2014届高三上学期第三次月考试卷数学文
(时量：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.
1. 下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A ．y =e x
2
B ．y =-x 3
C ．y =sin2x D ．y =-ln x
2. 下列命题中，假命题为( ) A ．∀x ∈R, x +x +1>0 B ．存在四边相等的四边形不是正方形 ．
C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1 D ．a ＋b ＝0的充要条件是＝－1
3. 执行下面的框图, 若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为
a
b
A ．1 B．2
C ．3
D ．4
4. 如图,
的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面 积中最大的是 A ．1
B
C ．2
D
．
5. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
1
y =-x 3+81x -234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
3
A.9万件 B.11万件 C.12万件 D.13万件 6. 下面关于复数z =
2
的四个结论，正确的是 -1+i
2
1+i ④z 的虚部为-1 ①z =2 ②z =2i ③z 的共轭复数为
A ．①② B．②③ C．②④ D．③④
2
2
7. 若直线l :y =kx +1被圆C :x +y -2x -3=0截得的弦最短，则直线l 的方程是
A. x =0 B. y =1 C.x +y -1=0 D. x -y +1=0
8. 已知非负实数a , b 满足a +b ≤1, 则关于x 的一元二次方程x +ax +b =0有实根的概 率是
2
2
1112 B. C. D. 3263
9. 已知∆ABC 是边长为2的正三角形, B 为线段EF 的中点, 且EF =3, 则
A.
AB ⋅AE +AC ⋅AF 的取值范围是
A. [0, 3] B. [3, 6] C. [6, 9] D. [3, 9]
答案：BDCBA CDAD
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
10. 为了研究性别不同的高中学生是否爱好某项运动, 运用2⨯2列联表进行独立性检验, 经 计算K =7. 8, 则所得到的统计学结论是:有______的把握认为“爱好该项运动与性别 有关”. 附:
2
11. 在直角坐标系xOy 中, 以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线C 1的参数方程为⎨
⎧x =
π⎫⎪⎛
（t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为2ρsin θ-⎪=3，则C 1与
4⎝⎭⎪⎩y =t +1
C 2交点在直角坐标系中的坐标为___________.
12. 在∆ABC 中，若a =2, ∠B =60︒, b =
BC 边上的高等于 .
x 2y 2
13. 已知双曲线-2=1的右焦点到其渐进线的距离为22, 则此双曲线的离心率为
m m +4
__________.
14. 设集合A =(x , y )|y ≥x -1, B =(x , y )|y ≤-x +a , A B ≠￠. （Ⅰ）实数a 的取值范围是 ；
（Ⅱ）当a =3时，若(x ，y ) ∈A B ，则2x +y 的最大值是 ．
15已知集合A ={a 1, a 2, , a n }, 其中a i ∈R (1≤i ≤n , n >2), l (A ) 表示和
{}{}
a i +a j (1≤i
（Ⅰ）若集合A ={2, 4, 8, 16}, 则l (A ) =________； （Ⅱ）当n =108时，l (A ) 的最小值为____________. 答案：10. 99﹪11. (2
, 5) 14.（Ⅰ）[1, +∞)（Ⅱ）5 15. （Ⅰ）6（Ⅱ）213.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数f (x ) =A sin ωx -间的距离为
⎛⎝
π⎫
其图像相邻两条对称轴之⎪+1(A >0, ω>0)的最大值为3，
6⎭
π. 2
⎛π⎫⎛α⎫11
⎪, f ⎪=，求cos α的值． ⎝2⎭⎝2⎭5
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式； （Ⅱ）设α∈ 0,
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，
π
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，
2π
故函数f(x)的解析式为y ＝2sin(2x＋1. 6分
6
π⎫π⎫311⎛α⎛⎛(2)∵f ＝2sin α－⎪＋1＝，即sin α－⎪＝， 6⎭6⎭5⎝2⎭⎝⎝5ππππ
∵0
2663∴cos α-
⎛⎝
π⎫
⎡⎛4π⎫π⎤4-3
. ⎪=, 所以cos α=cos ⎢ α-⎪+⎥=
6⎭56610⎝⎭⎣⎦
12分
17. (本小题满分12分)
中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒 后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量, 单 位是毫克/100毫升), 当20≤Q ≤80时, 为“酒后驾车”；当Q >80时, 为“醉酒驾车”. 某市公安局交通管理部门于2013年11月的某天晚上8点至11点在该市区解放路某处设点 进行一次拦查行动, 共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者, 如图为这60名驾驶员抽 血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q ≥140的人数计入120≤Q
(Ⅰ)求此次拦查中“醉酒驾车”的人数；
（Ⅱ）从违法驾车的60人中按“酒后驾车”和“醉酒驾车”利用分层抽样抽取8人做样本
进行研究, 再从抽取的8人中任取2人, 求2人中其中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”的概率.
