数学校本教材

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

前言

数学是地球上最古老的科学之一，早在人类文化的启蒙时期，就已有了数学的萌芽。对于数学的博大精深，古往今来许多圣哲、贤人作过不少精彩的论述，著名数学家陈省身先生曾写道：“我们欣赏数学，我们需要数学。”虽然朴实无华, 却十分耐人寻味。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻克艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对数学的兴趣就是我们编写校本教材的目的。

在素质教育已成为全社会共识的今天，能不能转变教育教学观念，将直接关系到素质教育的成败。我们深切感受到，只有立足本校实际，以课改理念为先导，以创新实践为动力，深入挖掘校本课程资源，不断丰富校园文化，让学生体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和价值，体验到数学的魅力，从而培养学生的数学应用能力。

愿数学校本课程能成为你数学学习的开胃苹果，让你每天喜欢数学更多一点，并最终提升数学发展的持续动力。“问渠那得清如许，为有源头活水来”。数学校本课程就是你数学活力的不竭源泉。

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1 数与式的运算

1.1.1绝对值第3页 1.1.2. 乘法公式第4页 1.1.3．二次根式 1.1. ４．分式 1．2 分解因式

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

第5-6页第7-8页第9-10页第11-12页第13-16页第17-21页第22-24页第25-27页第28-29页第30-34页

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1 数与式的运算

1. １.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

⎧a , a >0, ⎪

|a |=⎨0, a =0,

⎪-a , a

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 解不等式：x -+x -3＞4．

解法一：由x -1=0，得x =1；由x -3=0，得x =3； ①若x 4，即-2x +4＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0； ②若1≤x 4，即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若x ≥3，不等式可变为(x -1) +(x -3) >4，即2x -4＞4，解得x ＞4．又x ≥3， ∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|x －3| |PB |＝|x －3|．

所以，不等式x -+x -3＞4的几何意义即为

|x －1| |P A |＋|PB |＞4．

图1．1－1

由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0) 的左侧、或点P 在点D (坐标为4) 的右侧． x ＜0，或x ＞4

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2；（2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3；（2）立方差公式 (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；

（3）三数和平方公式 (a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ；（4）两数和立方公式 (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3；（5）两数差立方公式 (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：(x +1)(x -1)(x 2-x +1)(x 2+x +1) ．

222

⎤(x +1) -x 解法一：原式=(x 2-1) ⎡⎣⎦

=(x 2-1)(x 4+x 2+1) =x 6-1．

解法二：原式=(x +1)(x 2-x +1)(x -1)(x 2+x +1) =(x 3+1)(x 3-1) =x 6-1．

例2 已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a 2+b 2+c 2的值．解： a 2+b 2+c 2=(a +b +c ) 2-2(ab +bc +ac ) =8

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1.3．二次根式

一般地，

a ≥0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、

且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

x +

1，x 2+

y 2 2

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式

，例如

与

，

与

一般地，

与

，

与

b 与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式=a ≥0, b ≥0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

=a =⎨

⎧a , a ≥0,

-a , a

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1

（2

a ≥0) ；（3

（2

==a ≥0) ；（3

=2x =-2x x

(3．解法一：

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

解法二：

．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1

（2

解：（1）

，

>，

（2

）∵=

== 1 又 4＞26＋46＋2，

例4

化简：2004⋅2005．

解：2004⋅

2005＝2004⋅2004⋅

⎤

＝⎡⎣⋅-⎦

2004

⋅＝12004⋅

．

例 5 化简：（1

；（2

解：（1

）原式=

2=2．

（2）原式

=x -

，∵01>x ，

x x

所以，原式＝-x ．

解：

∵x +y =

例 6

已知x =

3x 2-5xy +3y 2的值． y =

=2+2=10，

=1， 2222

∴3x -5xy +3y =3(x +y ) -11xy =3⨯10-11=289．

xy =

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1. ４．分式

1．分式的意义

形如的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称为分式．当M ≠0时，分式具有下列性质：

A A ⨯M A A ÷M =； =． B B ⨯M B B ÷M

B A B

A B

上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式

m +n +p

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁

2m c +d

n +p

分式．

例1 若

A x

5x +4A B

=+，求常数A , B 的值． x (x +2) x x +2

解： +

⎧A +B =5, B A (x +2) +Bx (A +B ) x +2A 5x +4

===，∴⎨ x +2x (x +2) x (x +2) x (x +2) ⎩2A =4,

解得 A =2, B =3．

111

=-（其中n 是正整数）； n (n +1) n n +1111++ + （2）计算：； 1⨯22⨯39⨯10

例2 （1）试证：

（3）证明：对任意大于1的正整数n ，有

1111

++ +

11(n +1) -n 1

==（1）证明：-，

n n +1n (n +1) n (n +1) 111

=- （其中n 是正整数）成立． n (n +1) n n +1

（2）解：由（1）可知

111++ + 1⨯22⨯39⨯1011111

=(1-) +(-) + +(-)

