模糊聚类分析的理论

模糊分析的理论、方法与应用研究

摘要：二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。模糊数学作为

一个新兴的数学分支，使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而显示了强大的生命力和渗透力，使数学的应用范围大大扩展。模糊数学自身的理论研究进展迅速；模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，并在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展；模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学以及医药、生物、农业、文体等领域，并取得很好效果。

关键词：模糊数学；应用；模糊评判；模糊聚类。

前言：聚类就是把具有相似性质的事物区分开加以分类。聚类分析就是用

数学方法研究和处理给定对象的分类，“人以群分，物以类聚”，聚类问题是一个古老的问题，是伴随着人类产生和发展不断深化的一个问题。人类要认识世界就必须要区分不同的事物并认识事物间的，聚类就是把具有相似性质的事物区分开加以分类。经典分类学往往是从单因素或有限的几个因素出发，凭经验和专业对事物分类。这种分类具有非此即彼的特性，同一事物归属且仅归属所划定类别中的一类，这种分类的类别界限是清晰的。随着着人们认识的深入，发现这种分类越来越不适用于具有模糊性的分类间题，如把人按身高分为“高个子的人’，“矮个子的人”，“不高不矮的人”。如何判别特定的一个人的类别便产生了经典分类学解决不了的困难。模糊数学的产生为上述软分类提供了数学基础，由此产生了模糊聚类分析。我们把应用普通数学方法进行分类的聚类方法称为普通聚类分析，而把应用模糊数学方法进行分析的聚类分析称为模糊聚类分析。1965年L. A. Zadeh创立了模糊集合论不久，E. H. Ruspinid于1969年引人了模糊划分的概念进行模糊聚类分析。I. Gitman和M. D. Levine提出了单峰模糊集方法用于处理大数据集和复杂分布的聚类。1974年J. C. Bezdek和J. C. Dunn提出了模糊ISODATA聚类方法。随着模糊数学传人我国，模糊聚类分析也传人了我国。其应用领域已包括了天气预报、气象分析、模式识别、生物、医学、化学等诸多领域。

1.模糊理论的产生

1.1模糊数学

1.1.1模糊数学的背景

精确数学是建立在经典集合论的基础之上，一个研究的对象对于某个给定的经典集合的关系要么是属于（记为“”），要么是不属于（记为“”），二者必居其一。19世纪，由于英国数学家布尔（Bool）等人的研究，这种基于二值逻辑的绝对思维方法抽象后成为布尔代数，它的出现促使数理逻辑成为一门很有适用价值的学科，同时也成为计算机科学的基础。但是，二值逻辑无法解决一些逻辑悖论，如著名的罗素（Russell）“理发师悖论”、“秃头悖论”、“克利特岛人说谎悖论”等等悖论问题。

传统数学所赖以存在的基石是普通集合论，是二值逻辑，而它是抛弃了事物的模糊性而抽象出来的，将人脑思维过程绝对化了，数学中普通集合描述的是“非此即彼”的清晰对象，而人脑还要识别那些“亦此亦彼”的模糊现象。日常生活中各种“模糊性”现象比比皆是，逻辑悖论的发现以及海森堡（Heisenberg）测不准原理的提出导致了多值逻辑在20世纪二三十年代的诞生。罗素在说到“所有的二值都习惯上假定使用精确符号，因此它仅适用于虚幻的存在，而不适用于现实生活，逻辑比其他学科使我们更接近于天堂”时就认识到了二值逻辑的不足。波兰逻辑学家卢卡塞维克兹（Lukasiewicz）首次正式提出了三值逻辑体系，把逻辑真值的值域由{0,1}二值扩展到{0,1/2,1}三值，其中1/2表示不确定，后来他又把真值范围从{0,1/2,1}进一步扩展到[0,1]之间的有理数，并最终扩展为[0,1]区间。

1.1.2模糊数学的发展

1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运

算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。

第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性

对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

1.1.3模糊数学的应用

模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

2.模糊理论的基本概念

2.1模糊数学

以数学手段分析与处理模糊性事物的学科。模糊数学是研究和处理模糊性现象的数额学。所谓模糊性，意指客观事物的差异在中介过度时所呈现的“亦此亦彼”的特性。模糊数学中，归属度是建立模糊集合的基础，归属函数是描述模糊性的关键。

2.2模糊集合(Fuzzy Set)

表示界限或边界不明确的特定集合，以特征函数来表示元素与集合间之归属程度，一般特征函数又称为归属函数(membership－function)，其值界于﹝0,1﹞区间。在自然和社会现象中，绝对性、两极化的突变是不存在的，两极化间的差异往往要经由一个“中介过度形式”來表征，即具“亦此亦彼”性

