矩阵分块法

§4 矩阵分块法

例 设

可按以下方式分块，每块均为小矩阵：

， ， ，

则

矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。

矩阵分块法的运算性质：

1． 加法：

设 ， ，

则

2． 数乘： 。

设

3． 乘法： ， 是数，则 。

设 ， ，则

其中

4． 转置： ， ， ， 。

设 ，则 。

5 ．对角分块的性质：

设

。 ，其中 均为方阵，则

若 可逆，则 。

例 。求 。

解 设 ， ，则

， ，则

例 设 ， 为可逆方阵，求

解 设 ，则由 得

，其中 ，

按乘法规则，得

解得： ， ， ，

故 。

几个矩阵分块的应用：

1． 矩阵按行分块：

。

设 ，记

则

矩阵按列分块：

记 ，

则 。

2． 线性方程组的表示：

设

若记 ，

则线性方程组可表示为 。 ， ，

若记 ，则线性方程组可表示为 或 。 若记 ，则线性方程组可表示为

。 或

3． 矩阵相乘的表示：

设 ， ，则 。 设

是 矩阵，， 是 ， ，则 是 。 ，其中

4． 对角阵与矩阵相乘：

，

。

§4 矩阵分块法

例 设

可按以下方式分块，每块均为小矩阵：

， ， ，

则

矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。

矩阵分块法的运算性质：

1． 加法：

设 ， ，

则

2． 数乘： 。

设

3． 乘法： ， 是数，则 。

设 ， ，则

其中

4． 转置： ， ， ， 。

设 ，则 。

5 ．对角分块的性质：

设

。 ，其中 均为方阵，则

若 可逆，则 。

例 。求 。

解 设 ， ，则

， ，则

例 设 ， 为可逆方阵，求

解 设 ，则由 得

，其中 ，

按乘法规则，得

解得： ， ， ，

故 。

几个矩阵分块的应用：

1． 矩阵按行分块：

。

设 ，记

则

矩阵按列分块：

记 ，

则 。

2． 线性方程组的表示：

设

若记 ，

则线性方程组可表示为 。 ， ，

若记 ，则线性方程组可表示为 或 。 若记 ，则线性方程组可表示为

。 或

3． 矩阵相乘的表示：

设 ， ，则 。 设

是 矩阵，， 是 ， ，则 是 。 ，其中

4． 对角阵与矩阵相乘：

，

。


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