２０１５年第５４卷第１期数学通报
２７
从两个数学历史名题看古典概型的教学引人
李进东
（成都理工大学管理科学学院数学教学部６１００５９）
概率在日常生活中、科学预测中有着非常重家Ｆｅｒｍａｔ（费尔马）一起通信讨论研究．过了不要而广泛的应用，也是数学研究的一个重要分支．久，荷兰科学家Ｈｉｇｇｉｎｓ（惠更斯）来到巴黎，听说古典概型是人们最早研究的一种概率模型，它是了这个问题，他觉得这问题也有意思，对此进行了最简单而且最常用的一种基本概型，同时又是解研究．１６５７年，他写成了一本关于自己研究问题决某些复杂概率的基础，它是概率这一部分的一的专著《论赌博中的计算》．应该说帕斯卡、费尔个重点，在概率论中占有相当重要的地位．中学马和惠更斯是早期概率论的真正创立者．早期概数学高中教材中的《古典概型》一节是中学生学习率论主要就是计算各种不同的古典概率．那么什随机数学的一个很好的内容，也为学生进入大学么是古典概率？你能帮德・梅耳解决他的困惑学习《概率论与数理统计》作了相应的铺垫．因吗？学生听完这一段后兴奋起来，一种急于解决此，在教学中教师注意引导，不仅可以大力激发学德・梅耳问题的欲望和学习新知识的兴趣激发起生的兴趣和热情，还可以激发他们进行相应学术来了．
研究的兴趣、培养其研究能力．在这样的一个新课引入中，不仅介绍一些概１新课引入的教学
率的历史情况，而且通过一个历史名题一德・梅首先，在刚讲授《古典概型》这一节的时候，可耳问题给予学生一定的思考空间，并激发、提升了以借助数学史引入主题：在欧洲，几百年前，一些学生解决问题的一种欲望．这将起到很好的激发国家的贵族们喜欢赌博，最常见的一种方式就是和引导作用．
抛掷骰子来比点数的大小．因为骰子的形状是一２古典概率计算的教学引入
个六面正方体，每个面向上的可能性是一样的，也接下来教师便讲解古典概率的定义以及计算就是说当贵族们抛掷骰子时，骰子出现的点数是公式．为了体会古典概率的方法，教师都会选择１点到６点中任意一个数的可能性是一样的．有一些例题进行讲解、分析．但是选择的例题的类的赌徒想到这样一个问题：假如同时抛两颗骰子，型和内容却是十分重要的．如果教师能将数学史一种情况是出现的点数和是９，另一种情况是出中的有关的既有娱乐性又有知识性的趣题、名题现的点数和是ｌｏ，这两种情况，哪一种出现的可适当引入课堂，不仅会激发学生学习的兴趣、激发能性大一些呢？大约十七世纪的中期，法国～个学生勇于解决难题的斗志，而且也能激发学生深名叫德・梅耳的贵族非常喜欢抛掷骰子赌点数大入研究问题的信心、培养解决问题的能力．这些小．在经常抛掷的过程中，发现了一个令他困惑教学也为后续有志于概率论研究学习的同学作了的问题：他把一个骰子连续抛了四次，发现至少出很好的衔接．
现点数是六的时候多一些；可是他同时将两个骰首先，看一个盒子与球的游戏问题，我们把它子连续抛了２４次，发现至少出现点数是双六点的称为是盒球模型．
时候要少一些．这是怎么一回事呢？这就是概率例题ｌ
（盒球模型）、现有孢个球，Ｎ个不同
论历史上著名的德・梅耳问题．但他们自己无法的盒子，假设每个球放到Ｎ个盒子中的任意一个给出答案．于是就写信向当时法国一流的数学家可能性是相等的且每个盒子中所放球的数量不限Ｐａｓｃａｌ（帕斯卡）请教．Ｐａｓｃａｌ和当时一流的数学
定．试求
万方数据
２８
数学通报
２０１５年第５４卷第１期
（１）指定的咒（挖≤Ｎ）个盒子中各有一个球的
概率Ｐ１；
（２）恰好有咒（竹≤Ｎ）个盒子中各有一个球的概率Ｐ２．
解因为每个球都可放到Ｎ个盒子中的任意一个，所以竹个球放的方式共Ｎ”种，它们是等可能的．
（１）因为各有一球的咒个盒子已经指定，余下的没有球的Ｎ一佗个盒子也同时被指定，所以只需要考虑咒个球在指定的咒个盒子中各有一个球的种数．故
Ｐ。＝熹．