。需要定义集合与集合之间的基本运算和关系，以便日后将模糊集合应用于各种领域之中，所不同的只是因為，绝大多数的事物是无法以明确的二分逻辑法加以切割的。

2.3模糊关系

在人们的实际生活与工作中，模糊性是无法避免的，现实世界存在元素间的关系，并非是简单的“是与否”或“有与无”的关系，而是有着不同程度的关系存在。例如某家庭子女与父母外貌得相似关系，就很难以绝对地“像”与“不像”来表明或定义，只能评论他们“相像”的程度。

3.模糊理论的应用

模糊理论一产生就在数学领域本身及其他领域得到了广泛的应用到世纪年代,已经形成了具有完整体系和鲜明特点的“模糊拓扑学”,框架日趋成熟的“模糊随机数学”,“模糊分析学”,“模糊逻辑理论”以及专著虽少但相关论文却非常丰富的“ 模糊代数理论”等。这些理论的形成与发展极大地丰富和完善了模糊数学的内容。模糊逻辑是模糊理论中的重要研究方向,它的最大成功是其在控制论中的应用。但是,模糊逻辑在理论上的研究还远远不够深人,也没有形成自身独有的理论体系,其研究的思路基本上还是沿着二值逻辑的体系来展开的,所以难免要受到一些学者的怀疑或疑惑。展开这类讨论无论是对模糊逻辑还是对模糊数学本身的发展都是非常有益的,这是模糊逻辑强大生命力的表现,同时也进一步促进这一领域学者从理论上更深人系统地研究相关的论题。模糊技术已渗透到自然科学、社会科学及工程技术的几乎全部领域，像电力、电子、核物理、石油、化工、机械、冶金、能源、材料、交通、医疗、卫生、林业、农业、地质、地理、地震、建筑、水文、气象、环保、管理、法律、教育、心理、体育、军事和历史等领域，都有其成功应用的范例。模糊技术将成为21世纪的核心技术。

4.模糊聚类分析

在科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。

４.１模糊聚类分析的一般步骤

第一步：数据标准化

Ａ.数据矩阵

设论域U{x1,x2,,xn}为被分类对象，每个对象又有m个指标表示其性状，即

xi{xi1,xi2,,xim} (i1,2,n,， 于是，得到原始数据矩阵为

x11

x21



xn1

xxxn2



1222



xm2

。 xnm

m1

x

其中xnm表示第n个分类对象的第m个指标的原始数据。

Ｂ.数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换

 xik

xiksk1

n

ikk

(i1,2,n,k;

1,2m,

其中 xk

x，

n

i1

sk

经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但

还不一定在区间[0,1]上。 是，再用得到的xik

② 平移·极差变换

 xik

xikminx{

1in

ik

}

}maxx{ik

1in

1in

n{mxiik

，(k1,2,,m)

}

1，而且也消除了量纲的影响。 显然有0xik

③ 对数变换

lgxik (i1,2 xik,n,k;

1,2m,

取对数以缩小变量间的数量级。

第二步：标定（建立模糊相似矩阵）

设论域U{x1,x2,,xn}，xi{xi1,xi2,,xim}，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，xi与xj的相似程度rijR(xi,xj)。确定rijR(xi,xj)的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。

Ａ.相似系数法

① 夹角余弦法

m

rij

x

ik

xjk

② 最大最小法

m

rij

(x

k1m

ik

xjk)

。

ik

(x

k1

xjk)

③ 算术平均最小法

m

rij

2(xikxjk)

k1m

。

(x

k1

ik

xjk)

④ 几何平均最小法

m

rij

2(xikx

k1m

jk

)

。



k1

以上3种方法中要求xij0，否则也要做适当变换。 ⑤ 数量积法



rij1

M

1,

m

ij,ij,



k1

xikxjk,

，

其中 Mmax(xikx

ij

k1

m

jk

。)

⑥ 相关系数法

m

rij



xikxixjkxj

，

其中 xi

1m

m

x，x

ik

k1

j



1m

m

x。

jk

k1

⑦ 指数相似系数法

3(xx)

rijexp[ik2jk]，

mk14sk

1

m

2

其中 sk

1

n

ik

(xn

i1

ik)

