运 动 学 复 习
匀变速直线运动公式： v t =v 0+at s =v 0t +
v +v t 122
at v t 2-v 0t =2as s =022
初速为零的匀变速直线运动：
（1）前1秒、前2秒、前3秒„„内的位移之比为1∶4∶9∶„„ （2）第1秒、第2秒、第3秒„„内的位移之比为1∶3∶5∶„„ （3）前1米、前2米、前3米„„所用的时间之比为1∶∶3∶„„ （4）第1米、第2米、第3米„„所用的时间之比为1∶
2-1∶（3-2）∶„„
)
对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律。 一、s-t 、v-t
图像及应用。
要正确理解图象的意义：
要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。
①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态。
②线：表示研究对象变化过程和规律，如v －t 图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。 ③斜率：表示横、纵坐标上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。如s －t 图象的斜率表示速度大小，v －t 图象的斜率表示加速度大小。
④面积；图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如v －t 图象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。
⑤截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量。 尤其注意： E - x ， EP - x 等的图像。
1. s-t 图象。能读出s 、t 、v 的信息（斜率表示速度）。
2. v-t 图象。能读出s 、t 、v 、a 的信息（斜率表示加速度，曲线下的面积表示位移）。可见v-t 图象提供的信息最多，应用也最广。
二、小船渡河问题。
处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间t =
d
υ1
=
d
，显然，当θ=90︒时，
υ船sin θ
v 即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为2．位移最小：
d
，合运动沿v 的方向进行。 v
（1）若υ船>υ水，结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上
υ
游的角度为cos θ=水。
υ船
（2）若v 船
v 船v 水
船头与河
v 船d
岸的夹角应为θ=，船沿河漂下的最短距离为：x min =(v 水-v 船cos θ) ⋅，此时渡河的最短
v 船sin θv 水
位移：s =
dv d
=水。 cos θv 船
【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( )
A．
d υ2
-υ
2221
B．0 C．
d υ1
υ2
D．
d υ2
υ1
三、“关联”速度问题。
解题原则：指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
b
四、自由落体运动、竖直上抛运动。
1．自由落体运动：物体由静止开始，只在重力作用下的运动。 特点：加速度为g ，初速度为零的匀加速直线运动。规律：v t =gt h =
12
gt 2 v 2
t =2gh 2．竖直上抛运动：物体以某一初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。 （1）特点：初速度为v 0，加速度为 -g 的匀变速直线运动。 （2）规律：v t = v0-gt h = v0t-
12
gt 2 v 2-2
t v 0=－2gh 上升时间t =
v 2
0上
g ，下降到抛出点的时间t =v 0v 0
下g ，上升最大高度H m =2g
（3）处理方法:
一是将竖直上抛运动全过程分为上升和下降两个阶段来处理，要注意两个阶段运动的对称性。 二是将竖直上抛运动全过程视为初速度为v 0，加速度为 -g 的匀减速直线运动
五、平抛运动、斜抛运动。
1、平抛运动。
当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。 平抛运动基本规律：
① 速度：v x =v 0，v y =gt 合速度 v =v 22
x +v y
方向 ：tan θ=
v y v =
gt
x
v o
② 位移x =v o t y =
12
gt 2
合位移大小：s =x 2+y 2 方向：tan α = y g x =
2v ⋅t o ③ 时间由y =
12
2y 2
gt 得t =x （由下落的高度y 决定） ④ 竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
2、斜抛运动。
解题思路：先将斜抛运动正交分解，水平坐标轴上做匀速直线运动，竖直坐标轴上做竖直上抛运动或者竖直下抛运动。然后用各自公式解决相关问题。
例题：1、物体做斜上抛运动时, 描述物体在竖直方向的分速度(取向上为正) 随时间变化的图象如图所示，正确的是（ ）。
2、一物体以速度v 0水平抛出，落地时速度的大小为v ，不计空气的阻力，则物体在空中飞行的时间为( )
v -v 0
A ．
g
v +v 0
B． C
g D
3、在一次投篮游戏中，同学小创调整好力度，将球从A 点向篮筐B 投去，结果球如图所示划着一条弧线飞到篮筐后方，已知A . B 等高，请问，下轮再投时，他将如何调整？若保持力度不变，把球投入篮筐，他有几种投法？
【解析】保持抛射角不变，减少初速度；或保持初速度不变，改变抛射角；或初速度和抛射角都调整。两种。一是减小抛射角，二是增大抛射角。因为除最大射程外，每一射程都对应两个抛射角。 3、类平抛运动。
平抛运动的规律虽然是在地球表面重力场中得到的，同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动．也适用于物体以初速度v 0运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F 的作用情况．例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系。