（２）问题（２）与问题（１）虽然只有几个字的差别，但意思却是不一样的．注意到“恰好有”的行个盒子可以来自在Ｎ个盒子中的任意聍个．所以首先应该从中任意取出这咒个盒子，其可能的取法种数为Ｃ：：，种；然后，将，ｚ个球放入选中的这行个盒子中，并且每个盒子各有１个球，共有咒！种放法．所以由乘法原则，共有Ｃ≈竹！一Ａ≈，故
驴等一鼎．
这个例题讲了以后，教师可以作一些说明．首先，表面上看，盒子模型讨论的是球和盒子问题，给人的感觉就是一种游戏，但在实际生活和社会经济现象中我们可以将这个模型应用到较多的实际问题中．物理学上，比如将球解释为“粒子”，把盒子解释为相空间中的小“区域”，则这个问题便是统计物理学中的马克斯威尔一波尔兹曼（Ｍａｘｗｅｌｌ一Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ）统计．这些介绍对有些专业的学生在后续的学习中是有所帮助的．
其次，应用这个盒球模型来讨论概率论历史上颇为有名的“生日问题”，这是十分有趣的．首先我们看大家熟悉的抽屉原理：把多于ｎ＋１个的物体放到咒个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物体不少于两个．根据抽屉原理，一年里最多有３６６天，把天看作抽屉，把人看作物体，这样３６７个人中必然就有两个人的生日在同一天．
然而，实际生活中，我们是不是一定要找到另外的３６６个人才能知道自己的生日和谁的生日相同呢？显然不是，因为２３个人当中，出现两个人生日相同的可能性就已经大于５０％了．为什么
万方数据
会是这样的一种现象呢？这与我们的直觉明显不一样．因为给我们的感觉应该是人数越多的情况下，两人生日相同的可能性才越大呀！下面看求解过程及其令人惊讶的结果．
在教学中，可以根据课堂时间做一个游戏：随堂让学生自报生日，看出现相同生日的学生数是多少？
在一次教学中，我们在１１８个人的教学班中，作了此次游戏，结果报告人数在３２个人时，就出现了生日相同的两个同学．
下面我们来看求解过程和令人惊讶的结果．
例题２（生日问题）设以个人中每个人的生日在一年３６５天中任一天是等可能的，求咒个人的生日全不相同的概率Ｐ。是多少？
解根据盒球模型，把３６５天看作３６５个盒
子，咒个人看作竹个球，那么“咒个人的生日全不相同”就好比盒球模型中的“恰好有７２（咒≤Ｎ）个盒子中各有一球”，由此得到
１“
ｐ一墨！！圣兰！垒圣：：：圣！！！！二丝±！１
’
３６５”
根据概率的性质得“以个人中至少有两个人的生日相同”的概率为１一Ｐ。．
经过计算，得到如下结果
ｎ
１０２０３０４０５０６４
Ｐ。
Ｏ．８８Ｏ．５８９Ｏ．２９４Ｏ．１０９Ｏ．０３０Ｏ．００３
１一Ｐ。
Ｏ．１１Ｏ．４１１Ｏ．７０６Ｏ．８９１Ｏ．９７０Ｏ．９９７
表所列的数据足以令人吃惊，因为很多人会认为一年３６５天，６０个人的生日至少有两个相同的概率应该较小，但事实上，其概率为ｏ．９９２２．这是出乎人们预料的！这个例子告诉我们有时“直观感觉”并不可靠！由此也说明了研究随机现象固有的统计规律性是重要的．３回看德・梅耳问题。首尾呼应
在讲解了古典概型的计算后，回到开头引入的历史名题，尝试着让学生来解决德・梅耳问题．一些学生，经过兴趣的激发、解决问题欲望的激发，会自己去思考这一问题，教师可以加以引导，评价．现在学完了这一小节后，发现原来是这样的．假设事件Ａ一“把一个骰子连抛四次，至少一次出现的点数是六”，事件Ｂ一“把两个骰子一起
（下转第３９页）
２０１５年第５４卷第１期
数学通报
３９
（２）若，（２）一３，解得ｎ一寺．此时抛物线开口
所以
厶
（１）如果ｏ＞Ｏ
朝上，闭区间右端点较左端点距离对称轴ｚ—ｏ远
１
些，故ｎ一去合乎条件；
耻＜一簪时厂，（ｚ）＜０，ｚ＞一蛩时
厶
，７（ｚ）＞ｏ．函数，（ｚ）在Ｒ上极小值．最大值只能，
