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三十六计之一—瞒天过海与数学解题（1）
—挖掘隐含条件 开辟解题途径
江苏省邳州市宿羊山高级中学（221354）耿道永
三十六计之一—瞒天过海，其原典为：备周则意怠；常见则不疑。阴在阳之内，不在阳之对。太阳，太阴。其译文：防备周全时，更容易麻痹大意；习以为常的事，也常会失去警戒。秘密潜在公开的事物里，并非存在于公开暴露的事物之外。公开暴露的事物发展到极端，就形成了最隐秘的潜藏状态。
【故事】
“瞒天过海”之谋略决不可以与“欺上瞒下”、“掩耳盗铃”或者诸如夜中行窃、拖人衣裘、僻处谋命之类等同，也决不是谋略之士所应当做的事情。虽然，这两种在某种程度上都含有欺骗性在内，但其动机、性质、目的是不相同的，自是不可以混为一谈。这一计的兵法运用，常常是着眼于人们在观察处理世事中，由于对某些事情的习见不疑而自觉不自觉地产生了疏漏和松懈，故能乘虚而示假隐真，掩盖某种军事行动，把握时机，出奇制胜。
唐太宗贞观十七年，御驾亲征，领三十万大军以宁东土。一日，浩荡大军东进来到大海边上，帝见眼前只是白浪排空，海茫无穷，即向众总管问及过海之计，四下面面相觑。忽传一个近居海上的豪民请求见驾，并称三十万过海军粮此家业已独备。帝大喜，便率百官随这豪民来到海边。只见万户皆用一彩幕遮围，十分严密。豪民老人东向倒步引帝入室。室内更是绣幔彩锦，茵褥铺地。百官进酒，宴饮甚乐。不久，风声四起，波响如雷，杯盏倾侧，人身摇动，良久不止。太宗警惊，忙令近臣揭开彩幕察看，不看则已，一看愕然。满目皆一片清清海水横无际涯，哪里是什么在豪民家作客，大军竟然已航行在大海之上了！原来这豪民是新招壮士薛仁贵扮成，这“瞒天过海”计策就是他策划的。“瞒天过海”用在兵法上，实属一种示假隐真的疑兵之计，用来作战役伪装，以期达到出其不意的战斗成果。
数学题目的设计往往有一些“瞒天过海”的条件，即隐含条件。这是一种在题目中未明确表达出来而客观又存在的条件，隐含条件隐藏教深的题目，往往给学生造成条件不足的假象，但如果能仔细分析、推敲，就可以将其挖掘出来。特别是在审题过程中，若能及时发现和运用隐含条件，不仅可以迅速找到解题的突破口，而且能使解题过程简单明了。下面结合例题就如何挖掘题目中的隐含条件作一探讨。
1． 从题目的结构中挖掘隐含条件
解题时，若题设条件中隐含着某些概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则应抓住结构特征，揭示隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。
例1
分析1
的形式，联想构造函数求解。
解法一 构造函数f （x ）
f '(x
) =
在[3，+∞)上单调递增，∴ f （a ）
分析2 注意到
（
-（）
+）=
（
-）
=1，故可以分子有理化求解。
解法
2 B
C D A 图1－1
∴
分析3
2-
2=
2-
2=1，联想勾股定理，数形结合不难求解。
解法3 如图1－1，构造Rt △ABC ，使AB=1，
则
BD=, 则
在△BCD ，BC-BD
反思 观察—联想—构造或转化是解题常用的思维策略。
2． 从题设中的不变因素中挖掘隐含条件
许多数学问题，总是研究不断运动变化过程中的数量关系，然而在这纷繁复杂的变化中却常常存在着某些“不变（性、量）”，数学解题过程中有时一旦挖掘到了这些隐含的“不变”，也就突破了解题的难点。
例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R) 。 I ）求证：不论m 取什么实数，直线L 与圆C 相交；
II ）求直线L 被圆C 截得的线段的最短长度及此时m 的值。
分析 此题若按常规方法，联立直线和圆的方程解方程组，然后考查△≥0是否恒成立，或者求出圆心到直线的距离d ，再证d
证明：（1）直线L 按参数m 整理得(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，该直线恒过定点N(3,1)，将点N(3,1)代入圆的方程的左边得(3-1)2+(1-2)2=5
(2)要使弦长最短，只需圆心C 到直线L 的距离最大，即当L ⊥CN 时圆心C
3到直线L 的距离最大，此时弦长最短，易求得最短长度为
m=-。 4
反思 抓住解题中的“不变”因素，体现了以静制动的思维策略，这一策略常能寻找到解题的突破口或使某些问题得到简化。
3. 从解题过程中挖掘隐含条件
关注解题过程中的每一步变形，并从变形中挖掘隐含条件，则能拓展解题思路、简化运算过程，使问题顺利获解。
例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a,b 是常数，a ≠0）,f(2)=0,且方程f(x)=x有 等根。
I ）f(x)的解析式；
II ）是否存在常数p ，q(p
111111分析 由题设条件易求得f(x)=-x 2+x=-(x-1)+≤，故2q ≤，q ≤, 222224
1而f(x)在[p,q]（q ≤）单调递增，从而避免了对p ，q 的讨论。 4
2解 由题设ax +(b-1)x=0有等根，∴(b-1)2=0,即b=1.