2

，

而 k

1

n

ik

x n

i1

k(1,2,,m)。

Ｂ.距离法

① 直接距离法

) rij1cd(xi,xj，

其中c为适当选取的参数，使得0rij1，d(xi,xj)表示他们之间的距离。经常用的距离有 ● 海明距离

m

d(x,xj)i● 欧几里得距离



k1

xik

。jk

,xj)

d(xi

m

● 切比雪夫距离

,xj) d(xi

k1

x。ikjk

② 倒数距离法

1,

rijM

,

d(x,x)

ij

ij,ij,

。

其中M为适当选取的参数，使得0rij1。 ③ 指数距离法

(ix,j。) rijexp[dx

第三步：聚类（求动态聚类图）

Ａ.基于模糊等价矩阵聚类方法

① 传递闭包法

根据标定所得的模糊矩阵R还要将其改造称模糊等价矩阵R*。用二次方法求R的传递闭包，即t(R)=R*。再让由大变小，就可形成动态聚类图。 ② 布尔矩阵法[10]

布尔矩阵法的理论依据是下面的定理：

定理2.2.1 设R是U{x1,x2,,xn}上的一个相似的布尔矩阵，则R具有传递性（当R是等价布尔矩阵时）矩阵R在任一排列下的矩阵都没有形如

1

1

1111001,,,的特殊子矩阵。 0011111

布尔矩阵法的具体步骤如下： ① 求模糊相似矩阵的截矩阵R.

② 若R按定理2.2.1判定为等价的，则由R可得U在水平上的分类，若R判定为不等价，则R在某一排列下有上述形式的特殊子矩阵，此时只要将其中特殊子矩阵的0一律改成1直到不再产生上述形式的子矩阵即可。如此得到的R*为等价矩阵。因此，由R*可得水平上的分类

Ｂ.直接聚类法

所谓直接聚类法，是指在建立模糊相似矩阵之后，不去求传递闭包t(R)，也不用布尔矩阵法，而是直接从模糊相似矩阵出发求得聚类图。其步骤如下：

① 取11（最大值），对每个xi作相似类[xi]R，且 [xi]R={xj|rij1}，

即将满足rij1的xi与xj放在一类，构成相似类。相似类与等价类的不同之处是，不同的相似类可能有公共元素，即可出现

[xi]R{xi,xk,[}xi]R{xj,xk},[xi][xj].

此时只要将有公共元素的相似类合并，即可得11水平上的等价分类。 ② 取2为次大值，从R中直接找出相似度为2的元素对(xi,xj)（即

rij2

），将对应于11的等价分类中xi所在的类与xj所在的类合并，将所有的

这些情况合并后，即得到对应于2的等价分类。

③ 取3为第三大值，从R中直接找出相似度为3的元素对(xi,xj)（即

rij3），将对应于2

的等价分类中xi所在的类与xj所在的类合并，将所有的这

些情况合并后，即得到对应于3的等价分类。 ④ 以此类推，直到合并到U成为一类为止。

４.２最佳阈值的确定

在模糊聚类分析中对于各个不同的[0,1]，可得到不同的分类，许多实际问题需要选择某个阈值，确定样本的一个具体分类，这就提出了如何确定阈值

的问题。一般有以下两个方法：

① 按实际需要，在动态聚类图中，调整的值以得到适当的分类，而不需要事先准确地估计好样本应分成几类。当然，也可由具有丰富经验的专家结合专业知识确定阈值，从而得出在水平上的等价分类 ② 用F统计量确定最佳值。[11]

设论域U{x1,x2,,xn}为样本空间（样本总数为n），而每个样本xi有m个特征：xi{xi1,xi2,,xim}，(i1,2,,n)。于是得到原始数据矩阵，如下表所示，其中xk

1

n

ik

x

n

i1

(k1,2,,m)，称为总体样本的中心向量。

设对应于值的分类数为r，第j类的样本数为nj，第j类的样本记为：

(j)(j)(j)

第j类的聚类中心为向量x1,x2,,xnj，

(j)

(1

(j)

,12,

,m)

(j)(j)

，其中k(j)为第

k

个特征的平均值，即

(j)

k

作F统计量



1nj

nj

x

i1

j(ik

)，(k1,2,,m)，

r

n

F

j1r

nj

j

xi

(j)

(j)

(r1)

，

(j)



j1i1

(nr)

其中 (j)



2

为(j)与间的距离，xi(j)(j)为第j类中第i个样本x(j)与其中心(j)间的距离。称为F统计量，它是遵从自由度为r1，nr的F分布。它的分子表征类与类之间的距离，分母表征类内样本间的距离。因此，F值越大，说明类与类之间的距离越大;类与类间的差异越大，分类就越好。

５.基于模糊聚类分析的多属性决策方法的实际应用

聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。

５.１雨量站问题

５.１.１问题的提出

某地区设置有11个雨量站，其分布图见图1，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表1中。现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？