０、
‘）
（３）若，《～号）一３，解得口＝一鲁．经检验，
、
厶，ｄ
在ｚ一一詈或ｚ一２时达到；
合乎条件．
（２）如果口＜Ｏ
１
９
综上，ｎ一÷或ｎ一一詈．厶
。
舭＜一簪时八ｚ）＞‰＞一簪时
可见，先计算特殊点的函数值，再检验其是否厂７（ｚ）＜ｏ．函数，（ｚ）在Ｒ上有极大值．最大值既
满足相应条件，直观明了，减少了讨论层次．
解题教学中，及时引导学生进行解题反思，提可能在ｚ一一掣时达到，也可能在ｚ一一要或
炼规律，优化解题过程，有益于养成精益求精的学
ｚ一２时达到．（求解过程略）
习习惯，发展思维能力，有效提高解题技能．
尽管此法不算简便。但新的方法让学生体会３融会贯通找新路
了导数方法在研究函数问题中的一般性和有效在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方性，拓宽了研究函数问题的渠道，拓展了思维空法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的．因间，提高了综合解题能力．
此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视我们在长期的教学实践中体会到，解题教学教学功能的挖掘、开发．复习课，尤其是高三复习只有摸准学情，从学生原有的认知经验出发，遵循时，学生已经有了较系统的知识储备，教学中应不学生思维特点，认真夯实通性通法，且不失时机引失时机启示学生融会贯通，综合运用所学知识、方导学生提炼规律，升华思维境界，融会贯通拓展思法从新的视角开辟解题通道．
维空间、发展思维能力，才能切实提高解题技能，当学生从规律中得到捷径而急于收兵时，我有效提高解题教学的效益．
们及时启示学生：导数是研究函数的重要工具，可否尝试利用导数探究新的解题途径呢？老师的启参考文献
示立刻激起了学生兴趣，纷纷动手寻找新的方案．１臧立本．例题教学中要引导学生进行探究活动［Ｊ］．数学通报，
２００７，１０：４１—４２
片刻，即有学生举手阐述了自己的思路．
２王先进．例谈习题教学中的立意、选题、提炼［Ｊ］．数学通报，
因为／（ｚ）＝２ｎｚ＋２口一１—２口（ｚ＋丝寡｝），
２０１２，３：３８—４１
（上接第２８页）
教学看，通过一个“德・梅耳问题”的引入，激发了连抛２４次，至少一次出现的点数是两个六”，则应学生的求知欲和解决问题的动力；通过一个“生日用对立事件求出
问题”的引入讲解，激发了学生的兴趣，也让学生Ｐ（Ａ）＝１一（吾）４＝ｏ．５１８，Ｐ（Ｂ）一１一（嚣）２４—０．４９１．
体会了研究随机现象统计规律的重要性，体会了概率在实际生活中的应用性．因此，如果在教学显然Ｐ（Ａ）＞Ｐ（Ｂ），所以德・梅耳把一个骰中，教师能将一些合适的数学史、有趣的数学题穿子连续抛四次，发现至少出现一次点数为六点的插于教学中，创设问题情境，适当地引入课堂教时候多一些；但是他把两个骰子一起连续抛２４次，学，必将把抽象的概率理论变得直观，必将激发学发现至少出现一次点数为两个六的时候要少一些．生的学习兴趣、提升学生的人文素养、提高学生分４结语
析和解决问题的能力，也会让学生觉得枯燥无味概率论与数理统计是大学数学其中的一门重的学习变得如此有趣有味，从而提高教学效果．
要的必修基础课，也是研究生入学考试的一个内容，它实际应用性较强．从《古典概型》这一节的
万方数据
２０１５年第５４卷第１期数学通报
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从两个数学历史名题看古典概型的教学引人
李进东
（成都理工大学管理科学学院数学教学部６１００５９）
