期末总动员(一) 集合与函数概念例题答案

期末总动员（一）集合与函数概念例题答案

1.1 集合

元素; 确定性,互异性,无序性; 有限集,无限集,空集; N，N*或N+, Z, Q,，R; 列举,描述; a∈A,a∉A; ⊆,⊇; ⊄; ⊆, ⊆;子集,子集,子集; 真子集,真子集;

⊆,; 2n,全集,并集; ⊆,⊆, A, A,=; B,⊆; U; 交集; ∅; ⊆,⊆; A, ∅; A,⊆;

∅;全集; ∉; A, ∅,U ; ,

1.2 函数及其表示

唯一的,自变量,定义域,值域; 非空, ⊆; 定义域,对应关系,值域; 都相同; 解析法,列表法,图像法; 解析法,列表法,图像法;闭区间,(a,b) ［a,b), (a,b］,[a,+ ∞）,(a,+ ∞）, (- ∞,b],(- ∞,b）

f:A→B.

1.3 函数的基本性质

f(x1 ) f(x2),单调增区间或单调减区间; 增函数,减函数;相同,相同,相反,相反; 子区间,定义域; f(-x)= -f(x), f(-x)= f(x),原点,y轴; f(-x), f(x)

例题

例1、解：∵a∈{1,-1,a2}, ∴a可以等于1，-1，a2.

(1)当a=1时，集合则为{1，-1,1}，不符合集合元素的互异性.故a≠1. (2)同上，a=-1时也不成立.

(3)a=a2时，得a=0或1，a=1不满足舍去，a=0时集合为{1,-1,0}. 综上，a=0.

例2、解:首先化简集合A,得A={-4,0},

由A∩B=B,则有B⊆A,可知集合B或为∅或为{0}或为{-4}或为{0,-4}, ①若B=∅时,Δ=4(a+1) 2-4(a2-1)

-8a+7=0⇒a=7或a=1. 当a=1时,已讨论,合题意;

当a=7时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意. 由①②③得,a=1或a≤-1.

例3、解：要使函数解析式有意义，

(1)x-2≥0⎧⎨

x-2≥0,x+2

⇔或⎧x-2≤0,

⎩x+2>0⎨⎩

x+2

⎧x+1≥0,

⎩

x-2≠0.⇔x≥-1且x≠2,

所以函数定义域为{x|x≥-1且x≠2}.

⎧x+3≠0,⎧ (3)⎪

⎨-x≥0,⇔

⎪

x≠-3,

⎨x≤0,⇔-4≤x≤0且x≠-3， ⎪⎩

x+4≥0.⎪⎩

x≥-4. 所以函数定义域为{x|-4≤x≤0且x≠-3}.

例4、解：(1)解析：此类函数没有具体的解析式，由f(x)的定义域已知,那么f(2x)中的2x与f(x+

)中的x+

处在自变量位置上就要满足f(x)的条件要求. ∵f(x)的定义域是［0,1］，∴f(2x)+f(x+2

)中的x必须满足

⎧⎪0≤2x≤1,⎧

0≤x≤1,⎨⎪⎩0≤x+2

3≤1.⇔⎪⎪⎨21⎪21⇔0≤x≤3. ⎪⎩-3

≤x≤3.因此所求函数定义域为［0,

］. (2)解析：f(2x-1)的定义域为［0,1］，即0≤x

3.故函数f(1-3x)的定义域为（0，3

）. 例5、①∵y=x2-4x-5=（ x-2）2-9的图象如图所示，当x∈［-2,3］时的图象

如图所示，由二次函数的性质可知函数y=x2-4x+5在x∈［-2,3］上的最小值为ymin=-9,最大值为ymax=(-2)2-4×(-2)-5=7. ∴其值域为［-9，7］.

②法一：令t=4x-13(t≥0),则x=t2+13

所以y=t2+7t2+2t+13(t

+1)2+12

2+t=2 =2

因为t≥0,所以当t=0时，y13 min=

2.所以函数的值域是（ 132，+∞）. 法二、函数为增函数且x≥134。所以函数的值域是（ 13

，+∞）.