图1 雨量站分布图

５.１.２问题的分析

应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。一个自然的想法是就10年来各雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”（所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。 问题求解 假设为使问题简化，特作如下假设

① 每个观测站具有同等规模及仪器设备； ② 每个观测站的经费开支均等； 具有相同的被裁可能性。

分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原始数据如上。

５.１.３问题的解决

求解步骤：

Ａ、数据的收集

原始数据如表1所示。

Ｂ、建立模糊相似矩阵

利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵(r)1111，其中

n

|(x

rij＝

k1nk1

ik

xi)||(xjkxj)|

n2

2

1

[(xikxi)(xjkxj)]2

k1

其中xi＝

1

110

n

10

x，i＝1，2，„,11。

ik

k1

xj＝

x，j＝1，2，„,11。 n

jk

k1

取i2,j1，代入公式得r21=0.839，由于运算量巨大用C语言编程计算出其余数值，得模糊相似关系矩阵(r)1111，具体程序如下 #include #include

double r[11][11]; double x[11]; void main()

{ int i,j,k; double fenzi=0,fenmu1=0,fenmu2=0,fenmu=0;

int year[10][11]={276,324,159,413,

for(i=0;i

for(i=0;i

292 ,258,311,303,175,243,320,

251 ,287,349,344,310,454,285,451,402,307,470,

192 ,433,290,563,479,502,221,220,320,411,232, 246 ,232,243,281,267,310,273,315,285,327,352, 291,311,502,388 ,330,410,352,267,603,290,292, 466 ,158,224,178,164,203,502,320,240,278,350, 258,327,432 ,401,361,381,301,413,402,199,421, 453,365,357 ,452,384,420,482,228,360,316,252, 158 ,271,410,308,283,410,201,179,430,342,185, 324,406,235,520 ,442,520,358,343,251,282,371};

{ x[i]=x[i]+year[k][i];}

x[i]=x[i]/10;

{ fenzi=fenzi+fabs((year[k][i]-x[i])*(year[k][j]-x[j])); fenmu1=fenmu1+(year[k][i]-x[i])*(year[k][i]-x[i]);

fenmu2=fenmu2+(year[k][j]-x[j])*(year[k][j]-x[j]);

fenmu=sqrt(fenmu1)*sqrt(fenmu2); }

fenmu=fenmu1=fenmu2=fenzi=0; }}

for(i=0;i

得到模糊相似矩阵R

1.000 0.839 0.528 0.844 0.828 0.702 0.995 0.671 0.431 0.573 0.712 0.839 1.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.572 0.528 0.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.568 0.844 0.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.607 0.828 0.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.584 0.702 0.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.511 0.995 0.855 0.571 0.861 0.843 0.726 1.000 0.676 0.489 0.587 0.719 0.671 0.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.676 1.000 0.467 0.678 0.994 0.431 0.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.485 0.573 0.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.688 0.712 0.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.688 1.000

对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求R2R4:R4 即

t(R)RR

4

*

r[i][j]=fenzi/fenmu;

{ for(j=0;j

printf(

。

Ｃ、聚类

注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵

1.000

0.861

0.697

0.8610.861*

R0.861

0.994

0.719

0.697

0.688

0.719

10.6970.9960.9960.9950.8610.7190.6970.6880.719

10.6970.6970.6970.6970.6970.9620.6880.697

10.9920.9220.8610.7190.6970.6880.719

10.9220.8610.7190.6970.6880.719

10.8610.7190.6970.6880.719

10.7190.6970.6880.719

10.6760.6880.688

10.6970.697

10.688

1

取＝0.996，则

1

1

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 1

R0.996

*

x2,x4,x5在置信水平为0.996的阈值下相似度为1，故x2,x4,x5同属一类，所以

此时可以将观测站分为9类{x2,x4，x5},{x1}，{x3}，{x6},{x7},{x8}，{x9}，{x10},{x11}。

降低置信水平，对不同的作同样分析，得到：

＝0.995时，可分为8类，即{x2,x4，x5,x6},{x1}，{x3},{x7},{x8}，{x9}，

{x10},{x11}。

=0.994时，可分为7类{x2,x4，x5,x6},{x1,x7}，{x3} ,{x8}，{x9}，

{x10},{x11}。

=0.962时，可分为6类{x2,x4，x5,x6},{x1,x7}，{x3，x9} ,{x8}，

{x10},{x11}。

＝0.719时，可分为5类{x2,x4，{x3，,{x8，

x5,x6},{x1,x7}，x9} x11},{x10}。

６

模糊分析的理论、方法与应用研究

摘要：二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。模糊数学作为

一个新兴的数学分支，使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而显示了强大的生命力和渗透力，使数学的应用范围大大扩展。模糊数学自身的理论研究进展迅速；模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，并在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展；模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学以及医药、生物、农业、文体等领域，并取得很好效果。