【例】如图所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L 为10m ，一小球从斜面顶端以10m/s的速度沿水平方向抛出，求：（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移S ；（2）小球到达斜面底端时的速度大小。（g 取10 m/s2）
解：（1）在斜面上小球沿v 0方向做匀速运动，垂直v 0方向做初速度为零的匀加
速运动，加速度a =g sin300 s =v 0t ① l =
1
g sin 300t 2 ② 由②得： t =2
2l
③
g sin 30
由①、③得：s =v 0
2l 2⨯10
=10m =20m
10⨯0. 5g sin 300
（2）设小球运动到斜面底端时的速度为v ，由动能定理得： mgl sin 300=
11222
mv 2-mv 0 v =v 0+gh =+10⨯10m /s =14. 1m /s 22
【答案】（1）20m ，（2）14.1m/s.
【点拨】物体做类似平抛运动，其受力特点和运动特点类似于平抛运动，因此解决的方法可类比平抛运动——采用运动的合成与分解。关键的问题要注意： （1）满足条件：受恒力作用且与初速度的方向垂直。 （2）确定两个分运动的速度方向和位移方向，分别列式求解。 4、与斜面有关的平抛运动。
5、平抛运动中的临界问题。
六、圆周运动。
1、描述圆周运动物理量：
A 、线速度：（1）大小：v = (s 是t 时间内通过的弧长) 。v =
（2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化 （3）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢
s
t
2πr
T
B 、角速度：（1）大小：ω=
φ
t
(φ是t 时间内半径转过的圆心角，单位：rad/s)。ω=
2π
T
（2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化。 （3）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。 C 、周期和频率：
周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间做周期。用T 表示。
频率：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。用f 表示。 D 、v 、ω、T 、f 的关系：v = ωr =
2πr
= 2rf T
点评：ω、T 、f ，若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v 还和r 有关。
v 24π22
=ωr =2r =4π2 f 2r E 、向心加速度a ： （1）大小：a =r T
（2）方向：总指向圆心，时刻变化。 （3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 2、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）
v 24π22
=m ωR =m 2R =m 4π2f 2R A 、向心力: （1）大小：F =ma 向=m R T
（2）方向：总指向圆心，时刻都在变化。
点评：“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力”不一定是物体所受合外力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。 B 、处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
注意：向心力的特点：
a 匀速圆周运动：向心力为合外力，其大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
b 变速圆周运动：因速度大小发生变化，其向心力和向心加速度都在变化，其所受的合外力不仅大小随时间改 变，方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的 方向，合外力沿轨道方向切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。 c 当沿半径方向的力F ＜mv 2/r时，物体做离心运动； 当沿半径方向的力F ＞mv 2/r时，物体做向心运动； 当沿半径方向的力F ＝mv /r时，物体做圆周运动； 当沿半径方向的力F ＝0时，物体沿切线做直线运动。
2
C 、处理圆周运动动力学问题的一般步骤： （1）确定研究对象，进行受力分析；
（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合； （3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。 3、匀速圆周运动。
2πr 2πv 24π212v ==m ωR =m 2R =m 4π2f 2R ω= T = v = ωr F 向=ma 向=m T T f R T
4、匀速圆周运动的几种实例。 圆周运动中向心力的来源分析
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力。它是按力的作用效果来命名的。分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源。
需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力。
物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）。
5、三种传送装置及其特点。
6、生活中的圆周运动。 A 、汽车过凸形桥、凹形桥。
4
［例］汽车质量m 为1. 5×10 kg，以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15 m，如图所示．如果路面承受的最大压力不得超过2×105 N ，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少？
解析：首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以汽车经过凹形路面最低点时，汽车对路面的压力最大．
v 2当汽车经过凹形路面最低点时，设路面支持力为F N 1，受力情况如下图所示，由牛顿第二定律，有F N 1－mg ＝m
R
要求F N 1≤2×10 N。解得允许的最大速率v m ＝7. 0 m/s
5
m v m