解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,
所以此次拦查中“醉酒驾车”的人数为15人. 6分 （Ⅱ）由分层抽样方法可知抽取的8人中“酒后驾车”的有6人，记为A i (i =1, 2, , 6) , “醉酒驾车”的有2人，记为B j (j =1, 2) . 9分 所以从8人中任取2人共有(A 1A 2), (A 1A 3) 等7+6+5+4+3+2+1=28种，2人中其 中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”共有(A 1B 1), (A 1B 2), (A 2, B 1) 等6⨯2=12
种，
因此所求的概率为P =
6⨯23
= 12分 287
18.(本小题满分12分)
已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点． (Ⅰ) 求异面直线CC 1和AB 的距离；
(Ⅱ) 若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －B 1的平面角的余弦值．
解：(1)因AC ＝BC ，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .
22
又直三棱柱中，CC 1⊥面ABC ，故CC 1⊥CD ，所以异面直线CC 1和AB 的距离为CD BC －BD ＝5. 5分
(2)由CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，从而CD ⊥DA 1，CD ⊥DB 1，故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1－CD －B 1的平面角． 8分
又CD ⊥AB 1，AB 1⊥A 1C ，所以AB 1⊥平面A 1DC , 从而AB 1 A 1D , 从而∠A 1AB 1，∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此
AA 1A 1B 12
，得AA 1＝AD AA 1
22
AD ·A 1B 1＝8. 从而A 1D AA 1＋AD ＝23，B 1D ＝A 1D ＝3，
2
A 1D 2＋DB 11－A 1B 1
所以在△A 1DB 1中，由余弦定理得cos ∠A 1DB 1＝. 12分
2·A 1D ·DB 13
19.(本小题满分13分
)
设S n 为数列{a n 的前n 项和，且有
}
S 1=a , S n +S n -1=3n 2, n =2, 3, 4,
(Ⅰ) 求数列{a n 的通项公式；
(Ⅱ) 若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.
解(Ⅰ) 当n ≥2时，由已知S n +S n -1=3n „ ① 于是S n +1+S n =3(n +1) „② 由②－①得a n +1+a n =6n +3 „„ ③ 于是a n +2+a n +1=6n +9 „„ ④ 由④－③得a n +2-a n =6 „„ ⑤
上式表明：数列{a 2k }和{a 2k +1}分别是以a 2，a 3为首项，6为公差的等差数列. 4分 又由①有S 2+S 1=12，所以a 2=12-2a ,
由③有a 3+a 2=15，a 4+a 3=21，所以a 3=3+2a ，a 4=18-2a ． 所以a 2k =a 2+6(k -1) =12-2a +6(k -1)k ∈N
2
2
}
(
*
)，
a 1=a , a 2k +1=a 3+6(k -1) =3+2a +6(k -1)(k ∈N *). 8分
(Ⅱ) 数列{a n }是单调递增数列⇔a 1
⇔a 1
所以a 的取值范围是
915
915
20.(本小题满分13分)
已知a ∈R ，函数f (x ) =
x (x -a ).
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的单调区间；
(Ⅱ) 求函数f (x ) 在区间[1, 2]上的最小值. 解(Ⅰ) 函数的定义域为[0, +∞) .
f '(x ) =
x -a 2x
+x =
3x -a 2x
①当a ≤0时, f '(x ) >0(x ≠0) ，所以f (x ) 在[0, +∞) 上为增函数.
②当a >0时，当0≤x
a 3时, f '(x ) a
3
时, f '(x ) >0. 故f (x ) 在[0, a a
3) 上为减函数, 在[3
, +∞) 上为增函数. 6分(Ⅱ)(1)当a ≤0时，由(Ⅰ) 知 f (x ) 在[1, 2]上为增函数, 所以, f m in =f (1) =1-a ；(2) 当a >0时， ①当a ≥6时，2≤
a
3
， 由(Ⅰ) 知 f (x ) 在[1, 2]上为减函数, 所以, f m in =f (2) =2(2-a )；
②当3
a
3
3
, 2]上为增函数, 所以, f a 2a a min =f (3) =-
3 ③当0
a
3
≤1， 由(Ⅰ) 知 f (x ) 在[1, 2]上为增函数, 所以, f m in =f (1) =1-a ； 综上所述，
⎧⎪
1-a , 当a ≤3时f min
=⎪⎨-2a a , 当3
⎪
3⎪⎩
2(2-a ), 当a ≥6时
21.(本小题满分13分)
已知曲线C 1上任意一点M 到直线l :x =4的距离是它到点F (1, 0)距离的2倍；曲线C 2是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. (Ⅰ) 求C 1, C 2的方程；
(Ⅱ) 过F 作两条互相垂直的直线l 1, l 2, 其中l 1与C 1相交于点A , B , l 2与C 2相交于点C , D , 求四边形ACBD 面积的取值范围.
x 2y 2
解(Ⅰ) 设M (x , y ) ，则由题意有2x -1+y =x -4, 化简得:+=1.
