1.1 测定刚体的转动惯量
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动铀的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂，且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。
实际上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的待定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多，如扭摆法、三线摆法等，本节除了介绍这两种方法外，还将介绍利用“转动转动惯量实验仪”测定刚体的转动惯量的方法。为了便于与理论计算比较，实验中仍采用形状规则的刚体。
1.1.1 用三线摆测刚体的转动惯量
【实验目的】
1. 学会用三线摆测定物体的转动惯量。
2. 学会用累积放大法测量摆动的周期。 3. 验证转动惯量的平行轴定理。
【实验原理】
1、测定刚体的转动惯量
图l-1.2-1所示是FB210型三线摆实验仪的实物照片。 上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的 等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴 OO ' 作扭摆运动。当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时， 扭摆的运动可近似看作简谐振动。根据能量守恒定律和刚 体转动定律均可以导出下盘绕中心轴OO ' 的转动惯量 (见【附录2】) 为：
m gRr
I 0=02T 02 (1-1.2-1)
4πH 0
式中，m 0为下盘的质量，r 、R 分别为上下盘悬点离各自圆盘中心的距离，H 0为平衡时上下盘间的垂直距离，T 0为下盘作简谐运动的周期，g 为重力加速度。
将质量为m 1的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与OO ' 轴重合。测出此时三线摆运动周期T 01和上下圆盘间的垂直距离H 。同理可求得待测物体和下圆盘对中心转轴OO ' 轴的总转动惯量为：
图1-1.2-1
I 01=
量为：
(m 0+m 1) gRr 2
T 01 （1-1.2-2）
4π2H
如不计因重量变化而引起悬线伸长，则有H ≈ H 0。那么，待测物体绕中心轴的转动惯
I 1=I 01-I 0=
gRr 2
[(m 0+m 1) T 01-m 0T 02] （1-1.2-3） 2
4πH 0
因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕中心轴的转动惯量。 2、验证平行轴定理
用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m 的物体以通过其质心为轴的转动惯量为I C ，当转轴平行移动距离x 时(如图1-1.2-2所示) ，则此物体对新轴OO ' 的转动惯量理论值为
I 00' =I C +mx 2
这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
实验中将质量均为m 2，半径为r 2 , 形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上(下盘有对称的两个小孔) 。按【实验原理】1所述方法，测出两小圆柱体和下圆
盘绕中心轴OO ' 的转动周期T 02，则可求出单个小圆柱体对中心转轴OO ' 的转动惯量： I 2=
⎤1⎡(m 0+2m 2) gRr 2
T -I 020⎥ （1-1.2-4）
⎢
2⎣4πH 0⎦
12
m 2r 2，所以，如果2
因为圆柱体通过其轴心的转动惯量I C =
测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x 以及小圆柱体的半径r 2 ，则由平行轴定理可求得小圆柱体转动惯量的理论值
I 2' =I C +m 2x 2=
12
m 2r 2+m 2x 2 （1-1.2-5） 2
图 1-1.2-2
比较I 2' 与I 2的大小，若两数值接近，可验证平行轴定理。
【实验仪器】
1. FB210型(双支架) 三线摆转动惯量实验仪。 2. FB213A型数显计时计数毫秒仪。 3. 米尺、游标卡尺。
【实验内容】
一、 调整三线摆装置
1. 观察上圆盘上的水准器，调节底板上三个调节螺钉，使上圆盘处于水平状态。 2. 观察下圆盘上的水准器，调节上圆盘上三个悬线长度调节螺钉，把下圆盘调到水平状态。这时候三悬线必然等长，固定紧固螺钉。
3. 适当调整光电传感器安装位置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门槽口。
二、 测量周期T 0和T 01、 T 02