③y=2x-3(2x+3)-662x+3 =2x+3=1-2x+3

∵62x+3≠0,∴y≠1. 函数y=2x-32x+3

的值域是(－∞，1)∪(1，＋∞) ④ 将解析式改写成关于x的一元二次方程(2y-2)x2

+(2y-2)x+y-5=0.

当y≠1时,Δ≥0,即(2y-2)2

+20(2y-2)≥0⇒y≥1或y≤-9. 当y=1时，y=5不成立，所以值域为(-∞,-9］∪(1,+∞).

x1例6、解：①配凑法：∵f（1x2x）=1-x

=1=1， x2

-1(x

)2-1∴f（x）=x

x2-1（x∈R且x≠0，x≠±1）.

换元法：设t=11xx，则x=1

t，代入f（x）=1-x2

，得 1

f（t）==tx

1-1t2-1，∴f（x）=x2-1（x∈R且x≠0，x≠±1）.

② 设f(x)=ax+b（a≠0）,

∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b =a2x+ab+b. ∴a2

x+ab+b=4x+3.

⎧a2

∴⎨=4⎧a=2⎩

ab+b=3解得⎨或⎧⎩b=1⎨a=-2

⎩b=-3 ∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.

③ ∵f(x)+2f(-x)=x①

以-x代换x,得f(-x)+2f(x)=-x② 解①②组成的方程组得f(x)=-3x. 例7、解:(1)当a=

2时,f(x)=x+2x

+2. 设x1、x2是[1,+∞)上的任意两个实数,且x1

2x+2-(x12++2)= 12x2

x11-x2+(

2x-1

)=xx-x2-12=(x2xx-11-x1-x2)(1212x22x2x).

1x21x2

∵x1-x20,2x1x2>0,

∴f(x1)-f(x2)

∴f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以在f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=72

. (2)f(x)=x+

+2,x∈[1,+∞). 当a≥0时,函数f(x)的值恒为正.

当a

于是当3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故0>a>-3. 综上可知,当a>-3时,f(x)>0恒成立.

例8、解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数. (3)函数的定义域为R,关于原点对称,

当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数; 当a≠0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数. (4)函数的定义域为R,关于原点对称,

当x>0时,-x0,此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)= -f(x); 当x=0时,-x

⎧-1

解得

又∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,∴f(4-a2)=f(a2-4). 则f(a-2)-f(4-a2)又∵在［0,1］上f(x)是增函数,∴⎧⎪⎨3

⎪解得a∈(3,2)⎩|a-2|

∪(2, 5).

-4|.

期末总动员（一）集合与函数概念练习答案

1．D 2. C 3. C 4. A 5. C 6. B 7. B 8．B 9．A 10. C 11.D 12. C 13.[2，+∞） 14 .-3 15.11 16. a=1

22.

17.思路分析:本题考查集合的交、并运算以及空集的特殊性. 解:由A∪B=A得B⊆A,但需注意B=∅和B≠∅两种情况. (1)B=∅时,由m+1>2m-1可得m

⎧m+1≤2m-1,(2)B≠∅时,则⎪

⎨-2≤m+1,解得2≤m≤3.

⎪⎩

2m-1≤5,综上,可得m≤3.

18.思路分析:带参数的二次函数问题,要讨论对称轴相对于指定区间的位置,学会分类讨论思想. 解:∵f(x)=4(x-a2

) 2

-2a+2, ①当

≤0,即a≤0时,函数f(x)在［0,2］上是增函数, ∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.由a2-2a+2=3,得a=1±2. ∵a

②当0

a2min=f(2

)=-2a+2. 由-2a+2=3,得a=-1

∉(0,4),舍去.

③当a

≥2,即a≥4时,函数f(x)在［0,2］上是减函数,

f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由a2-10a+18=3,得a=5±. ∵a≥4,∴a=5+.

综上所述,a=1-2或a=5+.

19.解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(0)=f(0)+f(0) ⇒f(0)=0.

而0=x-x,因此0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), 即f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)为奇函数.

(2)设x1

f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)〔f(x)为奇函数〕, ∵(x2-x1)>0,且x>0时f(x)

函数f(x)是定义域上的减函数, 当x∈［-3,3］时,函数f(x)有最值.

当x=-3时,函数有最大值f(-3);当x=3时,函数有最小值f(3). f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6.

∴当x=-3时,函数有最大值6;当x=3时,函数有最小值-6.