43
2
2
x 2y 2
故C 1的方程为+=1，易知C 2的方程为y 2=4x . 4分
43
(Ⅱ) 由题意可设l 2的方程为x =ky +1, 代入y =4x 得y -4ky -4=0, 设C (x 1, y 1), D (x 2, y 2), 则y 1+y 2=4k ,
所以CD =CF +DF =x 1+1+x 2+1=k (y 1+y 2) +4=4(k +1) . 7分
2
22
x 2y 2
因为l 1⊥l 2, 故可设l 1的方程为y =-k (x -1) , 代入+=1得
43
8k 2
(4k +3)x -8k x +4k -12=0, 设A (x 3, y 3), B (x 4, y 4), 则x 3+x 4=2,
4k +3
2
2
2
2
11112k 2+1
所以AB =AF +BF =(4-x 3)+(4-x 4)=4-(x 3+x 4)=. 10分 2
2224k +3
故四边形ACBD 的面积为
()
124k 2+1
S =AB ⋅CD =
24k 2+3
2
()
2
24t 23⎛11⎫3⎛⎫
== 4t -1++2⎪= s ++2⎪ 4t -12⎝4t -1s ⎭2⎝⎭
(其中t =k +1≥1, s =4t -1≥3)
11s 2-1
>0，故f (s ) 在[3，+∞)单调递增，因此 设f (s ) =s +(s ≥3), 则f '(s ) =1-2=
s s s 2S =
3⎛11⎫3⎛⎫
s ++2⎪≥ 3++2⎪=8, 当且仅当s =3即k =0等号成立. 2⎝s 3⎭2⎝⎭
故四边形ACBD 面积的取值范围为[8, +∞). 13分
2014届高三上学期第三次月考试卷数学文
(时量：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.
1. 下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A ．y =e x
2
B ．y =-x 3
C ．y =sin2x D ．y =-ln x
2. 下列命题中，假命题为( ) A ．∀x ∈R, x +x +1>0 B ．存在四边相等的四边形不是正方形 ．
C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1 D ．a ＋b ＝0的充要条件是＝－1
3. 执行下面的框图, 若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为
a
b
A ．1 B．2
C ．3
D ．4
4. 如图,
的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面 积中最大的是 A ．1
B
C ．2
D
．
5. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
1
y =-x 3+81x -234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
3
A.9万件 B.11万件 C.12万件 D.13万件 6. 下面关于复数z =
2
的四个结论，正确的是 -1+i
2
1+i ④z 的虚部为-1 ①z =2 ②z =2i ③z 的共轭复数为
A ．①② B．②③ C．②④ D．③④
2
2
7. 若直线l :y =kx +1被圆C :x +y -2x -3=0截得的弦最短，则直线l 的方程是
A. x =0 B. y =1 C.x +y -1=0 D. x -y +1=0
8. 已知非负实数a , b 满足a +b ≤1, 则关于x 的一元二次方程x +ax +b =0有实根的概 率是
2
2
1112 B. C. D. 3263
9. 已知∆ABC 是边长为2的正三角形, B 为线段EF 的中点, 且EF =3, 则
A.
AB ⋅AE +AC ⋅AF 的取值范围是
A. [0, 3] B. [3, 6] C. [6, 9] D. [3, 9]
答案：BDCBA CDAD
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
10. 为了研究性别不同的高中学生是否爱好某项运动, 运用2⨯2列联表进行独立性检验, 经 计算K =7. 8, 则所得到的统计学结论是:有______的把握认为“爱好该项运动与性别 有关”. 附:
2
11. 在直角坐标系xOy 中, 以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线C 1的参数方程为⎨
⎧x =
π⎫⎪⎛
（t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为2ρsin θ-⎪=3，则C 1与
4⎝⎭⎪⎩y =t +1
C 2交点在直角坐标系中的坐标为___________.