11又 f(2)=0，即4a+2b=0，得a=-, ∴f(x)=-x 2+x. 22
11111(2) f(x)= -(x-1)2+≤, ∴2q ≤，即q ≤. 22224
1而当q ≤时，f(x)在[p,q]上为增函数，设满足条件的p,q 存在。 4
⎧12-p -p =0, ⎧f (p ) =2p , ⎪⎪2即⎨ ∴ ⎨1f (q ) =2q . ⎩⎪-q 2-q =0. ⎪⎩2
1，∴ p=-2,q=0. 4
故此时，定义域为[-2,0]，值域为[-4,0]。
1反思 在解题过程中发现q ≤，是使解题过程大为简化的关键。 4
4. 从定理（公式）的约束条件中挖掘隐含条件
任何公式、定理都有其约束条件和使用条件，解题中挖掘各条件对定理的 限制往往能寻找到解题的突破口。 又 P
38-n 3n 例4 求C 3+C 21n +n 的值。
分析 本题直接计算难于下手，若从组合数公式的限制条件着手分析，可知
⎧3n ≥38-n ≥0⎪隐含条件：⎨21+n ≥3n ≥0，解得n=10。
⎪n ∈N ⎩
38-n 3n 2830∴ C 3+C 21n +n =C 30+C 31=466。
反思 通过挖掘题目的隐含条件，使这一令人产生“条件不足”之感的问题得到条件的补充，于是思维出现转机，问题解决也就柳暗花明了。
5．从数学定义中挖掘隐含条件
有些数学问题，部分已知条件隐含在数学概念、定义之中，数学概念、定义是解题的先导，有些问题若主动与定义接触，则能迅速、合理的解决。
例5 (2003江苏高考题) 已知常数a>0，向量c (0,a),i (1,0).经过原点O 以
以i -2λc 为方向向量的直线相交于c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)，
点P ，其中λ∈R 。是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由。
分析 由|PE|+|PF|为定值联想椭圆的定义，因此问题转化为求点P 的轨迹。 对于向量的方向问题，联想直线的斜率，不难写出直线的方程。
解 i =(1,0)，c =(0,a), ∴c +λi =（λ，a ）, i -2λc =(1,-2λa).
因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy=ax和y-a=-2λax.
消去参数λ，得点p(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x 2,
a (y -) 22x =1。① 整理得 +1a () 2
82
因为a>0，所以得:
当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F 。 当
0
) 和
) 222为合乎题意的两个定点；
当
a>1时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,(a+2
)) 和F(0,1)) 为合乎题意的两个定点。 2
反思 本题设问极其隐蔽，不直接求动点P 的轨迹，而是把问题隐于问题的等价叙述中，从而在考生眼力本题难于理解。因此，本题挖掘隐含条件极其重要。
6．从图形的特征中挖掘隐含条件
有些数学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的“特征”，利用运动变换的观点，恰当地添设辅助图形，就能发现含而未露的条件，使问题获解。
例6 三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的 表面积与体积。
分析 由三棱锥三条侧棱两两相互垂直且相等，可联想正方体的一个“角”，
故可构造正方体来处理。 G 解 如图1－2，以三棱锥P-ABC 构造正方体ADEF-PC P GB ，则对角线PE 的长就是三棱锥P-ABC 外接球的直径。
PA=PB=PC=1，∴
A F D E
∴S 球=4πR 2=3π，V 球=4πR 3
π。 图1－2 3例7 (2003年全国高考题) 一个四面体的所有
四个顶点在同一个球面上, 则此球的
表面积为( ).