关键词：模糊数学；应用；模糊评判；模糊聚类。

前言：聚类就是把具有相似性质的事物区分开加以分类。聚类分析就是用

数学方法研究和处理给定对象的分类，“人以群分，物以类聚”，聚类问题是一个古老的问题，是伴随着人类产生和发展不断深化的一个问题。人类要认识世界就必须要区分不同的事物并认识事物间的，聚类就是把具有相似性质的事物区分开加以分类。经典分类学往往是从单因素或有限的几个因素出发，凭经验和专业对事物分类。这种分类具有非此即彼的特性，同一事物归属且仅归属所划定类别中的一类，这种分类的类别界限是清晰的。随着着人们认识的深入，发现这种分类越来越不适用于具有模糊性的分类间题，如把人按身高分为“高个子的人’，“矮个子的人”，“不高不矮的人”。如何判别特定的一个人的类别便产生了经典分类学解决不了的困难。模糊数学的产生为上述软分类提供了数学基础，由此产生了模糊聚类分析。我们把应用普通数学方法进行分类的聚类方法称为普通聚类分析，而把应用模糊数学方法进行分析的聚类分析称为模糊聚类分析。1965年L. A. Zadeh创立了模糊集合论不久，E. H. Ruspinid于1969年引人了模糊划分的概念进行模糊聚类分析。I. Gitman和M. D. Levine提出了单峰模糊集方法用于处理大数据集和复杂分布的聚类。1974年J. C. Bezdek和J. C. Dunn提出了模糊ISODATA聚类方法。随着模糊数学传人我国，模糊聚类分析也传人了我国。其应用领域已包括了天气预报、气象分析、模式识别、生物、医学、化学等诸多领域。

1.模糊理论的产生

1.1模糊数学

1.1.1模糊数学的背景

精确数学是建立在经典集合论的基础之上，一个研究的对象对于某个给定的经典集合的关系要么是属于（记为“”），要么是不属于（记为“”），二者必居其一。19世纪，由于英国数学家布尔（Bool）等人的研究，这种基于二值逻辑的绝对思维方法抽象后成为布尔代数，它的出现促使数理逻辑成为一门很有适用价值的学科，同时也成为计算机科学的基础。但是，二值逻辑无法解决一些逻辑悖论，如著名的罗素（Russell）“理发师悖论”、“秃头悖论”、“克利特岛人说谎悖论”等等悖论问题。

传统数学所赖以存在的基石是普通集合论，是二值逻辑，而它是抛弃了事物的模糊性而抽象出来的，将人脑思维过程绝对化了，数学中普通集合描述的是“非此即彼”的清晰对象，而人脑还要识别那些“亦此亦彼”的模糊现象。日常生活中各种“模糊性”现象比比皆是，逻辑悖论的发现以及海森堡（Heisenberg）测不准原理的提出导致了多值逻辑在20世纪二三十年代的诞生。罗素在说到“所有的二值都习惯上假定使用精确符号，因此它仅适用于虚幻的存在，而不适用于现实生活，逻辑比其他学科使我们更接近于天堂”时就认识到了二值逻辑的不足。波兰逻辑学家卢卡塞维克兹（Lukasiewicz）首次正式提出了三值逻辑体系，把逻辑真值的值域由{0,1}二值扩展到{0,1/2,1}三值，其中1/2表示不确定，后来他又把真值范围从{0,1/2,1}进一步扩展到[0,1]之间的有理数，并最终扩展为[0,1]区间。

1.1.2模糊数学的发展

1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运

算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。

第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性

对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

1.1.3模糊数学的应用

模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

2.模糊理论的基本概念

2.1模糊数学

以数学手段分析与处理模糊性事物的学科。模糊数学是研究和处理模糊性现象的数额学。所谓模糊性，意指客观事物的差异在中介过度时所呈现的“亦此亦彼”的特性。模糊数学中，归属度是建立模糊集合的基础，归属函数是描述模糊性的关键。

2.2模糊集合(Fuzzy Set)

表示界限或边界不明确的特定集合，以特征函数来表示元素与集合间之归属程度，一般特征函数又称为归属函数(membership－function)，其值界于﹝0,1﹞区间。在自然和社会现象中，绝对性、两极化的突变是不存在的，两极化间的差异往往要经由一个“中介过度形式”來表征，即具“亦此亦彼”性