由上面分析知，汽车经过凸形路面顶点时对路面压力最小，设为F N 2，由牛顿第二定律有mg －F N 2＝，
R
解得F N 2＝1×105 N
B 、汽车、火车等转弯及向心力的分析。
2
火车转弯时，如果转弯处轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力
F 就是使火车转弯需要的向心力（如图5－6－1所示），设转弯半径为R ，火车质量为m ，转弯时速率为v ，则F
v 2＝m ．由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏．
R
实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径R 和规定的行驶速度v 0适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力F N 的合力来提供，如图所示，必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向下，F ＝G tan θ＝mg tan θ，根据
v
牛顿第二定律可得mg tan θ＝m 0
R
通常倾角θ不太大，可近似取：tan θ＝
2
h d
其中：h 为外轨与内轨的高度差，d 为内、外轨间距离．
火车转弯时，如果以规定速度行驶，它转弯需要的向心力就完全由重力和支持力的合力提供；如果火车行驶的速度大于规定速度，仅重力与支持力的合力提供向心力就不够，还需外轨对外轮产生一个指向内侧的压力以补充向心力的不足；如果火车的速度小于规定速度时，重力和支持力的合力大于火车所需要的向心力，这时需要内轨向外挤压内轮，以抵消多余部分保证合外力等于向心力．
讨论：
①当火车行驶速率v 等于v 规定时，即v ＝gR tan 时，支持力和重力的合力恰好充当所需的向心力，则内、外轨都不受挤压（此时为临界条件）．
②当火车行驶速率v 大于v 规定时，即v ＞gR tan 时，支持力和重力的合力不足以提供所需向心力，则此时需要外轨提供一部分向心力，即此时外轨受挤压．
③当火车行驶速率小于v 规定时，即v ＜gR tan 时，支持力和重力的合力大于所需的向心力，则此时需要内轨提供一个支持力，即此时内轨受挤压．
同理，由此讨论可知为什么高速公路转弯处路面外侧稍高．
7、竖直平面内圆周运动的临界值问题。 三种模型：“绳、杆、轨道”的区别：
1） “绳”对物体只能产生拉力或不产生力，但不可能产生推力；
2） “杆”对物体既可产生拉力，也可产生推力，还可不产力；
3） “轨道”对物体只能产生推力或不产生力，但不可能产生拉力。
竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动．对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态．下面对这类问题作简要分析．
A ．如图5－6－11和图5－6－12所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
图5－6－11 图5－6－12
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力．
v 2
（1）临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg ＝m v 临＝gR R
注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v 临≠gR
（2）能过最高点的条件：v ≥gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
（3）不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
B ．如图5－6－13所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
图5－6－13
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．
（1）临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高点的临界速度v 临界＝0
（2）图5－6－13(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
①当v ＝0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N ＝mg ．
②当0＜v ＜gR 时，杆对小球的支持力方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：mg ＞F N ＞0 11
③当v ＝gR 时，F N ＝0
④当v ＞gR 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大．
（3）图5－6－13（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：
①当v ＝0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球重力，即F N ＝mg ②当0＜v ＜gr 时，管内壁下侧对球有竖直向上的支持力F N ，大小随速度的增大而减小，取值范围mg ＞F N ＞0 ③当v ＝gr 时，F N ＝0
④当v ＞gr 时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大．
七、超重与失重。
超重和失重及判断方法：我们通常用竖直方向的加速度来判断超重和失重:当物体有竖直向上的加速度时，物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) 大于其重力，此时物体处于超重状态; 当物体有竖直向下的加速度时，物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) 小于其重力，此时物体处于失重状态; 当物体竖直向下的加速度等于重力加速度时，物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) 为零，此时物体处于完全失重状态。
应该注意的是:物体处于超重和失重状态时，其重力是不变的，变化的是物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) ，我们把这种力叫做物体的视重。
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运 动 学 复 习
