第21章 共边比例定理 共角比例定理
共边比例定理若两个共边AB 的三角形△PAB ，△QAB 的对应顶点P ，Q 所在直线与AB 交于M ，则S △PAB PM ①
=． S △QAB QM
证法1由同底三角形的面积关系式，有S △PAM =
PM PM
S △QAM ，S △PBM =S △QBM ． QM QM
由上述两式相加即证得图21-1中（1）、（2），上述两式相减即证得图21-1中（3）、（4）情形．
P
A
Q
(1)
P Q A
M
(2)
图21-1
P
A B
N
(3)
A
B N
P
Q
(4)
N
Q
M
M
证法2不妨设A 与M 不同，则 S △PAB S MPAB S △PAM S △QAM
=⋅⋅
S △QAB S △PAB S △QAM S △QAB =
AB PM AM PM
⋅⋅=． AM QM AB QM
证法3在直线AB 上取一点N ，使MN =AB ，则S △PAB =S △PMN ，S △QAB =S △QMN ． 所以，
S △PAB S △PMN PM
==． S △QAB S △QMN QM
共角比例定理若∠ABC 与∠A 'B 'C '相等或互补，则有 S △ABC S S AB ⋅BC
=（或△ABC =△A 'B 'C '）
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C 'AB ⋅BC A 'B '⋅B 'C '
证明把两个三角形拼在一起，让∠B 的两边所在直线与∠B '的两边所在直线重合，如图21-2所示，其中图（1）是两角相等的情形，图（2）是两角互补的情形，两情形下都有
C
C '
B (B' )
(1)
图21-2
C
A' A
A' B (B' )
(2)
A
S △ABC S S
=△ABC ⋅△A 'BC
S △A 'B 'C 'S △A 'BC S △A 'B 'C '
①
张景中．几何新方法和新体系[M ]．北京：科学出版社，2009：5．
AB BC
⋅
A 'B 'B 'C '
共角比例定理的推广∠ABC 与∠XYZ 相等或互补，点P 在直线AB 上且不同于A ，点Q 在直线XY 上且=
不同于X ，则 S △PAC PA ⋅BC
= S △QXZ QX ⋅YZ
证明不妨设B ，C ，X ，Y 共线如图21-3，则
A P
X
Q
B (Y )
图21-3
S △PAC S △PAC S △ZBC S △ZXY
=⋅⋅ S △QXZ S △ZBC S △ZXY S △QXZ =
PA BC XY PA ⋅BC ⋅⋅= ZB XY QX QX ⋅YZ
共角比例不等式如果∠ABC >∠A 'B 'C '，而且两角之和小于180︒，则 S △ABC S S AB ⋅BC
>（或△ABC . △A 'B 'C '）．
S △A 'B 'C 'A 'B ' ⋅B 'C 'AB ⋅BC A 'B '⋅B 'C '证明记∠ABC =α，∠A 'B 'C '=β．
如图21-4，作一个顶角为α-β的等腰△PQR ，延长QR 至S ，使∠RPS =β，则∠QPS =α．由共角比例定理，有
P
图21-4
S △QPS S △ABC S =>△RPS
AB ⋅BC PQ ⋅PS PR ⋅PS
=
S △A 'B 'C '
A 'B '⋅B 'C '
S △ABC AB ⋅BC
=，则∠B 与∠B '相等或互补．
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C '
共角比例逆定理在△ABC 和△A 'B 'C '中，若
证明用反证法．假设∠B ，∠B '不相等也不互补，不妨设∠B >∠B '．这时有两种情形： ∠B +∠B '180︒．
若∠B +∠B '
S △ABC AB ⋅BC
>
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C '
这与题给条件矛盾．
若∠B +∠B '>180︒，如图21-5，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长A 'B '至D '使B 'D '=A 'B '．这时，∠DBC +∠D 'B 'C '
C
D B C '
A
D ' B'
图21-5
A'
∠DBC =180︒-∠B
由共角比例不等式，得 S △D 'B 'C 'B 'D '⋅B 'C '
. S △DBC BD ⋅BC 但由共边比例定理，知
S △D 'B 'C '=S △A 'B 'C '，S △DBC =S △ABC
且B 'D '=A 'B '，BD =AB 故上述不等式，即为 S △ABC AB ⋅BC