22391019

=1-＝．

1010

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

111

++ +

2⨯33⨯4n (n +1) 111111

) ＝(-) +(-) + +(-

2334n n +111

＝-，

2n +1

（3）证明：又n ≥2，且n 是正整数，

一定为正数，

n ＋1

1111

＜． ++ +

22⨯33⨯4n (n +1)

例3 设e =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得

2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2) ＝0，

∴e ＝2 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．

c a

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）x 2-(a +b ) xy +aby 2；（4）xy -1+x -y ．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2) ．

x x

－1 －2

1 1

－1 －2

1 1

图1．2－3

－2 6

x x

－ay －by

图1．2－1

图1．2－2 图1．2－4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ．（3）由图1．2－4，得

x 2-(a +b ) xy +aby 2＝(x -ay )(x -by ) （4）xy -1+x -y ＝xy ＋(x －y ) －1

＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．

x y

－1 1

图1．2－5

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：

（1）x 3+9+3x 2+3x ；（2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6．解：（1）x 3+9+3x 2+3x =(x 3+3x 2) +(3x +9) =x 2(x +3) +3(x +3) =(x +3)(x 2+3) ．

或x 3+9+3x 2+3x ＝(x 3+3x 2+3x +1) +8＝(x +1) 3+8＝(x +1) 3+23 ＝[(x +1) +2][(x +1) 2-(x +1) ⨯2+22] ＝(x +3)(x 2+3) ．

（2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=2x 2+(y -4) x -y 2+5y -6 =2x 2+(y -4) x -(y -2)(y -3) =(2x -y +2)(x +y -3) ．

或

2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=(2x 2+xy -y 2) -(4x -5y ) -6

=(2x -y )(x +y ) -(4x -5y ) -6 =(2x -y +2)(x +y -3) ．

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 的因式分解．若关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1、x 2，则二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为a (x -x 1)(x -x 2) .

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）x 2+2x -1；（2）x 2+4xy -4y 2．解：（1）令x 2+2x -1=0

，则解得x 1=-1

x 2=-1，

⎤⎡⎤ ∴x 2+2x -

1=⎡⎣x -(-1⎦⎣x -(-1-⎦

=(x +1x +1．

（2）令x 2+4xy -4y 2=0，则解

得x 1=(-2+

y ，

x 1=(-2-y ，

∴x 2+4xy -

4y 2=[x +2(1y ][x +2(1y ]．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x 1，2

； b 2b 2-4ac (x +) =． ① 22a 4a

（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x 1＝x 2＝－

左边(x +b ； 2a （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的b 2) 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 2a

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x 1，2

；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝－b ； 2a

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；

（3） x 2－ax ＋(a －1) ＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1) ＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

a a ，

x 2=． x 1=22

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a 2－4×1×(a －1) ＝a 2－4a ＋4＝(a －2) 2，

所以，

①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根

x 1＝1，x 2＝a －1．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a ) ，

所以

①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根

x 1=1

x 2=1

②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根

x 1=

，x 2=，则有

-b -b -2

b b

x 1+x 2=+==-；

2a a

b 2-(b 2-4ac ) 4ac c x 1x 2===2=． 24a 4a a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-，

a b a x 1·x 2＝．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，

即 p ＝－(x 1＋x 2) ，q ＝x 1·x 2，

所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．因此有

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．

例2 已知方程5x 2+kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k ×2－6＝0，

∴k ＝－7．

所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－．

所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7． 3

535

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－，∴x 1＝－．由（－）＋2＝－，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7．

例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2) x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得

x 1＋x 2＝－2(m －2) ，x 1·x 2＝m 2＋4．

∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，

∴(x 1＋x 2) 2－3 x1·x 2＝21，

即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4) ＝21，

化简，得 m 2－16m －17＝0，

解得 m ＝－1，或m ＝17．

当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，m ＝17．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．

（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x ，y ，

则 x ＋y ＝4， ①

xy ＝－12． ②

由①，得 y ＝4－x ，

代入②，得

x (4－x ) ＝－12，

即 x 2－4x －12＝0，

653535k 535

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

∴x 1＝－2，x 2＝6．

⎧x 1=-2, ⎧x 2=6, ∴⎨ 或⎨ y =6, y =-2. ⎩1⎩2

因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

x 2－4x －12＝0

的两个根．

解这个方程，得

x 1＝－2，x 2＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．

（1）求| x1－x 2|的值；

（2）求

11的值； +x 12x 22（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， 5232 ∴x 1+x 2=-，x 1x 2=-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2) 2－4 x 1x 2＝

2549＋6＝， 4453(-) 2-4⨯(-) 22 ＝

2 ∴| x1－x 2|＝．

（2x +x 211+=x 12x 22x ⋅x 2221212（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x12－x 1x 2＋x 22) ＝(x 1＋x 2)[ ( x1＋x 2) 2－3x 1x 2]

25232215． 85325(-) 2-2⨯(-) +3(x 1+x 2) -2x 1x 237=． ===329(x 1x 2) 29(-) 242 ＝(－)×[(－) 2－3×(-)]＝－