概率在日常生活中、科学预测中有着非常重家Ｆｅｒｍａｔ（费尔马）一起通信讨论研究．过了不要而广泛的应用，也是数学研究的一个重要分支．久，荷兰科学家Ｈｉｇｇｉｎｓ（惠更斯）来到巴黎，听说古典概型是人们最早研究的一种概率模型，它是了这个问题，他觉得这问题也有意思，对此进行了最简单而且最常用的一种基本概型，同时又是解研究．１６５７年，他写成了一本关于自己研究问题决某些复杂概率的基础，它是概率这一部分的一的专著《论赌博中的计算》．应该说帕斯卡、费尔个重点，在概率论中占有相当重要的地位．中学马和惠更斯是早期概率论的真正创立者．早期概数学高中教材中的《古典概型》一节是中学生学习率论主要就是计算各种不同的古典概率．那么什随机数学的一个很好的内容，也为学生进入大学么是古典概率？你能帮德・梅耳解决他的困惑学习《概率论与数理统计》作了相应的铺垫．因吗？学生听完这一段后兴奋起来，一种急于解决此，在教学中教师注意引导，不仅可以大力激发学德・梅耳问题的欲望和学习新知识的兴趣激发起生的兴趣和热情，还可以激发他们进行相应学术来了．
研究的兴趣、培养其研究能力．在这样的一个新课引入中，不仅介绍一些概１新课引入的教学
率的历史情况，而且通过一个历史名题一德・梅首先，在刚讲授《古典概型》这一节的时候，可耳问题给予学生一定的思考空间，并激发、提升了以借助数学史引入主题：在欧洲，几百年前，一些学生解决问题的一种欲望．这将起到很好的激发国家的贵族们喜欢赌博，最常见的一种方式就是和引导作用．
抛掷骰子来比点数的大小．因为骰子的形状是一２古典概率计算的教学引入
个六面正方体，每个面向上的可能性是一样的，也接下来教师便讲解古典概率的定义以及计算就是说当贵族们抛掷骰子时，骰子出现的点数是公式．为了体会古典概率的方法，教师都会选择１点到６点中任意一个数的可能性是一样的．有一些例题进行讲解、分析．但是选择的例题的类的赌徒想到这样一个问题：假如同时抛两颗骰子，型和内容却是十分重要的．如果教师能将数学史一种情况是出现的点数和是９，另一种情况是出中的有关的既有娱乐性又有知识性的趣题、名题现的点数和是ｌｏ，这两种情况，哪一种出现的可适当引入课堂，不仅会激发学生学习的兴趣、激发能性大一些呢？大约十七世纪的中期，法国～个学生勇于解决难题的斗志，而且也能激发学生深名叫德・梅耳的贵族非常喜欢抛掷骰子赌点数大入研究问题的信心、培养解决问题的能力．这些小．在经常抛掷的过程中，发现了一个令他困惑教学也为后续有志于概率论研究学习的同学作了的问题：他把一个骰子连续抛了四次，发现至少出很好的衔接．
现点数是六的时候多一些；可是他同时将两个骰首先，看一个盒子与球的游戏问题，我们把它子连续抛了２４次，发现至少出现点数是双六点的称为是盒球模型．
时候要少一些．这是怎么一回事呢？这就是概率例题ｌ
（盒球模型）、现有孢个球，Ｎ个不同
论历史上著名的德・梅耳问题．但他们自己无法的盒子，假设每个球放到Ｎ个盒子中的任意一个给出答案．于是就写信向当时法国一流的数学家可能性是相等的且每个盒子中所放球的数量不限Ｐａｓｃａｌ（帕斯卡）请教．Ｐａｓｃａｌ和当时一流的数学
定．试求
万方数据
２８
数学通报
２０１５年第５４卷第１期
（１）指定的咒（挖≤Ｎ）个盒子中各有一个球的
概率Ｐ１；
（２）恰好有咒（竹≤Ｎ）个盒子中各有一个球的概率Ｐ２．
解因为每个球都可放到Ｎ个盒子中的任意一个，所以竹个球放的方式共Ｎ”种，它们是等可能的．
（１）因为各有一球的咒个盒子已经指定，余下的没有球的Ｎ一佗个盒子也同时被指定，所以只需要考虑咒个球在指定的咒个盒子中各有一个球的种数．故
Ｐ。＝熹．
（２）问题（２）与问题（１）虽然只有几个字的差别，但意思却是不一样的．注意到“恰好有”的行个盒子可以来自在Ｎ个盒子中的任意聍个．所以首先应该从中任意取出这咒个盒子，其可能的取法种数为Ｃ：：，种；然后，将，ｚ个球放入选中的这行个盒子中，并且每个盒子各有１个球，共有咒！种放法．所以由乘法原则，共有Ｃ≈竹！一Ａ≈，故