匀变速直线运动公式： v t =v 0+at s =v 0t +
v +v t 122
at v t 2-v 0t =2as s =022
初速为零的匀变速直线运动：
（1）前1秒、前2秒、前3秒„„内的位移之比为1∶4∶9∶„„ （2）第1秒、第2秒、第3秒„„内的位移之比为1∶3∶5∶„„ （3）前1米、前2米、前3米„„所用的时间之比为1∶∶3∶„„ （4）第1米、第2米、第3米„„所用的时间之比为1∶
2-1∶（3-2）∶„„
)
对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律。 一、s-t 、v-t
图像及应用。
要正确理解图象的意义：
要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。
①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态。
②线：表示研究对象变化过程和规律，如v －t 图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。 ③斜率：表示横、纵坐标上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。如s －t 图象的斜率表示速度大小，v －t 图象的斜率表示加速度大小。
④面积；图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如v －t 图象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。
⑤截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量。 尤其注意： E - x ， EP - x 等的图像。
1. s-t 图象。能读出s 、t 、v 的信息（斜率表示速度）。
2. v-t 图象。能读出s 、t 、v 、a 的信息（斜率表示加速度，曲线下的面积表示位移）。可见v-t 图象提供的信息最多，应用也最广。
二、小船渡河问题。
处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间t =
d
υ1
=
d
，显然，当θ=90︒时，
υ船sin θ
v 即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为2．位移最小：
d
，合运动沿v 的方向进行。 v
（1）若υ船>υ水，结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上
υ
游的角度为cos θ=水。
υ船
（2）若v 船
v 船v 水
船头与河
v 船d
岸的夹角应为θ=，船沿河漂下的最短距离为：x min =(v 水-v 船cos θ) ⋅，此时渡河的最短
v 船sin θv 水
位移：s =
dv d
=水。 cos θv 船
【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( )
A．
d υ2
-υ
2221
B．0 C．
d υ1
υ2
D．
d υ2
υ1
三、“关联”速度问题。
解题原则：指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
b
四、自由落体运动、竖直上抛运动。
1．自由落体运动：物体由静止开始，只在重力作用下的运动。 特点：加速度为g ，初速度为零的匀加速直线运动。规律：v t =gt h =
12
gt 2 v 2
t =2gh 2．竖直上抛运动：物体以某一初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。 （1）特点：初速度为v 0，加速度为 -g 的匀变速直线运动。 （2）规律：v t = v0-gt h = v0t-
12
gt 2 v 2-2
t v 0=－2gh 上升时间t =
v 2
0上
g ，下降到抛出点的时间t =v 0v 0
下g ，上升最大高度H m =2g
（3）处理方法:
一是将竖直上抛运动全过程分为上升和下降两个阶段来处理，要注意两个阶段运动的对称性。 二是将竖直上抛运动全过程视为初速度为v 0，加速度为 -g 的匀减速直线运动
五、平抛运动、斜抛运动。
1、平抛运动。
当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。 平抛运动基本规律：
① 速度：v x =v 0，v y =gt 合速度 v =v 22
x +v y
方向 ：tan θ=
v y v =
gt
x
v o
② 位移x =v o t y =
12
gt 2
合位移大小：s =x 2+y 2 方向：tan α = y g x =
2v ⋅t o ③ 时间由y =
12
2y 2
gt 得t =x （由下落的高度y 决定） ④ 竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
2、斜抛运动。
解题思路：先将斜抛运动正交分解，水平坐标轴上做匀速直线运动，竖直坐标轴上做竖直上抛运动或者竖直下抛运动。然后用各自公式解决相关问题。
例题：1、物体做斜上抛运动时, 描述物体在竖直方向的分速度(取向上为正) 随时间变化的图象如图所示，正确的是（ ）。
2、一物体以速度v 0水平抛出，落地时速度的大小为v ，不计空气的阻力，则物体在空中飞行的时间为( )
v -v 0
A ．
g
v +v 0
B． C
g D
3、在一次投篮游戏中，同学小创调整好力度，将球从A 点向篮筐B 投去，结果球如图所示划着一条弧线飞到篮筐后方，已知A . B 等高，请问，下轮再投时，他将如何调整？若保持力度不变，把球投入篮筐，他有几种投法？
【解析】保持抛射角不变，减少初速度；或保持初速度不变，改变抛射角；或初速度和抛射角都调整。两种。一是减小抛射角，二是增大抛射角。因为除最大射程外，每一射程都对应两个抛射角。 3、类平抛运动。
平抛运动的规律虽然是在地球表面重力场中得到的，同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动．也适用于物体以初速度v 0运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F 的作用情况．例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系。