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则

-b -b ，x 2=， x 1=

2a 2a

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

∴| x1－x 2|

=． =|a ||a |

于是有下面的结论：

若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x1－x 2|

Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．

解：设x 1，x 2是方程的两根，则

x 1x 2＝a －4＜0， ①

且Δ＝(－1) 2－4(a －4) ＞0． ②

由①得 a ＜4，

17由②得 a ＜4 ．

∴a 的取值范围是a ＜4．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质

问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．

2把相应的x 的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y ＝

x 2y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1

我们可以得到这两个函数图象之间的关系：

函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象

各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出

函数y ＝x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两1

2图2.2-1 12

个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y 2＝x 的图象各点的纵坐标变为原来的a 2倍得到．在二次函数y ＝ax (a ≠0)中，二

次项系数a 决定了图象的开口方向和在

同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k 与y ＝

ax 2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函

数图象之间的关系来研究它们之间的关图2.2-2 2系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1) ＋1

与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

可以得到函数y ＝2(x ＋1) 2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1) 2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：

b b b 2b 22由于y ＝ax ＋bx ＋c ＝a (x ＋x ) ＋c ＝a (x ＋x ＋2) ＋c － a a 4a 4a

b 2b 2-4ac =a (x +) +， 2a 4a 22所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标b b b 4ac -b 2

) ，对称轴为直线x ＝－为(-, ；当x ＜-时，y 随着x 2a 2a 2a 4a

b b 的增大而减小；当x ＞-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝-时，2a 2a

4ac -b 2函数取最小值y ＝． 4a

（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐b b b 4ac -b 2

) ，对称轴为直线x ＝－标为(-, ；当x ＜-时，y 随着x 2a 2a 2a 4a

b b 的增大而增大；当x ＞-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝-时，2a 2a

4ac -b 2函数取最大值y ＝． 4a

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

图2.2-4 图2.2-3

例1 求二次函数y ＝

－3x 2－6x ＋1图象的

开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最

小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而

增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1) 2＋4，

∴函数图象的开口向下；

对称轴是直线x ＝－1；

顶点坐标为(－1，4) ；

当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；

当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；

当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；图2.2－5 采用描点法画图，选顶点A (－1，4)) ，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D (0，1) ，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x 大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120) ，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ）

将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有

⎧70=130k +b , ⎨50=150k +b , ⎩

解得 k ＝－1，b ＝200．

∴ y ＝－x ＋200．

设每天的利润为z （元），则

z ＝(－x +200)(x －120) ＝－x 2＋320x －24000

＝－(x －160) 2＋1600，

∴当x ＝160时，z 取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．

解法一：y ＝x 2b 2b 2＋bx ＋c ＝(x +) +c -24，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4⎧b --4=0, ⎪⎪2 ⎨2⎪c -b +2=0, ⎪4⎩b b 22个单位，得到y =(x ++4) +c -+2的图像，也就24是函数y ＝x 2的图像，所以，解得b ＝－8，c ＝14．

解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．

由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4) 2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．

例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．

解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，

4) ，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；

（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；

（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；

（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．

③ ② ①

说图2.2－6 明：在

本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

2．顶点式：y ＝a (x ＋h ) 2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k ) ．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．

当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有

ax 2＋bx ＋c ＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0) ，B (x 2，0) ，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以

x 1＋x 2＝-，x 1x 2＝，

b c ＝－(x 1＋x 2) ，＝x 1x 2． a a

b c 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2+x +) a a b a c a 即

= a[x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1x 2]

＝a (x －x 1) (x －x 2) ．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0) ，B (x 2，0) 两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，

所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为y =a (x -2) 2+1(a

∵二次函数的图像经过点（3，－1），

∴-1=a (3-2) 2+1，解得a ＝－2．

∴二次函数的解析式为y =-2(x -2) 2+1，即y ＝－2x 2＋8x －7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，

∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，

-12a 2-4a 2

=-4a ，展开，得 y ＝ax ＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为 4a 2

由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，

∴|－4a |＝2，即a ＝±．

所以，二次函数的表达式为y ＝x 2+x -，或y ＝－x 2-x +．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0) ，或(1，0) ，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，

∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，

∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1) 2＋2，或y ＝a (x ＋1) 2－2，

由于函数图象过点(1，0) ，

∴0＝a (1＋1) 2＋2，或0＝a (1＋1) 2－2．

∴a ＝－，或a ＝．

所以，所求的二次函数为y ＝－(x ＋1) 2＋2，或y ＝(x ＋1) 2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，求此二次函数的表达式．

解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由函数图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，可得

⎧-22=a -b +c , ⎪ 解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8． ⎨-8=c ,

⎪8=4a +2b +c , ⎩[***********]