驴等一鼎．
这个例题讲了以后，教师可以作一些说明．首先，表面上看，盒子模型讨论的是球和盒子问题，给人的感觉就是一种游戏，但在实际生活和社会经济现象中我们可以将这个模型应用到较多的实际问题中．物理学上，比如将球解释为“粒子”，把盒子解释为相空间中的小“区域”，则这个问题便是统计物理学中的马克斯威尔一波尔兹曼（Ｍａｘｗｅｌｌ一Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ）统计．这些介绍对有些专业的学生在后续的学习中是有所帮助的．
其次，应用这个盒球模型来讨论概率论历史上颇为有名的“生日问题”，这是十分有趣的．首先我们看大家熟悉的抽屉原理：把多于ｎ＋１个的物体放到咒个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物体不少于两个．根据抽屉原理，一年里最多有３６６天，把天看作抽屉，把人看作物体，这样３６７个人中必然就有两个人的生日在同一天．
然而，实际生活中，我们是不是一定要找到另外的３６６个人才能知道自己的生日和谁的生日相同呢？显然不是，因为２３个人当中，出现两个人生日相同的可能性就已经大于５０％了．为什么
万方数据
会是这样的一种现象呢？这与我们的直觉明显不一样．因为给我们的感觉应该是人数越多的情况下，两人生日相同的可能性才越大呀！下面看求解过程及其令人惊讶的结果．
在教学中，可以根据课堂时间做一个游戏：随堂让学生自报生日，看出现相同生日的学生数是多少？
在一次教学中，我们在１１８个人的教学班中，作了此次游戏，结果报告人数在３２个人时，就出现了生日相同的两个同学．
下面我们来看求解过程和令人惊讶的结果．
例题２（生日问题）设以个人中每个人的生日在一年３６５天中任一天是等可能的，求咒个人的生日全不相同的概率Ｐ。是多少？
解根据盒球模型，把３６５天看作３６５个盒
子，咒个人看作竹个球，那么“咒个人的生日全不相同”就好比盒球模型中的“恰好有７２（咒≤Ｎ）个盒子中各有一球”，由此得到
１“
ｐ一墨！！圣兰！垒圣：：：圣！！！！二丝±！１
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３６５”
根据概率的性质得“以个人中至少有两个人的生日相同”的概率为１一Ｐ。．
经过计算，得到如下结果
ｎ
１０２０３０４０５０６４
Ｐ。
Ｏ．８８Ｏ．５８９Ｏ．２９４Ｏ．１０９Ｏ．０３０Ｏ．００３
１一Ｐ。
Ｏ．１１Ｏ．４１１Ｏ．７０６Ｏ．８９１Ｏ．９７０Ｏ．９９７
表所列的数据足以令人吃惊，因为很多人会认为一年３６５天，６０个人的生日至少有两个相同的概率应该较小，但事实上，其概率为ｏ．９９２２．这是出乎人们预料的！这个例子告诉我们有时“直观感觉”并不可靠！由此也说明了研究随机现象固有的统计规律性是重要的．３回看德・梅耳问题。首尾呼应
在讲解了古典概型的计算后，回到开头引入的历史名题，尝试着让学生来解决德・梅耳问题．一些学生，经过兴趣的激发、解决问题欲望的激发，会自己去思考这一问题，教师可以加以引导，评价．现在学完了这一小节后，发现原来是这样的．假设事件Ａ一“把一个骰子连抛四次，至少一次出现的点数是六”，事件Ｂ一“把两个骰子一起
（下转第３９页）
２０１５年第５４卷第１期
数学通报
３９
（２）若，（２）一３，解得ｎ一寺．此时抛物线开口
所以
厶
（１）如果ｏ＞Ｏ
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１
些，故ｎ一去合乎条件；
耻＜一簪时厂，（ｚ）＜０，ｚ＞一蛩时
厶
，７（ｚ）＞ｏ．函数，（ｚ）在Ｒ上极小值．最大值只能，
０、
‘）