1. 接通FB213A 型数显计时计数毫秒仪（见【附录3】）的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接。合上毫秒仪电源开关，预置测量次数为20次。设置计数次数时，分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节（注意：数字调节只能按进位操作），设置完成后会自动保持设置值，直到再次改变设置为止。
2. 测量周期T 0：首先使下圆盘处于静止状态，然后拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（5°左右) ，带动下圆盘绕中心轴OO ' 作微小扭摆运动。经过若干周期，待运动稳定后，按毫秒仪上的“执行”键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐1递减，直到递减为0时，计时结束，毫秒仪显示出累计20个周期的时间，将数据记录到表1-1.2-l 中，重复6次。
注意：每开始一次测量时，要先按毫秒仪的“返回”键，使毫秒仪进入计时状态。 3. 测定摆动周期T 01：将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线相重叠，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表1-1.2-1中。
4. 测定摆动周期T 02：将二小圆柱体对称放置在下圆盘上，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表1-1.2-1中。
三、用米尺测量圆环内、外直径、用游标尺测小圆柱体直径各6次，数据记录到表1-1.2-2中。
用米尺分别测出上下圆盘三悬点之间的距离a 和b ，然后算出悬点到中心的距离r 和R
（等边三角形外接圆半径）。测量上下盘垂直距离H 0, 放置小圆柱体两孔中心间距2x ，记录各刚体的质量。
a = mm , R =
33
b = mm ; a = mm ； b = mm ，r =33
H 0 = H = mm ; 下盘质量m 0= g， 圆环质量m 1= g ， 圆柱体质量m 2 = g ; 两孔间距2x = mm ; g = 9794 mm/s2
【数据处理】
一、将测得数据代入相应公式计算转动惯量实验值：
1. 圆盘的转动惯量I 0 = （见式1-1.2-1） 2. 圆环的转动惯量I 1= （见式1-1.2-3） 3. 圆柱体的转动惯量I 2 = （见式1-1.2-4） 二、将测得数据计算圆环、小圆柱体的转动惯量理论值：
1
'=m 1(r 内2+r 外2) = （见式1-1.1-5）1. 圆环的转动惯量I 1 2
2. 小圆柱体的转动惯量 I 2' = （见式1-1.2-5） 三、将实验值与理论值比较，求圆环、小圆柱体转动惯量实验值对于理论值的相对误差。
如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小，则验证了公式（1-1.2-5）的
正确性。如果验证失败，分析失败的原因。
【思考题】
1. 用三线摆测量刚体的转动惯量时，为什么必须保持下盘水平?
2. 在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期的测量有影响吗? 如有影响，应如何避免之?
3. 三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大? 为什么?
4. 测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响? 5. 如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量?
6. 三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化? 对测量结果影响大吗? 为什么?
【附录2】 转动惯量测量公式的推导
如图1-1.2-3所示，当下盘做扭转振动，且转角θ很小时，其振动是简谐振动，运动方程为：
θ=θ0sin
2π
t (1-1.2-6) T
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高h ，根据机械能守恒定律有:
12
I ω0=mgh 2
2mgh
即 I = （1-1.2-7） 2
d θ⎛2π⎫而ω==cos t ⎪，当t =0时，
dt T ⎝T ⎭2πθ0
ω0= （1-1.2-8）
T
将（1-1.2-8）式带入（1-1.2-7）式得：
ωo 2πθ0
三线摆测量原理 图1-1.2-3
mgh
I =22T 2 （1-1.2-9）
2πθ0
从图中的几何关系得：
(H -h ) 2+(R 2+r 2-2Rr cos θ0) =l 2=H 2+(R -r ) 2，简化得：
h 2
Hh -=Rr (1-cos θ0)
2
θ02Rr θ02h 2
略去，且取1-cos θ0≈，则有 h =
222H
代入（1-1.2-9）式得：
I =
当只有圆盘时：
mgRr 2
T （1-1.2-10） 4π2H m 0gRr 2
T 0
4π2H
I 0=
此即（1-1.2-1）式。
【附录3】 FB213A型数显计时计数毫秒仪使用说明
下图所示是通用电脑毫秒计面板。
图 1-1.2-4 FB213A型数显计时计数毫秒仪