所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；

（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．

解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为

y ＝2(x －1) 2－1，

其顶点坐标为(1，－1) ．

（1）把函数y ＝2(x －1) 2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2) ，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为

y ＝2(x －3) 2－2．

（2）把函数y ＝2(x －1) 2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2) ，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为

y ＝2(x ＋1) 2＋2．

2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2 求把二次函数y ＝2x 2

－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解

析式：

（1）直线x ＝－1；

（2）直线y ＝1．解：（1）如图2．2－7，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关

于直线x ＝－1作对称变换后，只图2.2－7

改变图象的顶点位置，不改变其

形状．

由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1) 2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为A 1(－3，1) ，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝2(x ＋3) 2－1，即y ＝2x 2＋12x ＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y ＝22x －4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口

方向，不改变其形状．由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1) 2－1，可

知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,

－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为

B (1，3) ，且开口向下，所以，二次函数y 图2.2－8 ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1对称

后所得到图象的函数解析式为y ＝－2(x －1) 2＋3，即y ＝－2x 2＋4x ＋1．

二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．

例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为

⎧⎪80, x ∈(0, 20]

160x ∈(20, 4

y =⎪⎪0]

⎨240, x ∈940, 80]

⎪⎪320x ∈(60, 80]

⎪⎩400, x ∈(80, 100]

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．

y ()

图2.2－9

2－9所示．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

方程 x 2+2xy +y 2+x +y +6=0

是一个含有两个未知数, 并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程, 这样的方程叫做二元二次方程．其中x 2, 2xy , y 2叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

⎧x 2-4y 2+x +3y -1=0, ⎨⎩2x -y -1=0;

22⎧⎪x +y =20, ⎨2 2⎪⎩x -5xy +6y =0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

例1 解方程组

⎧x 2+4y 2-4=0, ⎨ x -2y -2=0. ⎩①②

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．

解：由②, 得

x ＝2y ＋2， ③

把③代入①, 整理, 得

8y 2＋8y ＝0，

即 y (y ＋1) ＝0．

解得 y 1＝0，y 2＝－1．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2；

把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．

所以原方程组的解是

⎨⎧x 1=2, ⎧x =0, ⎨2 ⎩y 1=0，⎩y 2=-1.

说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．

例2 解方程组

⎨⎧x +y =7, ⎩xy =12. ① ②

解法一：由①，得

x =7-y . ③

把③代入②，整理，得

y 2-7y +12=0

解这个方程，得

y 1=3, y 2=4．

把y 1=3代入③，得x 1=4；

把y 2=4代入③，得x 2=3．

所以原方程的解是

⎨⎧x 1=4, ⎧x =3, ⎨2

⎩y 1=3，⎩y 2=4.

解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x , y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x , y ．

这个方程组的x , y 是一元二次方程

z 2-7z -12=0

的两个根，解这个方程，得

z =3，或z =4．

所以原方程组的解是

⎨

⎧x 1=4, ⎧x 2=3, ⎨ ⎩y 1=3; ⎩y 2=4.

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.3.2 一元二次不等式解法

二次函数y ＝x 2－x －6的对应值表与图象如下：

由对应值表及函数图象(如图2.3－1) 可知

图2.3－1

当x ＝－2，或x ＝3时，y ＝0，即x 2－x ＝6＝0；

当x ＜－2，或

x ＞3时，y ＞0，即x 2－x －6＞0；

当－2＜x ＜3时，y ＜0，即x 2－x －6＜0．

这就是说，如果抛物线y = x2－x －6与x 轴的交点是(－2，0) 与(3，0) ，那么

一元二次方程

x 2－x －6＝0

的解就是

x 1＝－2，x 2＝3；

同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式

x 2－x －6＞0

的解是

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

x ＜－2，或x ＞3；

一元二次不等式

x 2－x －6＜0

的解是

－2＜x ＜3．

上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．

那么，怎样解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)．

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0) ，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示) ，因此，我们可以分下列三种情况

③ ① ②

图2.3－2

讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．

（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0) 和(x 2，0) ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2) ，由图2.3－2①可知

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为

x ＜x 1，或x ＞x 2；

不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为

x 1＜x ＜x 2．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b

2a ，由图2.3－2②可知

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为

b x ≠－2a ；

不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．

（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数；

不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．

今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．

例3 解不等式：

（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0；

（3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；

（5）－4＋x －x 2＜0．

解：（1）∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是

x 1＝－3，x 2＝1．

∴不等式的解为

－3≤x ≤1．

（2）整理，得

x 2－x －6＞0．

∵Δ＞0，方程x 2－x －6=0的解为

x 1＝－2，x 2＝3．

∴所以，原不等式的解为

x ＜－2，或x ＜3．

（3）整理，得

(2x ＋1) 2≥0.

由于上式对任意实数x 都成立，

∴原不等式的解为一切实数．

（4）整理，得

(x －3) 2≤0.