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、
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合乎条件．
（２）如果口＜Ｏ
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９
综上，ｎ一÷或ｎ一一詈．厶
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舭＜一簪时八ｚ）＞‰＞一簪时
可见，先计算特殊点的函数值，再检验其是否厂７（ｚ）＜ｏ．函数，（ｚ）在Ｒ上有极大值．最大值既
满足相应条件，直观明了，减少了讨论层次．
解题教学中，及时引导学生进行解题反思，提可能在ｚ一一掣时达到，也可能在ｚ一一要或
炼规律，优化解题过程，有益于养成精益求精的学
ｚ一２时达到．（求解过程略）
习习惯，发展思维能力，有效提高解题技能．
尽管此法不算简便。但新的方法让学生体会３融会贯通找新路
了导数方法在研究函数问题中的一般性和有效在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方性，拓宽了研究函数问题的渠道，拓展了思维空法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的．因间，提高了综合解题能力．
此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视我们在长期的教学实践中体会到，解题教学教学功能的挖掘、开发．复习课，尤其是高三复习只有摸准学情，从学生原有的认知经验出发，遵循时，学生已经有了较系统的知识储备，教学中应不学生思维特点，认真夯实通性通法，且不失时机引失时机启示学生融会贯通，综合运用所学知识、方导学生提炼规律，升华思维境界，融会贯通拓展思法从新的视角开辟解题通道．
维空间、发展思维能力，才能切实提高解题技能，当学生从规律中得到捷径而急于收兵时，我有效提高解题教学的效益．
们及时启示学生：导数是研究函数的重要工具，可否尝试利用导数探究新的解题途径呢？老师的启参考文献
示立刻激起了学生兴趣，纷纷动手寻找新的方案．１臧立本．例题教学中要引导学生进行探究活动［Ｊ］．数学通报，
２００７，１０：４１—４２
片刻，即有学生举手阐述了自己的思路．
２王先进．例谈习题教学中的立意、选题、提炼［Ｊ］．数学通报，
因为／（ｚ）＝２ｎｚ＋２口一１—２口（ｚ＋丝寡｝），
２０１２，３：３８—４１
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教学看，通过一个“德・梅耳问题”的引入，激发了连抛２４次，至少一次出现的点数是两个六”，则应学生的求知欲和解决问题的动力；通过一个“生日用对立事件求出
问题”的引入讲解，激发了学生的兴趣，也让学生Ｐ（Ａ）＝１一（吾）４＝ｏ．５１８，Ｐ（Ｂ）一１一（嚣）２４—０．４９１．
体会了研究随机现象统计规律的重要性，体会了概率在实际生活中的应用性．因此，如果在教学显然Ｐ（Ａ）＞Ｐ（Ｂ），所以德・梅耳把一个骰中，教师能将一些合适的数学史、有趣的数学题穿子连续抛四次，发现至少出现一次点数为六点的插于教学中，创设问题情境，适当地引入课堂教时候多一些；但是他把两个骰子一起连续抛２４次，学，必将把抽象的概率理论变得直观，必将激发学发现至少出现一次点数为两个六的时候要少一些．生的学习兴趣、提升学生的人文素养、提高学生分４结语
析和解决问题的能力，也会让学生觉得枯燥无味概率论与数理统计是大学数学其中的一门重的学习变得如此有趣有味，从而提高教学效果．
要的必修基础课，也是研究生入学考试的一个内容，它实际应用性较强．从《古典概型》这一节的
万方数据