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C '
这也与已知题给条件矛盾．
从而假设∠B ，∠B '不相等也不互补不成立． 故∠B 与∠B '相等或互补．
下面给出应用上述定理证明问题的例子．
例1（1999年全国高中联赛题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于点F ，延长DF 交BC 于G ．求证：∠GAC =∠EAC ．
证法1如图21-6，在△CDG 中，对割线EFB 应用梅涅劳斯定理，并注意到共边比例定理，有
C
E D
H
B
图21-6
1=
CE DF GB
⋅⋅
ED FG BC
=
S △ACE S △ADF S △AGB
⋅⋅ S △AED S △AFG S △ABC
=
AC ⋅sin ∠EAC AD ⋅sin ∠DAC AG ⋅sin ∠BAG
⋅⋅
AD ⋅sin ∠DAE AG ⋅sin ∠GAC AC ⋅sin ∠BAC sin (γ-β)sin ∠EAC sin ∠BAG sin α
． ⋅=⋅
sin ∠DAE sin ∠GAC sin γ-αsin β
=
于s
是，
(γ-)()(
i
)α(⋅)()(n )
β=
⇔cos (γ-α+β)=cos (α+γ-β)⇔α=β⇔∠EAC =∠GAC
证法2如图21-6，对△CDB 及点F 应用塞瓦定理（令DB 交AC 于点H ），并注意到共边比例定理， 有1=
CE DH BG
⋅⋅
ED HB GC
=
CE DA BG
⋅⋅
ED AB GC S DA S △ABG =△ACE ⋅⋅ S △AED AB S △AGC
AC ⋅sin ∠EAC DA AB ⋅sin ∠BAG
⋅⋅
AD ⋅sin ∠DAE AB AC ⋅sin ∠GAC sin (γ-β)sin α⋅（以下同证法，略）
sin γ-αsin β
=
=
例2（2003年全国高中联赛题）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使么∠DAQ =∠PBC ． 求证：∠DBQ =∠PAC ．
证明如图21-7，设∠DAQ =∠PBC =∠QDB =α，∠PAC =∠ADC =β．
A
Q
F
C
P
D
图21-7
在△AQD 中，由正弦定理，有
AQ sin β
=． DQ sin α
过A 、B 分别作AE ⊥CD 于E ，作BF ⊥CD 于F ，注意到共边比例定理，有 S △PAC AE AD ⋅sin β
==． S △PBC BF DB ⋅sin α又
S △PAC AP ⋅AC ⋅sin βAC ⋅sin β
== S △PBC BP ⋅BC ⋅sin αBC ⋅sin α
AD sin βAQ sin 2β
==，则． =
DB sin αDQ sin α
于是，△ADQ ∽△DBQ ．故∠DBQ =∠ADQ =∠PAC ．
例3（2009年国家集训队测试题）如图21-8，在凸五边形ABCDE 中，AD 与BE 相交于F ，BE 与CA 相交于G ，CA 与DB 相交于H ，DB 与EC 相交于I ，EC 与AD 相交于J ．设A '、B '、C '、D '、E '分别为AI 与BE 、BJ 与CA 、CF 与DB 、DG 与EC 、EH 与AD 的交点．求证：
B G F E
图21-8
A
H I C
J
AB 'CD 'EA 'BC 'DE '
⋅⋅⋅⋅=1． B 'C D 'E A 'B C 'D E 'A 证明由共边比例定理，有 AB 'S △ABJ
=． B 'C S △CBJ
其他的线段比例用同样的方法（共边比例定理）转化，即只需证明 S △ABJ S △CDG S △EAI S △BCF S △DEH
⋅⋅⋅⋅=1 S △CBJ S △EDG S △BAI S △DCF S △AEH 由于
S △ABJ S △ABJ S △ABD AJ BD
=⋅=⋅． S △BAI S △ABD S △BAI AD BI
①
用同样方法转化面积比，并消去上下相同的线段．因而只需证明有
AJ BF CG DH EI ⋅⋅⋅⋅=1 BI CJ DF EG AH 或
AJ BF CG DH EI ⋅⋅⋅⋅=1． CJ DF EG AH BI
利用正弦定理，②式等价于：
②
sin ∠ECA sin ∠ADB sin ∠BEC sin ∠CAD sin ∠DBE
③ ⋅⋅⋅⋅=1．
sin ∠CAD sin ∠DBE sin ∠ECA sin ∠ADB sin ∠BEC 而③式显然成立，故结论获证．