A.3π B.4π
π D.6π
C
B 分析 由四面体各棱长相等，联想正方体对角
线性质，因此可将其内置于正方体内部来处理。 图1－3
解 将正四面体SBCD 内接于一正方体之中 (如图1－3), 则正方体的边长为1, 且四面体SBCD 的外接球也是正方体的外接球, 易求得其半径为, 从而求得2其表面积.
反思 在涉及到同一点三条射线两两互相垂直的有关问题，往往可以通过构造长方体来解决；在涉及正四面体的有关问题，可通过构造正方体来解决。当然挖掘这一类隐含条件的前提是对正方体（长方体）的性质比较熟悉。
7．从多元问题中挖掘隐含条件（恰当的选择主元）
在有几个变量的问题中, 常常有一个变量处于主要地位, 我们称之为主元, 其余变量称为客元. 在一类问题中出现多个变量且主次不分时，我们用常规方法很难找到解题途径，这时，恰当地选择主元往往会有“柳暗花明”的效果。
2例8 (2004年福建高考题) 已知f(x)=4x +ax 2-x 3(x ∈R ) 在区间[－1，1]上3
是增函数.
（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；
1（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=2x +x 3的两个非零实根为x 1、x 2. 试问：是否3
存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
分析 （I ）由题设易得A={a/-1≤a ≤1}；
（II ）这是一个恒成立问题，m 2+tm+1只要不小于| x 1-x 2|的最大值即可，又
1x 1、x 2为（f x ）=2x +x 3的两个根，由韦达定理及判别式非负不难求出：| x1-x 2|≤3。3
因此m 2+tm+1≥3对t ∈[-1,1]时恒成立，常规地，我们把m 2+tm+1看成m 的函数，但这样处理起来很复杂。若我们及时转移视角，视t 为主元，则转化为关于t 的一次函数，结合函数的图象，不难求解。
解 （Ⅰ）f ＇(x)=4+2ax -2x 2, ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，
即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①
设ϕ(x )=x 2－ax －2，
方法一：
⎧ϕ(1) =1-a -2≤0① ⇔ ⎨ ⇔－1≤a ≤1， ⎩ϕ(-1) =1+a -2≤0
∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}.
方法二：
⎧a ⎧a ⎪≥0⎪①⇔ ⎨2或⎨2
⎪⎩ϕ(-1) =1+a -2≤0⎪⎩ϕ(1) =1-a -2≤0
⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0
⇔ －1≤a ≤1.
∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1) =0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. 21（Ⅱ）由4x +ax 2-x 3=2x +x 3, 得x =0, 或x 2-ax -2=0, 33
∵△=a 2+8>0
∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2，
从而|x 1－x 2|=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=a 2+8.
∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=a 2+8≤3.
要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，
即m 2+tm－2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2) ，
② ⇔ g(－1)=m2－m －2≥0且g(1)=m2+m－2≥0，
⇔m ≥2或m ≤－2.
所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m ≤－2}.
8．从变量的取值范围中挖掘隐含条件
函数的定义域制约着自变量的取值范围，定义域是求函数值域、研究函数性质的前提，所以在解决函数题之前，一定要挖掘定义域对整题的影响，有时只要考虑定义域，问题很快得到解决。
例9 判断函数
f(x)=的奇偶性。 |x +2|-2
分析 直接判断f(x)的奇偶性，很难发现f(x)与f(-x)的关系。若注意到函数的 定义域，则绝对值符号很容易去掉，问题也就峰回路转了。
解 由1-x 2≥0, 得-1≤x ≤1。
故
f(x)=，
f(-x)=-，即f(-x)=- f(x)。 x x
所以函数f(x)是奇函数。
反思 判断函数的奇偶性要注意三步曲，一要看定义域（若函数的定义域不 关于原点对称，则函数为非奇非偶函数）；二要看f(x)与f(-x)的关系；三是下结论。
以上我们探讨了隐含条件挖掘的几种方法，这些方法不是截然分开的，而是彼此联系相互补充的。只要在解题中广泛运用上述方法，就能准确捕捉题目中的各种隐含信息，使解题正确、简捷，使我们养成良好的解题习惯，受益终生。史上最快最全的网络文档批量下载、上传、处理，尽在：http://shop63695479.taobao.com/