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

由于当x ＝3时，(x －3) 2＝0成立；而对任意的实数x ，(x －3) 2＜0都不成立，

∴原不等式的解为

x ＝3．

（5）整理，得

x 2－x ＋4＞0．

Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．

例4 已知不等式ax 2+bx +c 3求不等式bx 2+ax +c >0的解．

解：由不等式ax 2+bx +c 3，可知

b c =6．即 =-5, a a

由于a 0可变为

b c x 2+x +

即－5x 2+x +6

整理，得

5x 2-x -6>0,

所以，不等式bx 2+ax -c >0的解是

6 x ＜－1，或x ＞5 ．

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．例5 解关于x 的一元二次不等式x 2+ax +1>0(a 为实数).

分析对于一元二次不等式, 按其一般解题步骤, 首先应该将二次项系数变成正数, 本题已满足这一要求, 欲求一元二次不等式的解, 要讨论根的判别式∆的符号, 而这里的∆是关于未知系数的代数式, ∆的符号取决于未知系数的取值范围，因此, 再根据解题的需要, 对∆的符号进行分类讨论.

解: ∆=a 2-4,

①当∆>0, 即a 2时, 方程x 2+ax +1=0的解是

x 1=x 2=

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

-a --a 所以,

原不等式的解集为x

或x >22

②当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式的解为

a x ≠－2 ；

③当∆综上, 当a ≤－2，或a ≥2时，原不等式的解是

或x >当-2

例6 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数) 在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．

分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．

解：∵y ＝(x －a ) 2＋1－a 2，

∴抛物线y ＝x 2－2ax ＋1的对称轴方程是x ＝a ．

（1）若－2≤a ≤1，由图2.3-3①可知, 当x ＝a 时，该函数取最小值 n ＝1－a 2；

(2)若a ＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x ＝-2时，该函数取最小值 n ＝4a +5；

(2)若a ＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x ＝1时，该函数取最小值 n ＝-2a +2.

综上, 函数的最小值为

⎧4a +5, a

⎪-2a +2, a >1. ⎩

①

图2.3－3

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

前言

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1 数与式的运算

1.1.1绝对值第3页 1.1.2. 乘法公式第4页 1.1.3．二次根式 1.1. ４．分式 1．2 分解因式

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

第5-6页第7-8页第9-10页第11-12页第13-16页第17-21页第22-24页第25-27页第28-29页第30-34页

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1 数与式的运算

1. １.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

⎧a , a >0, ⎪

|a |=⎨0, a =0,

⎪-a , a

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 解不等式：x -+x -3＞4．

综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．

所以，不等式x -+x -3＞4的几何意义即为

|x －1| |P A |＋|PB |＞4．

图1．1－1

由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0) 的左侧、或点P 在点D (坐标为4) 的右侧． x ＜0，或x ＞4

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1.2. 乘法公式

（1）立方和公式 (a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3；（2）立方差公式 (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；

222

⎤(x +1) -x 解法一：原式=(x 2-1) ⎡⎣⎦

=(x 2-1)(x 4+x 2+1) =x 6-1．

解法二：原式=(x +1)(x 2-x +1)(x -1)(x 2+x +1) =(x 3+1)(x 3-1) =x 6-1．

例2 已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a 2+b 2+c 2的值．解： a 2+b 2+c 2=(a +b +c ) 2-2(ab +bc +ac ) =8

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1.3．二次根式

一般地，

a ≥0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、

且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

x +

1，x 2+

y 2 2

1．分母（子）有理化

，例如

与

，

与

一般地，

与

，

与

b 与b 互为有理化因式．

=a =⎨

⎧a , a ≥0,

-a , a

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1

（2

a ≥0) ；（3

（2

==a ≥0) ；（3

=2x =-2x x

(3．解法一：

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

解法二：

．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1

（2

解：（1）

，

>，

（2

）∵=

== 1 又 4＞26＋46＋2，

例4

化简：2004⋅2005．

解：2004⋅

2005＝2004⋅2004⋅

⎤

＝⎡⎣⋅-⎦

2004

⋅＝12004⋅

．

例 5 化简：（1

；（2

解：（1

）原式=

2=2．

（2）原式

=x -

，∵01>x ，

x x

所以，原式＝-x ．

解：

∵x +y =

例 6

已知x =

3x 2-5xy +3y 2的值． y =

=2+2=10，

=1， 2222

∴3x -5xy +3y =3(x +y ) -11xy =3⨯10-11=289．

xy =

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1.1. ４．分式

1．分式的意义

形如的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称为分式．当M ≠0时，分式具有下列性质：

A A ⨯M A A ÷M =； =． B B ⨯M B B ÷M

B A B

A B

上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式

m +n +p

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁

2m c +d

n +p

分式．

例1 若

A x

5x +4A B

=+，求常数A , B 的值． x (x +2) x x +2

解： +

⎧A +B =5, B A (x +2) +Bx (A +B ) x +2A 5x +4

===，∴⎨ x +2x (x +2) x (x +2) x (x +2) ⎩2A =4,

解得 A =2, B =3．

111

=-（其中n 是正整数）； n (n +1) n n +1111++ + （2）计算：； 1⨯22⨯39⨯10

例2 （1）试证：

（3）证明：对任意大于1的正整数n ，有

1111

++ +

11(n +1) -n 1

==（1）证明：-，

n n +1n (n +1) n (n +1) 111

=- （其中n 是正整数）成立． n (n +1) n n +1

（2）解：由（1）可知

111++ + 1⨯22⨯39⨯1011111

=(1-) +(-) + +(-)