例4（2010年北方数学邀请赛题）已知 O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、N 分别为AB 、AC 、BC 上的切点，联结NO 并延长交DE 于点K ，联结AK 并延长交BC 于点M ．求证：M 是BC 的中点． 证明如图21-9，联结OD ，OE ，由O 、D 、B 、E 及O 、N 、C 、E 分别四点共圆有∠KOD =∠B ，∠KOE =∠C ．
M
N
图21-9
由共边比例定理，有
DK S △ODK OD ⋅OK ⋅sin ∠DOK
== KE S △OKE OE ⋅OK ⋅sin ∠KOE
sin ∠DOK sin B AC
， ==
sin ∠KOE sin C AB 及
DK S △ADK sin ∠DAK
==． KE S △AEK sin ∠EAK =于是，
BM S △ABM AB ⋅sin ∠BAM
== MC S △ACM AC ⋅sin ∠CAM
===
AB ⋅sin ∠DAK
AC ⋅sin ∠EAK AB DK
⋅
AC KE
AB AC ⋅=1． AC AB
故M 是BC 的中点．
例5（2010年国家队选拔赛题）在锐角△ABC 中，AB >AC ，M 是BC 的中点，P 是△AMC 内一点，使得∠MAB =∠PAC ．设△ABC 、△ABP 、△ACP 的外心分别是O 、O 1、O 2．证明：直线AO 平分线段O 1O 2．
证明如图21-10，联结AO 1、OO 1、AO 2、OM 、OO 2，设直线AO 与线段O 1O 2交于点Q ．
A
O 1
O
M
图21-10
P
O 2
C
由共边比例定理，有
O 1Q S △AOO 1OO 1⋅sin ∠AOO 1
==
QO 2S △AOO 2OO 2⋅sin ∠AOO 2=
OO 1⋅sin ∠C OO 1⋅sin ∠ACM
=．
OO 2⋅sin ∠B OO 2⋅sin ∠ABM
又∠OO 1Q =∠BAP =∠CAM ， ∠OO 2Q =∠CAP =∠BAM ，
即
OO 1OO 1OQ
=⋅ OO 2OQ OO 2
==
sin ∠OQO 1sin ∠OO 2Q
⋅
sin ∠OO 1Q sin ∠OQO 2sin ∠OO 2Q sin ∠BAM
=．
sin ∠OO 1Q sin ∠CAM O 1Q OO 1⋅sin ∠ACM
= QO 2sin ∠ABM
于是
==
sin ∠BAM sin ∠ACM
⋅
sin ∠ABM sin ∠CAM BM AM BM
⋅==1． AM MC MC
故直线AO 平分线段O 1O 2．
CE 于M ，N ．例6在完全四边形ABCDEF 中，若直线BF 与直线CE 交于点G ，直线AD 分别交BF ，则
AM AN BM BG CN CG
，，． ===
MD ND MF GF NE GE 证明如图21-11，由共边比例定理，有
A
B
M C
N
图21-11
F
E
AM S △ABF S △ABF S △ADB CF EA
==⋅=⋅ MD S △DBF S △ABD S △DBF CD EF =
S △ECF S △CEA S △ACE AN
⋅==． S △ECD S △CEF S △DCE ND
BM S △BAD S △BAD S △BDF EA CB
==⋅=⋅ MF S △FAD S △BDF S △FAD EF CA =
S △CEA S △ECB S △BCE BG
⋅==． S △CEF S △ECA S △FCE GF
CN S △CAD S △CAD S △CDE
==⋅ NE S △EAD S △CDE S △EAD =
FA BC S △BFA S △FBC S △CBF CG ⋅=⋅==． FE BA S △BFE S △FBA S △EBF GE
AM AN
等的证明， =
MD ND
AM S △ABF S △ABF S △ADF EB CA
==⋅=⋅也可由 MD S △DBF S △ADF S △DBF ED CB 注：（1）对于=
S △CEB S △ECA S △ACE AN
⋅==． S △CED S △ECB S △DCE ND
（2）上述（1）的证明是对凸四边形ABDF 而言的，对下述的凹四边形ABDF ，折四边形ABDF ，按
上述叙述则证得了上图中的
BM BG CN CG
，． ==
MF GF NE GE
A
C
E M
B F
G
A
N
D
G
F
M
C
A
C
D
A
图21-12
（3）上述证明是由AM S △BAM
=， MD S △BMD
AM S △ABF
=出发，也可从下述等式出发： MD S △DBF
AM S △FAM AM S △ABE S △BEM