使用方法：
1. FB213A计时仪内设单片机芯片，经适当编程，具有计时、计数、存储和查询功能。可用于单摆、气垫导轨、马达转速测量、生产线产品计数、产品厚度测量、车辆运动速度测量及体育比赛计时等诸多与计时相关的实验。
2. 该毫秒仪通用性强，可以与多种传感器连接，用不同的传感器控制毫秒仪的启动和停止，从而适应不同实验条件下计时的需要。
3. 毫秒仪量程可根据实验需要进行切换：99.999s ，分辨率1ms ；9.9999s ，分辨率0.lms ，由仪器面板上“量程”按钮进行转换。“计时”指示灯亮，左窗口数码管熄灭，仪器进入“计时”功能执态。
4. 周期与计数功能由面板“功能”按钮转换：周期指示灯亮，仪器面板左窗口二位数码管同时点亮，仪器进入“周期”计数功能。在此功能下，可预置测量周期个数：根据实验需要周期设置范围从1-99个，“周期数”由左窗口显示。“周期数显示”随计数进程逐次递减，当显示数到达1以后自动返回到“设置数值”，此时计数停止。
5. 仪器有两种工作方式：周期方式和计数方式，在两种方式下均有存贮和查询功能。在周期方式下，按“执行”键“执行”工作指示厅亮，当测量启动时灯光闪烁，表示毫秒仪在工作。在每个周期结束时，显示并存贮该周期对应的时间值，在预设周期数执行完后，显示并存贮总时间值，然后退出执行状态。
6. 在周期或计时方式下，逐次按“查询”键，则依次显示出各周期对应的时间值，在最后周期显示出总时间值，在预设周期完后，则停止查询。
7. 按“复位”键，除了预设周期值恢复原设置、时间显示清零之外，还有退出查询的功能。记住查询完后一定要按“复位”键退出查询。
8. 周期方式或计数方式在执行中，均可按“复位”键退出执行。
9. 断电后保留己执行的预设周期数、各周期对应的时间值以及总时间值。
10. 计数方式时“光电门1”和“光电门2”都能控制启动或停止，仅按先后顺序执行。
11. 同时按“复位”和“功能”键5秒钟以上，则存贮的周期值与计时值全部清零，但仍然保留预设周期数(直至重新设置新的周期数值) 。
1.1.2 用JM-2转动惯量仪测刚体的转动惯量
【实验目的】
1. 学习用转动惯量仪测定物体的转动惯量。
2. 研究作用在刚体上的外力矩与刚体角加速度的关系，验证刚体转动定律和平行轴定理。
3. 观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况。
【实验原理】
1. 转动惯量实验仪
刚体的转动惯量实验仪由圆形载物台、绕线塔轮、遮光片和小滑轮组成，如图l-1.3-1所示。遮光片固定在载物台边缘，光电门固定在底座圆周直径的两端，载物台每转动半圈，光电门被遮挡一次，产生的光电脉冲被送入通用电脑毫秒计（使用时只接通一路）。毫秒计从第一次挡光(第一个光山脉冲发生) 开始记录时间和遮光次数，能够连续记录，存储多个脉冲时间。塔轮上有3个不同半径的绕线轮，中间一个的半径为2cm ，相邻两个塔轮之间的半径相差0.5cm 。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以改变转动体系所受的外力矩（重力矩）。
在载物台相互垂直的两直径上，分别开有4个孔，内侧的孔距离载物台轴心5cm ，外侧距离为7.5cm ，如图1-1.3-2 所示。小圆柱可以放在这些小孔的位置上，改变小圆柱的位置可以改变包括小圆柱在内的转动体系的转动惯量。
1. 载物台 2. 遮光片 3. 绕线塔轮 图1-1.3-2 载物台俯视图 4. 光电门 5. 滑轮 6. 砝码
图1-1.3-1 转动惯量仪结构图
2. 匀角加(减) 速度的测量
使用通用电脑式毫秒计记录遮挡次数和载物台（转台）旋转kπ弧度所经历的时间间隔。只用一个光电门时，转台每转动半圈，固定在转台边缘相差π弧度的两遮光片将遮挡一次光电门，产生一个计数光电脉冲。若从第一次挡光（k =0 , t = 0）开始计时，转台初始角速度为ω0，则对于匀变速转动测量得到的任意两组数据（k m , t m ）和（k n , t n ），角位移分别为
2
θm =k m π=ω0t m +βt m （1-1.3-1）
1
2
2
θn =k n π=ω0t n +βt n （1-1.3-2）
1
2
其中β为匀角加（减）速度。从（1-1.3-l ）、（1-1.3-2）中消去ω0得：
β=
3. 转动惯量的测量
2π(k n t m -k m t n )
（1-1.3-3） 22
t n t m -t m t n
根据刚体定轴转动定律：
M =I β （1-1.3-4）
只要测出刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，就可计算出该刚体的转动惯量I 。
设以某初始角速度转动的空转台的转动惯量为I 1。末加砝码时，在摩擦阻力矩 M μ的作用下，转台将以角加速度βl 作匀角减速度运动，则有
-M μ=I 1β1 （1-1.3-5）
将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的转台塔轮上并让砝码下落，系统在恒外力矩作用下作匀角加速度运动。若砝码的加速度为a ，则细线给转台的力矩为M =(mg –ma ) R 。若此时转台的角加速度为β2，则有a =Rβ2，所以细线给转台的力矩为M = m ( g -Rβ2 )R 。此时有