。需要定义集合与集合之间的基本运算和关系，以便日后将模糊集合应用于各种领域之中，所不同的只是因為，绝大多数的事物是无法以明确的二分逻辑法加以切割的。

2.3模糊关系

在人们的实际生活与工作中，模糊性是无法避免的，现实世界存在元素间的关系，并非是简单的“是与否”或“有与无”的关系，而是有着不同程度的关系存在。例如某家庭子女与父母外貌得相似关系，就很难以绝对地“像”与“不像”来表明或定义，只能评论他们“相像”的程度。

3.模糊理论的应用

模糊理论一产生就在数学领域本身及其他领域得到了广泛的应用到世纪年代,已经形成了具有完整体系和鲜明特点的“模糊拓扑学”,框架日趋成熟的“模糊随机数学”,“模糊分析学”,“模糊逻辑理论”以及专著虽少但相关论文却非常丰富的“ 模糊代数理论”等。这些理论的形成与发展极大地丰富和完善了模糊数学的内容。模糊逻辑是模糊理论中的重要研究方向,它的最大成功是其在控制论中的应用。但是,模糊逻辑在理论上的研究还远远不够深人,也没有形成自身独有的理论体系,其研究的思路基本上还是沿着二值逻辑的体系来展开的,所以难免要受到一些学者的怀疑或疑惑。展开这类讨论无论是对模糊逻辑还是对模糊数学本身的发展都是非常有益的,这是模糊逻辑强大生命力的表现,同时也进一步促进这一领域学者从理论上更深人系统地研究相关的论题。模糊技术已渗透到自然科学、社会科学及工程技术的几乎全部领域，像电力、电子、核物理、石油、化工、机械、冶金、能源、材料、交通、医疗、卫生、林业、农业、地质、地理、地震、建筑、水文、气象、环保、管理、法律、教育、心理、体育、军事和历史等领域，都有其成功应用的范例。模糊技术将成为21世纪的核心技术。

4.模糊聚类分析

在科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。

４.１模糊聚类分析的一般步骤

第一步：数据标准化

Ａ.数据矩阵

设论域U{x1,x2,,xn}为被分类对象，每个对象又有m个指标表示其性状，即

xi{xi1,xi2,,xim} (i1,2,n,， 于是，得到原始数据矩阵为

x11

x21



xn1

xxxn2



1222



xm2

。 xnm

m1

x

其中xnm表示第n个分类对象的第m个指标的原始数据。

Ｂ.数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换

 xik

xiksk1

n

ikk

(i1,2,n,k;

1,2m,

其中 xk

x，

n

i1

sk

经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但

还不一定在区间[0,1]上。 是，再用得到的xik

② 平移·极差变换

 xik

xikminx{

1in

ik

}

}maxx{ik

1in

1in

n{mxiik

，(k1,2,,m)

}

1，而且也消除了量纲的影响。 显然有0xik

③ 对数变换

lgxik (i1,2 xik,n,k;

1,2m,

取对数以缩小变量间的数量级。

第二步：标定（建立模糊相似矩阵）

设论域U{x1,x2,,xn}，xi{xi1,xi2,,xim}，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，xi与xj的相似程度rijR(xi,xj)。确定rijR(xi,xj)的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。

Ａ.相似系数法

① 夹角余弦法

m

rij

x

ik

xjk

② 最大最小法

m

rij

(x

k1m

ik

xjk)

。

ik

(x

k1

xjk)

③ 算术平均最小法

m

rij

2(xikxjk)

k1m

。

(x

k1

ik

xjk)

④ 几何平均最小法

m

rij

2(xikx

k1m

jk

)

。



k1

以上3种方法中要求xij0，否则也要做适当变换。 ⑤ 数量积法



rij1

M

1,

m

ij,ij,



k1

xikxjk,

，

其中 Mmax(xikx

ij

k1

m

jk

。)

⑥ 相关系数法

m

rij



xikxixjkxj

，

其中 xi

1m

m

x，x

ik

k1

j



1m

m

x。

jk

k1

⑦ 指数相似系数法

3(xx)

rijexp[ik2jk]，

mk14sk

1

m

2

其中 sk

1

n

ik

(xn

i1

ik)