==，． MD S △FMD MD S △BEM
例7（梅涅劳斯定理）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，若D 、E 、
F 三点共线，则
BD CE AF
⋅⋅=1． DC EA FB
BD S △EBD CE
=， DC S △EDC EA
证法1如图21-13，联结AD ，BE ．由共边比例定理，有=
S △DCE AF S △EAF S △EAD
==，．
S △DEA FB S △EFB S △EBD
A E B
图21-13
B
上述三式相乘即证得结论．
证法2如图21-13．在直线FD 上任取不重合两点X 、Y ，由共边比例定理，有
BD CE AF
⋅⋅
DC EA FB S S S
=△BXY ⋅△CXY ⋅△AXY =1，即证． S △CXY S △AXY S △BXY
例8（塞瓦定理）在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 所在直线上取点D ，E 和F ，则AD ，BE ，CF 三
AF BD CE
⋅⋅=1． FB DC EA
证明必要性．如图21-14． 直线共点的充要条件
A F
P E
E P F
D
图21-14
B D C
由共边比例定理，有
AF BD CE S △PAC S △PBA S △PCB
⋅⋅=⋅⋅=1． FB DC EA S △PCB S △PAC S △PBA
AF BD CE
⋅⋅=1，如图21-15，设AD 和BE 交于点P ，AD 和CF 交于点Q ，要证明的FB DC EA
AP AQ
=是P 和Q 重合，也就是有． PD QD 充分性．若有
A F B
D
C
图21-15
P Q
E
E F
B D C
由共边比例定理，有 PD AQ S △BDE S △ACF
⋅=⋅ AP QD S △BAE S △CDF =
S △BDE S △BCE S △ACF S △CBF
⋅⋅⋅ S △BCE S △BAE S △CBF S △CDF
BD CE AF BC
⋅⋅⋅=1，即证． BC EA FB DC
例9（牛顿线定理）完全四边形的三条对角线的中点共线．
证法1如图21-16，在完全四边形ABCDEF 中，M 、N 、P 分别为对角线AD ，BF ，CE 的中点． 设直线MN 交CE 于L ，下证L 与P 重合即可，即证L 为CE 的中点即可．
=
A 图21-16
由共边比例定理有
CL S △CMN
=LE S △EMN
(*)
1
(S △CNA -S △CND ) =1
(S △ENA -S △END )2
1
(S △CFA -S △CBD ) =(S △EAB -S △EDF )2=
S △CFA -S △CDB S FABD
==1即证
S △EAB -S △EFD S FABD
S △CMN =S △CNA -S △ACM -S △AMN
注：（*）
=S △CNA -=
1
(S △ACD +S △AND )． 2
1
(S △CNA -S △CND )2
（**）S △CAN -S △CND =(S △ABN +S △BCN )-(S △BCF -S △BCN -S △NDF ) 111⎛1⎫⎛⎫
= S △ABF +S △BCF ⎪- S △BCF -S △BCF -S △BDF ⎪
222⎝2⎭⎝⎭
111
=S △ACF -(S △BCF -S △BDF )=(S △CFA -S △BCD )． 222
证法2如图21-17，同证法1，证L 为CE 的中点即可．
图21-17
过A ，B ，D ，F 分别作直线MN 的平行线交CE 于点A '，B '，D '，F '．由共角比例定理及平行线的性质，有 S △ABE AB ⋅AE B 'A '⋅A 'E
==， S △ACF AC ⋅AF CA '⋅A 'F 'S △ACF CA ⋅CF CA '⋅CF '
==， S △BCD CB ⋅CD CB '⋅CD 'S △BCD DB ⋅DC B 'D '⋅CD '
==， S △DEF DE ⋅DF D 'E ⋅D 'F 'S △DEF ED ⋅EF D 'E ⋅F 'E
==． S △ABE EA ⋅EB A 'E ⋅BE
''． 注意到L 为D 'A 的中点，也为B 'F '的中点，知B 'D '=A 'F '，B 'A '=DF
CF '⋅F 'E
以上四式相乘并化简得1=，即CB '⋅B 'E =CF '⋅F 'E ．
''CB ⋅B E
亦即
(C E -'B )⋅E ''B =E (⋅F E )-'C E F (E B 'E -，亦即')(E F '-B -C E E =．F 于E 是，)'0