m (g -R β2) R -M μ=I 1β2 （1-1.3-6）
将(1-1.3-5)代入(1-1.3-6)，消去M μ得：
I 1=
m (g -R β2) R
（1-1.3-7）
β2-β1
同理，若在转台加上被测物体后系统的转动惯量为I 2，加砝码前后的角加速度分别为β3
和β4，则有
I 2=
m (g -R β4) R
（1-1.3-8）
β4-β3
由转动惯量的可加性，被测物体的转动惯量为： I 待测 = I 2－I 1
4. 验证平行轴定理
设质量为m 的物体围绕通过质心的转轴转动的转动惯量为I c ，当转轴平行移动距离x 后，绕“新”转轴的转动惯量I oo ’，I oo ’与I c 之间满足下列关系：
I oo ' =I c +mx 2 （1-1.3-9）
实验中若测得此关系，则验证了平行轴定理。
5. 待测物转动惯量的理论公式
设待测圆盘（柱）的质量为m 、半径为r ，则圆盘（柱）绕几何中心轴的转动惯量理论值为
I =
12
mr （1-1.3-10） 2
若待测圆环的质量为m ，内外半径分别为r 内、r 外，圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为
I =
122
m (r 内+r 外）
2
【实验仪器】
JM-2转动惯量实验仪及附件（包括砝码及待测圆环、圆盘、圆柱等），HMS-2通用电脑式毫秒计，水准仪，游标卡尺
【实验内容】
1. 将水准仪放置在载物台中央，调节转动惯量仪底座螺钉，使载物台水平。
2. 用电缆将光电门与通用电脑式毫秒计通用电脑式毫秒计相连，只接通一路。若连接了输入1插孔，则该通断开关1接通，输入II 通断开关必须断开。
3. 开启通用电脑式毫秒计，使其进入计数状态。
4、测量空转台的转动惯量I 台：
(1) 用手拨动转台，使其以某初始角速度，在摩擦力矩作用下做匀减速转动，记下此时的t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6，填入表1-1.3-1；
(2) 将选定的砝码钩挂线的一端打结，沿塔轮上开的细缝塞入，再将线绕在中间的塔轮上，调节滑轮位置使绕线与转台台面平行。让砝码由静止开始下落，记下此时的t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6，填入表1-1.3-1。
5. 测量台加盘的转动惯量：将圆盘放置在载物台上，按照测I 台的方法测I 台+盘，数据填入表1-1.3-1。
6. 测量台加环的转动惯量：取下圆盘，将圆环放置在载物台上，按照上述方法测I 台+环，数据填入表1-1.3-1。 7. 验证平行轴定理：
将两个小圆柱对称地放在空台上离转轴5cm 处, 按照上述方法测量I 1台+圆柱，数据填入表1-1.3-1。更换小圆柱的位置到7.5cm 处，同样的方法测量I 2台+圆柱，数据填入表1-1.3-1。
砝码的质量 m = (g)，绕线轮半径 R = (cm) 圆盘的质量m 盘= (g)，圆盘的直径d 盘= 20.0 (cm)
圆环的质量m 环= (g)，圆环的内径d 内= 17.2 (cm)，圆环的外径d 外= 20.0 (cm) 小圆柱质量m 柱= (g), 小圆柱直径d 柱= (cm)
【数据处理】
1. 计算空台、圆盘、圆环转动惯量的实验值，将I 盘、I 环与理论值比较。
用逐差法根据表1-1.3-1中的测量数据和公式（1-1.3-3）分别计算空台、空台+圆盘、空台+圆环的角加速度i ，然后根据公式（1-1.3-7）求出它们的转动惯量，进而求出圆盘和圆环的转动惯量，并比较理论值与测量值，计算相对误差E r 。
圆盘的转动惯量I 盘=I 台+盘-I 台=（测量值） 理论值E r 盘= 圆环的转动惯量I 环= I台+环 - I台= （测量值） 理论值= E r环=
2. 计算单个圆柱体绕“新”转轴的转动惯量的实验值与理论值比较，验证平行轴定理。 单个圆柱体的转动惯量I 1=理论值I 1理=
1
( I 1台+2圆柱- I台)= （测量值） 2
1
m 柱r 柱2+m 柱x 12= ， E r 1= 2
1
单个圆柱体的转动惯量I 2=( I 2台+2圆柱- I台)= （测量值）
2
122
理论值I 2理=m 柱r 柱+m 柱x 2= ， E r 2=
2
如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小，则验证了公式（1-1.3-9）的正确性。如果验证失败，分析失败的原因。
【预习思考题】
为什么要保证细线水平且与载物台转轴垂直？
【附录4】 通用电脑式毫秒计
下图所示是通用电脑毫秒计面板。
① 2位脉冲个数显示；② 6位计时时间显示； ③ 数字键与功能键；⑧ 电源开关；
④⑤分别为输入I 口和输入I 通断开关；⑥⑦ 分别为输入II 口和输入II 通断开关；⑨ 复位键
图 1-1.3-3 通用电脑式毫秒计
使用方法：
1. 用电缆线将光电门和通用电脑式毫秒计相连，只接通一路（另一路备用）。
2. 接通电源，仪器进入自检状态：
（a ) 8
（b 1个光电脉冲组成，共有 63 组脉冲3. .
4. 0”和计数“1”。5.
6.
