8. 若向量α1, α2, α3可由v 1, v 2线性表示, 则α1, α2, α3一定线性无关. ( f ) 9. 若A 是正定矩阵，则A -1+A *也是正定矩阵. ( t )

10. 设A 与B 均为n 阶方阵，R(A ) +R(B )

11. 若n 元方程组A n ⨯n x =0只有零解, 则A n ⨯n x = b 必有唯一解. ( f )

四. 计算下列各题（每题8分，共24分） 1. 设R 4的两个子空间V 1与V 2分别为

V 1={(a 1, a 2, a 3, a 4) |a 1=a 2=a 3, a i ∈R , i =1,2,3,4} V 2=L (x 1, x 2) ，其中x 1=(1,0,1,0),x 2=(0,1,0,1).

(1) 求V 1+V 2的维数及其一组基； (2) 求V 1 V 2的维数及其一组基.

2. 设A 为n 阶可逆阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块阵

P =⎛ E 0⎫⎛A α⎫

⎝-αT A *|A |⎪⎭, Q = ⎝αT b ⎪⎭,

其中A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位阵.

(1) 计算并化简PQ ；(2)求Q 可逆的充要条件.

⎛1+a ⎫⎛2⎫⎛3⎫⎛4⎫ 1⎪ 2+a ⎪ 3⎪ 4⎪

⎪, α2= ⎪, α3= ⎪, α4= ⎪， 3. 设4维向量组α1=

1⎪ 2⎪ 3+a ⎪ 4⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝1⎭⎝2⎭⎝3⎭⎝4+a ⎭

(1) a 为何值时，α1, α2, α3, α4线性相关？

(2) 当α1, α2, α3, α4线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.

五. 求解下列题目 (每题10分，共20分)

1. 设所有次数不大于4的多项式全体所构成的线性空间为P 3[x ]，其上有线性变换T 将任意f (x ) =a 0+a 1x +a 2x +a 3x ∈P 3[x ]映为

T[f (x )]=(a 1+a 2) +(a 1+a 2) x +2(a 0+a 3) x 3

（1）设P 3[x ]的一组基I 为1, x , x , x ，求线性变换T 在基I 下的矩阵A ；

（2）判断A 是否可以相似对角化；若可以，求相似变换的矩阵以及与A 相似的2

对角阵；

（3）求P 3[x ]的另外一组基，使T 在该基下的矩阵为对角阵．

2. 已知二次型f (x 1, x 2, x 3) =(1-a ) x 12+(1-a ) x 22+2x 32+2(1+a ) x 1x 2的秩为2， (1) 求此二次型的矩阵及a 的值；

(2) 求正交变换x =Qy ，把f (x 1, x 2, x 3) 化成标准形，并写出此标准形； (3) 求方程f (x 1, x 2, x 3) =0的解.

六. 证明题 (每题5分，共15分)

1. 设A 是m ⨯n 阶实矩阵，E 是n 阶单位阵. 已知矩阵B =λE +A A ，求证：当

λ>0时，矩阵B 为正定矩阵.

2. 设A 为n 阶可逆的反对称阵，b 为n 维列向量，设B =⎛ A

⎝b T

求证：秩R(B ) =n .

b ⎫0⎪， ⎭

3. 设A 和B 均为实对称阵，求证：存在正交阵Q ，使Q -1AQ 与Q -1BQ 同为对角阵当且仅当AB =BA .