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三十六计之一—瞒天过海与数学解题（1）
—挖掘隐含条件 开辟解题途径
江苏省邳州市宿羊山高级中学（221354）耿道永
三十六计之一—瞒天过海，其原典为：备周则意怠；常见则不疑。阴在阳之内，不在阳之对。太阳，太阴。其译文：防备周全时，更容易麻痹大意；习以为常的事，也常会失去警戒。秘密潜在公开的事物里，并非存在于公开暴露的事物之外。公开暴露的事物发展到极端，就形成了最隐秘的潜藏状态。
【故事】
“瞒天过海”之谋略决不可以与“欺上瞒下”、“掩耳盗铃”或者诸如夜中行窃、拖人衣裘、僻处谋命之类等同，也决不是谋略之士所应当做的事情。虽然，这两种在某种程度上都含有欺骗性在内，但其动机、性质、目的是不相同的，自是不可以混为一谈。这一计的兵法运用，常常是着眼于人们在观察处理世事中，由于对某些事情的习见不疑而自觉不自觉地产生了疏漏和松懈，故能乘虚而示假隐真，掩盖某种军事行动，把握时机，出奇制胜。
唐太宗贞观十七年，御驾亲征，领三十万大军以宁东土。一日，浩荡大军东进来到大海边上，帝见眼前只是白浪排空，海茫无穷，即向众总管问及过海之计，四下面面相觑。忽传一个近居海上的豪民请求见驾，并称三十万过海军粮此家业已独备。帝大喜，便率百官随这豪民来到海边。只见万户皆用一彩幕遮围，十分严密。豪民老人东向倒步引帝入室。室内更是绣幔彩锦，茵褥铺地。百官进酒，宴饮甚乐。不久，风声四起，波响如雷，杯盏倾侧，人身摇动，良久不止。太宗警惊，忙令近臣揭开彩幕察看，不看则已，一看愕然。满目皆一片清清海水横无际涯，哪里是什么在豪民家作客，大军竟然已航行在大海之上了！原来这豪民是新招壮士薛仁贵扮成，这“瞒天过海”计策就是他策划的。“瞒天过海”用在兵法上，实属一种示假隐真的疑兵之计，用来作战役伪装，以期达到出其不意的战斗成果。
数学题目的设计往往有一些“瞒天过海”的条件，即隐含条件。这是一种在题目中未明确表达出来而客观又存在的条件，隐含条件隐藏教深的题目，往往给学生造成条件不足的假象，但如果能仔细分析、推敲，就可以将其挖掘出来。特别是在审题过程中，若能及时发现和运用隐含条件，不仅可以迅速找到解题的突破口，而且能使解题过程简单明了。下面结合例题就如何挖掘题目中的隐含条件作一探讨。
1． 从题目的结构中挖掘隐含条件
解题时，若题设条件中隐含着某些概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则应抓住结构特征，揭示隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。
例1
分析1
的形式，联想构造函数求解。
解法一 构造函数f （x ）
f '(x
) =
在[3，+∞)上单调递增，∴ f （a ）
分析2 注意到
（
-（）
+）=
（
-）
=1，故可以分子有理化求解。
解法
2 B
C D A 图1－1
∴
分析3
2-
2=
2-
2=1，联想勾股定理，数形结合不难求解。
解法3 如图1－1，构造Rt △ABC ，使AB=1，
则
BD=, 则
在△BCD ，BC-BD
反思 观察—联想—构造或转化是解题常用的思维策略。
2． 从题设中的不变因素中挖掘隐含条件
许多数学问题，总是研究不断运动变化过程中的数量关系，然而在这纷繁复杂的变化中却常常存在着某些“不变（性、量）”，数学解题过程中有时一旦挖掘到了这些隐含的“不变”，也就突破了解题的难点。
例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R) 。 I ）求证：不论m 取什么实数，直线L 与圆C 相交；
II ）求直线L 被圆C 截得的线段的最短长度及此时m 的值。
分析 此题若按常规方法，联立直线和圆的方程解方程组，然后考查△≥0是否恒成立，或者求出圆心到直线的距离d ，再证d
证明：（1）直线L 按参数m 整理得(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，该直线恒过定点N(3,1)，将点N(3,1)代入圆的方程的左边得(3-1)2+(1-2)2=5
(2)要使弦长最短，只需圆心C 到直线L 的距离最大，即当L ⊥CN 时圆心C
3到直线L 的距离最大，此时弦长最短，易求得最短长度为
m=-。 4
反思 抓住解题中的“不变”因素，体现了以静制动的思维策略，这一策略常能寻找到解题的突破口或使某些问题得到简化。
3. 从解题过程中挖掘隐含条件
关注解题过程中的每一步变形，并从变形中挖掘隐含条件，则能拓展解题思路、简化运算过程，使问题顺利获解。
例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx（a,b 是常数，a ≠0）,f(2)=0,且方程f(x)=x有 等根。
I ）f(x)的解析式；
II ）是否存在常数p ，q(p
111111分析 由题设条件易求得f(x)=-x 2+x=-(x-1)+≤，故2q ≤，q ≤, 222224
1而f(x)在[p,q]（q ≤）单调递增，从而避免了对p ，q 的讨论。 4
2解 由题设ax +(b-1)x=0有等根，∴(b-1)2=0,即b=1.
