2003年中南大学数学分析
一、（共27分，每题9分）求下列极限
（1）lim (n +n -n ) ；（2） lim [3+n →∞x →0x ⎰2x 0(cost ) dt ]； 21x
（3）设f(x)在[0,1]上可积，且⎰1
01n 2k -1f (x ) dx =1，求lim ∑f () 。 n →∞n 2n k =1
二、（共24分，每小题12分）设函数f(x)在[a , +∞)上连续，
（1） 证明：若lim f (x ) 存在，则 f(x)在[a , +∞)上一致连续； x →∞
（2） 上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。
1⎧22(x +y ) sin , x 2+y 2≠0⎪三、（共27分，每小题9分）设f (x , y ) =⎨ x 2+y 2
⎪0, x 2+y 2=0⎩
（1）、求偏导数f x ' 和f y ；
（2） f x ' 和f y 在原点（0，0）的连续性；
（3） 讨论f(x,y)在原点（0，0）的可微性。
四、（共30分，每小题15分）
（1），求f (x ) =ln(2+x ) 在x=0处的幂级数展开式及其收敛半径；
（2），计算三重积分I =2222(x +y ) dxdydz ，其中V 是由曲面x +y =z 与平面 ⎰⎰v ' ' 2
z=4所围的区域。
五、（共18分，每小题9分）
（1） 证明广义积分I (a ) =
（2） 求狄利克来积分I =⎰0∞0e -ax sin x dx 在a ≥0的范围内关于a 一致收敛； x ⎰∞sin x 之值。 x
22六、（12分）设f(x)和g(x)是[a,b]上的可积函数，证明下列Schwarz 不等式 b b b ⎡⎤ ⎰f (x ) g (x ) dx ≤⎰[f (x ) ]dx ⎰[g (x ) ]dx 。 ⎢⎥a a ⎣a ⎦2
七、设 a,b 为常数，
x 1=a , x 2=b , x n =
求lim x n 。 n →∞x n -1+x n -2(n ≥3), 2
2003年中南大学数学分析
一、（共27分，每题9分）求下列极限
（1）lim (n +n -n ) ；（2） lim [3+n →∞x →0x ⎰2x 0(cost ) dt ]； 21x
（3）设f(x)在[0,1]上可积，且⎰1
01n 2k -1f (x ) dx =1，求lim ∑f () 。 n →∞n 2n k =1
二、（共24分，每小题12分）设函数f(x)在[a , +∞)上连续，
（1） 证明：若lim f (x ) 存在，则 f(x)在[a , +∞)上一致连续； x →∞
（2） 上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。
1⎧22(x +y ) sin , x 2+y 2≠0⎪三、（共27分，每小题9分）设f (x , y ) =⎨ x 2+y 2
⎪0, x 2+y 2=0⎩
（1）、求偏导数f x ' 和f y ；
（2） f x ' 和f y 在原点（0，0）的连续性；
（3） 讨论f(x,y)在原点（0，0）的可微性。
四、（共30分，每小题15分）
（1），求f (x ) =ln(2+x ) 在x=0处的幂级数展开式及其收敛半径；
（2），计算三重积分I =2222(x +y ) dxdydz ，其中V 是由曲面x +y =z 与平面 ⎰⎰v ' ' 2
z=4所围的区域。
五、（共18分，每小题9分）
（1） 证明广义积分I (a ) =
（2） 求狄利克来积分I =⎰0∞0e -ax sin x dx 在a ≥0的范围内关于a 一致收敛； x ⎰∞sin x 之值。 x
22六、（12分）设f(x)和g(x)是[a,b]上的可积函数，证明下列Schwarz 不等式 b b b ⎡⎤ ⎰f (x ) g (x ) dx ≤⎰[f (x ) ]dx ⎰[g (x ) ]dx 。 ⎢⎥a a ⎣a ⎦2
七、设 a,b 为常数，
x 1=a , x 2=b , x n =
求lim x n 。 n →∞x n -1+x n -2(n ≥3), 2