2

，

而 k

1

n

ik

x n

i1

k(1,2,,m)。

Ｂ.距离法

① 直接距离法

) rij1cd(xi,xj，

其中c为适当选取的参数，使得0rij1，d(xi,xj)表示他们之间的距离。经常用的距离有 ● 海明距离

m

d(x,xj)i● 欧几里得距离



k1

xik

。jk

,xj)

d(xi

m

● 切比雪夫距离

,xj) d(xi

k1

x。ikjk

② 倒数距离法

1,

rijM

,

d(x,x)

ij

ij,ij,

。

其中M为适当选取的参数，使得0rij1。 ③ 指数距离法

(ix,j。) rijexp[dx

第三步：聚类（求动态聚类图）

Ａ.基于模糊等价矩阵聚类方法

① 传递闭包法

根据标定所得的模糊矩阵R还要将其改造称模糊等价矩阵R*。用二次方法求R的传递闭包，即t(R)=R*。再让由大变小，就可形成动态聚类图。 ② 布尔矩阵法[10]

布尔矩阵法的理论依据是下面的定理：

定理2.2.1 设R是U{x1,x2,,xn}上的一个相似的布尔矩阵，则R具有传递性（当R是等价布尔矩阵时）矩阵R在任一排列下的矩阵都没有形如

1

1

1111001,,,的特殊子矩阵。 0011111

布尔矩阵法的具体步骤如下： ① 求模糊相似矩阵的截矩阵R.

② 若R按定理2.2.1判定为等价的，则由R可得U在水平上的分类，若R判定为不等价，则R在某一排列下有上述形式的特殊子矩阵，此时只要将其中特殊子矩阵的0一律改成1直到不再产生上述形式的子矩阵即可。如此得到的R*为等价矩阵。因此，由R*可得水平上的分类

Ｂ.直接聚类法

所谓直接聚类法，是指在建立模糊相似矩阵之后，不去求传递闭包t(R)，也不用布尔矩阵法，而是直接从模糊相似矩阵出发求得聚类图。其步骤如下：

① 取11（最大值），对每个xi作相似类[xi]R，且 [xi]R={xj|rij1}，

即将满足rij1的xi与xj放在一类，构成相似类。相似类与等价类的不同之处是，不同的相似类可能有公共元素，即可出现

[xi]R{xi,xk,[}xi]R{xj,xk},[xi][xj].

此时只要将有公共元素的相似类合并，即可得11水平上的等价分类。 ② 取2为次大值，从R中直接找出相似度为2的元素对(xi,xj)（即

rij2

），将对应于11的等价分类中xi所在的类与xj所在的类合并，将所有的

这些情况合并后，即得到对应于2的等价分类。

③ 取3为第三大值，从R中直接找出相似度为3的元素对(xi,xj)（即

rij3），将对应于2

的等价分类中xi所在的类与xj所在的类合并，将所有的这

些情况合并后，即得到对应于3的等价分类。 ④ 以此类推，直到合并到U成为一类为止。

４.２最佳阈值的确定

在模糊聚类分析中对于各个不同的[0,1]，可得到不同的分类，许多实际问题需要选择某个阈值，确定样本的一个具体分类，这就提出了如何确定阈值

的问题。一般有以下两个方法：

① 按实际需要，在动态聚类图中，调整的值以得到适当的分类，而不需要事先准确地估计好样本应分成几类。当然，也可由具有丰富经验的专家结合专业知识确定阈值，从而得出在水平上的等价分类 ② 用F统计量确定最佳值。[11]

设论域U{x1,x2,,xn}为样本空间（样本总数为n），而每个样本xi有m个特征：xi{xi1,xi2,,xim}，(i1,2,,n)。于是得到原始数据矩阵，如下表所示，其中xk

1

n

ik

x

n

i1

(k1,2,,m)，称为总体样本的中心向量。

设对应于值的分类数为r，第j类的样本数为nj，第j类的样本记为：

(j)(j)(j)

第j类的聚类中心为向量x1,x2,,xnj，

(j)

(1

(j)

,12,

,m)

(j)(j)

，其中k(j)为第

k

个特征的平均值，即

(j)

k

作F统计量



1nj

nj

x

i1

j(ik

)，(k1,2,,m)，

r

n

F

j1r

nj

j

xi

(j)

(j)

(r1)

，

(j)



j1i1

(nr)

其中 (j)



2

为(j)与间的距离，xi(j)(j)为第j类中第i个样本x(j)与其中心(j)间的距离。称为F统计量，它是遵从自由度为r1，nr的F分布。它的分子表征类与类之间的距离，分母表征类内样本间的距离。因此，F值越大，说明类与类之间的距离越大;类与类间的差异越大，分类就越好。

５.基于模糊聚类分析的多属性决策方法的实际应用

聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。

５.１雨量站问题

５.１.１问题的提出

某地区设置有11个雨量站，其分布图见图1，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表1中。现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？