12. 在∆ABC 中，若a =2, ∠B =60︒, b =
BC 边上的高等于 .
x 2y 2
13. 已知双曲线-2=1的右焦点到其渐进线的距离为22, 则此双曲线的离心率为
m m +4
__________.
14. 设集合A =(x , y )|y ≥x -1, B =(x , y )|y ≤-x +a , A B ≠￠. （Ⅰ）实数a 的取值范围是 ；
（Ⅱ）当a =3时，若(x ，y ) ∈A B ，则2x +y 的最大值是 ．
15已知集合A ={a 1, a 2, , a n }, 其中a i ∈R (1≤i ≤n , n >2), l (A ) 表示和
{}{}
a i +a j (1≤i
（Ⅰ）若集合A ={2, 4, 8, 16}, 则l (A ) =________； （Ⅱ）当n =108时，l (A ) 的最小值为____________. 答案：10. 99﹪11. (2
, 5) 14.（Ⅰ）[1, +∞)（Ⅱ）5 15. （Ⅰ）6（Ⅱ）213.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数f (x ) =A sin ωx -间的距离为
⎛⎝
π⎫
其图像相邻两条对称轴之⎪+1(A >0, ω>0)的最大值为3，
6⎭
π. 2
⎛π⎫⎛α⎫11
⎪, f ⎪=，求cos α的值． ⎝2⎭⎝2⎭5
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式； （Ⅱ）设α∈ 0,
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，
π
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，
2π
故函数f(x)的解析式为y ＝2sin(2x＋1. 6分
6
π⎫π⎫311⎛α⎛⎛(2)∵f ＝2sin α－⎪＋1＝，即sin α－⎪＝， 6⎭6⎭5⎝2⎭⎝⎝5ππππ
∵0
2663∴cos α-
⎛⎝
π⎫
⎡⎛4π⎫π⎤4-3
. ⎪=, 所以cos α=cos ⎢ α-⎪+⎥=
6⎭56610⎝⎭⎣⎦
12分
17. (本小题满分12分)
中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒 后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量, 单 位是毫克/100毫升), 当20≤Q ≤80时, 为“酒后驾车”；当Q >80时, 为“醉酒驾车”. 某市公安局交通管理部门于2013年11月的某天晚上8点至11点在该市区解放路某处设点 进行一次拦查行动, 共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者, 如图为这60名驾驶员抽 血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q ≥140的人数计入120≤Q
(Ⅰ)求此次拦查中“醉酒驾车”的人数；
（Ⅱ）从违法驾车的60人中按“酒后驾车”和“醉酒驾车”利用分层抽样抽取8人做样本
进行研究, 再从抽取的8人中任取2人, 求2人中其中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”的概率.
解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,
所以此次拦查中“醉酒驾车”的人数为15人. 6分 （Ⅱ）由分层抽样方法可知抽取的8人中“酒后驾车”的有6人，记为A i (i =1, 2, , 6) , “醉酒驾车”的有2人，记为B j (j =1, 2) . 9分 所以从8人中任取2人共有(A 1A 2), (A 1A 3) 等7+6+5+4+3+2+1=28种，2人中其 中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”共有(A 1B 1), (A 1B 2), (A 2, B 1) 等6⨯2=12
种，
因此所求的概率为P =
6⨯23
= 12分 287
18.(本小题满分12分)
已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点． (Ⅰ) 求异面直线CC 1和AB 的距离；
(Ⅱ) 若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －B 1的平面角的余弦值．
解：(1)因AC ＝BC ，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .
22
又直三棱柱中，CC 1⊥面ABC ，故CC 1⊥CD ，所以异面直线CC 1和AB 的距离为CD BC －BD ＝5. 5分
(2)由CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，从而CD ⊥DA 1，CD ⊥DB 1，故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1－CD －B 1的平面角． 8分
又CD ⊥AB 1，AB 1⊥A 1C ，所以AB 1⊥平面A 1DC , 从而AB 1 A 1D , 从而∠A 1AB 1，∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ，因此
AA 1A 1B 12
，得AA 1＝AD AA 1
22
AD ·A 1B 1＝8. 从而A 1D AA 1＋AD ＝23，B 1D ＝A 1D ＝3，
2
A 1D 2＋DB 11－A 1B 1
所以在△A 1DB 1中，由余弦定理得cos ∠A 1DB 1＝. 12分
2·A 1D ·DB 13
19.(本小题满分13分
)
设S n 为数列{a n 的前n 项和，且有
}
S 1=a , S n +S n -1=3n 2, n =2, 3, 4,
(Ⅰ) 求数列{a n 的通项公式；
(Ⅱ) 若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.