【例】如图所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L 为10m ，一小球从斜面顶端以10m/s的速度沿水平方向抛出，求：（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移S ；（2）小球到达斜面底端时的速度大小。（g 取10 m/s2）
解：（1）在斜面上小球沿v 0方向做匀速运动，垂直v 0方向做初速度为零的匀加
速运动，加速度a =g sin300 s =v 0t ① l =
1
g sin 300t 2 ② 由②得： t =2
2l
③
g sin 30
由①、③得：s =v 0
2l 2⨯10
=10m =20m
10⨯0. 5g sin 300
（2）设小球运动到斜面底端时的速度为v ，由动能定理得： mgl sin 300=
11222
mv 2-mv 0 v =v 0+gh =+10⨯10m /s =14. 1m /s 22
【答案】（1）20m ，（2）14.1m/s.
【点拨】物体做类似平抛运动，其受力特点和运动特点类似于平抛运动，因此解决的方法可类比平抛运动——采用运动的合成与分解。关键的问题要注意： （1）满足条件：受恒力作用且与初速度的方向垂直。 （2）确定两个分运动的速度方向和位移方向，分别列式求解。 4、与斜面有关的平抛运动。
5、平抛运动中的临界问题。
六、圆周运动。
1、描述圆周运动物理量：
A 、线速度：（1）大小：v = (s 是t 时间内通过的弧长) 。v =
（2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化 （3）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢
s
t
2πr
T
B 、角速度：（1）大小：ω=
φ
t
(φ是t 时间内半径转过的圆心角，单位：rad/s)。ω=
2π
T
（2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化。 （3）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。 C 、周期和频率：
周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间做周期。用T 表示。
频率：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。用f 表示。 D 、v 、ω、T 、f 的关系：v = ωr =
2πr
= 2rf T
点评：ω、T 、f ，若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v 还和r 有关。
v 24π22
=ωr =2r =4π2 f 2r E 、向心加速度a ： （1）大小：a =r T
（2）方向：总指向圆心，时刻变化。 （3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 2、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）
v 24π22
=m ωR =m 2R =m 4π2f 2R A 、向心力: （1）大小：F =ma 向=m R T
（2）方向：总指向圆心，时刻都在变化。
点评：“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力”不一定是物体所受合外力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。 B 、处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
注意：向心力的特点：
a 匀速圆周运动：向心力为合外力，其大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
b 变速圆周运动：因速度大小发生变化，其向心力和向心加速度都在变化，其所受的合外力不仅大小随时间改 变，方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的 方向，合外力沿轨道方向切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。 c 当沿半径方向的力F ＜mv 2/r时，物体做离心运动； 当沿半径方向的力F ＞mv 2/r时，物体做向心运动； 当沿半径方向的力F ＝mv /r时，物体做圆周运动； 当沿半径方向的力F ＝0时，物体沿切线做直线运动。
2
C 、处理圆周运动动力学问题的一般步骤： （1）确定研究对象，进行受力分析；
（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合； （3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。 3、匀速圆周运动。
2πr 2πv 24π212v ==m ωR =m 2R =m 4π2f 2R ω= T = v = ωr F 向=ma 向=m T T f R T
4、匀速圆周运动的几种实例。 圆周运动中向心力的来源分析
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力。它是按力的作用效果来命名的。分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源。
需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力。
物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）。
5、三种传送装置及其特点。
6、生活中的圆周运动。 A 、汽车过凸形桥、凹形桥。
4
［例］汽车质量m 为1. 5×10 kg，以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15 m，如图所示．如果路面承受的最大压力不得超过2×105 N ，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少？
解析：首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以汽车经过凹形路面最低点时，汽车对路面的压力最大．
v 2当汽车经过凹形路面最低点时，设路面支持力为F N 1，受力情况如下图所示，由牛顿第二定律，有F N 1－mg ＝m
R
要求F N 1≤2×10 N。解得允许的最大速率v m ＝7. 0 m/s
5