22391019

=1-＝．

1010

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

111

++ +

2⨯33⨯4n (n +1) 111111

) ＝(-) +(-) + +(-

2334n n +111

＝-，

2n +1

（3）证明：又n ≥2，且n 是正整数，

一定为正数，

n ＋1

1111

＜． ++ +

22⨯33⨯4n (n +1)

例3 设e =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得

2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2) ＝0，

∴e ＝2 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．

c a

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）x 2-(a +b ) xy +aby 2；（4）xy -1+x -y ．

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2) ．

x x

－1 －2

1 1

－1 －2

1 1

图1．2－3

－2 6

x x

－ay －by

图1．2－1

图1．2－2 图1．2－4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ．（3）由图1．2－4，得

x 2-(a +b ) xy +aby 2＝(x -ay )(x -by ) （4）xy -1+x -y ＝xy ＋(x －y ) －1

＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．

x y

－1 1

图1．2－5

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：

（1）x 3+9+3x 2+3x ；（2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6．解：（1）x 3+9+3x 2+3x =(x 3+3x 2) +(3x +9) =x 2(x +3) +3(x +3) =(x +3)(x 2+3) ．

或x 3+9+3x 2+3x ＝(x 3+3x 2+3x +1) +8＝(x +1) 3+8＝(x +1) 3+23 ＝[(x +1) +2][(x +1) 2-(x +1) ⨯2+22] ＝(x +3)(x 2+3) ．

（2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=2x 2+(y -4) x -y 2+5y -6 =2x 2+(y -4) x -(y -2)(y -3) =(2x -y +2)(x +y -3) ．

或

2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=(2x 2+xy -y 2) -(4x -5y ) -6

=(2x -y )(x +y ) -(4x -5y ) -6 =(2x -y +2)(x +y -3) ．

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）x 2+2x -1；（2）x 2+4xy -4y 2．解：（1）令x 2+2x -1=0

，则解得x 1=-1

x 2=-1，

⎤⎡⎤ ∴x 2+2x -

1=⎡⎣x -(-1⎦⎣x -(-1-⎦

=(x +1x +1．

（2）令x 2+4xy -4y 2=0，则解

得x 1=(-2+

y ，

x 1=(-2-y ，

∴x 2+4xy -

4y 2=[x +2(1y ][x +2(1y ]．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x 1，2

； b 2b 2-4ac (x +) =． ① 22a 4a

（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x 1＝x 2＝－

左边(x +b ； 2a （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的b 2) 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 2a

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x 1，2

；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝－b ； 2a

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；

（3） x 2－ax ＋(a －1) ＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1) ＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

a a ，

x 2=． x 1=22

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a 2－4×1×(a －1) ＝a 2－4a ＋4＝(a －2) 2，

所以，

①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根

x 1＝1，x 2＝a －1．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a ) ，

所以

①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根

x 1=1

x 2=1

②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝1；

③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根

x 1=

，x 2=，则有

-b -b -2

b b

x 1+x 2=+==-；

2a a

b 2-(b 2-4ac ) 4ac c x 1x 2===2=． 24a 4a a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-，

a b a x 1·x 2＝．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，

即 p ＝－(x 1＋x 2) ，q ＝x 1·x 2，

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．

例2 已知方程5x 2+kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k ×2－6＝0，

∴k ＝－7．

所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－．

所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7． 3

535

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－，∴x 1＝－．由（－）＋2＝－，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7．

例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2) x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．

解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得

x 1＋x 2＝－2(m －2) ，x 1·x 2＝m 2＋4．

∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，

∴(x 1＋x 2) 2－3 x1·x 2＝21，

即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4) ＝21，

化简，得 m 2－16m －17＝0，

解得 m ＝－1，或m ＝17．

当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，m ＝17．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x ，y ，

则 x ＋y ＝4， ①

xy ＝－12． ②

由①，得 y ＝4－x ，

代入②，得

x (4－x ) ＝－12，

即 x 2－4x －12＝0，

653535k 535

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

∴x 1＝－2，x 2＝6．

⎧x 1=-2, ⎧x 2=6, ∴⎨ 或⎨ y =6, y =-2. ⎩1⎩2

因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

x 2－4x －12＝0

的两个根．

解这个方程，得

x 1＝－2，x 2＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．

（1）求| x1－x 2|的值；

（2）求

2549＋6＝， 4453(-) 2-4⨯(-) 22 ＝

2 ∴| x1－x 2|＝．

（2x +x 211+=x 12x 22x ⋅x 2221212（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x12－x 1x 2＋x 22) ＝(x 1＋x 2)[ ( x1＋x 2) 2－3x 1x 2]