第21章 共边比例定理 共角比例定理
共边比例定理若两个共边AB 的三角形△PAB ，△QAB 的对应顶点P ，Q 所在直线与AB 交于M ，则S △PAB PM ①
=． S △QAB QM
证法1由同底三角形的面积关系式，有S △PAM =
PM PM
S △QAM ，S △PBM =S △QBM ． QM QM
由上述两式相加即证得图21-1中（1）、（2），上述两式相减即证得图21-1中（3）、（4）情形．
P
A
Q
(1)
P Q A
M
(2)
图21-1
P
A B
N
(3)
A
B N
P
Q
(4)
N
Q
M
M
证法2不妨设A 与M 不同，则 S △PAB S MPAB S △PAM S △QAM
=⋅⋅
S △QAB S △PAB S △QAM S △QAB =
AB PM AM PM
⋅⋅=． AM QM AB QM
证法3在直线AB 上取一点N ，使MN =AB ，则S △PAB =S △PMN ，S △QAB =S △QMN ． 所以，
S △PAB S △PMN PM
==． S △QAB S △QMN QM
共角比例定理若∠ABC 与∠A 'B 'C '相等或互补，则有 S △ABC S S AB ⋅BC
=（或△ABC =△A 'B 'C '）
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C 'AB ⋅BC A 'B '⋅B 'C '
证明把两个三角形拼在一起，让∠B 的两边所在直线与∠B '的两边所在直线重合，如图21-2所示，其中图（1）是两角相等的情形，图（2）是两角互补的情形，两情形下都有
C
C '
B (B' )
(1)
图21-2
C
A' A
A' B (B' )
(2)
A
S △ABC S S
=△ABC ⋅△A 'BC
S △A 'B 'C 'S △A 'BC S △A 'B 'C '
①
张景中．几何新方法和新体系[M ]．北京：科学出版社，2009：5．
AB BC
⋅
A 'B 'B 'C '
共角比例定理的推广∠ABC 与∠XYZ 相等或互补，点P 在直线AB 上且不同于A ，点Q 在直线XY 上且=
不同于X ，则 S △PAC PA ⋅BC
= S △QXZ QX ⋅YZ
证明不妨设B ，C ，X ，Y 共线如图21-3，则
A P
X
Q
B (Y )
图21-3
S △PAC S △PAC S △ZBC S △ZXY
=⋅⋅ S △QXZ S △ZBC S △ZXY S △QXZ =
PA BC XY PA ⋅BC ⋅⋅= ZB XY QX QX ⋅YZ
共角比例不等式如果∠ABC >∠A 'B 'C '，而且两角之和小于180︒，则 S △ABC S S AB ⋅BC
>（或△ABC . △A 'B 'C '）．
S △A 'B 'C 'A 'B ' ⋅B 'C 'AB ⋅BC A 'B '⋅B 'C '证明记∠ABC =α，∠A 'B 'C '=β．
如图21-4，作一个顶角为α-β的等腰△PQR ，延长QR 至S ，使∠RPS =β，则∠QPS =α．由共角比例定理，有
P
图21-4
S △QPS S △ABC S =>△RPS
AB ⋅BC PQ ⋅PS PR ⋅PS
=
S △A 'B 'C '
A 'B '⋅B 'C '
S △ABC AB ⋅BC
=，则∠B 与∠B '相等或互补．
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C '
共角比例逆定理在△ABC 和△A 'B 'C '中，若
证明用反证法．假设∠B ，∠B '不相等也不互补，不妨设∠B >∠B '．这时有两种情形： ∠B +∠B '180︒．
若∠B +∠B '
S △ABC AB ⋅BC
>
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C '
这与题给条件矛盾．
若∠B +∠B '>180︒，如图21-5，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长A 'B '至D '使B 'D '=A 'B '．这时，∠DBC +∠D 'B 'C '
C
D B C '
A
D ' B'
图21-5
A'
∠DBC =180︒-∠B
由共角比例不等式，得 S △D 'B 'C 'B 'D '⋅B 'C '
. S △DBC BD ⋅BC 但由共边比例定理，知
S △D 'B 'C '=S △A 'B 'C '，S △DBC =S △ABC