7. 23
1.1 测定刚体的转动惯量
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动铀的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂，且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。
实际上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的待定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多，如扭摆法、三线摆法等，本节除了介绍这两种方法外，还将介绍利用“转动转动惯量实验仪”测定刚体的转动惯量的方法。为了便于与理论计算比较，实验中仍采用形状规则的刚体。
1.1.1 用三线摆测刚体的转动惯量
【实验目的】
1. 学会用三线摆测定物体的转动惯量。
2. 学会用累积放大法测量摆动的周期。 3. 验证转动惯量的平行轴定理。
【实验原理】
1、测定刚体的转动惯量
图l-1.2-1所示是FB210型三线摆实验仪的实物照片。 上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的 等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴 OO ' 作扭摆运动。当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时， 扭摆的运动可近似看作简谐振动。根据能量守恒定律和刚 体转动定律均可以导出下盘绕中心轴OO ' 的转动惯量 (见【附录2】) 为：
m gRr
I 0=02T 02 (1-1.2-1)
4πH 0
式中，m 0为下盘的质量，r 、R 分别为上下盘悬点离各自圆盘中心的距离，H 0为平衡时上下盘间的垂直距离，T 0为下盘作简谐运动的周期，g 为重力加速度。
将质量为m 1的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与OO ' 轴重合。测出此时三线摆运动周期T 01和上下圆盘间的垂直距离H 。同理可求得待测物体和下圆盘对中心转轴OO ' 轴的总转动惯量为：
图1-1.2-1
I 01=
量为：
(m 0+m 1) gRr 2
T 01 （1-1.2-2）
4π2H
如不计因重量变化而引起悬线伸长，则有H ≈ H 0。那么，待测物体绕中心轴的转动惯
I 1=I 01-I 0=
gRr 2
[(m 0+m 1) T 01-m 0T 02] （1-1.2-3） 2
4πH 0
因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕中心轴的转动惯量。 2、验证平行轴定理
用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m 的物体以通过其质心为轴的转动惯量为I C ，当转轴平行移动距离x 时(如图1-1.2-2所示) ，则此物体对新轴OO ' 的转动惯量理论值为
I 00' =I C +mx 2
这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
实验中将质量均为m 2，半径为r 2 , 形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上(下盘有对称的两个小孔) 。按【实验原理】1所述方法，测出两小圆柱体和下圆
盘绕中心轴OO ' 的转动周期T 02，则可求出单个小圆柱体对中心转轴OO ' 的转动惯量： I 2=
⎤1⎡(m 0+2m 2) gRr 2
T -I 020⎥ （1-1.2-4）
⎢
2⎣4πH 0⎦
12
m 2r 2，所以，如果2
因为圆柱体通过其轴心的转动惯量I C =
测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x 以及小圆柱体的半径r 2 ，则由平行轴定理可求得小圆柱体转动惯量的理论值
I 2' =I C +m 2x 2=
12
m 2r 2+m 2x 2 （1-1.2-5） 2
图 1-1.2-2
比较I 2' 与I 2的大小，若两数值接近，可验证平行轴定理。
【实验仪器】
1. FB210型(双支架) 三线摆转动惯量实验仪。 2. FB213A型数显计时计数毫秒仪。 3. 米尺、游标卡尺。
【实验内容】
一、 调整三线摆装置
1. 观察上圆盘上的水准器，调节底板上三个调节螺钉，使上圆盘处于水平状态。 2. 观察下圆盘上的水准器，调节上圆盘上三个悬线长度调节螺钉，把下圆盘调到水平状态。这时候三悬线必然等长，固定紧固螺钉。
3. 适当调整光电传感器安装位置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门槽口。
二、 测量周期T 0和T 01、 T 02