解(Ⅰ) 当n ≥2时，由已知S n +S n -1=3n „ ① 于是S n +1+S n =3(n +1) „② 由②－①得a n +1+a n =6n +3 „„ ③ 于是a n +2+a n +1=6n +9 „„ ④ 由④－③得a n +2-a n =6 „„ ⑤
上式表明：数列{a 2k }和{a 2k +1}分别是以a 2，a 3为首项，6为公差的等差数列. 4分 又由①有S 2+S 1=12，所以a 2=12-2a ,
由③有a 3+a 2=15，a 4+a 3=21，所以a 3=3+2a ，a 4=18-2a ． 所以a 2k =a 2+6(k -1) =12-2a +6(k -1)k ∈N
2
2
}
(
*
)，
a 1=a , a 2k +1=a 3+6(k -1) =3+2a +6(k -1)(k ∈N *). 8分
(Ⅱ) 数列{a n }是单调递增数列⇔a 1
⇔a 1
所以a 的取值范围是
915
915
20.(本小题满分13分)
已知a ∈R ，函数f (x ) =
x (x -a ).
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的单调区间；
(Ⅱ) 求函数f (x ) 在区间[1, 2]上的最小值. 解(Ⅰ) 函数的定义域为[0, +∞) .
f '(x ) =
x -a 2x
+x =
3x -a 2x
①当a ≤0时, f '(x ) >0(x ≠0) ，所以f (x ) 在[0, +∞) 上为增函数.
②当a >0时，当0≤x
a 3时, f '(x ) a
3
时, f '(x ) >0. 故f (x ) 在[0, a a
3) 上为减函数, 在[3
, +∞) 上为增函数. 6分(Ⅱ)(1)当a ≤0时，由(Ⅰ) 知 f (x ) 在[1, 2]上为增函数, 所以, f m in =f (1) =1-a ；(2) 当a >0时， ①当a ≥6时，2≤
a
3
， 由(Ⅰ) 知 f (x ) 在[1, 2]上为减函数, 所以, f m in =f (2) =2(2-a )；
②当3
a
3
3
, 2]上为增函数, 所以, f a 2a a min =f (3) =-
3 ③当0
a
3
≤1， 由(Ⅰ) 知 f (x ) 在[1, 2]上为增函数, 所以, f m in =f (1) =1-a ； 综上所述，
⎧⎪
1-a , 当a ≤3时f min
=⎪⎨-2a a , 当3
⎪
3⎪⎩
2(2-a ), 当a ≥6时
21.(本小题满分13分)
已知曲线C 1上任意一点M 到直线l :x =4的距离是它到点F (1, 0)距离的2倍；曲线C 2是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. (Ⅰ) 求C 1, C 2的方程；
(Ⅱ) 过F 作两条互相垂直的直线l 1, l 2, 其中l 1与C 1相交于点A , B , l 2与C 2相交于点C , D , 求四边形ACBD 面积的取值范围.
x 2y 2
解(Ⅰ) 设M (x , y ) ，则由题意有2x -1+y =x -4, 化简得:+=1.
43
2
2
x 2y 2
故C 1的方程为+=1，易知C 2的方程为y 2=4x . 4分
43
(Ⅱ) 由题意可设l 2的方程为x =ky +1, 代入y =4x 得y -4ky -4=0, 设C (x 1, y 1), D (x 2, y 2), 则y 1+y 2=4k ,
所以CD =CF +DF =x 1+1+x 2+1=k (y 1+y 2) +4=4(k +1) . 7分
2
22
x 2y 2
因为l 1⊥l 2, 故可设l 1的方程为y =-k (x -1) , 代入+=1得
43
8k 2
(4k +3)x -8k x +4k -12=0, 设A (x 3, y 3), B (x 4, y 4), 则x 3+x 4=2,
4k +3
2
2
2
2
11112k 2+1
所以AB =AF +BF =(4-x 3)+(4-x 4)=4-(x 3+x 4)=. 10分 2
2224k +3
故四边形ACBD 的面积为
()
124k 2+1
S =AB ⋅CD =
24k 2+3
2
()
2
24t 23⎛11⎫3⎛⎫
== 4t -1++2⎪= s ++2⎪ 4t -12⎝4t -1s ⎭2⎝⎭
(其中t =k +1≥1, s =4t -1≥3)
11s 2-1
>0，故f (s ) 在[3，+∞)单调递增，因此 设f (s ) =s +(s ≥3), 则f '(s ) =1-2=
s s s 2S =
3⎛11⎫3⎛⎫
s ++2⎪≥ 3++2⎪=8, 当且仅当s =3即k =0等号成立. 2⎝s 3⎭2⎝⎭
故四边形ACBD 面积的取值范围为[8, +∞). 13分