且B 'D '=A 'B '，BD =AB 故上述不等式，即为 S △ABC AB ⋅BC
S △A 'B 'C 'A 'B '⋅B 'C '
这也与已知题给条件矛盾．
从而假设∠B ，∠B '不相等也不互补不成立． 故∠B 与∠B '相等或互补．
下面给出应用上述定理证明问题的例子．
例1（1999年全国高中联赛题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于点F ，延长DF 交BC 于G ．求证：∠GAC =∠EAC ．
证法1如图21-6，在△CDG 中，对割线EFB 应用梅涅劳斯定理，并注意到共边比例定理，有
C
E D
H
B
图21-6
1=
CE DF GB
⋅⋅
ED FG BC
=
S △ACE S △ADF S △AGB
⋅⋅ S △AED S △AFG S △ABC
=
AC ⋅sin ∠EAC AD ⋅sin ∠DAC AG ⋅sin ∠BAG
⋅⋅
AD ⋅sin ∠DAE AG ⋅sin ∠GAC AC ⋅sin ∠BAC sin (γ-β)sin ∠EAC sin ∠BAG sin α
． ⋅=⋅
sin ∠DAE sin ∠GAC sin γ-αsin β
=
于s
是，
(γ-)()(
i
)α(⋅)()(n )
β=
⇔cos (γ-α+β)=cos (α+γ-β)⇔α=β⇔∠EAC =∠GAC
证法2如图21-6，对△CDB 及点F 应用塞瓦定理（令DB 交AC 于点H ），并注意到共边比例定理， 有1=
CE DH BG
⋅⋅
ED HB GC
=
CE DA BG
⋅⋅
ED AB GC S DA S △ABG =△ACE ⋅⋅ S △AED AB S △AGC
AC ⋅sin ∠EAC DA AB ⋅sin ∠BAG
⋅⋅
AD ⋅sin ∠DAE AB AC ⋅sin ∠GAC sin (γ-β)sin α⋅（以下同证法，略）
sin γ-αsin β
=
=
例2（2003年全国高中联赛题）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使么∠DAQ =∠PBC ． 求证：∠DBQ =∠PAC ．
证明如图21-7，设∠DAQ =∠PBC =∠QDB =α，∠PAC =∠ADC =β．
A
Q
F
C
P
D
图21-7
在△AQD 中，由正弦定理，有
AQ sin β
=． DQ sin α
过A 、B 分别作AE ⊥CD 于E ，作BF ⊥CD 于F ，注意到共边比例定理，有 S △PAC AE AD ⋅sin β
==． S △PBC BF DB ⋅sin α又
S △PAC AP ⋅AC ⋅sin βAC ⋅sin β
== S △PBC BP ⋅BC ⋅sin αBC ⋅sin α
AD sin βAQ sin 2β
==，则． =
DB sin αDQ sin α
于是，△ADQ ∽△DBQ ．故∠DBQ =∠ADQ =∠PAC ．
例3（2009年国家集训队测试题）如图21-8，在凸五边形ABCDE 中，AD 与BE 相交于F ，BE 与CA 相交于G ，CA 与DB 相交于H ，DB 与EC 相交于I ，EC 与AD 相交于J ．设A '、B '、C '、D '、E '分别为AI 与BE 、BJ 与CA 、CF 与DB 、DG 与EC 、EH 与AD 的交点．求证：
B G F E
图21-8
A
H I C
J
AB 'CD 'EA 'BC 'DE '
⋅⋅⋅⋅=1． B 'C D 'E A 'B C 'D E 'A 证明由共边比例定理，有 AB 'S △ABJ
=． B 'C S △CBJ
其他的线段比例用同样的方法（共边比例定理）转化，即只需证明 S △ABJ S △CDG S △EAI S △BCF S △DEH
⋅⋅⋅⋅=1 S △CBJ S △EDG S △BAI S △DCF S △AEH 由于
S △ABJ S △ABJ S △ABD AJ BD
=⋅=⋅． S △BAI S △ABD S △BAI AD BI
①
用同样方法转化面积比，并消去上下相同的线段．因而只需证明有
AJ BF CG DH EI ⋅⋅⋅⋅=1 BI CJ DF EG AH 或
AJ BF CG DH EI ⋅⋅⋅⋅=1． CJ DF EG AH BI
利用正弦定理，②式等价于：
②
sin ∠ECA sin ∠ADB sin ∠BEC sin ∠CAD sin ∠DBE
③ ⋅⋅⋅⋅=1．
sin ∠CAD sin ∠DBE sin ∠ECA sin ∠ADB sin ∠BEC 而③式显然成立，故结论获证．