1. 接通FB213A 型数显计时计数毫秒仪（见【附录3】）的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接。合上毫秒仪电源开关，预置测量次数为20次。设置计数次数时，分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节（注意：数字调节只能按进位操作），设置完成后会自动保持设置值，直到再次改变设置为止。
2. 测量周期T 0：首先使下圆盘处于静止状态，然后拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（5°左右) ，带动下圆盘绕中心轴OO ' 作微小扭摆运动。经过若干周期，待运动稳定后，按毫秒仪上的“执行”键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐1递减，直到递减为0时，计时结束，毫秒仪显示出累计20个周期的时间，将数据记录到表1-1.2-l 中，重复6次。
注意：每开始一次测量时，要先按毫秒仪的“返回”键，使毫秒仪进入计时状态。 3. 测定摆动周期T 01：将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线相重叠，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表1-1.2-1中。
4. 测定摆动周期T 02：将二小圆柱体对称放置在下圆盘上，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表1-1.2-1中。
三、用米尺测量圆环内、外直径、用游标尺测小圆柱体直径各6次，数据记录到表1-1.2-2中。
用米尺分别测出上下圆盘三悬点之间的距离a 和b ，然后算出悬点到中心的距离r 和R
（等边三角形外接圆半径）。测量上下盘垂直距离H 0, 放置小圆柱体两孔中心间距2x ，记录各刚体的质量。
a = mm , R =
33
b = mm ; a = mm ； b = mm ，r =33
H 0 = H = mm ; 下盘质量m 0= g， 圆环质量m 1= g ， 圆柱体质量m 2 = g ; 两孔间距2x = mm ; g = 9794 mm/s2
【数据处理】
一、将测得数据代入相应公式计算转动惯量实验值：
1. 圆盘的转动惯量I 0 = （见式1-1.2-1） 2. 圆环的转动惯量I 1= （见式1-1.2-3） 3. 圆柱体的转动惯量I 2 = （见式1-1.2-4） 二、将测得数据计算圆环、小圆柱体的转动惯量理论值：
1
'=m 1(r 内2+r 外2) = （见式1-1.1-5）1. 圆环的转动惯量I 1 2
2. 小圆柱体的转动惯量 I 2' = （见式1-1.2-5） 三、将实验值与理论值比较，求圆环、小圆柱体转动惯量实验值对于理论值的相对误差。
如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小，则验证了公式（1-1.2-5）的
正确性。如果验证失败，分析失败的原因。
【思考题】
1. 用三线摆测量刚体的转动惯量时，为什么必须保持下盘水平?
2. 在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期的测量有影响吗? 如有影响，应如何避免之?
3. 三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大? 为什么?
4. 测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响? 5. 如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量?
6. 三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化? 对测量结果影响大吗? 为什么?
【附录2】 转动惯量测量公式的推导
如图1-1.2-3所示，当下盘做扭转振动，且转角θ很小时，其振动是简谐振动，运动方程为：
θ=θ0sin
2π
t (1-1.2-6) T
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高h ，根据机械能守恒定律有:
12
I ω0=mgh 2
2mgh
即 I = （1-1.2-7） 2
d θ⎛2π⎫而ω==cos t ⎪，当t =0时，
dt T ⎝T ⎭2πθ0
ω0= （1-1.2-8）
T
将（1-1.2-8）式带入（1-1.2-7）式得：
ωo 2πθ0
三线摆测量原理 图1-1.2-3
mgh
I =22T 2 （1-1.2-9）
2πθ0
从图中的几何关系得：
(H -h ) 2+(R 2+r 2-2Rr cos θ0) =l 2=H 2+(R -r ) 2，简化得：
h 2
Hh -=Rr (1-cos θ0)
2
θ02Rr θ02h 2
略去，且取1-cos θ0≈，则有 h =
222H
代入（1-1.2-9）式得：
I =
当只有圆盘时：
mgRr 2
T （1-1.2-10） 4π2H m 0gRr 2
T 0
4π2H
I 0=
此即（1-1.2-1）式。
【附录3】 FB213A型数显计时计数毫秒仪使用说明
下图所示是通用电脑毫秒计面板。
图 1-1.2-4 FB213A型数显计时计数毫秒仪