25232215． 85325(-) 2-2⨯(-) +3(x 1+x 2) -2x 1x 237=． ===329(x 1x 2) 29(-) 242 ＝(－)×[(－) 2－3×(-)]＝－

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则

-b -b ，x 2=， x 1=

2a 2a

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

∴| x1－x 2|

=． =|a ||a |

于是有下面的结论：

若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x1－x 2|

Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．

解：设x 1，x 2是方程的两根，则

x 1x 2＝a －4＜0， ①

且Δ＝(－1) 2－4(a －4) ＞0． ②

由①得 a ＜4，

17由②得 a ＜4 ．

∴a 的取值范围是a ＜4．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质

问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？

先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．

2把相应的x 的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y ＝

x 2y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1

我们可以得到这两个函数图象之间的关系：

函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象

各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出

函数y ＝x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两1

2图2.2-1 12

个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．

次项系数a 决定了图象的开口方向和在

同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k 与y ＝

ax 2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函

数图象之间的关系来研究它们之间的关图2.2-2 2系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1) ＋1

与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

可以得到函数y ＝2(x ＋1) 2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1) 2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：

b b b 2b 22由于y ＝ax ＋bx ＋c ＝a (x ＋x ) ＋c ＝a (x ＋x ＋2) ＋c － a a 4a 4a

（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标b b b 4ac -b 2

) ，对称轴为直线x ＝－为(-, ；当x ＜-时，y 随着x 2a 2a 2a 4a

b b 的增大而减小；当x ＞-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝-时，2a 2a

4ac -b 2函数取最小值y ＝． 4a

（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐b b b 4ac -b 2

) ，对称轴为直线x ＝－标为(-, ；当x ＜-时，y 随着x 2a 2a 2a 4a

b b 的增大而增大；当x ＞-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝-时，2a 2a

4ac -b 2函数取最大值y ＝． 4a

图2.2-4 图2.2-3

例1 求二次函数y ＝

－3x 2－6x ＋1图象的

开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最

小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而

增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1) 2＋4，

∴函数图象的开口向下；

对称轴是直线x ＝－1；

顶点坐标为(－1，4) ；

当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；

当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x 大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ）

将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有

⎧70=130k +b , ⎨50=150k +b , ⎩

解得 k ＝－1，b ＝200．

∴ y ＝－x ＋200．

设每天的利润为z （元），则

z ＝(－x +200)(x －120) ＝－x 2＋320x －24000

＝－(x －160) 2＋1600，

∴当x ＝160时，z 取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．

解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，

4) ，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；

（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；

（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；

（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．

③ ② ①

说图2.2－6 明：在

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有

ax 2＋bx ＋c ＝0． ①

（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0) ，B (x 2，0) ，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以

x 1＋x 2＝-，x 1x 2＝，

b c ＝－(x 1＋x 2) ，＝x 1x 2． a a

b c 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2+x +) a a b a c a 即

= a[x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1x 2]

＝a (x －x 1) (x －x 2) ．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0) ，B (x 2，0) 两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，

所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为y =a (x -2) 2+1(a

∵二次函数的图像经过点（3，－1），

∴-1=a (3-2) 2+1，解得a ＝－2．

∴二次函数的解析式为y =-2(x -2) 2+1，即y ＝－2x 2＋8x －7．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，

∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，

-12a 2-4a 2

=-4a ，展开，得 y ＝ax ＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为 4a 2

由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，

∴|－4a |＝2，即a ＝±．

∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，

∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1) 2＋2，或y ＝a (x ＋1) 2－2，

由于函数图象过点(1，0) ，

∴0＝a (1＋1) 2＋2，或0＝a (1＋1) 2－2．

∴a ＝－，或a ＝．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，求此二次函数的表达式．

解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由函数图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，可得

⎧-22=a -b +c , ⎪ 解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8． ⎨-8=c ,

⎪8=4a +2b +c , ⎩[***********]

所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；

（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为

y ＝2(x －1) 2－1，

其顶点坐标为(1，－1) ．

y ＝2(x －3) 2－2．

y ＝2(x ＋1) 2＋2．

2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2 求把二次函数y ＝2x 2

－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解

析式：

（1）直线x ＝－1；

（2）直线y ＝1．解：（1）如图2．2－7，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关

于直线x ＝－1作对称变换后，只图2.2－7

改变图象的顶点位置，不改变其

形状．

（2）如图2．2－8，把二次函数y ＝22x －4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口

方向，不改变其形状．由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1) 2－1，可

知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,

－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为

B (1，3) ，且开口向下，所以，二次函数y 图2.2－8 ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1对称

后所得到图象的函数解析式为y ＝－2(x －1) 2＋3，即y ＝－2x 2＋4x ＋1．

二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为

⎧⎪80, x ∈(0, 20]

160x ∈(20, 4

y =⎪⎪0]

⎨240, x ∈940, 80]

⎪⎪320x ∈(60, 80]

⎪⎩400, x ∈(80, 100]

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．

y ()

图2.2－9

2－9所示．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

方程 x 2+2xy +y 2+x +y +6=0

我们看下面的两个方程组：

⎧x 2-4y 2+x +3y -1=0, ⎨⎩2x -y -1=0;

22⎧⎪x +y =20, ⎨2 2⎪⎩x -5xy +6y =0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

例1 解方程组

⎧x 2+4y 2-4=0, ⎨ x -2y -2=0. ⎩①②

解：由②, 得

x ＝2y ＋2， ③

把③代入①, 整理, 得

8y 2＋8y ＝0，

即 y (y ＋1) ＝0．

解得 y 1＝0，y 2＝－1．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2；

把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．

所以原方程组的解是

⎨⎧x 1=2, ⎧x =0, ⎨2 ⎩y 1=0，⎩y 2=-1.