例4（2010年北方数学邀请赛题）已知 O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、N 分别为AB 、AC 、BC 上的切点，联结NO 并延长交DE 于点K ，联结AK 并延长交BC 于点M ．求证：M 是BC 的中点． 证明如图21-9，联结OD ，OE ，由O 、D 、B 、E 及O 、N 、C 、E 分别四点共圆有∠KOD =∠B ，∠KOE =∠C ．
M
N
图21-9
由共边比例定理，有
DK S △ODK OD ⋅OK ⋅sin ∠DOK
== KE S △OKE OE ⋅OK ⋅sin ∠KOE
sin ∠DOK sin B AC
， ==
sin ∠KOE sin C AB 及
DK S △ADK sin ∠DAK
==． KE S △AEK sin ∠EAK =于是，
BM S △ABM AB ⋅sin ∠BAM
== MC S △ACM AC ⋅sin ∠CAM
===
AB ⋅sin ∠DAK
AC ⋅sin ∠EAK AB DK
⋅
AC KE
AB AC ⋅=1． AC AB
故M 是BC 的中点．
例5（2010年国家队选拔赛题）在锐角△ABC 中，AB >AC ，M 是BC 的中点，P 是△AMC 内一点，使得∠MAB =∠PAC ．设△ABC 、△ABP 、△ACP 的外心分别是O 、O 1、O 2．证明：直线AO 平分线段O 1O 2．
证明如图21-10，联结AO 1、OO 1、AO 2、OM 、OO 2，设直线AO 与线段O 1O 2交于点Q ．
A
O 1
O
M
图21-10
P
O 2
C
由共边比例定理，有
O 1Q S △AOO 1OO 1⋅sin ∠AOO 1
==
QO 2S △AOO 2OO 2⋅sin ∠AOO 2=
OO 1⋅sin ∠C OO 1⋅sin ∠ACM
=．
OO 2⋅sin ∠B OO 2⋅sin ∠ABM
又∠OO 1Q =∠BAP =∠CAM ， ∠OO 2Q =∠CAP =∠BAM ，
即
OO 1OO 1OQ
=⋅ OO 2OQ OO 2
==
sin ∠OQO 1sin ∠OO 2Q
⋅
sin ∠OO 1Q sin ∠OQO 2sin ∠OO 2Q sin ∠BAM
=．
sin ∠OO 1Q sin ∠CAM O 1Q OO 1⋅sin ∠ACM
= QO 2sin ∠ABM
于是
==
sin ∠BAM sin ∠ACM
⋅
sin ∠ABM sin ∠CAM BM AM BM
⋅==1． AM MC MC
故直线AO 平分线段O 1O 2．
CE 于M ，N ．例6在完全四边形ABCDEF 中，若直线BF 与直线CE 交于点G ，直线AD 分别交BF ，则
AM AN BM BG CN CG
，，． ===
MD ND MF GF NE GE 证明如图21-11，由共边比例定理，有
A
B
M C
N
图21-11
F
E
AM S △ABF S △ABF S △ADB CF EA
==⋅=⋅ MD S △DBF S △ABD S △DBF CD EF =
S △ECF S △CEA S △ACE AN
⋅==． S △ECD S △CEF S △DCE ND
BM S △BAD S △BAD S △BDF EA CB
==⋅=⋅ MF S △FAD S △BDF S △FAD EF CA =
S △CEA S △ECB S △BCE BG
⋅==． S △CEF S △ECA S △FCE GF
CN S △CAD S △CAD S △CDE
==⋅ NE S △EAD S △CDE S △EAD =
FA BC S △BFA S △FBC S △CBF CG ⋅=⋅==． FE BA S △BFE S △FBA S △EBF GE
AM AN
等的证明， =
MD ND
AM S △ABF S △ABF S △ADF EB CA
==⋅=⋅也可由 MD S △DBF S △ADF S △DBF ED CB 注：（1）对于=
S △CEB S △ECA S △ACE AN
⋅==． S △CED S △ECB S △DCE ND
（2）上述（1）的证明是对凸四边形ABDF 而言的，对下述的凹四边形ABDF ，折四边形ABDF ，按
上述叙述则证得了上图中的
BM BG CN CG
，． ==
MF GF NE GE
A
C
E M
B F
G
A
N
D
G
F
M
C
A
C
D
A
图21-12
（3）上述证明是由AM S △BAM
=， MD S △BMD
AM S △ABF
=出发，也可从下述等式出发： MD S △DBF
AM S △FAM AM S △ABE S △BEM