使用方法：
1. FB213A计时仪内设单片机芯片，经适当编程，具有计时、计数、存储和查询功能。可用于单摆、气垫导轨、马达转速测量、生产线产品计数、产品厚度测量、车辆运动速度测量及体育比赛计时等诸多与计时相关的实验。
2. 该毫秒仪通用性强，可以与多种传感器连接，用不同的传感器控制毫秒仪的启动和停止，从而适应不同实验条件下计时的需要。
3. 毫秒仪量程可根据实验需要进行切换：99.999s ，分辨率1ms ；9.9999s ，分辨率0.lms ，由仪器面板上“量程”按钮进行转换。“计时”指示灯亮，左窗口数码管熄灭，仪器进入“计时”功能执态。
4. 周期与计数功能由面板“功能”按钮转换：周期指示灯亮，仪器面板左窗口二位数码管同时点亮，仪器进入“周期”计数功能。在此功能下，可预置测量周期个数：根据实验需要周期设置范围从1-99个，“周期数”由左窗口显示。“周期数显示”随计数进程逐次递减，当显示数到达1以后自动返回到“设置数值”，此时计数停止。
5. 仪器有两种工作方式：周期方式和计数方式，在两种方式下均有存贮和查询功能。在周期方式下，按“执行”键“执行”工作指示厅亮，当测量启动时灯光闪烁，表示毫秒仪在工作。在每个周期结束时，显示并存贮该周期对应的时间值，在预设周期数执行完后，显示并存贮总时间值，然后退出执行状态。
6. 在周期或计时方式下，逐次按“查询”键，则依次显示出各周期对应的时间值，在最后周期显示出总时间值，在预设周期完后，则停止查询。
7. 按“复位”键，除了预设周期值恢复原设置、时间显示清零之外，还有退出查询的功能。记住查询完后一定要按“复位”键退出查询。
8. 周期方式或计数方式在执行中，均可按“复位”键退出执行。
9. 断电后保留己执行的预设周期数、各周期对应的时间值以及总时间值。
10. 计数方式时“光电门1”和“光电门2”都能控制启动或停止，仅按先后顺序执行。
11. 同时按“复位”和“功能”键5秒钟以上，则存贮的周期值与计时值全部清零，但仍然保留预设周期数(直至重新设置新的周期数值) 。
1.1.2 用JM-2转动惯量仪测刚体的转动惯量
【实验目的】
1. 学习用转动惯量仪测定物体的转动惯量。
2. 研究作用在刚体上的外力矩与刚体角加速度的关系，验证刚体转动定律和平行轴定理。
3. 观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况。
【实验原理】
1. 转动惯量实验仪
刚体的转动惯量实验仪由圆形载物台、绕线塔轮、遮光片和小滑轮组成，如图l-1.3-1所示。遮光片固定在载物台边缘，光电门固定在底座圆周直径的两端，载物台每转动半圈，光电门被遮挡一次，产生的光电脉冲被送入通用电脑毫秒计（使用时只接通一路）。毫秒计从第一次挡光(第一个光山脉冲发生) 开始记录时间和遮光次数，能够连续记录，存储多个脉冲时间。塔轮上有3个不同半径的绕线轮，中间一个的半径为2cm ，相邻两个塔轮之间的半径相差0.5cm 。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以改变转动体系所受的外力矩（重力矩）。
在载物台相互垂直的两直径上，分别开有4个孔，内侧的孔距离载物台轴心5cm ，外侧距离为7.5cm ，如图1-1.3-2 所示。小圆柱可以放在这些小孔的位置上，改变小圆柱的位置可以改变包括小圆柱在内的转动体系的转动惯量。
1. 载物台 2. 遮光片 3. 绕线塔轮 图1-1.3-2 载物台俯视图 4. 光电门 5. 滑轮 6. 砝码
图1-1.3-1 转动惯量仪结构图
2. 匀角加(减) 速度的测量
使用通用电脑式毫秒计记录遮挡次数和载物台（转台）旋转kπ弧度所经历的时间间隔。只用一个光电门时，转台每转动半圈，固定在转台边缘相差π弧度的两遮光片将遮挡一次光电门，产生一个计数光电脉冲。若从第一次挡光（k =0 , t = 0）开始计时，转台初始角速度为ω0，则对于匀变速转动测量得到的任意两组数据（k m , t m ）和（k n , t n ），角位移分别为
2
θm =k m π=ω0t m +βt m （1-1.3-1）
1
2
2
θn =k n π=ω0t n +βt n （1-1.3-2）
1
2
其中β为匀角加（减）速度。从（1-1.3-l ）、（1-1.3-2）中消去ω0得：
β=
3. 转动惯量的测量
2π(k n t m -k m t n )
（1-1.3-3） 22
t n t m -t m t n
根据刚体定轴转动定律：
M =I β （1-1.3-4）
只要测出刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，就可计算出该刚体的转动惯量I 。
设以某初始角速度转动的空转台的转动惯量为I 1。末加砝码时，在摩擦阻力矩 M μ的作用下，转台将以角加速度βl 作匀角减速度运动，则有
-M μ=I 1β1 （1-1.3-5）
将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的转台塔轮上并让砝码下落，系统在恒外力矩作用下作匀角加速度运动。若砝码的加速度为a ，则细线给转台的力矩为M =(mg –ma ) R 。若此时转台的角加速度为β2，则有a =Rβ2，所以细线给转台的力矩为M = m ( g -Rβ2 )R 。此时有