说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．

例2 解方程组

⎨⎧x +y =7, ⎩xy =12. ① ②

解法一：由①，得

x =7-y . ③

把③代入②，整理，得

y 2-7y +12=0

解这个方程，得

y 1=3, y 2=4．

把y 1=3代入③，得x 1=4；

把y 2=4代入③，得x 2=3．

所以原方程的解是

⎨⎧x 1=4, ⎧x =3, ⎨2

⎩y 1=3，⎩y 2=4.

解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x , y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x , y ．

这个方程组的x , y 是一元二次方程

z 2-7z -12=0

的两个根，解这个方程，得

z =3，或z =4．

所以原方程组的解是

⎨

⎧x 1=4, ⎧x 2=3, ⎨ ⎩y 1=3; ⎩y 2=4.

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

2.3.2 一元二次不等式解法

二次函数y ＝x 2－x －6的对应值表与图象如下：

由对应值表及函数图象(如图2.3－1) 可知

图2.3－1

当x ＝－2，或x ＝3时，y ＝0，即x 2－x ＝6＝0；

当x ＜－2，或

x ＞3时，y ＞0，即x 2－x －6＞0；

当－2＜x ＜3时，y ＜0，即x 2－x －6＜0．

这就是说，如果抛物线y = x2－x －6与x 轴的交点是(－2，0) 与(3，0) ，那么

一元二次方程

x 2－x －6＝0

的解就是

x 1＝－2，x 2＝3；

同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式

x 2－x －6＞0

的解是

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

x ＜－2，或x ＞3；

一元二次不等式

x 2－x －6＜0

的解是

－2＜x ＜3．

上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．

那么，怎样解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)．

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．

③ ① ②

图2.3－2

讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为

x ＜x 1，或x ＞x 2；

不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为

x 1＜x ＜x 2．

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b

2a ，由图2.3－2②可知

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为

b x ≠－2a ；

不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．

（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数；

不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．

例3 解不等式：

（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0；

（3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；

（5）－4＋x －x 2＜0．

解：（1）∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是

x 1＝－3，x 2＝1．

∴不等式的解为

－3≤x ≤1．

（2）整理，得

x 2－x －6＞0．

∵Δ＞0，方程x 2－x －6=0的解为

x 1＝－2，x 2＝3．

∴所以，原不等式的解为

x ＜－2，或x ＜3．

（3）整理，得

(2x ＋1) 2≥0.

由于上式对任意实数x 都成立，

∴原不等式的解为一切实数．

（4）整理，得

(x －3) 2≤0.

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

由于当x ＝3时，(x －3) 2＝0成立；而对任意的实数x ，(x －3) 2＜0都不成立，

∴原不等式的解为

x ＝3．

（5）整理，得

x 2－x ＋4＞0．

Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．

例4 已知不等式ax 2+bx +c 3求不等式bx 2+ax +c >0的解．

解：由不等式ax 2+bx +c 3，可知

b c =6．即 =-5, a a

由于a 0可变为

b c x 2+x +

即－5x 2+x +6

整理，得

5x 2-x -6>0,

所以，不等式bx 2+ax -c >0的解是

6 x ＜－1，或x ＞5 ．

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．例5 解关于x 的一元二次不等式x 2+ax +1>0(a 为实数).

解: ∆=a 2-4,

①当∆>0, 即a 2时, 方程x 2+ax +1=0的解是

x 1=x 2=

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

-a --a 所以,

原不等式的解集为x

或x >22

②当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式的解为

a x ≠－2 ；

③当∆综上, 当a ≤－2，或a ≥2时，原不等式的解是

或x >当-2

例6 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数) 在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．

分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．

解：∵y ＝(x －a ) 2＋1－a 2，

∴抛物线y ＝x 2－2ax ＋1的对称轴方程是x ＝a ．

（1）若－2≤a ≤1，由图2.3-3①可知, 当x ＝a 时，该函数取最小值 n ＝1－a 2；

(2)若a ＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x ＝-2时，该函数取最小值 n ＝4a +5；

(2)若a ＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x ＝1时，该函数取最小值 n ＝-2a +2.

综上, 函数的最小值为

⎧4a +5, a

⎪-2a +2, a >1. ⎩

①

图2.3－3

广东省一级学校海丰县仁荣中学校本教材

相关文章