==，． MD S △FMD MD S △BEM
例7（梅涅劳斯定理）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，若D 、E 、
F 三点共线，则
BD CE AF
⋅⋅=1． DC EA FB
BD S △EBD CE
=， DC S △EDC EA
证法1如图21-13，联结AD ，BE ．由共边比例定理，有=
S △DCE AF S △EAF S △EAD
==，．
S △DEA FB S △EFB S △EBD
A E B
图21-13
B
上述三式相乘即证得结论．
证法2如图21-13．在直线FD 上任取不重合两点X 、Y ，由共边比例定理，有
BD CE AF
⋅⋅
DC EA FB S S S
=△BXY ⋅△CXY ⋅△AXY =1，即证． S △CXY S △AXY S △BXY
例8（塞瓦定理）在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 所在直线上取点D ，E 和F ，则AD ，BE ，CF 三
AF BD CE
⋅⋅=1． FB DC EA
证明必要性．如图21-14． 直线共点的充要条件
A F
P E
E P F
D
图21-14
B D C
由共边比例定理，有
AF BD CE S △PAC S △PBA S △PCB
⋅⋅=⋅⋅=1． FB DC EA S △PCB S △PAC S △PBA
AF BD CE
⋅⋅=1，如图21-15，设AD 和BE 交于点P ，AD 和CF 交于点Q ，要证明的FB DC EA
AP AQ
=是P 和Q 重合，也就是有． PD QD 充分性．若有
A F B
D
C
图21-15
P Q
E
E F
B D C
由共边比例定理，有 PD AQ S △BDE S △ACF
⋅=⋅ AP QD S △BAE S △CDF =
S △BDE S △BCE S △ACF S △CBF
⋅⋅⋅ S △BCE S △BAE S △CBF S △CDF
BD CE AF BC
⋅⋅⋅=1，即证． BC EA FB DC
例9（牛顿线定理）完全四边形的三条对角线的中点共线．
证法1如图21-16，在完全四边形ABCDEF 中，M 、N 、P 分别为对角线AD ，BF ，CE 的中点． 设直线MN 交CE 于L ，下证L 与P 重合即可，即证L 为CE 的中点即可．
=
A 图21-16
由共边比例定理有
CL S △CMN
=LE S △EMN
(*)
1
(S △CNA -S △CND ) =1
(S △ENA -S △END )2
1
(S △CFA -S △CBD ) =(S △EAB -S △EDF )2=
S △CFA -S △CDB S FABD
==1即证
S △EAB -S △EFD S FABD
S △CMN =S △CNA -S △ACM -S △AMN
注：（*）
=S △CNA -=
1
(S △ACD +S △AND )． 2
1
(S △CNA -S △CND )2
（**）S △CAN -S △CND =(S △ABN +S △BCN )-(S △BCF -S △BCN -S △NDF ) 111⎛1⎫⎛⎫
= S △ABF +S △BCF ⎪- S △BCF -S △BCF -S △BDF ⎪
222⎝2⎭⎝⎭
111
=S △ACF -(S △BCF -S △BDF )=(S △CFA -S △BCD )． 222
证法2如图21-17，同证法1，证L 为CE 的中点即可．
图21-17
过A ，B ，D ，F 分别作直线MN 的平行线交CE 于点A '，B '，D '，F '．由共角比例定理及平行线的性质，有 S △ABE AB ⋅AE B 'A '⋅A 'E
==， S △ACF AC ⋅AF CA '⋅A 'F 'S △ACF CA ⋅CF CA '⋅CF '
==， S △BCD CB ⋅CD CB '⋅CD 'S △BCD DB ⋅DC B 'D '⋅CD '
==， S △DEF DE ⋅DF D 'E ⋅D 'F 'S △DEF ED ⋅EF D 'E ⋅F 'E
==． S △ABE EA ⋅EB A 'E ⋅BE
''． 注意到L 为D 'A 的中点，也为B 'F '的中点，知B 'D '=A 'F '，B 'A '=DF
CF '⋅F 'E
以上四式相乘并化简得1=，即CB '⋅B 'E =CF '⋅F 'E ．
''CB ⋅B E
亦即
(C E -'B )⋅E ''B =E (⋅F E )-'C E F (E B 'E -，亦即')(E F '-B -C E E =．F 于E 是，)'0