11又 f(2)=0，即4a+2b=0，得a=-, ∴f(x)=-x 2+x. 22
11111(2) f(x)= -(x-1)2+≤, ∴2q ≤，即q ≤. 22224
1而当q ≤时，f(x)在[p,q]上为增函数，设满足条件的p,q 存在。 4
⎧12-p -p =0, ⎧f (p ) =2p , ⎪⎪2即⎨ ∴ ⎨1f (q ) =2q . ⎩⎪-q 2-q =0. ⎪⎩2
1，∴ p=-2,q=0. 4
故此时，定义域为[-2,0]，值域为[-4,0]。
1反思 在解题过程中发现q ≤，是使解题过程大为简化的关键。 4
4. 从定理（公式）的约束条件中挖掘隐含条件
任何公式、定理都有其约束条件和使用条件，解题中挖掘各条件对定理的 限制往往能寻找到解题的突破口。 又 P
38-n 3n 例4 求C 3+C 21n +n 的值。
分析 本题直接计算难于下手，若从组合数公式的限制条件着手分析，可知
⎧3n ≥38-n ≥0⎪隐含条件：⎨21+n ≥3n ≥0，解得n=10。
⎪n ∈N ⎩
38-n 3n 2830∴ C 3+C 21n +n =C 30+C 31=466。
反思 通过挖掘题目的隐含条件，使这一令人产生“条件不足”之感的问题得到条件的补充，于是思维出现转机，问题解决也就柳暗花明了。
5．从数学定义中挖掘隐含条件
有些数学问题，部分已知条件隐含在数学概念、定义之中，数学概念、定义是解题的先导，有些问题若主动与定义接触，则能迅速、合理的解决。
例5 (2003江苏高考题) 已知常数a>0，向量c (0,a),i (1,0).经过原点O 以
以i -2λc 为方向向量的直线相交于c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)，
点P ，其中λ∈R 。是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由。
分析 由|PE|+|PF|为定值联想椭圆的定义，因此问题转化为求点P 的轨迹。 对于向量的方向问题，联想直线的斜率，不难写出直线的方程。
解 i =(1,0)，c =(0,a), ∴c +λi =（λ，a ）, i -2λc =(1,-2λa).
因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy=ax和y-a=-2λax.
消去参数λ，得点p(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x 2,
a (y -) 22x =1。① 整理得 +1a () 2
82
因为a>0，所以得:
当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F 。 当
0
) 和
) 222为合乎题意的两个定点；
当
a>1时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,(a+2
)) 和F(0,1)) 为合乎题意的两个定点。 2
反思 本题设问极其隐蔽，不直接求动点P 的轨迹，而是把问题隐于问题的等价叙述中，从而在考生眼力本题难于理解。因此，本题挖掘隐含条件极其重要。
6．从图形的特征中挖掘隐含条件
有些数学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的“特征”，利用运动变换的观点，恰当地添设辅助图形，就能发现含而未露的条件，使问题获解。
例6 三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的 表面积与体积。
分析 由三棱锥三条侧棱两两相互垂直且相等，可联想正方体的一个“角”，
故可构造正方体来处理。 G 解 如图1－2，以三棱锥P-ABC 构造正方体ADEF-PC P GB ，则对角线PE 的长就是三棱锥P-ABC 外接球的直径。
PA=PB=PC=1，∴
A F D E
∴S 球=4πR 2=3π，V 球=4πR 3
π。 图1－2 3例7 (2003年全国高考题) 一个四面体的所有
四个顶点在同一个球面上, 则此球的
表面积为( ).