m (g -R β2) R -M μ=I 1β2 （1-1.3-6）
将(1-1.3-5)代入(1-1.3-6)，消去M μ得：
I 1=
m (g -R β2) R
（1-1.3-7）
β2-β1
同理，若在转台加上被测物体后系统的转动惯量为I 2，加砝码前后的角加速度分别为β3
和β4，则有
I 2=
m (g -R β4) R
（1-1.3-8）
β4-β3
由转动惯量的可加性，被测物体的转动惯量为： I 待测 = I 2－I 1
4. 验证平行轴定理
设质量为m 的物体围绕通过质心的转轴转动的转动惯量为I c ，当转轴平行移动距离x 后，绕“新”转轴的转动惯量I oo ’，I oo ’与I c 之间满足下列关系：
I oo ' =I c +mx 2 （1-1.3-9）
实验中若测得此关系，则验证了平行轴定理。
5. 待测物转动惯量的理论公式
设待测圆盘（柱）的质量为m 、半径为r ，则圆盘（柱）绕几何中心轴的转动惯量理论值为
I =
12
mr （1-1.3-10） 2
若待测圆环的质量为m ，内外半径分别为r 内、r 外，圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为
I =
122
m (r 内+r 外）
2
【实验仪器】
JM-2转动惯量实验仪及附件（包括砝码及待测圆环、圆盘、圆柱等），HMS-2通用电脑式毫秒计，水准仪，游标卡尺
【实验内容】
1. 将水准仪放置在载物台中央，调节转动惯量仪底座螺钉，使载物台水平。
2. 用电缆将光电门与通用电脑式毫秒计通用电脑式毫秒计相连，只接通一路。若连接了输入1插孔，则该通断开关1接通，输入II 通断开关必须断开。
3. 开启通用电脑式毫秒计，使其进入计数状态。
4、测量空转台的转动惯量I 台：
(1) 用手拨动转台，使其以某初始角速度，在摩擦力矩作用下做匀减速转动，记下此时的t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6，填入表1-1.3-1；
(2) 将选定的砝码钩挂线的一端打结，沿塔轮上开的细缝塞入，再将线绕在中间的塔轮上，调节滑轮位置使绕线与转台台面平行。让砝码由静止开始下落，记下此时的t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6，填入表1-1.3-1。
5. 测量台加盘的转动惯量：将圆盘放置在载物台上，按照测I 台的方法测I 台+盘，数据填入表1-1.3-1。
6. 测量台加环的转动惯量：取下圆盘，将圆环放置在载物台上，按照上述方法测I 台+环，数据填入表1-1.3-1。 7. 验证平行轴定理：
将两个小圆柱对称地放在空台上离转轴5cm 处, 按照上述方法测量I 1台+圆柱，数据填入表1-1.3-1。更换小圆柱的位置到7.5cm 处，同样的方法测量I 2台+圆柱，数据填入表1-1.3-1。
砝码的质量 m = (g)，绕线轮半径 R = (cm) 圆盘的质量m 盘= (g)，圆盘的直径d 盘= 20.0 (cm)
圆环的质量m 环= (g)，圆环的内径d 内= 17.2 (cm)，圆环的外径d 外= 20.0 (cm) 小圆柱质量m 柱= (g), 小圆柱直径d 柱= (cm)
【数据处理】
1. 计算空台、圆盘、圆环转动惯量的实验值，将I 盘、I 环与理论值比较。
用逐差法根据表1-1.3-1中的测量数据和公式（1-1.3-3）分别计算空台、空台+圆盘、空台+圆环的角加速度i ，然后根据公式（1-1.3-7）求出它们的转动惯量，进而求出圆盘和圆环的转动惯量，并比较理论值与测量值，计算相对误差E r 。
圆盘的转动惯量I 盘=I 台+盘-I 台=（测量值） 理论值E r 盘= 圆环的转动惯量I 环= I台+环 - I台= （测量值） 理论值= E r环=
2. 计算单个圆柱体绕“新”转轴的转动惯量的实验值与理论值比较，验证平行轴定理。 单个圆柱体的转动惯量I 1=理论值I 1理=
1
( I 1台+2圆柱- I台)= （测量值） 2
1
m 柱r 柱2+m 柱x 12= ， E r 1= 2
1
单个圆柱体的转动惯量I 2=( I 2台+2圆柱- I台)= （测量值）
2
122
理论值I 2理=m 柱r 柱+m 柱x 2= ， E r 2=
2
如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小，则验证了公式（1-1.3-9）的正确性。如果验证失败，分析失败的原因。
【预习思考题】
为什么要保证细线水平且与载物台转轴垂直？
【附录4】 通用电脑式毫秒计
下图所示是通用电脑毫秒计面板。
① 2位脉冲个数显示；② 6位计时时间显示； ③ 数字键与功能键；⑧ 电源开关；
④⑤分别为输入I 口和输入I 通断开关；⑥⑦ 分别为输入II 口和输入II 通断开关；⑨ 复位键
图 1-1.3-3 通用电脑式毫秒计
使用方法：
1. 用电缆线将光电门和通用电脑式毫秒计相连，只接通一路（另一路备用）。
2. 接通电源，仪器进入自检状态：
（a ) 8
（b 1个光电脉冲组成，共有 63 组脉冲3. .
4. 0”和计数“1”。5.
6.
7. 23