m v m
由上面分析知，汽车经过凸形路面顶点时对路面压力最小，设为F N 2，由牛顿第二定律有mg －F N 2＝，
R
解得F N 2＝1×105 N
B 、汽车、火车等转弯及向心力的分析。
2
火车转弯时，如果转弯处轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力
F 就是使火车转弯需要的向心力（如图5－6－1所示），设转弯半径为R ，火车质量为m ，转弯时速率为v ，则F
v 2＝m ．由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏．
R
实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径R 和规定的行驶速度v 0适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力F N 的合力来提供，如图所示，必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向下，F ＝G tan θ＝mg tan θ，根据
v
牛顿第二定律可得mg tan θ＝m 0
R
通常倾角θ不太大，可近似取：tan θ＝
2
h d
其中：h 为外轨与内轨的高度差，d 为内、外轨间距离．
火车转弯时，如果以规定速度行驶，它转弯需要的向心力就完全由重力和支持力的合力提供；如果火车行驶的速度大于规定速度，仅重力与支持力的合力提供向心力就不够，还需外轨对外轮产生一个指向内侧的压力以补充向心力的不足；如果火车的速度小于规定速度时，重力和支持力的合力大于火车所需要的向心力，这时需要内轨向外挤压内轮，以抵消多余部分保证合外力等于向心力．
讨论：
①当火车行驶速率v 等于v 规定时，即v ＝gR tan 时，支持力和重力的合力恰好充当所需的向心力，则内、外轨都不受挤压（此时为临界条件）．
②当火车行驶速率v 大于v 规定时，即v ＞gR tan 时，支持力和重力的合力不足以提供所需向心力，则此时需要外轨提供一部分向心力，即此时外轨受挤压．
③当火车行驶速率小于v 规定时，即v ＜gR tan 时，支持力和重力的合力大于所需的向心力，则此时需要内轨提供一个支持力，即此时内轨受挤压．
同理，由此讨论可知为什么高速公路转弯处路面外侧稍高．
7、竖直平面内圆周运动的临界值问题。 三种模型：“绳、杆、轨道”的区别：
1） “绳”对物体只能产生拉力或不产生力，但不可能产生推力；
2） “杆”对物体既可产生拉力，也可产生推力，还可不产力；
3） “轨道”对物体只能产生推力或不产生力，但不可能产生拉力。
竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动．对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态．下面对这类问题作简要分析．
A ．如图5－6－11和图5－6－12所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
图5－6－11 图5－6－12
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力．
v 2
（1）临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg ＝m v 临＝gR R
注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v 临≠gR
（2）能过最高点的条件：v ≥gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
（3）不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
B ．如图5－6－13所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
图5－6－13
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．
（1）临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高点的临界速度v 临界＝0
（2）图5－6－13(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
①当v ＝0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N ＝mg ．
②当0＜v ＜gR 时，杆对小球的支持力方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：mg ＞F N ＞0 11
③当v ＝gR 时，F N ＝0
④当v ＞gR 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大．
（3）图5－6－13（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：
①当v ＝0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球重力，即F N ＝mg ②当0＜v ＜gr 时，管内壁下侧对球有竖直向上的支持力F N ，大小随速度的增大而减小，取值范围mg ＞F N ＞0 ③当v ＝gr 时，F N ＝0
④当v ＞gr 时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大．
七、超重与失重。
超重和失重及判断方法：我们通常用竖直方向的加速度来判断超重和失重:当物体有竖直向上的加速度时，物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) 大于其重力，此时物体处于超重状态; 当物体有竖直向下的加速度时，物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) 小于其重力，此时物体处于失重状态; 当物体竖直向下的加速度等于重力加速度时，物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) 为零，此时物体处于完全失重状态。
应该注意的是:物体处于超重和失重状态时，其重力是不变的，变化的是物体对水平支持物的压力(或对竖直悬绳的拉力) ，我们把这种力叫做物体的视重。
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