A.3π B.4π
π D.6π
C
B 分析 由四面体各棱长相等，联想正方体对角
线性质，因此可将其内置于正方体内部来处理。 图1－3
解 将正四面体SBCD 内接于一正方体之中 (如图1－3), 则正方体的边长为1, 且四面体SBCD 的外接球也是正方体的外接球, 易求得其半径为, 从而求得2其表面积.
反思 在涉及到同一点三条射线两两互相垂直的有关问题，往往可以通过构造长方体来解决；在涉及正四面体的有关问题，可通过构造正方体来解决。当然挖掘这一类隐含条件的前提是对正方体（长方体）的性质比较熟悉。
7．从多元问题中挖掘隐含条件（恰当的选择主元）
在有几个变量的问题中, 常常有一个变量处于主要地位, 我们称之为主元, 其余变量称为客元. 在一类问题中出现多个变量且主次不分时，我们用常规方法很难找到解题途径，这时，恰当地选择主元往往会有“柳暗花明”的效果。
2例8 (2004年福建高考题) 已知f(x)=4x +ax 2-x 3(x ∈R ) 在区间[－1，1]上3
是增函数.
（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；
1（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=2x +x 3的两个非零实根为x 1、x 2. 试问：是否3
存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
分析 （I ）由题设易得A={a/-1≤a ≤1}；
（II ）这是一个恒成立问题，m 2+tm+1只要不小于| x 1-x 2|的最大值即可，又
1x 1、x 2为（f x ）=2x +x 3的两个根，由韦达定理及判别式非负不难求出：| x1-x 2|≤3。3
因此m 2+tm+1≥3对t ∈[-1,1]时恒成立，常规地，我们把m 2+tm+1看成m 的函数，但这样处理起来很复杂。若我们及时转移视角，视t 为主元，则转化为关于t 的一次函数，结合函数的图象，不难求解。
解 （Ⅰ）f ＇(x)=4+2ax -2x 2, ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，
即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①
设ϕ(x )=x 2－ax －2，
方法一：
⎧ϕ(1) =1-a -2≤0① ⇔ ⎨ ⇔－1≤a ≤1， ⎩ϕ(-1) =1+a -2≤0
∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}.
方法二：
⎧a ⎧a ⎪≥0⎪①⇔ ⎨2或⎨2
⎪⎩ϕ(-1) =1+a -2≤0⎪⎩ϕ(1) =1-a -2≤0
⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0
⇔ －1≤a ≤1.
∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1) =0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. 21（Ⅱ）由4x +ax 2-x 3=2x +x 3, 得x =0, 或x 2-ax -2=0, 33
∵△=a 2+8>0
∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2，
从而|x 1－x 2|=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=a 2+8.
∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=a 2+8≤3.
要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，
即m 2+tm－2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2) ，
② ⇔ g(－1)=m2－m －2≥0且g(1)=m2+m－2≥0，
⇔m ≥2或m ≤－2.
所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m ≤－2}.
8．从变量的取值范围中挖掘隐含条件
函数的定义域制约着自变量的取值范围，定义域是求函数值域、研究函数性质的前提，所以在解决函数题之前，一定要挖掘定义域对整题的影响，有时只要考虑定义域，问题很快得到解决。
例9 判断函数
f(x)=的奇偶性。 |x +2|-2
分析 直接判断f(x)的奇偶性，很难发现f(x)与f(-x)的关系。若注意到函数的 定义域，则绝对值符号很容易去掉，问题也就峰回路转了。
解 由1-x 2≥0, 得-1≤x ≤1。
故
f(x)=，
f(-x)=-，即f(-x)=- f(x)。 x x
所以函数f(x)是奇函数。
反思 判断函数的奇偶性要注意三步曲，一要看定义域（若函数的定义域不 关于原点对称，则函数为非奇非偶函数）；二要看f(x)与f(-x)的关系；三是下结论。
以上我们探讨了隐含条件挖掘的几种方法，这些方法不是截然分开的，而是彼此联系相互补充的。只要在解题中广泛运用上述方法，就能准确捕捉题目中的各种隐含信息，使解题正确、简捷，使我们养成良好的解题习惯，受益终生。史上最快最全的网络文档批量下载、上传、处理，尽在：http://shop63695479.taobao.com/