图1 雨量站分布图

５.１.２问题的分析

应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。一个自然的想法是就10年来各雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”（所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。 问题求解 假设为使问题简化，特作如下假设

① 每个观测站具有同等规模及仪器设备； ② 每个观测站的经费开支均等； 具有相同的被裁可能性。

分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原始数据如上。

５.１.３问题的解决

求解步骤：

Ａ、数据的收集

原始数据如表1所示。

Ｂ、建立模糊相似矩阵

利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵(r)1111，其中

n

|(x

rij＝

k1nk1

ik

xi)||(xjkxj)|

n2

2

1

[(xikxi)(xjkxj)]2

k1

其中xi＝

1

110

n

10

x，i＝1，2，„,11。

ik

k1

xj＝

x，j＝1，2，„,11。 n

jk

k1

取i2,j1，代入公式得r21=0.839，由于运算量巨大用C语言编程计算出其余数值，得模糊相似关系矩阵(r)1111，具体程序如下 #include #include

double r[11][11]; double x[11]; void main()

{ int i,j,k; double fenzi=0,fenmu1=0,fenmu2=0,fenmu=0;

int year[10][11]={276,324,159,413,

for(i=0;i

for(i=0;i

292 ,258,311,303,175,243,320,

251 ,287,349,344,310,454,285,451,402,307,470,

192 ,433,290,563,479,502,221,220,320,411,232, 246 ,232,243,281,267,310,273,315,285,327,352, 291,311,502,388 ,330,410,352,267,603,290,292, 466 ,158,224,178,164,203,502,320,240,278,350, 258,327,432 ,401,361,381,301,413,402,199,421, 453,365,357 ,452,384,420,482,228,360,316,252, 158 ,271,410,308,283,410,201,179,430,342,185, 324,406,235,520 ,442,520,358,343,251,282,371};

{ x[i]=x[i]+year[k][i];}

x[i]=x[i]/10;

{ fenzi=fenzi+fabs((year[k][i]-x[i])*(year[k][j]-x[j])); fenmu1=fenmu1+(year[k][i]-x[i])*(year[k][i]-x[i]);

fenmu2=fenmu2+(year[k][j]-x[j])*(year[k][j]-x[j]);

fenmu=sqrt(fenmu1)*sqrt(fenmu2); }

fenmu=fenmu1=fenmu2=fenzi=0; }}

for(i=0;i

得到模糊相似矩阵R

1.000 0.839 0.528 0.844 0.828 0.702 0.995 0.671 0.431 0.573 0.712 0.839 1.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.572 0.528 0.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.568 0.844 0.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.607 0.828 0.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.584 0.702 0.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.511 0.995 0.855 0.571 0.861 0.843 0.726 1.000 0.676 0.489 0.587 0.719 0.671 0.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.676 1.000 0.467 0.678 0.994 0.431 0.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.485 0.573 0.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.688 0.712 0.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.688 1.000

对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求R2R4:R4 即

t(R)RR

4

*

r[i][j]=fenzi/fenmu;

{ for(j=0;j

printf(

。

Ｃ、聚类

注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵

1.000

0.861

0.697

0.8610.861*

R0.861

0.994

0.719

0.697

0.688

0.719

10.6970.9960.9960.9950.8610.7190.6970.6880.719

10.6970.6970.6970.6970.6970.9620.6880.697

10.9920.9220.8610.7190.6970.6880.719

10.9220.8610.7190.6970.6880.719

10.8610.7190.6970.6880.719

10.7190.6970.6880.719

10.6760.6880.688

10.6970.697

10.688

1

取＝0.996，则

1

1

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 1

R0.996

*

x2,x4,x5在置信水平为0.996的阈值下相似度为1，故x2,x4,x5同属一类，所以

此时可以将观测站分为9类{x2,x4，x5},{x1}，{x3}，{x6},{x7},{x8}，{x9}，{x10},{x11}。

降低置信水平，对不同的作同样分析，得到：

＝0.995时，可分为8类，即{x2,x4，x5,x6},{x1}，{x3},{x7},{x8}，{x9}，

{x10},{x11}。

=0.994时，可分为7类{x2,x4，x5,x6},{x1,x7}，{x3} ,{x8}，{x9}，

{x10},{x11}。

=0.962时，可分为6类{x2,x4，x5,x6},{x1,x7}，{x3，x9} ,{x8}，

{x10},{x11}。

＝0.719时，可分为5类{x2,x4，{x3，,{x8，

x5,x6},{x1,x7}，x9} x11},{x10}。

６